Voir la source de Équation de Burgers


L''''équation de Burgers''' est une [[équation aux dérivées partielles]] issue de la [[mécanique des fluides]]. Elle apparaît dans divers domaines des [[mathématiques appliquées]], comme la modélisation de la dynamique des gaz, de l'acoustique ou du trafic routier. Elle doit son nom à [[Johannes Martinus Burgers]] qui l'a discutée en 1948<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Johannes Martinus Burgers]]|titre=A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence|journal=Advances in Applied Mechanics|volume=1|éditeur=Academic Press|date=1948}}</ref>. Elle apparaît dans des travaux antérieurs de Andrew Russel Forsyth<ref>{{article|langue=en|auteur=Andrew Russel Forsyth|titre=Theory of Differential Equations, Part 4|journal=Partial Differential Equations|volume=5-6|éditeur=Cambridge University Press|date=1906}}</ref> et [[Harry Bateman]]<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Harry Bateman]]|titre=Some Recent Researches on the Motion of Fluids|journal=Monthly Weather Review|date=1915 [http://docs.lib.noaa.gov/rescue/mwr/043/mwr-043-04-0163.pdf]}}</ref>.

== Formulation ==

En notant {{mvar|u}} la [[vitesse]], et {{mvar|ν}} le coefficient de [[viscosité]] cinématique, la forme générale de l'équation de Burgers est<ref name="Burgers">{{ouvrage|lang=en|éditeur=Springer|nom=[[Johannes Martinus Burgers]]|titre=The Nonlinear Diffusion Equation|année=1974|isbn=978-94-010-1747-3}}</ref> :
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>.

Quand {{math|''ν'' {{=}} 0}}, l'équation de Burgers devient l'équation de Burgers sans viscosité :
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0</math>,
La [[matrice jacobienne]] de cette équation se réduit à la quantité scalaire {{mvar|u}}, valeur réelle. Il s'agit donc d'une [[équation aux dérivées partielles hyperbolique]]. Elle peut donc comporter des discontinuités ([[onde de choc|ondes de choc]]).

La forme conservative de cette équation est :
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u^2\right) = 0</math>

== Équation sans viscosité ==
[[File:Burgersfig.png|thumb|Solution de l'équation de Burgers à partir d'un profil sinusoïdal.]]
=== Solution régulière ===
==== Par la [[méthode des caractéristiques]] ====

On cherche une ligne caractéristique {{math|[''x''(''s''), ''t''(''s'')]}} le long de laquelle l'équation de Burgers se réduit à une équation différentielle ordinaire. Calculons la dérivée de {{mvar|ν}} le long d'une telle courbe :
::<math>
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}u[x(s),t(s)]}{\mathrm{d}s} & = 0   \\   [1em]
& = & \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\frac{\partial u}{\partial x}
\end{align}
</math>
On identifie l'équation de Burgers en faisant (on suppose {{math|''t''(0) {{=}} 0}}): 
::<math>\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1 \qquad \Rightarrow \qquad t(s)=s</math>
::<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}=u \qquad \Rightarrow \qquad x(s)=x_0+us=x_0+ut</math>
Les caractéristiques dans le plan {{math|(''x'',''t'')}} sont des droites de pente {{mvar|ν}} le long desquelles la solution est constante.

La valeur en un point {{math|(''x{{ind|c}}'',''t{{ind|c}}'')}} s'obtient en "remontant" la caractéristique jusqu'à son origine {{math|''x''{{ind|0}} {{=}} ''x{{ind|c}} – ut{{ind|c}}''}}. Cette valeur est {{math|''u {{=}} u''(''x''{{ind|0}})}}.

==== Méthode utilisant un [[ansatz]] ====

On peut donner une solution générale sous la forme
::<math>u(x,t)=f(w)</math>
où {{mvar|f}} est une fonction quelconque de la variable {{mvar|w {{=}} x–ut}}.

On note <math>f'=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} w}</math>

Si on reporte dans l'équation de Burgers il vient :
::<math>\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x}\right)\left(1+tf'\right)=0</math>
{{mvar|f}} est donc solution sauf si le second terme de l'équation s'annule.

La dérivée de {{mvar|u}} s'écrit :
::<math>\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{f'}{1+tf'}</math>
La fonction {{mvar|u}} devient singulière pour {{math|1 + ''tf{{'}}'' {{=}} 0}}, point d'intersection des caractéristiques. Au-delà la solution régulière de l'équation n'a plus de sens physique puisque la solution est multivaluée.

==== Quantité conservative ====
Intégrons l'équation sous forme conservative de {{mvar|a}} à {{mvar|b}} :
::<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a^b u\mathrm{d}x=\frac{u_a^2}{2}-\frac{u_b^2}{2} \;\;\;\forall a,b</math>
Si {{mvar|u}} s'annule à deux bornes finies (problème périodique) ou infinies alors :
::<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a^b u\mathrm{d}x=0</math>
Dans un système fermé la quantité <math>\int u\mathrm{d}x</math> est conservée au cours du temps.

=== La discontinuité ===

Pour un système d'équations hyperbolique écrit sous la forme 
::<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial g(u)}{\partial x} = 0</math>
la vitesse de propagation d'un choc est donné par l'[[équation de Rankine-Hugoniot]]
::<math>c=\frac{\Delta g}{\Delta u}</math>
Dans notre cas <math>g=\frac{u^2}{2}</math>, d'où
::<math>c=\frac{\frac{u_G^2}{2}-\frac{u_D^2}{2}}{u_G-u_D}=\frac{u_G+u_D}{2}</math>
où {{mvar|u{{ind|G}}}} et {{mvar|u{{ind|D}}}} sont les vitesses de part et d'autre du choc.

== Équation avec viscosité ==

On peut transformer cette équation en utilisant la transformation de Hopf-Cole<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Eberhard Hopf]]|titre=The Partial Differential Equationy y<sub>t</sub> + yy<sub>x</sub> = μ<sub>xx</sub>|journal=Communications on Pure and Applied Mathematics|volume=3|numéro=3|date=septembre 1950}}</ref> :
::<math>u=-\frac{2\nu}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}</math>
En portant dans l'équation il vient :
::<math> \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{\phi}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)
= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\nu }{\phi}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\right) </math>
Par intégration par rapport à {{mvar|x}} il s'introduit une "constante" d'intégration fonction du temps que l'on note {{math|''g''(''t'')}}, déterminée par les conditions aux limites :
::<math>\frac{\partial\phi}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + g(t) \phi</math>
Le nouveau changement de variable {{math|''ψ'' {{=}} ''ϕ'' exp(∫''g'' d''t'')}} permet d'écrire :
::<math>\frac{\partial\psi}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math>
On obtient une équation de diffusion analogue à l'[[équation de la chaleur]] pour laquelle il existe des solutions analytiques.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
* {{en}} Leon van Dommelen, ''The Inviscid Burger's Equation'' [https://www.eng.fsu.edu/~dommelen/pdes/style_a/burgers.html]
* {{en}} ''Burgers' Equation'', Institut für Theoretische Physik, Münster [http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/NumMethoden/WS0910/ScriptPDE/Burgers.pdf]
* {{en}} NEQwiki [http://www.primat.mephi.ru/wiki/ow.asp?Burgers%27_equation Burgers' Equation]
* {{en}} John Burkardt, ''40 Solutions of the Burgers Equation'' (codes sous [[Licence publique générale GNU|licence GNU]])[https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/datasets/burgers/burgers.html]

== Articles Connexes ==
* [[Équation de Korteweg et de Vries]]
* [[Équations de Navier-Stokes]]
* [[Équations d'Euler]]
* [[Mécanique des fluides numérique]]

{{Portail|physique|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Equation de Burgers}}
[[Catégorie:Équation aux dérivées partielles]]
[[Catégorie:Équation en dynamique des fluides|Burgers]]