Voir la source de Équation de Pell-Fermat

[[Fichier:Pierre de Fermat.jpg|thumb|[[Pierre de Fermat]] ([[1601]]-[[1665]]) affirme que l'équation de Pell-Fermat possède toujours une infinité de solutions si ''m'' = ±1, sans savoir que [[Bhāskara II]] (1114-1185) avait fait de même<ref>{{Article|lang=en|nom={{Lien|A. A. Krishnaswami Ayyangar}}|titre=New light on Bhaskara's Chakravala or cyclic method of solving indeterminate equations of the second degree in two variables|revue=J. [[Indian Mathematical Society|Indian Math. Soc.]]|vol=18|year=1929-30|p.=225-248|url=http://www.ms.uky.edu/~sohum/aak/pdf%20files/chakravala.pdf}}, {{p.|247}}.</ref>.]]

En [[mathématiques]] et plus précisément en [[arithmétique]], l''''équation de Pell-Fermat''' est une [[équation diophantienne]] [[polynôme formel|polynomiale]] [[équation du second degré|quadratique]]. Si ''n'' est un [[entier naturel|entier positif]] qui n'est pas un [[carré parfait]] et {{refnec|date=février 2015|''m'' un [[entier relatif|entier quelconque]]}}, l'équation prend la forme suivante :
<center><math>x^2 - ny^2 = m.</math></center>
Les solutions recherchées sont les solutions telles que ''x'' et ''y'' soient des valeurs entières.

L'équation de Pell-Fermat est étudiée sous différentes formes par plusieurs civilisations comme la [[Mathématiques de la Grèce antique|Grèce antique]], l'[[Mathématiques indiennes|Inde]] ou la [[Mathématiques arabes|civilisation arabe]]. La solution définitive est relativement tardive, elle est trouvée en Europe durant le {{XIXe siècle}}.

Une forme particulièrement étudiée est celle où le paramètre ''m'' est égal à ±1 (c'est-à-dire à 1 ou à –1). Plusieurs [[algorithme]]s permettent de déterminer une solution ; la [[méthode chakravala]] ou celle des [[fraction continue|fractions continues]] sont les plus célèbres.

En France, cette équation est nommée Pell ou Pell-Fermat en l'honneur des mathématiciens [[John Pell]] et [[Pierre de Fermat]]. C'est à [[Leonhard Euler]] que l'on doit l'association du nom de Pell à cette équation, à la suite d'une confusion car ce mathématicien n'a pas travaillé sur cette équation. La traduction de la dénomination '''équation de Pell''' est d'usage général en langue non française.

L'article « [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Équation de Pell-Fermat|Fraction continue d'un irrationnel quadratique]] » propose une méthode de résolution si ''m'' = ±1, ainsi que l'exemple pour ''n'' = 61. L'article [[Méthode chakravala]] propose une autre méthode comparable, plutôt plus simple et plus rapide, à la fois pour la théorie et la pratique. Les exemples ''n'' = <!--19, -->61, 83, 103 et 313 sont traités.

== Histoire ==
=== Origines ===
L'histoire de l'équation de Pell-Fermat est particulièrement riche et ancienne. On<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Pell|title=Pell's equation}}</ref> cite parfois le ''[[problème des bœufs d'Hélios]]'' attribué à [[Archimède]]<ref>Ce problème est explicité dans le site [http://membres.lycos.fr/mathsfractales/boeufshelios.htm Les Bœufs d'Hélios] par Lycos. Il est décrit dans l'ouvrage : [[Archimède]] Tome 3, ''Des corps flottants. Stomachion. La méthode. Le livre des lemmes. Le problème des bœufs'' ; éd. et tr. Charles Mugler, Paris, Les Belles Lettres, 1971 (Collection des Universités de France), 324 p. {{ISBN|2-251-00026-7}}.</ref> comme premier exemple d'équation de Pell-Fermat. Il n'est cependant pas certain qu'Archimède en soit l'auteur et que la relation avec la dite équation ait été faite. En revanche, [[Diophante d'Alexandrie]], un mathématicien vivant probablement au {{IIIe siècle}} parle explicitement d'une équation de cette nature, dans son livre intitulé [[Arithmetica]]. Avec les notations du paragraphe ''Définitions'', il étudie le cas où ''n'' est égal à 1 et ''m'' à 1, –1 ou 12 ainsi que le cas où ''n'' et ''m'' sont égaux à 9<ref>{{Dickson1}}, vol. 2.</ref>. Dès avant notre ère, les Grecs connaissaient l'existence de l'égalité suivante<ref name = "Edwards">{{en}} [[Harold Edwards|H. M. Edwards]], ''Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory'', Springer, {{3e}} éd., 2000 {{ISBN|0387950028}}.</ref> :
<center><math>577^2 - 2\cdot 408^2 = 1.</math></center>

Le mathématicien indien [[Brahmagupta]] <small>([[598]]-[[668]])</small> semble être le premier à travailler profondément sur la question, il étudie le cas où ''m'' = 1. En [[628]], il établit une égalité permettant, à l'aide de deux solutions de l'équation, d'en construire une troisième<ref>{{Stillwell}}, {{2e}} éd., 2004, {{p.|72-74}}.</ref>. Ainsi, en combinant deux fois la même solution, il en obtient une nouvelle et ainsi de suite, ce qui donne un nombre de solutions aussi grand que désiré. Cette méthode lui permet d'aller plus loin. À l'aide d'un couple (''x'', ''y'') d'entiers tel que ''x''<sup>2</sup> –''ny''<sup>2</sup> soit égal à ±2, Brahmagupta construit une solution. Puis à l'aide d'un algorithme guère plus complexe, il obtient un résultat analogue si ''x''<sup>2</sup> – ''ny''<sup>2</sup> est égal à ±4. Par tâtonnements, il parvient à trouver des solutions dans de nombreuses configurations. Son outil principal est l'[[algorithme d'Euclide]], généralement nommé par les Indiens le ''pulvérisateur'' car ''il casse les nombres en morceaux de plus en plus petits''<ref>{{harvsp|Stillwell|p=44-46}}.</ref>.

L'étape suivante est franchie par [[Bhāskara II]], un mathématicien indien du {{XIIe siècle}}. Il enrichit la palette de techniques de Brahmagupta, et présente une méthode complète, nommée [[méthode chakravala|chakravala]]. Elle correspond à un algorithme astucieux permettant de déterminer une solution primitive, c'est-à-dire une solution qui génère toutes les autres<ref>{{en}} G. G. Joseph, ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'', {{2e}} éd., Penguin Books, 2000 {{ISBN|0140277781}}.</ref>. Il n'est pas dans l'usage des mathématiciens indiens de cette époque de rechercher une preuve autre qu'expérimentale. Quant à l'exhaustivité de l'ensemble des solutions trouvées, la question n'est pas non plus abordée.

=== L'Europe et l'âge classique ===
[[Fichier:Joseph Louis Lagrange.jpg|thumb|[[Joseph-Louis Lagrange]] démontre l'existence d'une infinité de solutions si {{nobr|1=''m'' = ±1}} et montre que l'[[algorithme]] des [[fraction continue|fractions continues]] permet de les obtenir toutes.]]

La popularité de cette équation provient d'un défi que Pierre de Fermat lance à [[Bernard Frénicle de Bessy]] en  février [[1657]] (à la suite d'un autre défi plus célèbre datant du 3 janvier de la même année) ; il lui pose plusieurs questions dont celle d'une solution à l'équation de Pell-Fermat, déjà trouvée par Brahmagupta et Bhāskara II, elle correspond au cas ''n'' = 61 et ''m'' = 1 (il propose également le cas ''n'' = 109)<ref>''[https://archive.org/stream/oeuvresdefermat02ferm#page/334/mode/2up Œuvres de Fermat]'', {{p.|334}}.</ref>. Une communication épistolaire s'ensuit, finalement publiée par [[John Wallis]]<ref>{{la}} John Wallis, ''Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum'', Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658.</ref>, entre [[Kenelm Digby]], [[William Brouncker]] et Wallis pour l'Angleterre, [[Frans van Schooten]] pour la Belgique et [[Bernard Frénicle de Bessy]] pour la France<ref>Ces informations sont extraites de la [http://www.beaumont-de-lomagne.fr/fr/pierre-fermat/ses-correspondances.html page Pierre Fermat] sur le site de la commune de [[Beaumont-de-Lomagne]].</ref>. Elle nous indique que Brouncker découvre une méthode équivalente à celle des Indiens, sans néanmoins apporter plus de preuves que ses prédécesseurs. Frénicle de Bessy calcule l'intégralité des solutions pour ''n'' inférieur ou égal à 150, mais ses travaux sont perdus. Il défie Brouncker avec une valeur de 313 pour ''n''. Brouncker propose une solution primitive, et précise qu'il ne lui a pas fallu plus « d'une heure ou deux » pour trouver. La réponse est la suivante : 
<center><math>x= 32\,188\,120\,829\,134\,849 \quad \text{et} \quad y = 1\,819\,380\,158\,564\,160.</math></center>
Wallis démontre rigoureusement les résultats de Brahmagupta, c'est-à-dire la raison qui permet de trouver une solution si la valeur atteinte est 2 ou 4 en [[valeur absolue]]. En [[1658]], [[Johann Heinrich Rahn]] publie un livre d'algèbre, contenant un exemple d'équation maintenant dite de Pell-Fermat<ref>{{de}} J. H. Rahn, ''Teutsche Algebra'', 1659.</ref>, relu et traduit en anglais par [[John Pell]] <small>([[1611]]-[[1685]])</small>. C'est la seule contribution connue du mathématicien sur l'équation portant maintenant son nom.

Plusieurs mathématiciens affirment qu'il existe une solution pour toute valeur de ''n'' (à condition de choisir ''m'' égal à 1)<ref>{{en}} John Wallis, ''Treatise on Algebra'', Londres, 1685, chap. 98.</ref>, Fermat affirme de plus que le nombre de solutions est infini. En revanche aucune preuve de cette époque n'est connue.

[[Leonhard Euler]] <small>([[1707]]-[[1783]])</small> reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, proposant le formalisme de la [[fraction continue]], {{douteux|date=mai 2014|équivalent à l'algorithme développé par Bhāskara II}}. Seule la fin est différente ; une fois trouvée une valeur égale à ±2 ou ±4 en valeur absolue, il est en effet plus rapide d'utiliser le lemme de Brahmagupta. Euler attribue à tort les travaux passés à Pell<ref name="Edwards"/>. [[Joseph-Louis Lagrange]] <small>([[1736]]-[[1813 en science|1813]])</small> reprend les travaux d'Euler et ajoute les deux preuves manquantes. Il démontre que pour toute valeur de ''n'' il existe une infinité de solutions et que toutes ces solutions sont générées par celle issue de l'algorithme des fractions continues<ref>{{Ouvrage|lien auteur=Joseph-Alfred Serret|prénom=Joseph-Alfred|nom=Serret|titre=Œuvres de Lagrange|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1877|volume=I|passage=671-731|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41029}}, « Solution d'un problème d'arithmétique », 1766-1769. Voir aussi les ''Additions'' de Lagrange aux ''Élémens d'algèbre par Léonard Euler, tome 2 : de l'analyse indéterminée'', [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k123306p {{1e}} éd., Bruyset et Desaint, 1774, p. 379-658 + 662-664] et [https://books.google.fr/books?id=NFWMxC1Kt7IC {{2e}} éd., Bruyset, 1798, p. 379-662 + 666-668], réédités dans : {{Harvsp|Serret|1877|loc=''Œuvres de Lagrange'', vol. VII, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2299428/f7 {{p.|5-180}}]}}.</ref>. Durant toute cette époque, l'Europe est inconsciente des travaux de leurs prédécesseurs indiens.

=== {{XIXe siècle}} ===
[[Fichier:Dedekind.jpeg|thumb|[[Richard Dedekind]] formalise le concept d'[[anneau de Dedekind|anneau portant maintenant son nom]] et élucide les propriétés permettant de résoudre l'équation de Pell-Fermat.]]
La méthode chakravala ou celle des fractions continues ont apporté tout ce qu'elles pouvaient sur cette équation, ce qui revient à traiter le cas du paramètre ''m'' égal à ±1. Le cas général demande de nouvelles idées et un siècle est encore nécessaire pour en venir à bout. Une approche fondatrice est l'œuvre de [[Carl Friedrich Gauss]] <small>([[1777]]-[[1855 en science|1855]])</small>. Il travaille<ref>Cette approche est développée dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', 1801.</ref> sur des structures munies d'une addition et d'une multiplication, mais qui ne sont pas celles de l'[[anneau unitaire|anneau]] des [[entier relatif|entiers]]. Une de ces structures est celle des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]], c'est-à-dire des nombres de la forme ''a'' + {{math|i}}''b'' où ''a'' et ''b'' sont des entiers et {{math|i}} l'[[unité imaginaire]] des [[nombre complexe|nombres complexes]]. Un tel monde possède une [[division euclidienne]], ce qui permet d'établir le [[théorème de Bachet-Bézout]], le [[lemme d'Euclide]] ainsi que le [[théorème fondamental de l'arithmétique]]. Un tel anneau possède des [[nombre premier de Gauss|nombres premiers de Gauss]], et une approche similaire à celle de l'arithmétique dans '''Z''' est possible. Cette approche est maintenant le cadre d'une théorie appelée [[arithmétique modulaire]]. Une démarche de cette nature permet de venir à bout d'une équation diophantienne semblable à celle de Pell-Fermat, traité par le [[théorème des deux carrés de Fermat]]. Si {{math|i}} est remplacé, par exemple par le [[nombre d'or]], égal à (1 + {{racine|5}})/2, on obtient une structure un peu similaire, aussi euclidienne, correspondant à l'équation de Pell-Fermat pour le paramètre ''n'' égal à 5, et il est possible d'y traiter l'équation pour toute valeur du paramètre ''n'', à condition de disposer de la [[loi de réciprocité quadratique]], démontrée par Gauss. Cette loi correspond encore à une équation diophantienne un peu similaire.

Les travaux de Gauss apportent deux progrès : ils offrent un bon cadre pour étudier l'équation de Pell-Fermat et ils permettent de la résoudre intégralement dans le cas où ce cadre est euclidien. Il existe cependant de nombreux cas où le caractère euclidien est absent. Ce cadre, euclidien ou non, porte le nom d'anneau d'[[entier algébrique|entiers algébriques]] et pour la résolution de l'équation de Pell-Fermat, une petite partie est utile, ceux formés par des [[entier quadratique|entiers quadratiques]]. [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] <small>([[1805 en science|1805]]-[[1859 en science|1859]])</small> étudie et explicite leur [[groupe des unités]] dans le cas général. Ce groupe correspond exactement aux solutions de l'équation de Pell-Fermat pour ''m'' = ±1, fournissant une preuve différente de celle de Lagrange, et qui se généralise à tous les anneaux d'entiers algébriques et non pas uniquement quadratiques<ref>{{de}} J. P. L. Dirichlet, ''Vorlesungen über Zahlentheorie'', 1863 [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN30976923X Lire].</ref>. Si ce résultat fait progresser la théorie des nombres, il ne permet pas de débloquer la question de l'équation de Pell-Fermat dans le cas général, car il ne concerne que les solutions pour le paramètre ''m'' égal à ±1.

Si les techniques de Gauss fonctionnent, c'est grâce à l'équivalent des nombres premiers et au [[théorème fondamental de l'arithmétique]], que l'on trouve dans tout anneau euclidien. Des anneaux disposant de propriétés ou d'[[axiome]]s plus faibles ont un équivalent, on les appelle les [[anneau factoriel|anneaux factoriels]]. Dans le cas général, un anneau d'entiers algébriques n'est ni euclidien ni factoriel. [[Richard Dedekind]] <small>([[1831 en science|1831]]-[[1916 en science|1916]])</small>, à la suite des travaux de [[Ernst Kummer]] <small>([[1810 en science|1810]]-[[1893 en science|1893]])</small>, trouve la bonne approche. Il met en évidence les [[axiome]]s que vérifient les ''bons'' anneaux d'entiers algébriques, lesquels portent maintenant le nom d'[[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]]. À l'aide de cette nouvelle structure, il établit un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique<ref>Richard Dedekind, ''Traités sur la théorie des nombres'', trad. C. Duverney, Tricorne, Genève, 2006 {{ISBN|978-2-82930289-3}}.</ref>. Un deuxième théorème, traitant du [[groupe des classes d'idéaux]] permet de trouver toutes les solutions de l'équation de Pell-Fermat et pour toutes valeurs de ''n''<ref>{{de}} R. Dedekind, « [http://rzbl04.biblio.etc.tu-bs.de:8080/docportal/servlets/MCRFileNodeServlet/DocPortal_derivate_00031465/V-C-1177.pdf Zur Theorie der Ideale] », ''Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen'', 1894, {{p.|272-277}}.</ref>.

== Définitions ==
Une équation diophantienne est une équation dont les solutions recherchées sont en général entières et parfois [[nombre rationnel|rationnelles]]. Ici, ce sont les solutions entières qui sont étudiées. La définition de l'équation est la suivante :
* {{refnec|date=février 2015|Une '''équation de Pell-Fermat''' est une [[équation diophantienne]] de la forme suivante, où ''n'' est un entier strictement positif non carré et ''m'' un entier non nul quelconque :}}
<center><math>x^2-ny^2=m.</math></center>

Pour trouver toutes les solutions, si elles existent, il est nécessaire d'analyser le cas où ''m'' est [[inversible]] dans les entiers, c'est-à-dire égal à ±1. Ce cas est suffisamment important pour que parfois l'équation de Pell-Fermat ne désigne que le cas où ''m'' est égal à 1<ref>C'est la convention choisie par exemple dans le livre : M. Guinot, ''Arithmétique pour amateurs'', Lyon, Aléas, 1992 à 1997 {{ISBN|978-2-90801639-0}}.</ref>, ou ±1. Il est commode de travailler dans le [[corps commutatif]] des [[entier quadratique|nombres de la forme ''a'' + {{racine|''n''}}''b'']], où ''a'' et ''b'' désignent deux [[nombre rationnel|rationnels]]. Cette double raison est la motivation des deux définitions suivantes :

*Une '''racine''' {{refnec|date=juillet 2015|ou '''unité'''}} de l'équation  est un [[nombre réel]] ρ de la forme ''a'' + {{racine|''n''}}''b'', avec ''a'' et ''b'' deux entiers, tel que ρρ' soit égal à ±1, ici ρ' désigne le nombre ''a – {{racine|n}}b'', appelé conjugué de ρ.

Un intérêt de la définition précédente provient du fait que les coefficients de ρ vérifient l'égalité suivante, et réciproquement que tout couple d'entiers satisfaisant cette égalité définit une racine.
<center><math>a^2 - nb^2 = \pm 1.</math></center>

* Une racine ω est dite '''primitive''' ou '''unité fondamentale''' si pour toute racine ρ, il existe un [[entier relatif]] ''k'' tel que ρ soit égal à ω<sup>''k''</sup> ou à –ω<sup>''k''</sup>.

== Cas où ''m'' est égal à ±1 ==
Dans toute la suite de l'article, les lettres '''Z''', '''Q''' et '''R''' désignent respectivement les [[entier relatif|entiers relatifs]], les [[nombre rationnel|nombres rationnels]] et les [[nombre réel|nombres réels]].

Une première étude consiste à résoudre le cas où ''m'' est égal à ±1. Elle peut être vue soit comme une finalité, soit comme une étape nécessaire à la résolution complète de l'équation. Souvent le terme d'« équation de Pell-Fermat » ne désigne que ce cas particulier.

Il existe trois approches théoriques différentes dont deux proposent une méthode effective pour la résolution. La première méthode, au sens de l'histoire, est la plus efficace en termes [[algorithme|algorithmique]], c'est aussi plutôt la plus simple pour une approche théorique, elle porte le nom de [[méthode chakravala|chakravala]] donné par ses inventeurs indiens. La deuxième se fonde sur les [[fraction continue|fractions continues]]. Historiquement, elle est à la source de la première démonstration théorique connue de la structure des solutions. La troisième, issue de la [[théorie algébrique des nombres]] est la plus puissante, elle procède d'une démarche à même de résoudre intégralement l'équation.

=== Méthode chakravala ===
{{Article détaillé|Méthode chakravala}}
Cette méthode part initialement d'une utilisation judicieuse de la formule suivante, nommée [[identité de Brahmagupta]] :
<center><math>\forall a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb Z \quad (a_1^2 - nb_1^2)( a_2^2 - nb_2^2) = (a_1a_2 + nb_1b_2)^2 - n(a_1b_2 + b_1a_2)^2.</math></center>

Ainsi, si (''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>) et (''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub>) forment deux couples de solutions, l'identité précédente montre que (''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> + ''nb''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>, ''a''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> + ''b''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>) est encore une solution. Il est judicieux d'équiper l'ensemble '''Z'''{{2}} des couples d'entiers d'une [[loi de composition interne]] '''*''' :
<center><math>\forall (a_1, b_1) (a_2, b_2) \in\Z^2\quad (a_1, b_1)*(a_2, b_2) = (a_1a_2 + nb_1b_2, a_1b_2 + b_1a_2).</math></center>

L'ensemble '''Z'''{{2}} muni de cette loi interne est un [[monoïde]] [[commutatif]], c'est-à-dire que la loi est [[associative]] et possède un [[élément neutre]] — le couple (1, 0) — et qu'elle est commutative. D'après l'identité de Brahmagupta, le sous-ensemble ''G'' des solutions de l'équation pour ''m'' = ±1 est stable pour la loi * et chaque élément (''a'', ''b'') de ''G'' possède un [[élément symétrique|symétrique]] dans ''G'' : le couple (''a'', –''b'') ou (–''a'', ''b''), selon que ''a''{{2}} – ''nb''{{2}} est égal à 1 ou à –1. Ainsi, (''G'', *) forme un [[groupe abélien]].

L'étude de ce groupe permet la mise au point d'une méthode efficace de résolution pour les valeurs de ''m'' égales à ±1. Par exemple, si α est un élément de ''G'', solution pour la valeur ''m''&nbsp;=&nbsp;–1, α<sup>2</sup> est une solution pour la valeur ''m'' = 1. Celle du monoïde ('''Z'''{{2}}, *) permet de relier ces solutions à celles pour d'autres valeurs de ''m''. Par exemple si α est solution pour la valeur ''m'' = ± 2 alors α<sup>2</sup>/2 est une solution pour la valeur ''m'' = 1. Enfin, si α est solution pour la valeur ''m'' = ± 4 alors α<sup>3</sup>/8 est — moyennant certaines hypothèses pour que ses deux composantes soient entières — une solution pour la valeur {{nobr|1=''m'' = ± 1.}}

L'article détaillé propose une méthode exhaustive permettant de trouver une solution dans tous les cas, à partir des propriétés de la multiplication '''*'''. Il montre aussi comment cette méthode permet d'élucider la structure du groupe des solutions.

Une manière commode de voir ce groupe est d'identifier le couple (''a'', ''b'') avec le nombre réel ''a'' + {{racine|''n''}}''b''. Cet ensemble forme un [[anneau unitaire|anneau]], noté '''Z'''[{{sqrt|''n''}}]. Le [[groupe (mathématiques)|groupe]] ''G'' s'identifie au [[groupe des unités]] de '''Z'''[{{sqrt|''n''}}], c'est-à-dire au groupe des éléments inversibles de l'anneau. Pour cette raison, une solution de l'équation s'écrit souvent ''a'' + {{racine|''n''}}''b''. Une [[identité remarquable]] montre la relation :
<center><math>a^2-nb^2=(a+b\sqrt n)(a-b\sqrt n).</math></center>

=== Groupe des unités ===
{{Article détaillé|Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques|Théorème des unités de Dirichlet}}
[[Fichier:Entier_de_Dirichlet_Unite.jpg|thumb|Les solutions de l'équation de Pell-Fermat pour ''m'' = ±1 se trouvent toutes sur une des branches des deux [[Hyperbole (mathématiques)|hyperboles]].]]
Résoudre l'équation ''x''{{2}} – ''ny''{{2}} = ±1 revient finalement à expliciter les éléments du groupe des unités de l'anneau '''Z'''[{{sqrt|''n''}}]. Ce groupe ''G'' est isomorphe au [[produit direct (groupes)|produit direct]] du [[groupe cyclique]] à deux éléments '''Z'''/2'''Z''' et de '''Z'''. Il existe toujours un élément α du groupe [[Groupe cyclique|qui engendre toutes les autres]], ce qui justifie la définition d''''unité fondamentale''', c'est-à-dire un élément α de ''G'' tel que :
<center><math>\forall \beta \in G \quad \exists e \in \{0, 1\},\; \exists k \in \mathbb Z \quad \text{tels que}\quad \beta = (-1)^e\alpha^k.</math></center>

L'existence d'une unité fondamentale pour toute valeur de ''n'' positif et non carré est démontrée dans l'article détaillé. On parle parfois aussi de racine primitive.

{{énoncé|1=Soient α une unité fondamentale et ''a'' et ''b'' les deux entiers tels que : α = ''a'' + {{racine|''n''}}''b''. Le groupe ''G'' contient exactement quatre unités fondamentales : {{nobr|''a'' + {{racine|''n''}}''b''}}, ''a'' – {{racine|''n''}}''b'', –''a'' + {{racine|''n''}}''b'' et –''a'' – {{racine|''n''}}''b''.}}

Cette propriété est une conséquence directe du théorème de structure énoncé en début de paragraphe. La figure de droite illustre le cas où ''n'' est égal à 5. L'anneau '''Z'''[{{sqrt|5}}] est un [[sous-anneau]] de l'[[Anneau des entiers de Q(√5)|anneau des entiers de '''Q'''({{racine|5}})]]. Les différents éléments de ''G'' se trouvent sur quatre branches d'[[Hyperbole (mathématiques)|hyperboles]]. Il existe deux droites asymptotes, d'équation ''x'' = ± {{racine|''n''}}''y''.

=== Fraction continue ===
{{Article détaillé|Fraction continue d'un irrationnel quadratique}}

Une solution de l'équation de Pell-Fermat est une ''bonne'' approximation fractionnaire de la racine carrée. Dans le cas général, une fraction de type ''p''/''q'' approxime un irrationnel avec une précision de {{Pas clair|date=juin 2018|1/''q'' ou 1/(2''q'')}}. Une solution de l'équation de Pell-Fermat est plus précise. En effet, si (''a'', ''b'') est une solution :
<center><math>\left| a^2 - nb^2 \right| = 1 \quad \text{et}\quad \left|\frac ab - \sqrt n\right|\left|\frac ab+ \sqrt n\right| = \frac 1{b^2}.</math></center>
Comme {{sqrt|''n''}} > 1 et ''a''/''b'' ≥ 1, on obtient l'approximation suivante :
<center><math> \left|\frac ab - \sqrt n\right|< \frac 1{2b^2}</math>.</center>

On en déduit que ''a'' et ''b'' sont le numérateur et le dénominateur d'une réduite de la fraction continue de {{sqrt|''n''}}, c'est-à-dire que (pour un certain entier {{math|''k''}}) :
<center><math>\frac ab =[f_0,f_1,f_2,\dots,f_k],\quad\text{avec}\quad\sqrt n=[f_0, f_1,f_2,\dots,f_k,\dots].</math></center>

Le développement en fraction continue de la racine carrée d’un entier non carré est périodique à partir du rang 1, c'est-à-dire qu'il est de la forme
<center><math>\sqrt n = [f_0, f_1, f_2, \cdots, f_{p-1}, f_p,f_1, f_2, \cdots, f_{p-1}, f_p, f_1, \cdots]= [f_0, \overline {f_1, f_2, \cdots, f_p}]</math>.</center>

La première réduite solution de l'équation de Pell est celle d'indice ''p'' – 1. Par exemple, si ''n'' est égal à 29, on trouve ''f''<sub>0</sub> = 5, ce qui correspond à la partie entière de la racine carrée, puis la période {{nobr|(2, 1, 1, 2, 10).}} La solution correspond à la fraction continue
<center><math>[5,2,1,1,2]=\frac{70}{13}\quad{\rm et}\quad70^2-29\cdot 13^2=4900-4901=-1</math>.</center>

Cette approche permet de démontrer simplement l'existence d'une [[#Groupe des unités|unité fondamentale]].

===Équation de Pell et entier algébrique===
{{Article détaillé|Entier algébrique}}

Si (''a'', ''b'') satisfait une équation de Pell du type ''x''<sup>2</sup> – ''ny''<sup>2</sup> = ±1, alors ''a'' + {{racine|''n''}}''b'' est un élément du [[#Groupe des unités|groupe des unités]] de l'[[entier algébrique|anneau des entiers]] de l'[[extension quadratique]] '''Q'''({{racine|''n''}}), puisque {{nobr|1=(''a'' + {{racine|''n''}}''b'')(''a'' – {{racine|''n''}}''b'') = ±1}}. Le groupe des unités ainsi que l'équation de Pell est étudié dans le cas ''n'' = 5 dans l'article « [[Anneau des entiers de Q(√5)|Anneau des entiers de '''Q'''({{sqrt|5}})]] ». Cette analyse montre la relation entre les équations de Pell et la [[théorie algébrique des nombres]].

===Cas ''m'' = 1===
Si <math>\sqrt n = [a_0, \overline{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{p-1},a_p}]</math>, alors l'équation de Pell ''x''{{2}} – ''ny''{{2}} = 1 admet, suivant la [[Nombres pairs et impairs|parité]] de ''p'', la solution « minimale » <math>(x_1,y_1)</math> suivante :
*quand ''p'' est pair, le couple <math>(x_1,y_1)=(h_{p-1},k_{p-1})</math> où <math>\frac{h_{p-1}}{k_{p-1}}</math> est la réduite de rang ''p'' – 1 de {{racine|''n''}}
*quand ''p'' est impair, le couple <math>(x_1,y_1)=(h_{2p-1},k_{2p-1})\,</math> où <math>\frac{h_{2p-1}}{k_{2p-1}}</math> est la réduite de rang 2''p'' – 1 de {{racine|''n''}}

La réduite de rang ''r'' de {{racine|''n''}} étant la [[fraction irréductible]] <math>\frac{h_r}{k_r}=[a_0,a_1,\ldots,a_r].</math>

Les autres solutions <math>(x_k,y_k)</math> avec ''k'' ≥ 1 sont obtenues en identifiant <math>x_k+y_k\sqrt n</math> au développement de <math>(x_1+y_1\sqrt n)^k.</math>

En particulier, <math>(x_2,y_2)=(x_1^2+ny_1^2,\ 2x_1y_1)\,</math>, <math>(x_3,y_3)=(x_1^3+3nx_1y_1^2,\ 3x_1^{2}y_1+ny_1^3)\,</math>, etc.

La [[Suite définie par récurrence|formule de récurrence]] étant : <math>(x_{k+1},y_{k+1})=(x_kx_1+ny_ky_1,\ x_ky_1+y_kx_1).</math>

{{Démonstration/début|titre=Exemples : ''n'' = 28, 19, 17 et 29}}
*''n'' = 28 :<br />Le développement en [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique|fraction continue périodique]] de {{racine|28}} est [5, {{surligner|3, 2, 3, 10}}] (''p'' = 4 est pair).<br />La réduite de rang ''p'' – 1 = 3 de {{sqrt|28}} est [5, 3, 2, 3] = 127/24. La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(127,24).</math><br />Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(32\,257,6\,096),(x_3,y_3)=(8\,193\,151,1\,548\,360),</math> etc.
*''n'' = 19 :<br />Le développement en fraction continue périodique de {{racine|19}} est [4, {{surligner|2, 1, 3, 1, 2, 8}}] (''p'' = 6 est pair).<br />La réduite de rang ''p'' - 1 = 5 de {{racine|19}} est [4, 2, 1, 3, 1, 2] = 170/39. La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(170,39).</math><br />Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(57\,799,13\,260), (x_3,y_3)=(19\,651\,490,4\,508\,361),</math> etc.
*''n'' = 17 :<br />Le développement en fraction continue périodique de {{racine|17}} est [4, {{surligner|8}}] (''p'' = 1 est impair).<br />La réduite de rang 2''p'' – 1 = 1 de {{racine|17}} est [4, 8] = 33/8. La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(33,8).</math><br />Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(2\,177,528),(x_3,y_3)=(143\,649,34\,840),</math> etc.
*''n'' = 29 :<br />Le développement en fraction continue périodique de {{racine|29}} est [5, {{surligner|2, 1, 1, 2, 10}}] (''p'' = 5 est impair).<br />La réduite de rang 2''p'' – 1 = 9 de {{racine|29}} est [5, 2, 1, 1, 2, 10, 2, 1, 1, 2] = 9801/1820. La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(9\,801,1\,820).</math><br />Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(192\,119\,201,35\,675\,640),(x_3,y_3)=(3\,765\,920\,568\,201,699\,313\,893\,460),</math> etc.
{{Démonstration/fin}}

===Cas ''m'' = –1===
Il existe des solutions si et seulement si l'[[#Groupe des unités|unité fondamentale]] α = ''a'' + {{racine|''n''}}''b'' en fournit une, c'est-à-dire si ''a''{{2}} – ''nb''{{2}} = –1, et les autres sont alors les couples fournis par les puissances impaires de α — les <math>(x_k,y_k)</math> vérifiant <math>x_k+y_k\sqrt{n} = (a+b\sqrt n)^k</math> avec ''k'' [[entier relatif]] impair — et leurs opposés.

{{Démonstration/début|titre=Exemple : ''n'' = 2, 5}}L'unité fondamentale de '''Z'''[{{sqrt|2}}] est ±1 ± {{sqrt|2}}. Le couple (1, 1) est solution de ''x''{{2}} – 2''y''{{2}} = –1. Les développements{{retrait|<math>(1+\sqrt2)^3=7+5\sqrt2,\quad(1+\sqrt2)^5=41+29\sqrt2,\quad(1+\sqrt2)^7=239+169\sqrt2</math>}}fournissent les solutions (7, 5), (41, 29) et (239, 169).

L'unité fondamentale de '''Z'''[{{sqrt|5}}] est ±2 ± {{sqrt|5}}. Le couple (2, 1) est solution de ''x''{{2}} – 5''y''{{2}} = –1. Les développements{{retrait|<math>(2+\sqrt5)^3=38+17\sqrt5,\quad (2+\sqrt5)^5=682+305\sqrt5,\quad(2+\sqrt5)^7=12\,238+5\,473\sqrt5</math>}}fournissent les solutions (38, 17), (682, 305) et (12 238, 5 473).{{Démonstration/fin}}

Si {{math|''n''}} est [[Congruence sur les entiers|congru à 1 mod 4]], l'[[Entier quadratique#Entier quadratique|anneau des entiers de '''Q'''({{sqrt|''n''}})]] est égal à ℤ[(1 + {{racine|''n''}})/2] donc contient strictement ℤ[{{racine|''n''}}]. Mais même en élargissant à ce domaine la recherche d'éléments de [[Entier quadratique#Conjugué et norme|norme]] –1, [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Groupe des unités|il n'en existe que si le développement de {{racine|''n''}} en fraction continue est de période impaire]] (ce qui n'est pas le cas, par exemple, pour {{sqrt|21}} = [4, {{surligner|1, 1, 2, 1, 1, 8}}] : l'unité fondamentale (5 + {{racine|21}})/2 de ℤ[(1 + {{racine|21}})/2] est de norme +1).

==Notes et références==
{{Références|colonnes=2}}

==Voir aussi==

===Bibliographie===
* Serge Coquerand: ''L’équation de Pell-Fermat x2−dy2=1 revisitée - Le problème des bœufs d’Hélios''. Publibook, 2015.
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[David A. Cox]]|titre=Primes of the Form {{math|x{{2}} + ny{{2}}}}|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année première édition=1989|année=2011|isbn=978-1-11803100-1|url=https://books.google.fr/books?id=tlTZC-k-l2EC}}
* Roger Descombes, ''Éléments de théorie des nombres'', [[PUF]], 1986
*{{Article|auteur=Alexandre Junod|lang=en|titre=An algorithm to solve a Pell equation|url=http://www.emis.de/journals/GMN/yahoo_site_admin/assets/docs/1_GMN-8492-V28N2.190180001.pdf|revue=General Mathematics Notes|vol=28|issue=2|year=2015|p.=1-8}}
* {{Article|lang=en|url=http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf|titre=Solving the Pell Equation|auteur=[[Hendrik Lenstra]]|revue=[[Notices of the American Mathematical Society|Notices Amer. Math. Soc.]]|vol=49|issue=2|year=2002|p.=182-192}}
* {{Samuel1}}
* Jean Trignan, ''Introduction aux problèmes d'approximation : fractions continues, différences finies'', Éditions du Choix, 1994 {{ISBN|978-2-90902816-3}}

=== Lien externe===
[http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/fraccont.pdf Développement d’un réel en fractions continues] par M. Couchouron de l'[[université de Rennes I]]

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Équation diophantienne|Pell-Fermat]]
[[Catégorie:Entier quadratique]]
[[Catégorie:Fraction continue]]