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L’'''équation fonctionnelle de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]''' est l'une des [[équation fonctionnelle|équations fonctionnelles]] les plus simples. C'est l'équation suivante, d'inconnue {{math|''f''}} : [[Nombre réel|ℝ]]→ℝ :<center><math>\forall x,y\in\R\quad f(x+y)=f(x)+f(y).</math></center>

En d'autres termes, les solutions de cette équation sont exactement les [[morphisme de groupes|endomorphismes]] du [[Groupe (mathématiques)|groupe]] (ℝ, +).

On montre aisément que toute solution {{math|''f''}} est même [[nombre rationnel|ℚ]]-[[Application linéaire|linéaire]], c'est-à-dire vérifie de plus :<center><math>\forall r\in\Q\quad\forall v\in\R\quad f(rv)=rf(v).</math></center>
Mais il existe une infinité de solutions non ℝ-linéaires. Pour qu'une solution soit ℝ-linéaire, donc soit une [[homothétie]] de la [[droite vectorielle]] réelle, il suffit qu'elle soit [[continue]] en un point ou [[Fonction monotone|monotone]] sur un intervalle de longueur non nulle. Il suffit pour cela qu'elle soit [[majoré]]e ou minorée sur un intervalle de longueur non nulle, ou même seulement sur un ensemble [[Tribu de Lebesgue|Lebesgue-mesurable]] de [[mesure de Lebesgue]] non nulle<ref name=AczelDhombres>{{ouvrage|id=Aczél et Dhombres 1989|lang=en|titre=Functional Equations in Several Variables|numéro dans collection=31|collection=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|nom1={{Lien|lang=de|János Aczél|texte=J. Aczél}}|prénom2=J.|nom2=Dhombres|lien auteur2=Jean Dhombres|éditeur=CUP|lien éditeur=Cambridge University Press|année=1989|isbn=978-0-52135276-5|url={{Google Livres|8EWnEh18rVgC|page=17}}|page=17}}.</ref>.

== Preuve de la ℚ-linéarité ==

Soit {{math|''f''}} une solution.
* Alors, {{math|''f''}} est un endomorphisme de [[groupe abélien]] c'est-à-dire de [[Entier relatif|ℤ]]-[[Module sur un anneau|module]], donc<center><math>\forall n\in\Z\quad\forall v\in\R\quad f(nv)=nf(v).</math></center>
* On en déduit que {{math|''f''}} est ℚ-linéaire, c'est-à-dire vérifie (en plus de l'additivité) :<center><math>\forall r\in\Q\quad\forall v\in\R\quad f(rv)=rf(v).</math></center>En effet, tout rationnel {{math|''r''}} est de la forme {{math|''{{frac|p|q}}''}} avec {{math|''p''}} et {{math|''q''}} entiers et {{math|''q''}} non nul, ce qui permet d'écrire : {{math|1=''q f''(''rv'') = ''f''(''qrv'') = ''f''(''pv'') = ''p f''(''v'')}}, donc {{math|1=''f''(''rv'') = ''{{sfrac|p|q}} f''(''v'') = ''r f''(''v'')}}.

== Conditions suffisantes de ℝ-linéarité ==
* Une solution {{math|''f''}} est ℝ-linéaire si elle vérifie :<center><math>\forall x\in\R\quad\forall v\in\R\quad f(xv)=xf(v).</math></center>Les solutions ℝ-linéaires sont donc les homothéties, c'est-à-dire les applications de la forme {{math|''x'' ↦ ''ax''}} (avec, nécessairement, {{math|1=''a = f''(1)}}).
* Toute solution {{math|''f''}} qui n'est pas de cette forme est loin d'être monotone, car elle est [[cas pathologique|pathologique]] à plus d'un titre :
** son [[Graphe d'une fonction|graphe]] est [[Partie dense|dense]]<ref>{{harvsp|Aczél et Dhombres 1989|p=14}}.</ref>{{,}}<ref name=Jakobsen>{{lien web|lang=en|auteur=Sune Kristian Jakobsen|titre=Cauchy's functional equation|date=
21/12/2010|url=http://sunejakobsen.files.wordpress.com/2010/12/cauchy_eng4.pdf}}.</ref> (dans ℝ{{2}}), si bien que sur tout intervalle ouvert non vide, {{math|''f''}} n'est pas majorée (ni minorée) ; ''a fortiori'', {{math|''f''}} est discontinue en tout point ;
** tout [[borélien]] d'[[Image directe|image]] (par {{math|''f''}}) non dense<ref name=Jakobsen/> (en particulier : tout borélien sur lequel {{math|''f''}} est majorée ou minorée<ref name=AczelDhombres/>) est [[Ensemble négligeable#Ensembles négligeables pour la mesure de Lebesgue|négligeable]] ; il en résulte que {{math|{{!}}''f''{{!}}}} n'est majorée par aucune [[fonction mesurable]] ; ''a fortiori'', {{math|''f''}} n'est pas mesurable ;
** si {{math|''f''}} n'est pas injective alors son noyau est dense donc {{math|''f''}} est « [[Fonction de Darboux|fortement Darboux]] », c'est-à-dire que l'image de tout intervalle contenant au moins deux points est ℝ<ref>{{Ouvrage|prénom=Dany-Jack|nom1=Mercier|titre=Lectures sur les Mathématiques, l'Enseignement et les Concours|volume=2|éditeur=Publibook|année=2010|url={{Google Livres|cU8A_Z3ezOUC|page=46}}|passage=46-47}}.</ref>.
* Par [[contraposée]], toute solution « suffisamment régulière », i.e. ne possédant pas l'une de ces pathologies, est une homothétie. Par exemple si une solution est majorée sur un borélien non négligeable (en particulier si elle est continue en un point), ou même seulement si son graphe n'est pas dense, alors c'est une homothétie.
{{Démonstration|titre=Démonstrations|*Soit {{math|''f''}} une solution qui n'est pas une homothétie. Il existe deux réels non nuls {{math|''u''}} et {{math|''v''}} tels que {{math|{{frac|''f''(''u'')|''u''}} ≠ {{frac|''f''(''v'')|''v''}}}}, donc tels que les deux vecteurs {{math|1=''U'' = (''u'', ''f''(''u''))}} et {{math|1=''V'' = (''v'', ''f''(''v''))}} soient non [[colinéaire]]s. Le graphe de {{math|''f''}} est alors dense dans ℝ{{2}} puisque (par ℚ-linéarité de {{math|''f''}}) il contient {{math|ℚ''U''⊕ℚ''V''}}.
*Soit {{math|''f''}} une solution majorée par {{math|''M''}} sur un borélien {{math|''A''}} non négligeable. Alors elle est majorée par {{math|2''M''}} sur {{math|''A+A''}} qui, d'après une [[Théorème de Steinhaus#Généralisations|généralisation du théorème de Steinhaus]], est d'[[Intérieur (topologie)|intérieur]] non vide. Le graphe de {{math|''f''}} n'est donc pas dense, si bien que d'après le point précédent, {{math|''f''}} est une homothétie.}}

== Existence de solutions non ℝ-linéaires ==
Les solutions sont exactement les applications ℚ-linéaires de ℝ dans ℝ. Étant donnée une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de [[Georg Hamel|Hamel]] ''B'' du ℚ-[[espace vectoriel]] ℝ (base dont l'existence repose sur l'[[axiome du choix]]), l'application qui à toute fonction de ℝ dans ℝ associe sa restriction à ''B'' est donc une bijection de l'ensemble des solutions dans l'ensemble des applications de ''B'' dans ℝ.

== Importance de l'équation ==

De nombreuses équations fonctionnelles se ramènent à celle de Cauchy. Par exemple soit l'équation, d'inconnue {{math|''g''}} : ℝ→ℝ :
<center><math>\forall x,y \in \R\quad g(x+y)=g(x)g(y).</math></center>
La [[fonction nulle]] est une solution évidente. Toutes les autres sont strictement positives et vérifient :
<center><math>\forall x,y \in \R\quad\ln(g(x+y))=\ln(g(x)g(y))=\ln(g(x))+\ln(g(y)).</math></center>
Ce sont donc les fonctions {{math|1=''g'' = e {{exp|''f''}}}} telles que {{math|''f''}} vérifie l'équation fonctionnelle de Cauchy, et celles qui sont continues sont [[Exponentielle de base a|les fonctions exponentielles]].

== Notes et références ==
{{reflist}}

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Equation fonctionnelle de Cauchy}}
[[Catégorie:Analyse fonctionnelle]]
[[Catégorie:Équation|Fonctionnelle de Cauchy]]