Voir la source de Évaporation des trous noirs

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{{sources|date=mars 2016}}
{{Article général|Trou noir}}

[[Fichier:BlackHole.jpg|thumb|Vue d'artiste d'un trou noir.]]

L''''évaporation des trous noirs''', dite '''évaporation de Hawking'''{{sfn|Barrau|Grain|2016|p=180}}{{,}}{{sfn|Luminet|2011|p=81}}{{,}}{{sfn|Penrose|2007|p=80 ({{fig.}}30.14)}}{{,}}{{note|texte=La graphie ''évaporation d'Hawking'' est également attestée{{sfn|Barrow|2005|p=73}}.|groupe=N}}{{,}}{{note|L'''évaporation de Hawking'', objet du présent article, est la troisième étape de l'évaporation d'un trou noir. La relativité générale prédit deux étapes antérieures : l'évaporation par ''calvitie'' puis celle par ''arrêt de rotation'' (respectivement, ''{{langue|en|texte=balding}}'' et ''{{langue|en|texte=spin-down}}'' en anglais). La gravitation quantique laisse présager une quatrième étape : l'évaporation ''de Planck'' (''{{langue|en|texte=Planckian}}'', en anglais){{sfn|Landsberg|2011|p=31}}.|groupe=N}}, est le phénomène selon lequel un observateur regardant un [[trou noir]] peut détecter un infime [[rayonnement de corps noir]], appelé rayonnement de Hawking (ou parfois rayonnement de [[Jacob Bekenstein|Bekenstein]]-Hawking), émanant de la zone proche de son horizon des évènements. Il a été prédit par [[Stephen Hawking]] en [[1975 en science|1975]]<ref>{{en}} [[Stephen Hawking|S. W. Hawking]], '' Particle Creation by Black Holes'', ''{{Lien|fr=Communications in Mathematical Physics|lang=en|trad=Communications in Mathematical Physics|texte=Communications in Mathematical Physics}}'', '''43''', 199-220 (1975) ; Erratum ''ibid.'', '''46''', 206 (1976) [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.cmp/1103899181 Voir en ligne].</ref>, et est considéré comme l'une de ses plus importantes réalisations.

La découverte théorique de ce phénomène a fortifié une branche de l'étude des trous noirs appelée [[thermodynamique des trous noirs]], développée peu avant la découverte de Hawking, et qui suggérait qu'il devait être possible d'associer une température à un trou noir. Cependant, au niveau classique, il était démontré qu'un trou noir ne pouvait émettre de rayonnement (c'est même, en quelque sorte, la définition d'un trou noir). Ce paradoxe a été résolu par Stephen Hawking, qui a démontré que des effets d'origine [[mécanique quantique|quantique]] pourraient être à l'origine d'un tel phénomène.

Le rayonnement de Hawking s'avère théoriquement extraordinairement faible pour les trous noirs issus de l'[[évolution stellaire]] et encore plus faible pour les autres trous noirs indirectement détectés dans l'univers ([[trou noir intermédiaire|trous noirs intermédiaires]] et [[trou noir supermassif|trous noirs supermassifs]]), aussi sa mise en évidence est impossible à l'heure actuelle. Elle pourrait être rendue possible par l'existence de [[micro trou noir|trous noirs de petite taille]] (microscopique). De tels objets pourraient avoir été produits lors du [[Big Bang]] (on parle de [[trou noir primordial|trous noirs primordiaux]]), voire être produits dans des [[accélérateur de particules|accélérateurs de particules]] dans le cadre de certaines théories au-delà du [[Modèle standard (physique des particules)|modèle standard]] de la [[physique des particules]]<ref>Voir par exemple {{en}} [[Panagiota Kanti]], ''Black Holes in Theories with Large Extra Dimensions: a Review'', ''{{lien|lang=en|trad=International Journal of Modern Physics|fr=International Journal of Modern Physics|texte=International Journal of Modern Physics}}'', '''A19''', 4899-4951 (2004), hep-ph/0402168 [https://arxiv.org/abs/hep-ph/0402168 Voir en ligne] ; ou {{en}} Aurélien Barrau & J. Grain, ''Gauss-Bonnet Black Holes at the LHC : Beyond the Dimensionality of Space'', ''[[Physics Letters B]]'', '''584''', 114 (2004), hep-ph/0311238 [https://arxiv.org/abs/hep-ph/0311238 Voir en ligne].</ref>.

Il existe un analogue cinématique au phénomène de rayonnement de Hawking : l'[[effet Unruh]], du nom de [[William Unruh]] qui l'a prédit en [[1976 en science|1976]]. Celui-ci affirme qu'un observateur qui regarderait un [[miroir]] animé d'un mouvement [[accélération|accéléré]] aurait l'impression que celui-ci émet un [[rayonnement thermique]] dont la température est proportionnelle à l'accélération du miroir. Dans un contexte un peu différent, l'effet Schwinger, du nom de [[Julian Schwinger]], qui décrit la création de particules chargées dans un [[champ électrique]], peut être vu comme un analogue [[électrostatique]] du rayonnement de Hawking.

Divers processus issus de la [[Mécanique newtonienne|mécanique classique]] sont à ne pas confondre avec l'effet Hawking, notamment ceux permettant d'extraire de l'énergie d'un trou noir : le [[processus de Penrose]], ou son analogue ondulatoire, la [[superradiance]]{{note|Il est en effet possible d'extraire de l'énergie d'un trou noir : la masse d'un trou noir, que l'on mesure par son champ gravitationnel à grande distance est composée pour partie de diverses formes d'énergie, comme de l'énergie électrostatique, qui peuvent être récupérées, par exemple en diminuant la charge électrique d'un trou noir en lui injectant des particules de charge opposée et de masse négligeable. L'autre partie de la masse, appelée [[masse irréductible]], ne peut, elle, être extraite du trou noir. Pour tout trou noir, la masse est toujours supérieure ou égale à la masse irréductible, et leur différence peut être récupérée par divers processus comme ceux précités.|groupe=N}}. De même, les phénomènes d'éjection de matière par l'intermédiaire de [[jet (astrophysique)|jets]] issus d'un [[disque d'accrétion]] entourant le trou noir n'ont strictement rien à voir avec le phénomène d'évaporation des trous noirs.

Les diagrammes de [[Roger Penrose|Penrose]] sont des sortes de diagrammes d'[[espace-temps]] arrangés pour rendre claire la structure causale complète de n'importe quelle [[géométrie]] donnée. Ils sont des cartes indispensables pour naviguer dans un [[trou noir]]<ref>https://jila.colorado.edu/~ajsh/insidebh/penrose.html</ref>. [[Roger Penrose]], qui a inventé ce type de diagramme au début des années 1950, lui-même les appelle des diagrammes conformes<ref>[[Diagramme de Penrose-Carter]]</ref>.

Dans un diagramme de [[Roger Penrose|Penrose]] pour l'évaporation semi-classique d'un [[trou noir]], nous pouvons voir le [[trou noir]] d'évaporation décrit en bleu<ref name="PhysRevLett116" />. Les flèches rouges indiquent la [[matière]] classique qui s'effondre et les flèches orangées sortantes représentent le [[Rayonnement Hawking|Rayonnement de Hawking]]<ref name="PhysRevLett116" />. La ligne pointillée horizontale divise l'[[espace-temps]] en deux régions longtemps après la formation du [[trou noir]] classique est complète et longtemps avant le début de l'[[évaporation de Hawking]]<ref name="PhysRevLett116" />.

== Rayonnement de Hawking ==
La [[théorie quantique des champs]] (c'est-à-dire les lois de la [[mécanique quantique]] appliquée dans le cadre de la [[relativité restreinte]]) explique l'existence des [[Vide quantique|fluctuations du vide]] : des paires [[Particule élémentaire|particule]]-[[antiparticule]] sont en permanence générées ''par'' le vide. Des effets de ces fluctuations du vide peuvent être mis en évidence par divers phénomènes, comme l'[[effet Casimir]] en [[physique des particules]], ou le [[déplacement de Lamb]] dans le spectre des niveaux d'énergie d'un [[électron]] dans un [[atome]] d'[[hydrogène]].

De façon générale, ces paires de particules-antiparticules s'annihilent aussitôt, sauf si un phénomène physique permet de les séparer les unes des autres en un temps inférieur à la durée de vie typique de la paire. Dans le cas de l'effet Hawking, à l'[[horizon (trou noir)|horizon d'un trou noir]], les [[Force de marée|forces de marée]] générées par le [[champ gravitationnel]] du trou noir peuvent éloigner la particule de son antiparticule, ''avant'' qu'elles ne s'annihilent. L'une est absorbée par le [[trou noir]], tandis que l'autre (la particule ''émise'') s'en éloigne dans un sens opposé. De façon heuristique, l'[[énergie]] de la paire particule anti-particule, mesurée par un observateur situé loin du trou noir est négative, du fait que les deux particules sont piégées dans le [[puits de potentiel]] du trou noir. De façon schématique, il est possible que la répartition d'énergie au sein de la paire particule anti-particule donne à l'une des deux une énergie qui serait considérée comme positive par un observateur distant, c'est-à-dire lui permettant de s'échapper de son champ gravitationnel. Dans un tel cas, l'absorption de l'autre particule peut être vue comme l'absorption d'une particule d'énergie négative, produisant une diminution de sa masse.

L'évaporation est proportionnelle à la force de marée générée par le trou noir. La force de marée est d'autant plus grande que le trou noir est petit, et donc léger. L'évaporation ayant pour effet de diminuer la masse et la taille du trou noir, le processus est divergent et l'évaporation - très lente au début - s'accélère de plus en plus. L'énergie des particules émises augmente avec la température du trou noir. En dessous d'une température limite, l'émission ne se fait qu'avec des particules de masse nulle comme les photons ou les [[graviton]]s et éventuellement les [[neutrino]]s. Au-dessus, l'émission de tous types de particules est possible, quoique ce régime ne concerne que la toute fin de l'évolution des trous noirs. Pendant la plus grande partie de leur existence, ceux-ci rayonnent des particules sans masse (voir ci-dessous).
<!--== Interprétation ''heuristique'' du rayonnement de Hawking ==

La théorie quantique dit que les particules viennent d'un espace « vide » situé juste à l'extérieur du trou noir et non à l'intérieur de celui-ci. Cela implique que l'espace « vide » ne serait pas si vide que cela car, s'il l'était, tous les champs — à savoir électromagnétique ou gravitationnel — seraient nuls. Cependant, d'après le [[principe d'incertitude]] de [[Werner Heisenberg|Heisenberg]], on ne peut pas connaître précisément la valeur et le taux de variation dans le temps d'un champ (plus on en sait sur l'un, moins on en sait sur l'autre.) Alors il devrait y avoir une fluctuation quantique (quantité minimale d'incertitude) dans la valeur de ce champ. On peut assimiler ces variations à des paires de particules (de lumière et de gravité) qui peuvent s'annihiler. Ces particules sont dites ''virtuelles''. Toujours d'après le principe d'incertitude, dans ce « vide » pourraient aussi exister des paires de particules/antiparticules virtuelles de matière ([[électron]]s, [[quark]]s) qui s'annihileraient aussi.

On dit aussi que cet espace « vide » est un état d'énergie minimum. Or l'énergie doit être produite par quelque chose. Comme la paire particule/antiparticule doit s'annuler, elles doivent avoir des énergies de signes contraires. Une particule qui aura perdu son partenaire (tombé dans le trou noir et devenu particule réelle ou antiparticule) pourra soit tomber dans le trou noir, soit fuir le trou noir si elle a une énergie positive, auquel cas, pour un observateur extérieur au trou noir, une particule aura été émise par celui-ci.

Le taux d'émission et la température apparente d'un trou noir seront d'autant plus intenses que la distance nécessaire, pour qu'une particule virtuelle d'énergie négative devienne positive, sera courte. La radiation produite, qui a une énergie positive, sera compensée à l'intérieur d'un trou noir par un courant de particule d'énergie négative. Or d'après [[Albert Einstein|Einstein]], l'énergie est proportionnelle à la masse (relation <math>\Epsilon = m c^2</math>). Donc il y a bien perte de masse.

== Interprétation simplifiée mais plus ''exacte'' ==
Elle se base sur la mise en œuvre d'un système de coordonnées particulier, les coordonnées de Rindler, qui décrivent un observateur en accélération constante dans un [[espace-temps]] plat. Ces coordonnées représentent, au premier ordre, l'espace-temps existant au voisinage de l'[[horizon (trou noir)|horizon]].

Si l'on effectue une évaluation des états quantiques du champ de vide (grâce au formalisme des espaces fonctionnels de ''Fock'') pour les exprimer dans la [[Métrique (mathématiques)|métrique]] de Rindler, l'on s'aperçoit que ceux-ci diffèrent selon que l'on se déplace dans la direction de l'accélération ou dans la direction opposée. Contrairement à ce qui se passe dans l'[[espace de Minkowski]], où les champs correspondant à des fréquences positives et négatives sont isotropes et donc leurs intégrales se compensent, dans le cas de la métrique de Rissner, il apparaît un décalage, un excès de fréquence positive dans la direction opposée à celle de l'accélération. Ce phénomène est appelé ''[[effet Unruh|rayonnement de Unruh]]'', du nom du physicien qui l'a pour la première fois mis en évidence en 1976.

Dans le cas d'un trou noir, le résultat net, pour un observateur situé à l'infini, représente un courant de particules émanant de la région accélérée (il y a réciprocité du phénomène en vertu du [[principe d'équivalence|principe de Relativité]]). Le [[trou noir]] rayonne donc, selon une loi semblable à celle d'un [[corps noir]]. Inversement, vers le trou noir, il existe un courant préférentiel de fréquence, donc d'énergie, négative, qui correspond à une perte de masse.

Comme ce décalage du vide est proportionnel à l'intensité de l'accélération sur l'horizon, et que cette dernière est à son tour inversement proportionnelle à la masse du trou noir, il en résulte que plus un trou noir est massif, moins il rayonne, et vice-versa. Le phénomène d'évaporation est donc cumulatif.
À REFAIRE -->

== Formules et ordres de grandeur ==
Un calcul célèbre ayant donné naissance à ce que l'on appelle la [[thermodynamique des trous noirs]] permet de montrer que l'on peut exprimer la [[masse]] <math>M</math> d'un trou noir en fonction de sa taille (en fait la [[surface]] <math>A</math> de son [[horizon (trou noir)|horizon]]), et des autres paramètres macroscopiques le caractérisant, à savoir, pour un trou noir de type astrophysique, sa [[charge électrique]] <math>Q</math> et son [[moment cinétique]] <math>L</math>. Il existe donc une fonction de la forme :
:<math>M = M (A, Q, L)</math>.
La quantité <math>\partial M / \partial A</math> peut s'écrire sous la forme :
:<math>\frac{\partial M}{\partial A} = \frac{1}{8 \pi} \frac{1}{G} \kappa</math>,
où :
* <math>G</math> est la [[constante de Newton]] ;
* <math>\kappa</math> est une quantité appelée [[gravité de surface]] du trou noir, et qui détermine à quelle vitesse le [[champ gravitationnel]] d'un trou noir diverge à mesure que l'on s'approche de l'horizon.
Les calculs de Hawking sur l'évaporation des trous noirs indiquent que la [[température]] <math>T</math> qui peut leur être associée est donnée par :
{{Bloc emphase|<math>T=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}} \frac{\hbar \kappa}{2 \pi c}</math>}}
où :
* <math>k_{\mathrm{B}}</math> est la [[constante de Boltzmann]] ;
* <math>c</math> est la constante de la [[vitesse de la lumière]] dans le [[Vide (physique)|vide]] ;
* <math>\hbar</math> est la [[constante de Planck réduite]] dite ''constante de Dirac''.

Cette température est également appelée [[température de Hawking]]. Ceci justifie ''a priori'' l'ensemble des calculs sur la thermodynamique des trous noirs : en effet, la différentielle de la masse en fonction de l'aire des autres quantités s'identifie à la formule du [[premier principe de la thermodynamique]], 
:<math>{\rm d} U = T {\rm d} S + ...</math>,
où l'[[énergie interne]] ''U'' est remplacée dans le cas des trous noirs par leur masse (représentant leur énergie totale), et l'[[entropie des trous noirs|entropie]] ''S'' est, d'après les calculs de la thermodynamique des trous noirs, proportionnelle à la surface ''A'' de leur horizon. Pour rendre l'ensemble de la thermodynamique des trous noirs cohérente, il fallait démontrer que les trous noirs pouvaient posséder une température proportionnelle à la gravité de surface, ce qui a été réalisé par Hawking.

=== Cas d'un trou noir de Schwarzschild ===
Dans le cas d'un [[trou noir de Schwarzschild]], on a une relation simple entre la masse et la surface du trou noir : le [[rayon de Schwarzschild]] ''R'' s'écrit
:<math>R = \frac{2 G M}{c^2}</math>, 
et sa surface (<math>A = 4 \pi R^2</math> pour une sphère)
:<math>A = 16 \pi \frac{G^2 M^2}{c^4}</math>.
On peut alors exprimer M en fonction de A de la manière suivante
:<math>M = \sqrt{\frac{c^4 A}{16 \pi G^2}}</math>.
On a donc
:<math>\frac{\partial M}{\partial A} = \frac{1}{2} \frac{M}{A} = \frac{c^4}{32 \pi G^2 M}</math>,  
or
:<math>\frac{\partial M}{\partial A} = \frac{1}{8 \pi G} \kappa</math>.
La gravité de surface est donc
:<math>\kappa = \frac{1}{4} \frac{c^4}{G M}</math>,
incidemment en accord avec la formule usuelle <math>\kappa = G M / R^2</math>, et la température vaut
{{Bloc emphase|<math>T = \frac{1}{8 \pi k_{\mathrm{B}}} \frac{\hbar c^3}{G M}</math>}}
La température est donc inversement proportionnelle à la masse. Ce résultat n'est guère surprenant : la seule échelle de longueur du problème est le rayon de Schwarzschild, proportionnelle à la masse. La température d'un rayonnement est déterminée par l'énergie typique des particules (en l'occurrence des photons), de fréquence <math>\scriptstyle\nu</math>, selon une formule du type <math>k_{\mathrm{B}} T \simeq h \nu \simeq h c / \lambda</math>. Il est naturel que la longueur d'onde des photons soit déterminée par l'échelle de longueur disponible, proportionnelle à la masse, aussi la température est-elle naturellement inversement proportionnelle à cette dernière.

La formule précédente peut se réécrire en [[unités de Planck]] selon
:<math>\frac{T}{T_{\mathrm{Pl}}} = \frac{1}{8 \pi} \frac{M_{\mathrm{Pl}}}{M}</math>.
De façon plus intéressante, on peut la réécrire en unité de [[masse solaire]], ce qui donne :
:<math>\frac{T}{1\;{\mathrm{K}}} = 6,\!15 \times 10^{-8} \frac{M_\odot}{M}</math>.

Ainsi, un trou noir d'une [[masse solaire]] a une température de l'ordre du dix-millionième de [[kelvin]]. Cette température augmente à mesure que la masse du trou noir diminue. Il existe donc un effet d'emballement : plus le trou noir rayonne, plus il perd de l'énergie (sa masse va diminuer, voir ci-dessous), et plus il est chaud. Ceci n'est pas sans rappeler l'[[évolution stellaire]], où une [[étoile]] est le siège de [[réaction nucléaire|réactions nucléaires]] de plus en plus rapides à mesure que son évolution se poursuit.

Si cet ordre de grandeur est correct en général, il est significativement erroné dans plusieurs cas. En particulier, pour un [[trou noir extrémal]], c'est-à-dire possédant une valeur maximale de la charge électrique ou du moment cinétique, alors on montre que la température du trou noir est strictement nulle. Un tel résultat est l'analogue en thermodynamique des trous noirs du [[troisième principe de la thermodynamique]], qui indique qu'il n'est pas possible d'atteindre un état de température nulle (ou d'[[entropie des trous noirs|entropie]] minimale) par un quelconque processus physique.

== Évolution d'un trou noir isolé ==
Une autre conséquence de la dépendance inverse entre température et masse est qu'un trou noir ne peut pas être en équilibre avec un bain thermique : si la température du bain est supérieure à celle du trou noir, le trou noir va plus absorber de rayonnement qu'il ne va en émettre, et ainsi augmenter sa masse et diminuer sa température. L'écart de température entre le trou noir et le bain thermique va donc augmenter. Il en est de même si cette fois la température du bain est inférieure à celle du trou noir. Cette fois, c'est la température du trou noir qui va augmenter et différer de plus en plus de celle du bain.

À l'heure actuelle, l'univers entier baigne dans un rayonnement thermique, le [[fond diffus cosmologique]]. Ce rayonnement est à une température de 2,7 [[kelvin]]s, qui est donc supérieure à celle d'un trou noir stellaire. Un tel trou noir, même s'il est complètement isolé (pas d'[[accrétion]] de matière du [[milieu interstellaire]] ou d'un compagnon), va donc absorber du rayonnement. Cette phase va durer jusqu'à ce que la température du fond diffus cosmologique ait suffisamment baissé du fait de l'[[expansion de l'Univers]]. La durée de cette phase peut être calculée de façon approximative en utilisant les paramètres issus du [[modèle standard de la cosmologie]]. À l'heure actuelle, on assiste à une [[accélération de l'expansion de l'univers]], qui se traduit par le fait que l'expansion semble tendre vers une loi exponentielle, où les distances sont multipliées par 2,7 en un temps de l'ordre du [[temps de Hubble]], soit 13,5 milliards d'années. La température du fond diffus cosmologique décroît comme l'inverse de la dilatation des longueurs. Ainsi, pour que la température du fond diffus cosmologique atteigne la valeur de 6,15×10{{exp|-8}}&nbsp;K, il faut attendre environ 18 temps de Hubble{{note|Ce chiffre se calcule par la formule
:<math>H t = \log\left(\frac{T_0}{6,\!15\times 10^{-8}}\right)</math>,
''T''{{sub|0}} étant la température actuelle du fond diffus cosmologique et ''H'' la [[constante de Hubble]]. Ceci résulte du fait que dans l'hypothèse où l'expansion est exponentielle, la température varie selon
:<math>T (t) = T_0 \exp\left(H t\right)</math>, 
en prenant l'origine des temps aujourd'hui.|groupe=N}}. Des trous noirs moins massifs que des trous noirs stellaires pourraient, eux, être en train de s'évaporer aujourd'hui. Pour cela, il faut que leur masse soit inférieure à 
:<math>M_m = \frac{6,\!15\times 10^{-8}}{2,\!7} M_\odot \simeq 4,\!5 \times 10^{22} {\mathrm{kg}}</math>,
soit une masse comprise entre celles de [[Mercure (planète)|Mercure]] et [[Pluton (planète naine)|Pluton]].

Aucun processus astrophysique connu ne permet de réaliser des trous noirs de masse aussi petite, mais il est possible que de tels objets se soient formés dans l'[[univers primordial]]. De tels [[trou noir primordial|trous noirs primordiaux]] pourraient exister, et révéler leur signature par le phénomène d'évaporation. En effet, en fin d'évaporation, alors que le trou noir atteint une masse de quelques milliards de tonnes seulement, un trou noir rayonne à une température de l'ordre de 10{{exp|11}}&nbsp;K, soit dans le domaine des [[rayon gamma|rayons gamma]], et pourrait laisser une signature observationnelle dans ce domaine de longueur d'onde<ref>Voir par exemple {{en}} Aurélien Barrau ''et al.'', ''Antiprotons from primordial black holes'', ''[[Astronomy and Astrophysics]]'', '''388''', 676 (2002), astro-ph/0112486 [https://arxiv.org/abs/astro-ph/0112486 Voir en ligne] ; {{en}} Aurélien Barrau ''et al.'', ''Antideuterons as a probe of primordial black holes'', ''[[Astronomy and Astrophysics]]'', '''398''', 403 (2003), astro-ph/0207395 [https://arxiv.org/abs/astro-ph/0207395 Voir en ligne] ; {{en}} Aurélien Barrau ''et al.'', ''Astrophysical Production of Microscopic Black Holes in a Low Planck-scale World'', ''[[The Astrophysical Journal]]'', '''630''', 1015 (2005), astro-ph/0505436 [https://arxiv.org/abs/astro-ph/0505436 Voir en ligne].</ref>.

== Temps d'évaporation ==
Il est possible d'estimer (avec des incertitudes, voir ci-dessous) le temps d'évaporation d'un trou noir. D'ordinaire, l'énergie rayonnée par un corps sphérique dont la température de surface est ''T'' et le rayon est ''R'' s'écrit
:<math>L = 4 \pi R^2 \sigma T^4</math>,
où σ est la [[constante de Stefan-Boltzmann]]. La perte d'[[énergie de masse]] d'un trou noir s'écrit donc en principe
:<math>\frac{{\mathrm{d}} M c^2}{{\mathrm{d}} t} = - 4 \pi R^2 \sigma T^4</math>.
Pour un trou noir de Schwarzschild, ceci s'écrit
:<math>\frac{{\mathrm{d}} M c^2}{{\mathrm{d}} t} = - 4 \pi \left(\frac{2 G M}{c^2} \right)^2 \sigma \left(\frac{\hbar c^3}{8 \pi k_B G M}\right)^4</math>,
soit, en remplaçant la constante de Stefan-Boltzmann par sa valeur,
:<math>\dot M = - \frac{1}{15360 \pi} \frac{c^4 \hbar}{G^2} \frac{1}{M^2}</math>.
Le temps d'évaporation d'un trou noir de masse ''M'' s'écrit donc
{{Bloc emphase|<math>t_e = 5120 \pi \frac{G^2}{c^4 \hbar} M^3</math>}}
En unités de masses solaires, on obtient
:<math>\frac{t_e}{1\;{\mathrm{s}}} = 6,\!6 \times 10^{74} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^3</math>.
Pour une masse solaire, cette durée est environ 10{{exp|57}} fois plus grande que l'[[âge de l'univers]]<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=6.6e74+seconds+%2F+%28universe+age+in+seconds%29 Calcul Wolfram Alpha]</ref>, illustrant le fait que l'évaporation de trous noirs stellaires est totalement négligeable. Par contre, des objets de masse 10{{exp|19}} fois plus faible qu'une masse solaire, soit de l'ordre d'un milliard de tonnes, ont un temps d'évaporation inférieur à l'âge de l'univers.

=== Limites du calcul du temps d'évaporation ===
Si la dérivation ci-dessus est globalement correcte, elle comporte un certain nombre d'approximations qui la rendent inexacte. En particulier, la première équation (qui donne la perte d'énergie en fonction de la surface d'émission) s'avère incorrecte, car la quantité qui devrait intervenir n'est pas la surface, mais la [[section efficace]] d'un trou noir. D'ordinaire, ces deux quantités sont identiques à un facteur 4 près (la surface vaut 4&nbsp;π&nbsp;''R''{{exp|2}} et la section efficace π&nbsp;''R''{{exp|2}}). Cependant, dans le cas d'un trou noir, la [[Taille apparente#Cas d'un trou noir|taille angulaire d'un trou noir]] est plus grande d'un facteur <math>3 \sqrt({3} / 2)</math> que ce qu'un calcul naïf donnerait. Ainsi, au lieu de l'aire du trou noir dans la formule ci-dessus, il faudrait rajouter un facteur 27/4.

De plus, ce type de calcul est fait dans l'approximation de l'[[optique géométrique]], où l'on suppose que les [[photon]]s peuvent être assimilés à des particules ponctuelles, ou en tout cas de dimensions toujours très petites devant les autres dimensions du problème. Or dans le cas de l'évaporation des trous noirs, la [[longueur d'onde]] des photons est du même ordre que la taille physique du trou noir. Il conviendrait donc de se placer dans les calculs dans le cadre de l'optique physique, où serait prise en compte la forme exacte du front d'onde dans le champ gravitationnel du trou noir.

Enfin, il a été supposé ici que le trou noir émet uniquement des [[photon]]s. En pratique, le phénomène d'évaporation concerne toutes les particules existantes, en tout cas toutes celles dont l'[[énergie de masse]] est inférieure à l'énergie typique des particules du rayonnement. En pratique, le trou noir rayonne aussi des [[graviton]]s, voire des [[neutrino]]s (si leur masse est suffisamment faible) en plus des photons. Vers la fin de sa vie, quand sa température atteint le domaine du [[gigaélectronvolt]], il peut rayonner des [[quark]]s, des [[muon]]s voire d'autres particules pour l'heure inconnues. Cependant, ces dernières étapes ne concernent que la toute fin de l'évolution du trou noir. Les premiers calculs détaillés du taux d'évaporation ont été effectués par [[Don Page]] en [[1976]]<ref>{{en}} [[Don Page]], ''Particle emission rates from a black hole: Massless particles from an uncharged, nonrotating hole'', ''[[Physical Review D]]'', '''13''', 198-206 (1976) [http://prola.aps.org/abstract/PRD/v13/i2/p198_1 Voir en ligne (accès restreint)].</ref>.

Finalement, ces effets ne sont pas censés affecter le résultat général, mais pourraient le corriger d'un facteur numérique qui pourrait être fort différent de 1, mais il apparait peu probable qu'il s'éloigne de façon démesurée de 1. Aussi, le fait qu'un trou noir de masse stellaire ne puisse pas s'évaporer en un temps inférieur à l'âge de l'Univers est-il un résultat extrêmement robuste.

== Trous noirs et information ==
{{Article détaillé|Paradoxe de l'information}}
Le théorème ''no hair'' ([[théorème de calvitie]]) qui énonce que seuls trois paramètres macroscopiques définissent l'état d'un trou noir pose un problème aux yeux de la théorie quantique. Si l'on envoie dans un trou noir un ensemble dit ''pur'' de particules, c'est-à-dire un faisceau cohérent (par exemple, un rayon [[laser]], une [[paire de Cooper]]), le retour de cette énergie cohérente se fait sous la forme d'une énergie incohérente, un [[rayonnement thermique]], un ensemble dit ''mixte''. Or, les fonctions d'ondes qui décrivent ces deux types d'ensembles sont différents : dans le cas de l'ensemble ''pur'' les fonctions d'ondes s'additionnent vectoriellement, dans le cas d'un ensemble ''mixte'', ce sont les carrés des modules des fonctions d'ondes qui s'additionnent. Or, et le paradoxe est là, la transformation d'un ensemble en un autre n'est pas possible au sens quantique, puisqu'il ne s'agit pas d'une transformation unitaire (qui préserve la norme de la fonction d'onde). [[Stephen Hawking]] a annoncé avoir résolu ce paradoxe, mais les détails de sa solution ne sont pas encore (02/2005) connus.

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références|colonnes=2|références=
<ref name="PhysRevLett116">https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.116.231301</ref>}}

==== Sources ====
* {{Livre Wald}}, {{p.|412-414}}.
* {{ouvrage|langue=en |prénom1=Stephen|nom1=Hawking|titre=Dernières nouvelles des trous noirs|sous-titre=|éditeur=Flammarion BBC|volume=|année=2016|pages totales=108|passage=|isbn=978-2-0813-9473-5|lire en ligne=}}. Stephen Hawking présente un résumé des travaux à David Shukman, rédacteur en chef de la section scientifique de BBC News.

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Aurélien |nom1=Barrau |lien auteur1=Aurélien Barrau |prénom2=Julien |nom2=Grain |titre=Relativité générale |sous-titre=cours et exercices corrigés |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] |collection=Sciences Sup |série=Physique |jour=17 |mois=août |année=2016 |numéro d'édition=2 |année première édition={{date-|24 août 2011}} |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{VIII}}-231 |format={{dunité|17|24|cm}} |isbn=978-2-10-074737-5 |ean=9782100747375 |oclc=958388884 |bnf=45101424p |sudoc=195038134 |présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 |lire en ligne={{Google livres|id=3erZDAAAQBAJ}} |consulté le=6 janvier 2018 |libellé=Barrau et Grain 2016}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom=John D. |nom=Barrow |lien auteur=John Barrow (astrophysicien) |traducteur=de l'anglais américain par Pierre Kaldy |titre=Les constantes de la nature |titre original=The constants of nature |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Odile Jacob|O. Jacob]] |collection=Sciences |jour=22 |mois=septembre |année=2005 |numéro d'édition=1 ||pages totales={{nobr|1 vol.}}, 332 |format={{dunité|15,5|24|cm}} |isbn=2-7381-1671-X |ean=9782738116710 |oclc=63682144 |bnf=400475560 |sudoc=092634745 |présentation en ligne=https://www.odilejacob.fr/catalogue/sciences/mathematiques/constantes-de-la-nature_9782738116710.php |lire en ligne={{Google livres|id=vcJRQQiviv8C}} |consulté le=6 janvier 2018 |libellé=Barrow 2005}}.
* {{Chapitre |langue=en |prénom=Greg |nom=Landsberg |titre=Out-of-this-world physics : black holes at future colliders |auteurs ouvrage=[[Mario Livio]] et Anton M. Koekemoer (éd. et préf.) |titre ouvrage=Black holes |sous-titre ouvrage=proceedings of the Space Telescope Science Institute Symposium, held in Baltimore, Maryland, April 23-26, 2007 |lieu=Cambridge et New York |éditeur=[[Cambridge University Press]] |collection=Space Telescope Science Institute symposium series |numéro dans collection=21 |jour=24 |mois=février |année=2011 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{IX}}-321 |format={{dunité|18|25,3|cm}} |isbn1=1-10-700553-1 |isbn2=978-1-10-700553-2 |ean=9781107005532 |oclc=800503600 |sudoc=153975296 |présentation en ligne=http://www.cambridge.org/gb/academic/subjects/physics/astrophysics/black-holes-1?format=HB#8jUr93qM0U02rHQU.97 |lire en ligne={{Google livres|id=1mBzR431rp4C}} |consulté le=6 janvier 2018 |numéro chapitre=3 |passage=21-45 |libellé=Landsberg 2011}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom=Jean-Pierre |nom=Luminet |lien auteur=Jean-Pierre Luminet |titre=Illuminations |sous-titre=cosmos et esthétique |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Odile Jacob|O. Jacob]] |collection=Sciences |jour=22 |mois=septembre |année=2011 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 487-[16] |format={{dunité|15,5|24|cm}} |isbn1=2-7381-2562-X |isbn2=978-2-7381-2562-0 |ean=9782738125620 |oclc=780211696 |bnf=42279998r |sudoc=155577441 |présentation en ligne=https://www.odilejacob.fr/catalogue/sciences/astronomie-astrophysique-cosmologie/illuminations_9782738125620.php |lire en ligne={{Google livres|id=oM3mjzEIs_8C}} |consulté le=6 janvier 2018 |libellé=Luminet 2011}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom=Roger |nom=Penrose |lien auteur=Roger Penrose |traducteur=de l'anglais par Céline Laroche |titre=À la découverte des lois de l'univers |sous-titre=la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique |titre original={{langue|en|texte=The road to reality : a complete guide to the laws of the universe}} |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Odile Jacob|O. Jacob]] |collection=Sciences |jour=30 |mois=août |année=2007 |numéro d'édition=1 |réimpression={{date-|2008}} et {{date-|2010}} |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XXII}}-1061 |format={{dunité|15,5|24|cm}} |isbn=978-2-7381-1840-0 |ean= 9782738118400 |oclc=209307388 |bnf=41131526q |sudoc=118177311 |présentation en ligne=https://www.odilejacob.fr/catalogue/sciences/astronomie-astrophysique-cosmologie/a-la-decouverte-des-lois-de-l-univers_9782738118400.php |lire en ligne={{Google livres|id=E1k-SRvzrM8C}} |consulté le=6 janvier 2018 |libellé=Penrose 2007}}.

=== Articles connexes ===
* [[Entropie des trous noirs]]
* [[Thermodynamique des trous noirs]]
* [[Masse irréductible]]
* [[Corps noir]]
* [[Effet Unruh]]
* [[Processus de Penrose]]

=== Liens externes ===
* {{en}} Germain Rousseau et al., « [http://www.iop.org/EJ/article/1367-2630/10/5/053015/njp8_5_053015.pdf?request-id=e20f1c30-080c-4970-a075-e367e98f9b8e ''Observation of Negative-Frequency Waves in a Water Tank: A Classical Analogue to the Hawking Effect ?''] », ''New journal of Physics''
* [https://www.franceculture.fr/emissions/la-methode-scientifique/theorie-du-tout-ou-rien "Théorie du tout : ou rien ?" La Méthode Scientifique, France Culture, 27 décembre 2018. ]

{{Palette|Trou noir|Stephen Hawking}}

{{Portail|astronomie|cosmologie|physique}}

{{DEFAULTSORT:Evaporation des trous noirs}}

[[Catégorie:Théorie quantique des champs]]
[[Catégorie:Trou noir]]