Voir la source de Base de Hilbert

[[Image:Hilbert.jpg|thumb|right|<center>[[David Hilbert]] en [[1912]].</center>]]

Une '''base de Hilbert''' (du nom de [[David Hilbert]]), ou encore '''base hilbertienne''', est une généralisation aux [[espace de Hilbert|espaces hilbertiens]] ou seulement [[Espace préhilbertien|préhilbertiens]] de la notion classique de [[base (algèbre linéaire)|base]] [[base orthonormale|orthonormale]] en [[algèbre linéaire]], pour les [[espace euclidien|espaces euclidiens]] (ou [[espace hermitien|hermitiens]] dans le cas complexe), lesquels sont de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie.

Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel [[vecteur]] de l'espace en somme de vecteurs [[colinéaire]]s à ceux de la [[famille (mathématiques)|famille]] choisie. Cependant dans le cas d'une base de Hilbert, on ne peut pas (généralement) écrire une égalité entre le vecteur décomposé et une [[combinaison linéaire]] ''finie'' des vecteurs de la base : on doit généralement se contenter d'une [[série (mathématiques)|série]] dont les termes sont colinéaires aux vecteurs de la base, et convergeant vers le vecteur à décomposer (la notion de convergence d'une série a ici un sens car  un espace de Hilbert est en particulier un [[espace vectoriel normé]]).

== Définition ==

Soit ''H'' un espace préhilbertien sur le [[Corps (mathématiques)|corps]] ''K'' des [[nombre réel|nombres réels]] ou des [[nombre complexe|complexes]] et <math>F=(e_i)_{i\in I}</math> une [[Famille (mathématiques)|famille]] de vecteurs de ''H''.

{{Théorème|Définition|
On dit que ''F'' est une ''base de Hilbert'' (ou ''base hilbertienne'') de ''H'' si :
* ''F'' est une famille ''orthonormale'' de ''H'', c'est-à-dire :
<center><math> \forall (i,j)\in I^2\quad i\ne j \Rightarrow \langle e_i \mid e_j\rangle = 0 </math></center>
<center><math> \forall i\in I\quad \langle e_i \mid e_i\rangle = \Vert e_i \Vert^2 = 1 </math></center>
* la famille est de plus maximale ou « complète<ref>{{ouvrage|auteur=W. Rudin|titre=Analyse réelle et complexe|éditeur=Masson et Cie|année=1975|isbn=2-225-38214-X|pages=81-82}}</ref> » ou « totale<ref>{{ouvrage|auteur=Laurent Schwartz|titre=Topologie générale et analyse fonctionnelle|éditeur=Hermann|année=1970|pages=405}}</ref> » au sens suivant :
<center><math> \forall x\in H,\ \exists (\lambda_i)_{i\in I}\quad\text{tel que}\quad \sum_{i\in I} \lambda_ie_i = x </math></center>
La  [[Famille sommable#Définition|sommabilité de la famille de vecteurs]] {{math|(λ{{ind|''i''}}''e{{ind|i}}'')}} est celle associée à la  [[Norme (mathématiques)|norme]] sur ''H''. La première condition (orthonormalité) garantit l'unicité de la famille de [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] {{math|(λ{{ind|''i''}})}}, pour tout vecteur {{math|''x''}}<ref>Toute base de Hilbert [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] est donc une [[base de Schauder]].</ref>.}}

Dans le cas où ''H'' est de dimension finie, cette définition coïncide avec celle de ''[[base orthonormale]]''. Dans le cas d'un espace de dimension infinie, le terme de ''base orthonormale'' indique très généralement une base de Hilbert<ref>Voir par exemple S. Lang, ''Analyse réelle'', Paris, InterEditions, 1977 {{ISBN|978-2-72960059-4}}, {{p.|150}}.</ref>.

== Approche intuitive ==
[[Image:Gibbs phenomenon 10.png|thumb|left|Décomposition d'une fonction créneau sur la base de Hilbert des [[polynôme trigonométrique|polynômes trigonométriques]]. Seuls les dix premiers vecteurs de la base sont utilisés, proposant ainsi une approximation.]]
[[Image:Gibbs phenomenon 50.jpg|thumb|Avec 50 termes, la décomposition de la fonction créneau sur la base de Hilbert devient plus précise.]]

Depuis le {{s-|XVIII}}, les mathématiciens ont tenté de résoudre certaines questions à l'aide de [[série (mathématiques)|séries]] de fonctions. [[Leonhard Euler]] étudie le problème de la [[Problème de Mengoli|détermination de la somme des inverses des carrés d'entiers]]<ref>L. Euler, ''Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc'', Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord 2, 1743, {{p.|115-127}}.</ref>. Une série de [[polynôme trigonométrique|polynômes trigonométriques]] permet de résoudre cette épineuse question ouverte depuis presque un siècle<ref>Pour plus de détails voir : {{en}} ''[http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF Euler’s Solution of the Basel Problem – The Longer Story]'' par E. Sandifer de l'[[université de New York]].</ref>. [[Joseph Fourier]] utilise une approche similaire pour étudier l'[[équation de la chaleur]]<ref>J. Fourier, ''Théorie analytique de la chaleur'', Paris, Firmin Didot Père et Fils, 1822, rééd. Jacques Gabay, 1988 {{ISBN|2-87647-046-2}}.</ref>.

Le {{s-|XX}} voit une formalisation à la fois moderne générale et géométrique de l'approche. [[David Hilbert]] considère les fonctions utilisées comme des éléments d'un [[espace vectoriel]] de dimension infinie. Il est équipé du produit scalaire suivant, permettant de bénéficier des techniques de la [[géométrie euclidienne]] :
<center><math> \langle f, g\rangle = \int f(x)g(x){\rm d}x.</math></center>
Un [[espace euclidien]] dispose de [[Base orthonormale|bases orthonormales]], une généralisation du [[théorème de Pythagore]] permet simplement de calculer les coordonnées d'un vecteur dans une telle base (''e''<sub>i</sub>). Si ''x'' est un vecteur, alors :
<center><math>x=\sum \langle e_i,x\rangle e_i.</math></center>
Il est tentant de vouloir généraliser ce résultat sur un espace de dimension infinie. Si l'espace fonctionnel dispose de ''bonnes propriétés'' une telle approche est possible. C'est le cas si l'espace est [[espace séparable|séparable]], c'est-à-dire s'il existe une famille [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] [[Partie dense|dense]], c'est-à-dire qui permet d'approcher aussi précisément que souhaité tout vecteur. Cette situation est analogue à celles des nombres réels. À une distance arbitrairement petite de tout réel se trouve un nombre rationnel. Le [[théorème de Stone-Weierstrass]] montre que tel est le cas sur de très nombreux espaces fonctionnels.

David Hilbert s'est intéressé à une autre propriété : la [[espace complet|complétude]]. À l'image de la situation pour les nombres réels, toute [[suite de Cauchy]] converge dans un tel espace. La difficulté réside alors dans la signification à donner à une série contenant à priori un ensemble de termes qui n'a plus aucune raison d'être dénombrable si l'hypothèse de la séparabilité n'est plus remplie. Deux remarques permettent de résoudre cette question. L'ensemble des termes non nuls est toujours au plus dénombrable. De plus, la convergence de la série est [[convergence absolue|absolue]], garantissant ainsi que l'ordre dans lequel les éléments sont pris n'a aucune conséquence sur la limite de la série.

== Propriétés ==
=== Inégalité de Bessel et coefficients de Fourier ===
{{Article détaillé|inégalité de Bessel}}

Une première majoration joue un rôle important  pour établir les propriétés d'une base de Hilbert. Elle porte le nom d'''inégalité de Bessel''.

{{Théorème|Inégalité de Bessel|
Soient ''E'' un [[sous-espace vectoriel]] [[Fermé (topologie)|fermé]] de ''H'', <math>(f_i)_{i\in I}</math> une base de Hilbert de ''E'' et <math>x</math> un élément de ''H''. Alors l'ensemble des indices ''i'' pour lesquels <math>\langle x,f_i\rangle\ne 0</math> est au plus dénombrable, et la [[série (mathématiques)|série]] suivante est convergente et majorée par le carré de la norme de <math>x</math> :
<center><math>\sum_{i\in I} |\langle x,f_i\rangle |^2 \le \|x\|^2~.</math></center>
L'égalité n'a lieu que si <math>x\in E</math>.}}

Le cas d'égalité est toujours vérifié si ''E'' est égal à ''H'', il prend le nom d'''[[égalité de Parseval]]''. C'est une généralisation du [[théorème de Pythagore]], utilisée dans le cadre des [[série de Fourier|séries de Fourier]].

La démonstration de l'inégalité de Bessel contient la propriété suivante :

{{théorème|Proposition|Une famille orthonormale de ''H'' est une base de Hilbert si et seulement si elle est ''totale'', c'est-à-dire si le [[Sous-espace vectoriel engendré|sous-espace vectoriel qu'elle engendre]] est [[Partie dense|dense]] dans ''H''.}}

Ainsi, en dimension infinie, une base de Hilbert ''B'' de ''H'' n'est pas une [[Base (algèbre linéaire)|base]] au sens algébrique du terme, mais une base orthonormale d'un sous-espace dont seule l'[[adhérence (mathématiques)|adhérence]] est égale à ''H'' (bien que l'ensemble ''B'' lui-même soit fermé).

L'égalité de Parseval permet de déterminer l'expression d'un élément ''x'' dans une base hilbertienne (''e''<sub>i</sub>) de ''H'' :

{{théorème|Théorème et définition|
Si (''e''<sub>i</sub>) est une base hilbertienne de ''H'', l'égalité suivante est vérifiée :
<center><math>x= \sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle e_i.</math></center>
Les coefficients <math>\langle x,e_i\rangle</math> sont appelés '''coefficients de Fourier''' de ''x'', et constituent l'unique famille de coefficients permettant d'exprimer ''x'' dans la base de Hilbert.}}

Ainsi, à l'image de la situation pour une base au sens algébrique, il existe une et une unique manière d'exprimer un vecteur dans une base de Hilbert, mais en général comme une série et non plus une somme finie.

=== Dimension hilbertienne ===
On peut définir la dimension hilbertienne d'un espace préhilbertien comme le [[Nombre cardinal|cardinal]] de toute partie orthonormale [[Élément maximal|maximale]] pour l'inclusion<ref name=Halmos>{{Ouvrage|lang=en|titre=A Hilbert Space Problem Book|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=19|prénom=Paul R.|nom=Halmos|lien auteur1=Paul R. Halmos|numéro d'édition=2|lien éditeur=Springer Verlag|éditeur=Springer|année=1982|isbn=978-0-38790685-0|url=https://books.google.fr/books?id=S57XLkgbf0oC&pg=PA30|passage=30}}.</ref>. En effet, le [[lemme de Zorn]] (ou [[Ensemble de parties de caractère fini|celui de Tukey]]) garantit l'existence de telles parties, et elles ont toutes même cardinal d'après le théorème suivant :

{{Théorème|Dans l'espace préhilbertien ''H'', si ''B'' est une partie orthonormale maximale, alors le cardinal de toute partie orthonormale est majoré par celui de ''B''.}}

{{Démonstration|titre=Démonstration<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Introduction to Modern Analysis|prénom1=Shmuel|nom1=Kantorovitz|lien éditeur=Oxford University Press|éditeur=OUP|année=2003|isbn=978-0-19152355-7|url=https://books.google.fr/books?id=MSIM3ZXfyqgC&pg=PA212|passage=112}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Introduction à l'analyse fonctionnelle|prénom1=Corina|nom1=Reischer|prénom2=Marcel|nom2=Lambert|prénom3=Walter|nom3=Hengartner|lien éditeur=Université du Québec|éditeur=PUQ|année=1981|isbn=978-2-76052026-4|url=https://books.google.fr/books?id=a7TZwSR97lAC&pg=PA222|passage=222}}.</ref>|Si ''B'' est finie alors elle engendre ''H'' donc [[Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels|son cardinal majore celui de toute partie libre]], en particulier de toute partie orthonormale. Supposons désormais que ''B'' est [[Ensemble infini|infinie]] et soit ''A'' une partie orthonormale. Pour tout vecteur ''b'' de ''B'', notons ''A''(''b'') l'ensemble des vecteurs de ''A'' non orthogonaux à ''b''. Par maximalité de ''B'', ''A'' est inclus dans la réunion des ''A''(''b''). Or d'après l'[[inégalité de Bessel]], chacun d'eux est au plus dénombrable, [[Nombre cardinal#Propriétés|d'où la majoration annoncée]].}}

Cependant, cette notion n'est pas très utile dans le cadre général des espaces préhilbertiens. En effet, toute base hilbertienne de ''H'' est évidemment orthonormale maximale (donc toutes les bases hilbertiennes de ''H'', ''s'il en existe'', ont même cardinal), mais la réciproque est fausse (''H'' peut même — cf. contre-exemple ci-dessous — posséder un sous-espace dense de dimension hilbertienne différente donc sans base hilbertienne). Elle est vraie cependant si ''H'' est [[Espace complet|complet]], ce qui garantit l'existence de bases hilbertiennes pour les espaces de Hilbert et permet de [[Espace de Hilbert#Classification|classifier ceux-ci à isomorphisme près]] par leur dimension hilbertienne :

{{Théorème|Proposition|Dans un espace de Hilbert, une partie est orthonormale maximale (si et) seulement si c'est une base hilbertienne.}}

{{Démonstration/début}}
Soient ''B'' une partie orthonormale maximale d'un espace de Hilbert ''H'' et ''F'' l'adhérence du sous-espace vectoriel qu'elle engendre. Soient ''x'' un vecteur de ''H'' et ''y'' son [[projection orthogonale|projeté orthogonal]] sur ''F'' (qui existe, d'après la preuve de l'[[inégalité de Bessel]] dans le cas général : il n'est donc pas nécessaire de faire appel au [[Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert|théorème du supplémentaire orthogonal]]). Alors ''y – x'' est orthogonal à ''F'' donc nul (par maximalité de ''B'') donc ''x'' appartient à ''F'', ce qui permet de conclure que ''F = H''.
{{Démonstration/fin}}

{{Démonstration/début|titre=Un contre-exemple<ref name=Halmos/>}}
Voici un exemple d'espace de Hilbert ''H'' dont la dimension hilbertienne est la [[puissance du continu]] ''c'' et d'un sous-espace dense ''G'' de dimension hilbertienne dénombrable.

Soient ''K'' l'[[Espace de Hilbert#Exemples|espace de Hilbert ℓ{{2}}(ℕ)]] et ''E'' [[#Espace de suites|sa base hilbertienne canonique]]. La [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension (algébrique)]] de ''K'' est ''c'', et l'[[Théorème de la base incomplète|on peut compléter ''E'' en une]] [[Base (algèbre linéaire)|base (algébrique)]] ''E''∪''F '' (avec ''F'' disjoint de ''E'').

Soient ''L'' l'espace de Hilbert [[Espace de suites ℓp|ℓ{{2}}(ℝ)]], ''B'' sa base hilbertienne canonique, φ une [[bijection]] de ''F'' dans ''B'' et ''T'' l'[[application linéaire]] de ''K'' dans ''L'' telle que ''T''(''f'') = φ(''f'') pour ''f'' ∈ ''F'' et ''T''(''e'') = 0 pour ''e'' ∈ ''E''.

Dans l'espace de Hilbert ''H'' := ''K''⊕''L'', le [[Graphe d'une fonction|graphe]] ''G'' de ''T'' est dense. En effet, son adhérence est un sous-espace vectoriel qui contient ''K''⊕[[Espace nul|0]] (car il est fermé et contient ''E''⊕0 par définition de ''T''), et dont la projection sur ''L'' contient ''B'' (à nouveau par définition de ''T'').

Dans ''G'', la partie dénombrable ''E''⊕0 est orthonormale maximale.
{{Démonstration/fin}}

=== Existence ===
Sans l'hypothèse de complétude, l'existence d'une base hilbertienne n'est pas garantie. Cependant :
{{Théorème|
Tout espace préhilbertien [[espace séparable|séparable]] possède une base hilbertienne.}}

{{Démonstration/début}}
La logique possède une analogie avec la démonstration précédente, même si le lemme de Zorn n'est plus nécessaire. Soit (''f<sub>n</sub>'') une suite dense dans ''H'' ; il est possible d'en extraire une sous-suite libre (''g<sub>n</sub>'')<sub>''n''>0</sub> telle que l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par les ''g<sub>n</sub>'' soit égale à ''H''. Soit (''h<sub>n</sub>'')<sub>''n''>0</sub> la suite construite par récurrence de la manière suivante :

Soit ''n'' un entier positif ou nul, on suppose déjà construits ''h''<sub>1</sub>, … , ''h<sub>n</sub>'' et l'on note ''H<sub>n</sub>'' le sous-espace qu'ils engendrent (donc pour ''n'' = 0 on ne suppose rien, et ''H''<sub>0</sub> = {0}). Soit ''y'' le projeté orthogonal de ''g''<sub>''n''+1</sub> sur ''H<sub>n</sub>'' (qui existe, d'après la preuve de l'[[inégalité de Bessel]] dans le cas fini). Alors le vecteur ''g''<sub>''n''+1</sub> – ''y'' est non nul. En le divisant par sa norme, on construit un [[vecteur unitaire]] ''h''<sub>''n''+1</sub> orthogonal à ''H<sub>n</sub>'' (donc à tous les ''h<sub>i</sub>'' précédents) et tel que l'espace vectoriel engendré par ''H<sub>n</sub>'' et ''h''<sub>''n''+1</sub> contienne ''g''<sub>''n''+1</sub>.

La famille (''h<sub>n</sub>'') est orthonormale par construction. Les ''i'' premiers vecteurs de cette famille engendrent le même espace que les ''i'' premiers vecteurs de la famille (''g<sub>n</sub>'') : les espaces vectoriels engendrés par (''h<sub>n</sub>'') et (''g<sub>n</sub>'') sont donc confondus, ce qui achève la démonstration.

L'[[algorithme de Gram-Schmidt]] se fonde sur cette logique.
{{Démonstration/fin}}

== Exemples ==

=== Espace de suites ===
{{Voir|Espace de suites ℓp{{!}}Espace de suites ℓ{{exp|''p''}}}}
Dans l'espace de Hilbert ℓ{{2}}(ℕ), la base hilbertienne [[Canonique (mathématiques)|canonique]] est la famille ([[Symbole de Kronecker|δ{{ind|''n''}}]]){{ind|''n''∈ℕ}}. Plus généralement, dans ℓ{{2}}(''X'') où ''X'' est un ensemble quelconque, la base hilbertienne canonique est (δ{{ind|''x''}}){{ind|''x''∈''X''}}, où l'élément δ{{ind|''x''}} de ℓ{{2}}(''X'') est défini par : δ{{ind|''x''}}(''x'') = 1 et tous les autres δ{{ind|''x''}}(''y'') sont nuls. (Si ''X'' est fini, c'est la base orthonormale canonique de l'espace euclidien ou hermitien correspondant.)


Voici deux autres exemples de bases hilbertiennes, cette fois pour [[espace L2|L<sup>2</sup>([0,1])]] (que l'on peut facilement transformer en bases hilbertiennes de L<sup>2</sup>([''a, b'']) pour un intervalle [''a, b''] arbitraire, par changement de variable).

=== Système trigonométrique ===

{{Article détaillé|série de Fourier}}

L'exemple classique de base de Hilbert (et même l'origine du concept) est l'ensemble des fonctions trigonométriques
:<math>\{x\mapsto\sqrt2\cos(2\pi nx)~|~n\in\N\}\cup\{x\mapsto\sqrt2\sin(2\pi nx)~|~n\in\N^*\}</math> .
Ces fonctions ne forment pas une ''base'' au sens algébrique, car elles ne constituent pas une [[famille génératrice]] de L<sup>2</sup>([0,1]). Plus précisément, elles forment une base du sous-espace des [[polynôme trigonométrique|polynômes trigonométriques]].

Le fait que cette famille soit totale est connu sous le nom de [[théorème de Riesz-Fischer]].

=== Système de Haar ===

La famille d'[[Ondelette de Haar|ondelettes de Haar]] (''ψ<sub>n,k</sub>''), indexée par ''n'' et ''k'', entiers naturels tels que ''k'' < 2<sup>''n''</sup>, forme également une base de Hilbert de L<sup>2</sup>([0,1]). Ces fonctions sont définies à partir de l'[[ondelette]] mère ''ψ'' donnée par
:<math>\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1&\textrm{si}\quad0\le x<\frac12,\\
-1&\textrm{si}\quad\frac12\le x<1,\\
0&\textrm{sinon,}\\ 
\end{array}\right.</math>
en posant
:<math>\psi_{n,k}(x)=2^{n/2}\psi(2^n x-k)~</math> .

== Notes et références ==
<references />

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* [[Jean-Pierre Aubin]], ''Analyse fonctionnelle appliquée'', [[PUF]], 1987 {{ISBN|978-2-13039264-4}}
* {{Brezis}}
* {{en}} [[Serge Lang]], ''{{Langue|en|Real and Functional Analysis}}'', Berlin, Springer, 2007 {{ISBN|3540940014}}
* {{Rudin2}}

=== Liens externes ===
* [http://promenadesmaths.free.fr/hilbert/analyse_de_hilbert.pdf Analyse de Hilbert] par Frédéric Laroche dans ''[[Société mathématique de France#Activités|Promenades mathématiques]]'', 2005
* [http://www.proba.jussieu.fr/cours/sig-html/node3.html Rappels sur les espaces de Hilbert] par Jean Lacroix de l'[[université Pierre-et-Marie-Curie]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Espace de Hilbert]]