Voir la source de Bruit blanc

{{Voir homonymes|Bruit (homonymie)}}
[[Fichier:White noise.png|thumb|Échantillon de bruit blanc.]]
[[Fichier:Spectre bruit blanc.svg|thumb|Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la longueur d'onde ; en ordonnée, l'intensité.]]

Un '''bruit blanc''' est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la [[densité spectrale de puissance]] est la même pour toutes les [[fréquence]]s de la [[bande passante]]. Le bruit blanc gaussien est un bruit blanc qui suit une [[loi normale]] de moyenne et variance données. Des générateurs de signaux aléatoires ({{citation|signal de bruit}}) sont utilisés pour des essais de dispositifs de transmission et, à faible niveau, pour l'amélioration des systèmes numériques par ''[[dither (audio)|dither]]''.

En [[synthèse sonore|synthèse]] et traitement du [[son (physique)|son]], on ne considère que les fréquences [[audition humaine|audibles]], comprises entre quelques [[hertz]] et {{unité|16|kHz}} ; le bruit blanc est une variété aiguë de ''souffle''.

== Définition mathématique ==
=== Notion ===
Par analogie avec la lumière blanche qui mélange toutes les fréquences lumineuses, un bruit blanc est un [[processus stochastique]] qui possède la même [[densité spectrale de puissance]] à toutes les fréquences. Ceci correspond à une [[autocorrélation]] nulle en tout point sauf à l'origine : le processus est décorrélé. S'il est [[Processus de Gauss|gaussien]], cette décorrélation entraîne l'indépendance<ref>{{ouvrage|prénom1=Richard|nom1=Taillet|prénom2=Loïc|nom2=Villain|prénom3=Pascal|nom3=Febvre|titre=Dictionnaire de physique|lieu=Bruxelles|éditeur=De Boeck|année=2013|passage=84}}.</ref>.

La décorrélation conduit à une puissance moyenne ou variance infinie. Le processus correspondant ne peut donc exister mais c'est une approximation commode pour le calcul de la réponse d'un système peu amorti.

Plus concrètement, un bruit blanc filtré à la fréquence <math>f_c</math> correspond à un processus [[échantillonnage (signal)|échantillonné]] à <math>1 / 2 f_c</math>, ce résultat étant utilisé dans les simulations.

=== Solutions analytiques d'équations différentielles ===
[[Fichier:Approximation dune excitation aleatoire par un bruit blanc.png|thumb|Approximation d'une excitation aléatoire par un bruit blanc.]]

En toute rigueur, un bruit blanc ne peut exister car une [[densité spectrale]] identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe, infinie (et donc une puissance infinie). Cette solution est néanmoins intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.

=== Simulations ===
Un bruit blanc de densité spectrale (voir [[analyse spectrale]]) {{formule|''S''{{ind|0}}}}  échantillonné au {{nobr|pas T}} contient des fréquences inférieures à {{formule|{{fraction|1|2}}''T''}} (voir [[Théorème de Shannon]]). C'est un bruit blanc filtré qui possède une variance finie. Celle-ci s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, {{formule|''σ''{{ind|2}} {{=}} {{frac|''S''{{ind|0}}|2''T''}}}}. Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard qui correspond à une densité de probabilité uniforme sur un intervalle de largeur unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de {{nobr|largeur {{Formule|''a''}}}}, il suffit de multiplier le résultat {{nobr|par {{Formule|''a''}}}}.

Conséquence du [[théorème central limite]], le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice : <math>X = A \cos \Phi \,</math>

<math>\Phi</math> est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de {{nobr|largeur 2π}}.

A est une séquence de [[Loi de Rayleigh|variables de Rayleigh]] dont la fonction de répartition s'écrit, <math>\sigma^2</math> étant la [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] cherchée pour la [[Constante de Gauss|variable de Gauss]]<!-- ou lien vers [[Loi normale]] ? --> : <math>{F_A}(a) = 1 - e^{-{{a^2}\over{2 \sigma^2}}}</math>

En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre au hasard {{nobr|noté r}}, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh : <math>a = \sigma \sqrt{-2 \ln (1-r)}</math>

À partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa [[transformée de Fourier]], en la multipliant par la racine carrée de la densité spectrale et en inversant la transformée.

=== Statistique ===
Dans l'étude des [[Série temporelle|séries temporelles]] en statistique, il est souvent utile de définir un processus de bruit blanc également dans le domaine temporel (alors que les définitions plus haut sont dans le domaine des fréquences). Les définitions présentées ici sont faites pour des processus à '''temps discret''' et à valeurs continues. Selon Hamilton (1994, {{p.|47}})<ref>{{en}} Hamilton, {{lang|en|''Time Series Analysis''}}, {{lang|en|[[Princeton University Press]]}}, 1994.</ref> :

{{Théorème|Définition|énoncé=Un processus <math> \epsilon_k</math> à temps discret est qualifié de '''bruit blanc''' si :
:::::::* <math> E[\epsilon_k]=0 \, </math> ;
:::::::* <math> E[\epsilon_{k}^{2}]=\sigma ^2 </math> ;
:::::::* <math> E[\epsilon_k \epsilon_{l}]=0  \qquad \forall k \ne l </math>.}}

Un processus de bruit blanc est donc par définition [[Stationnarité d'une série temporelle|stationnaire]] de second ordre. La troisième condition, <math>\text{E}[\epsilon_t \epsilon_{\tau}]=0 </math>, (ou <math>\text{Cov}[\epsilon_t, \, \epsilon_{\tau}] = 0</math>), signifie que l'[[autocovariance]] est nulle.

{{Théorème|Définition|énoncé=Un processus <math> \epsilon_k</math> à temps discret est qualifié de '''bruit blanc indépendant''' si :

:::::::* <math> E[\epsilon_k]=0 \, </math> ;
:::::::* <math> E[\epsilon_{k}^{2}]=\sigma ^2 </math> ;
:::::::* <math> \epsilon_k\,</math> et <math> \epsilon_l \,</math> sont indépendants <math> \forall k \ne l </math>.}}
On remarquera que la troisième condition de la définition du '''bruit blanc indépendant''', celle d'indépendance, implique la condition d'autocovariance nulle du '''bruit blanc''', tandis que la réciproque n'est pas forcément vraie. Cette deuxième définition est donc plus stricte que la première.

{{Théorème|Définition|énoncé=Un processus <math> \epsilon_k</math> à temps discret est qualifié de '''bruit blanc gaussien''' si :
:::::::* <math> \epsilon_k </math> est un bruit blanc indépendant ;
:::::::* <math> \epsilon_k  \sim \mathcal {N} (0,\sigma ^2) \, </math>.}}

=== Bruit blanc fort et bruit blanc faible ===
En statistique spatiale, on distingue les deux définitions suivantes :
{{théorème|Définition|Un [[processus stochastique]] {{Formule|''X''}} sur un espace {{Formule|''S''}} est un '''bruit blanc fort''' (BBF) si les variables {{Formule|''X''(''s''), ''s''∈''S''}} sont centrées, [[Variables indépendantes et identiquement distribuées|indépendantes et identiquement distribuées]].}}
{{théorème|Définition|Un [[processus stochastique]] {{Formule|''X''}} sur un espace {{Formule|''S''}} est un '''bruit blanc faible''' (BBf) si les variables {{Formule|''X''(''s''), ''s''∈''S''}} sont centrées, décorrélées, et de variances finies constantes ({{Formule|§=Cov(''X''{{ind|''s''}}, ''X''{{ind|''t''}}) = ''σ''{{exp|2}} δ{{ind|''s''{{=}}''t''}}}}).}}

La définition du bruit blanc faible est celle du bruit blanc en statistique temporelle ci-avant ; pareillement, celle du bruit blanc fort est celle du bruit blanc indépendant. Un bruit blanc faible est [[fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2|stationnaire dans {{Formule|L{{exp|2}}}}]], un bruit blanc fort est strictement [[Processus stationnaire|stationnaire]].

== Bruit blanc sonore ==
{{Infobox Liste de fichiers
|titre01       = Bruit blanc
|fichier01     = Whitenoisesound.ogg
|type01        = ogg
|description01 = {{nombre|10|secondes}} d'un échantillon de bruit blanc.
}}

Le bruit blanc, dont le nom se réfère à la « lumière blanche » qui est un mélange équilibré de couleurs{{note|groupe=alpha|En laboratoire, il suffit de mélanger deux radiations [[monochromatique]]s de [[couleur complémentaire]] pour obtenir une [[couleur métamère]] d'un [[illuminant]] blanc, mais cet illuminant, comme les lumières naturelles, a un [[spectre lumineux]] continu.}}, est composé de toutes les fréquences [[audition humaine|audibles]], chaque fréquence ayant la même énergie. Le nombre de fréquences doublant d'une octave à l'autre, l'énergie croît linéairement de {{nombre|3|[[Décibel|dB]]}} par [[Octave (musique)|octave]]<ref>Christian Hugonnet et Pierre Walder, ''Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique'', éditions Eyrolles, Paris, deuxième édition 1998, {{p.|32}}.</ref>. Un bruit de même énergie sur toutes les bandes de fréquence de largeur égale, est un [[bruit rose]].

L'exposition constante à un bruit blanc de niveau élevé est une des formes de la [[torture]] par [[privation sensorielle]]<ref>{{article|prénom1= |nom1=Darius |titre=Rejalia |périodique=Journal of Human Rights |volume=2 |numéro=2 |année=2003 |passage=153-171|lire en ligne=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/1475483032000078152?journalCode=cjhr20#.U-DwWSDLYcA}}.</ref>.

=== Médecine ===

En [[médecine]], on parle de « bruit blanc » pour des sons ayant une parenté perceptive avec les bruits blancs, c'est-à-dire qui ne présentent pas de [[Hauteur (musique)|hauteur tonale]], et pas d'élément sonore permettant de désigner un objet connu comme source.

Le bruit blanc présente des propriétés [[hypnotique]]s, exploités par des appareils vendus pour favoriser l'endormissement des bébés. La diffusion pendant quelques minutes d'un bruit blanc à un niveau assez élevé ({{unité|72.5|[[Décibel (bruit)|dB ''L{{ind|p}}'']]}} pendant {{unité|30|s}} puis {{unité|67|dB ''L{{ind|p}}''}} pendant {{unité|4|min}}) peut en effet induire ou faciliter le sommeil chez le [[nouveau-né]] humain de même que chez l'adulte, probablement en réduisant le [[rapport signal/bruit]] du son ambiant (ce qui rappelle peut-être au nouveau-né une ambiance intra-utérine{{note|groupe=alpha|Bien que la transmission des sons à travers le corps de la mère privilégie plutôt les basses fréquences, comme un [[bruit rose]].}})<ref>{{article|langue=en |prénom1=JA|nom1=Spencer |prénom2=DJ|nom2=Moran |prénom3=A|nom3=Lee |prénom4=Talbert|nom4= D |titre=White noise and sleep induction |périodique=Arch Dis Child |année=1990 |numéro=65|passage=135-137|lire en ligne=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1792397/}}.</ref>. Des médecins de l'hôpital de [[Toronto]] mettent en garde contre l'usage excessif de ces appareils<ref>{{lien web|url=http://www.tvanouvelles.ca/2014/03/03/mise-en-garde-contre-les-machines-a-bruit-blanc |titre=Mise en garde contre les machines à bruit blanc|date=3 mars 2014|consulté le=11/06/2018}}.</ref>.

Un générateur de bruit blanc est essayé en 2000 dans le traitement des [[acouphène]]s associé à de l'[[hyperacousie]]. Le bruit blanc, associé à un entraînement spécifique, pourrait rendre certains [[acouphène]]s moins perceptibles par celui qui les subit et ainsi faciliter le travail, la concentration ou le sommeil<ref>{{article|langue=en|présentation en ligne=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/10923310 |titre=Therapy of hyperacusis in patients with tinnitus|prénom1=EA |nom1=Ziegler|prénom2=K. |nom2=Gosepath |prénom3=W. |nom3=Mann|périodique=Laryngorhinootologie |année=2000 |mois=juin|volume=79 |numéro=6 |passage=320-326}}. Présentation en anglais, article en allemand.</ref>. En 2018, une étude indique que le bruit blanc pourrait accélérer le vieillissement du cerveau, et déconseille ces thérapies par bruit blanc sur le long terme<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Michael M. |nom1=Merzenich |prénom2=James |nom2=Bigelow |prénom3=Mouna |nom3=Attarha |titre=Unintended Consequences of White Noise Therapy for Tinnitus—Otolaryngology's Cobra Effect: A Review |périodique=JAMA Otolaryngology–Head & Neck Surgery |volume=144 |numéro=10 |date=2018-10-01 |issn=2168-6181 |doi=10.1001/jamaoto.2018.1856 |lire en ligne=https://jamanetwork.com/journals/jamaotolaryngology/fullarticle/2697852 |consulté le=2019-09-08 |pages=938–943 }}</ref>.

Des chercheurs ont expérimenté l'effet de l'exposition au bruit blanc dans le domaine neurophysiologique. Des rats soumis à un fort bruit blanc ({{unité|90|dB ''L{{ind|p}}''}} pendant une heure) présentent une baisse du taux de [[norépinéphrine]] dans le système auditif aux environs de la [[cochlée]]<ref>{{article|langue=en |prénom1=M.A. nom1=Vicente-Torres |nom2=Gil-Loyzaga |prénom2=P. |titre=Noise stimulation decreases the concentration of norepinephrine in the rat cochlea |périodique=Neuroscience Letters |année=1999|numéro=14 |passage=266 |présentation en ligne=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304394099003055}}.</ref>, or ce [[neurotransmetteur]] semble impliqué dans l'excitation, le stress et l'étiologie du stress post-traumatique<ref>{{en}} Southwick SM, Bremner JD, Rasmusson A, Morgan CA, Arnsten A, Charney DS. ''Role of norepinephrine in the pathophysiology and treatment of posttraumatic stress disorder'' ; Biol Psychiatry 1999, 46: 1192-1204.</ref>.

D'autres publications désignent comme bruit blanc tout espèce de son sans hauteur tonale, même quand il est modulé par un [[signal électrique|signal]]. Ogata a ainsi exposé des sujets à un bruit blanc modulé pour simuler la variation [[sonie|intensité sonore]] d'une pièce de [[musique]]. Il conclut que la variation d'intensité, sans les autres caractères de la musique, entraîne un état déplaisant de [[somnolence]], corrélé avec une augmentation des densités de puissance des ondes lentes du cerveau<ref>{{article|langue=en|prénom=S/ |nom=Ogata |titre=Human EEG responses to classical music and simulated white noise: effects of a musical loudness component on consciousness|périodique=Percept Mot Skills |année=1995|volume=80|passage=779-790|présentation en ligne=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/7567395}}.</ref>. Williamson assimile le bruit identifiable des vagues océaniques sur la plage à un bruit blanc. Il conclut que l'exposition à ce bruit en [[unité de soins intensifs]] en situation postopératoire ([[pontage aorto-coronarien]]) est favorable au sommeil des patients<ref name=coronaires1992>{{article|langue=en|nom=Williamson |prénom=JW |titre=The effects of ocean sounds on sleep after coronary artery bypass graft surgery|périodique=Am J Crit Care |année=1992 |numéro=1 |passage=91-97|présentation en ligne=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/1307884}}.</ref>. Une étude publiée en 2002 désigne comme ''bruit blanc'' toutes ces variétés de signal sonore, ainsi que le bruit d'un ventilateur{{note|groupe=alpha|L'analyse spectrale aussi bien que l'écoute suggèrent que le bruit d'un ventilateur est généralement plus proche d'un [[bruit rose]].}} utilisées pour masquer les bruits ambiants. Les auteurs concluent que ces bruits, ou du véritable bruit à large spectre enregistré sur CD, pourraient être une ''« alternative non-pharmacologique »'' à de nombreux médicaments sédatifs, hypnotiques utilisés pour combattre l'[[insomnie]], divers troubles psychiatriques, ou effets de stress et de [[stress post-traumatique]]<ref>{{article|langue=en|nom1=López |prénom1=Hassan H. |nom2=Bracha |prénom2=Adam S. |nom3=Bracha |prénom3=H. Stephan |mois=septembre |année=2002|présentation en ligne=http://cogprints.org/5032/1/2002_H.M.J_White-noise_for_PTSD.pdf|titre=Evidence based complementary intervention for insomnia |périodique=Hawaii Med J|volume=61 |numéro=9 |passage=192-213}}. {{PMID|12422383}}.</ref>.

Pour d'autres auteurs, {{refsou|le bruit blanc est souvent considéré comme désagréable}} et {{refsou|peut entrainer des [[céphalée]]s}}.

== Notes et références ==
{{References|groupe=alpha}}
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets | Commons = Category:White noise| Wiktionary=bruit blanc }}

=== Bibliographie ===
{{...}}  

=== Articles connexes ===
* [[Bruit]]
* [[Bruit de fond]]
* [[Spectre sonore]]
* [[Bruits colorés]]
* [[Bruit rose]]
* [[Processus continu]]
* [[Processus de Gauss]]
* [[Analyse spectrale]]

{{Portail|électricité et électronique|physique|télécommunications}}

[[Catégorie:Acoustique]]
[[Catégorie:Technologie du son]]
[[Catégorie:Mesure physique]]