Voir la source de Caractéristique d'un anneau

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En [[algèbre]], la '''caractéristique''' d'un [[anneau unitaire|anneau]] (unitaire) ''A'' est par définition l'[[ordre (théorie des groupes)|ordre]] pour la loi additive de l'[[élément neutre]] de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition [[zéro]].  

On note, pour un anneau unitaire (''A'', +, ×), 0<sub>''A''</sub> l'élément neutre de « + » et 1<sub>''A''</sub> celui de « × ». 

La caractéristique d'un anneau ''A'' est donc le plus petit entier ''n'' > 0 tel que
:<math>{\ n.1_A~=~\underbrace{1_A+1_A+\cdots+1_A }_{n\; \text{termes}}~=~0_A}~</math>
si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1<sub>''A''</sub> est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.

Remarque. La présente définition est conforme à des ouvrages publiés au {{s|XXI}}<ref>Par exemple {{Ouvrage|lang=en|url={{Google Livres|CnH3mlOKpsMC|page=252}}|titre=Contemporary Abstract Albegra|nom1={{Lien|Joseph Gallian}}|éditeur=Cengage Learning|année=2010|isbn=978-0-54716509-7|passage=252-253}}.</ref>. [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]<ref>{{Ouvrage|titre=Algèbre, chapitres 4 à 7|auteur=N. Bourbaki|éditeur=[[Elsevier Masson|Masson]]|année=1981|passage=V.2}}.</ref> dit explicitement ne définir la caractéristique d'un anneau que si cet anneau contient un corps. [[Serge Lang|Lang]]<ref>{{Ouvrage|titre=Algèbre|auteur=Serge Lang|éditeur=[[Dunod]]|année=2004|passage=97}}.</ref> considère l'idéal de '''Z''' formé par les ''n'' tels que ''n''.1<sub>''A''</sub> = 0 ; si cet idéal est premier, c'est-à-dire de la forme ''a'''''Z''' où ''a'' est zéro ou un [[nombre premier]], il définit la caractéristique de ''A'' comme étant le nombre ''a''. Il ne la définit pas dans le cas contraire.

==L'homomorphisme de '''Z''' dans ''A''==
Il existe un unique [[morphisme d'anneaux]] unitaires <math>f</math> de <math>\Z</math> dans ''A'' (<math>\Z</math> est en effet un [[Objet initial et objet final|objet initial]] de la catégorie des anneaux). Par définition, si ''n'' est un entier strictement positif, on a :
<center><math>f(n)=1_A+\cdots+1_A\,</math>,</center>
où 1<sub>''A''</sub> est répété ''n'' fois.
Comme <math>\Z</math> est un [[anneau euclidien]], le noyau de <math>f</math> est un [[idéal principal]] et, par définition, la ''caractéristique'' de ''A'' est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique [[entier naturel]] ''c'' tel que le noyau de <math>f</math> soit l'idéal <math>c\Z</math>.

== Propriétés sur les anneaux ==
*'''La caractéristique d'un anneau ''A'' est l'unique entier ''c'' positif ou nul tel que <math>\Z/c\Z</math> soit un sous-anneau unitaire de ''A''.'''
Ceci résulte de la définition ci-dessus et du [[Théorème de factorisation#Le cas des anneaux|théorème de factorisation]].
On en déduit en particulier :
*'''Si ''B'' est un sous-anneau unitaire de ''A'', alors ''A'' et ''B'' ont même caractéristique.'''
*'''Les anneaux de caractéristique nulle sont ceux dont <math>\Z</math> est un sous-anneau unitaire. Ils sont donc infinis.'''
:C'est le cas du corps <math>\Complex</math> des [[Nombre complexe|nombres complexes]] et de tous ses sous-anneaux unitaires, comme le corps <math>\R</math> des [[Nombre réel|nombres réels]] ou le corps <math>\Q</math> des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]]. 
:*Tout [[corps ordonné|anneau totalement ordonné]] est de caractéristique nulle.
:En effet, l'homomorphisme <math>\Z\to A</math> est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif de l'anneau, a fortiori différent de 0.
:C'est par exemple le cas de <math>\R</math> (et ses sous-anneaux unitaires).
:*Le seul anneau dont la caractéristique vaut 1 est l'[[anneau nul]].
:*'''La caractéristique d'un [[anneau intègre]] est soit nulle, soit un nombre premier.'''
:En effet, si <math>\Z/c\Z</math> est un sous-anneau unitaire d'un anneau intègre alors il est lui-même intègre, donc ''c'' est nul ou premier.
*'''Pour tout morphisme d'anneaux unitaires ''g'' : ''A'' → ''B'', la caractéristique de ''B'' divise celle de ''A''.''' 
En effet, l'homomorphisme d'anneaux unitaires <math>\Z\to B</math> est l'homomorphisme composé ''g'' ∘ ''f''. Si ''p'' et ''q'' sont les caractéristiques respectives de ''A'' et de ''B'', le noyau de ''g'' ∘ ''f'' est donc <math>q\Z</math>, or ''g''(''f'' (''p'')) = ''g''(0<sub>''A''</sub>) = 0<sub>''B''</sub>, si bien que 
<math>q\Z</math> contient ''p'', autrement dit ''q'' divise ''p''.
*'''Si ''A'' est un anneau ''commutatif'', et si sa caractéristique est un nombre premier ''p'', alors pour tous éléments ''x, y'' dans ''A'', on a (''x + y'')''<sup>p</sup> = x<sup>p</sup> + y<sup>p</sup>''. L'application qui à ''x'' associe ''x<sup>p</sup>'' est un [[endomorphisme]] d'anneau appelé [[endomorphisme de Frobenius]].'''
Le résultat découle immédiatement de la [[formule du binôme de Newton]] et de ce que ''p'' divise les [[coefficient binomial|coefficients binomiaux]] apparaissant dans le développement.

== Propriétés sur les corps ==
Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique d'un corps ''K'' est soit 0, soit un nombre premier ''p''. De plus, dans le second cas, comme pour tout anneau de caractéristique ''p'' non nulle, ''K'' contient une copie de <math>\Z/p\Z</math> qui (puisqu'ici ''p'' est premier) est un corps : c'est l'unique [[corps fini]] '''F'''<sub>''p''</sub> à ''p'' éléments.

*'''Tout corps de caractéristique nulle contient une copie de <math>\Q</math>.'''
En effet, un tel corps ''K'' contient déjà (comme tout anneau de caractéristique nulle) une copie de <math>\Z</math>. Comme ''K'' est un corps, il contient donc le [[corps des fractions]] de <math>\Z</math>, à savoir le corps <math>\Q</math> des rationnels. Tout corps possède donc un sous-corps minimal, son '''corps premier''', isomorphe (selon sa caractéristique) à un corps fini '''F'''<sub>''p''</sub> ou au corps <math>\Q</math>.
*'''Tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal une puissance de ce nombre.'''
Si ''K'' est un corps fini il est, comme tout anneau fini, de caractéristique non nulle. Par ce qui précède, sa caractéristique est donc un nombre premier ''p'' et ''K'' contient une copie du corps '''F'''<sub>''p''</sub>. De fait, ''K'' est un espace vectoriel sur '''F'''<sub>''p''</sub>. Donc son cardinal est ''p'' à la puissance sa dimension (laquelle, de ce fait, est nécessairement finie, autrement dit ''K'' est une [[extension finie]] de '''F'''<sub>''p''</sub>).
*'''Pour tout nombre premier ''p'', il existe des corps infinis de caractéristique ''p'' ''' :
par exemple le corps des [[fraction rationnelle|fractions rationnelles]] sur '''F'''<sub>''p''</sub> ou la [[clôture algébrique]] de '''F'''<sub>''p''</sub>.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|algèbre}}
[[Catégorie:Théorie des anneaux]]