Voir la source de Complémentaire (théorie des ensembles)

{{Voir homonymes|Complémentaire}}
[[Image:Complement.png|thumb|Si l'encadré représente
l'ensemble ''E'', la partie bleue est le complémentaire de la blanche.
]]

En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[théorie des ensembles]], le '''complémentaire''' d'une partie <math>A</math> d'un [[ensemble]] <math>E</math> est constitué de tous les éléments de <math>E</math> n'appartenant pas à <math>A</math>.

Le complémentaire de <math>A</math> est {{refnec|date=mai 2011|noté <math>^C A</math>, <math> A^C</math>, <math>\complement A</math>}}. En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire  de <math>A</math> dans <math>E</math>, on note <math>\complement_E A</math>.

Si <math>A  </math> est différent de l'[[ensemble vide]] et de <math>E</math>, alors <math>A </math> et <math>  A^C</math> forment une [[partition (mathématiques)|partition]] de l'ensemble <math>E</math>.

==Le cas des ensembles finis==

Lorsque <math>E</math> est un [[ensemble fini]], la somme des [[cardinal d'un ensemble fini|cardinaux]] de <math>A</math> et <math> A^C </math> est égale au cardinal de <math>E</math> :
:<math>\text{card}\left(A\right)+\text{card}\left(A^C\right)=\text{card}\left(E\right)</math>.
D'où on déduit :
:<math>\text{card}\left( A^C\right)=\text{card}\left(E\right)-\text{card}\left(A\right)</math>.

;Exemple
:Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le '''complémentaire''' de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 - 47 = 3 absents.

==Propriétés essentielles==
[[Image:Complement AUB.png|thumb|Le complémentaire de <math>A\cup B</math> est grisé.]]

L'ensemble dans lequel on travaille est noté <math>E</math>. <math>A</math> et <math>B</math> sont des [[sous-ensemble]]s de <math>E</math>.
* <math>E^C = \varnothing</math>.
* <math>{\varnothing}^C = E</math>.
* Un élément de <math>E</math> ne peut être à la fois dans <math>A </math> et dans son complémentaire <math>A^C </math>, un ensemble et son complémentaire sont donc des [[ensembles disjoints]] :
:<math>A \cap A^C = \varnothing</math>
* Tout élément de <math>E</math> est dans <math>A</math> ou dans le complémentaire <math>A^C</math> de <math>A </math> :
:<math>A\cup A^C = E</math>
* Le complémentaire du complémentaire d'un ensemble est cet ensemble lui-même (l'application « le complémentaire de... » est une [[involution (mathématiques)|involution]]) :
: <math>  ({{A}^C})^C = A</math>.
* [[Lois de De Morgan]] ou Dualité :
** Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires :<br /><math> ({A\cup B})^C = A^C \cap  B^C</math>.
** Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires :<br /><math>({A\cap B})^C =  A^C \cup B^C</math>.

== Articles connexes ==

* [[Algèbre des parties d'un ensemble]]
* [[Fonction NON]]
* [[Négation logique]]

{{Portail|mathématiques|logique}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
[[Catégorie:Logique]]