Voir la source de Conique

{{paronyme|Connick}}
[[File:Eccentricity.png|vignette|upright=1.5|Les trois formes de coniques non dégénérées : la courbe fermée d’une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] (rouge), la courbe infinie d’une [[parabole]] (verte) et les deux composantes infinies d’une [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] (bleue), de même foyer {{mvar|F}} et de même droite directrice (noire).]]

En [[géométrie euclidienne]], une '''conique''' est une [[courbe plane]] [[courbe algébrique|algébrique]], définie initialement comme l’[[intersection (mathématiques)|intersection]] d'un [[cône de révolution]] (supposé prolongé à l’infini de part et d’autre du sommet) avec un [[plan euclidien|plan]]. Lorsque le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône, la conique est dite ''non dégénérée'' et réalise l’une des courbes suivantes : [[ellipse (mathématiques)|ellipse]], [[parabole (mathématiques)|parabole]] ou [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]], caractérisées par un paramètre réel appelé [[excentricité (mathématiques)|excentricité]].

Ces courbes apparaissent aussi comme les courbes planes définies par une équation de degré 2, dit autrement les [[ligne de niveau|lignes de niveau]] de [[fonction quadratique|fonctions quadratiques]].

En dehors du cercle, chaque conique non dégénérée admet un [[axe de symétrie]] ''principal'', sur lequel un point appelé ''foyer'' permet d’identifier la courbe comme le [[lieu géométrique]] des points satisfaisant une [[#Définition|équation monofocale]].

L’ellipse et l’hyperbole admettent aussi un axe de symétrie ''secondaire'' perpendiculaire à l’axe principal, définissant ainsi un deuxième foyer et permettant de redéfinir la conique par une [[#Définition bifocale|équation bifocale]].

Les intersections de cône par un plan pouvant être vues comme des [[projection centrale|projections coniques]] d'un cercle sur un plan, l'étude des coniques en géométrie projective permet d'obtenir des résultats puissants et donne lieu à l'étude des [[conique projective|coniques projectives]].

Les coniques sont d'un intérêt particulier en [[astronautique]] et en [[mécanique céleste]] car elles décrivent la forme des [[orbite]]s d'un système à deux corps sous l'effet de la [[gravitation]].

== Définitions métriques ==
[[File:Secciones Conicas.png|thumb|Différentes coniques obtenues comme intersection d'un [[cône de révolution]] et d'un plan selon l'inclinaison de celui-ci : [[cercle]] (rouge), [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] (violet), [[parabole]] (vert), branche d'[[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] (bleu).]]
=== Intersection d'un cône par un plan ===
On obtient une conique en prenant l'intersection d'un [[plan (mathématiques)|plan]] avec un [[cône (géométrie)|cône]] dont la courbe directrice est un cercle. On peut, dans l'étude, se limiter à l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.

Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône de révolution, on obtient différents types de coniques :

[[File:ConiquesDegenerees.svg|thumb|upright=.6|Exemples de coniques dégénérées.]]
* Des coniques '''propres''', quand le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône. On distingue trois sortes de coniques '''propres''' en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône :
** si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture (angle formé par l'axe du cône et une génératrice), l'intersection est une [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] ;
** si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une [[parabole]] ;
** si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] ;
** dans le cas maximal où l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est même un [[cercle]].
* Des {{Lien|trad=Degenerate conic|Conique dégénérée|texte=coniques '''dégénérées'''}}, quand le plan contient le sommet du cône. Là encore, on distingue trois sortes de coniques '''dégénérées''' en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône :
** si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un couple de [[droite (mathématiques)|droites]] sécantes (deux génératrices du cône).
** si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à une seule droite (une des génératrices du cône là où le plan de coupe et le cône sont tangents) ;
** si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un seul point (le sommet du cône).

=== Définition par foyer, directrice et excentricité ===

La définition ''par foyer et directrice'' des coniques est encore appelée définition ''monofocale'' de ces coniques.

==== Définition ====

[[Image:Excentricite.png|thumb|Quatre coniques ayant même foyer et même directrice.]]
Dans un plan (''p''), on considère une droite (D) et un point ''F'' non situé sur (D). Soit {{mvar|e}} un réel strictement positif.

On appelle conique de ''droite directrice'' (D), de ''foyer'' ''F'' et d'''excentricité'' {{mvar|e}} l'ensemble des points ''M'' du plan (''p'') vérifiant<ref>{{harvsp|Lelong-Ferrand|Arnaudiès|1977|p=147}}.</ref> :
:<math>[1]\qquad \mathrm{d}(M, F) = e \mathrm{d}(M,(\mathrm{D})) </math>
où
: <math>\mathrm{d}(M,F)</math> mesure la [[distance (mathématiques)|distance]] du point ''M'' au point ''F''
et
: <math>\mathrm{d}(M,(\mathrm{D}))</math> mesure la [[distance (mathématiques)|distance]] du point ''M'' à la droite (D)

Le paramètre {{mvar|e}}  définit la ''forme'' de la conique, c'est-à-dire que deux coniques ayant même excentricité sont image l'une de l'autre par une [[similitude (géométrie)|similitude]].
*Si {{math|''e'' < 1}}, on obtient une courbe fermée et bornée ([[ellipse (mathématiques)|ellipse]]).
*Si {{math|''e'' {{=}} 1}}, on obtient une courbe ouverte et infinie ([[parabole (mathématiques)|parabole]]).
*Si {{math|''e'' > 1}} on obtient une courbe possédant deux branches symétriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes ([[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]]).

Toutes ces courbes possèdent comme axe de symétrie la droite passant par ''F'' et perpendiculaire à (D) appelé ''axe principal'' de la conique.

==== Équations cartésiennes ====

[[Fichier:Conics anim.gif|thumb|Coniques]]

On note ''K'' le projeté orthogonal du point ''F'' sur la droite (D) et ''h'' la distance de K à F (le produit {{mvar|p {{=}} eh}} s'appelle le ''paramètre'' de la conique depuis [[Pierre Hérigone]]). 

Pour tout point ''O'' de l'axe principal, on peut construire le repère orthonormal <math>(O,\vec u,\vec v)</math> où <math>\vec u=\frac1h\overrightarrow{KF}</math> dans lequel ''F'' a pour abscisse {{mvar|α}}.

Pour un point ''M'' de coordonnées {{math|(''x'' , ''y'')}} on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :
{{retrait|<math>[2] \qquad \mathrm{d}(M, F) = \sqrt{ (x-\alpha)^2 + (y-0)^2 }</math>}}
{{retrait|<math>[3] \qquad \mathrm{d}(M, (\mathrm{D})) = \sqrt{ (x-\alpha + h)^2 }</math>}}
ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] :
{{retrait|<math>[4] \qquad (x-\alpha)^2 + y^2 = e^2(x-\alpha + h)^2</math>}}
soit après réduction :
{{retrait|<math>[5] \qquad x^2(1-e^2) + y^2 =2Bx +C </math>}}
où
{{retrait|<math> B= (1-e^2)\alpha + ep\quad C=(p-e\alpha)^2-\alpha^2</math>.}}
Un choix judicieux de ''O'' permet de simplifier cette équation.

===== Centre du repère au sommet de la conique =====
En prenant <math> \alpha = \frac{p}{1+e}</math>, le coefficient ''C'' s'annule et ''O'' est un point de la conique appelé ''sommet''. L'équation s'écrit :
{{retrait|<math>x^2(1-e^2)+y^2=2px</math>.}}

En particulier, dans le cas où {{math|''e'' {{=}} 1}}, on retrouve l'équation caractéristique de la [[parabole (mathématiques)|parabole]]<ref name="LFA149" /> :

<center> <math>y^2=2px</math>.</center>

===== Centre du repère au centre de la conique =====
Dans le cas où {{mvar|e}} est différent de 1, pour <math>\alpha=\frac{ep}{e^2-1}</math>, le coefficient ''B'' s'annule et le point ''O'' est ''centre'' de symétrie de la conique. L'équation s'écrit :
{{retrait|<math>x^2(1-e^2)+y^2=\frac{p^2}{1-e^2}</math>,}}
dans laquelle on retrouve, en posant 
{{retrait|<math>a^2=\frac{p^2}{(1-e^2)^2}\quad b^2=\left|\frac{p^2}{1-e^2}\right|</math>,}}
les équations caractéristiques suivantes<ref name=LFA150>{{harvsp|Lelong-Ferrand|Arnaudiès|1977|p=150}}.</ref> :
<center><math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1</math> pour ''e'' < 1 — cas de l'[[ellipse (mathématiques)|ellipse]]</center>
<center><math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1</math> pour ''e'' > 1 — cas de l'[[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]]</center>
===== Cas particulier du cercle =====
Dans les équations précédentes, on trouve l'équation d'un cercle de rayon {{mvar|r}} dans le cas où {{math|''e'' {{=}} 0}} et {{mvar|p {{=}} r}}. On considère alors le cercle comme un cas particulier d'ellipse d'excentricité nulle, dont le foyer est situé au centre du cercle et dont la directrice est envoyée ''à l'infini''<ref name=LFA150/>.

==== Équation polaire ====
Dans le repère d'origine ''F'' et de direction <math>\vec w=\frac1h\overrightarrow{FK}</math>, une telle conique a pour équation polaire<ref>{{harvsp|Lelong-Ferrand|Arnaudiès|1977|p=148}}.</ref> :
{{retrait|<math>\rho= \frac{p}{1+e\cos(\theta)}</math>}}

Réciproquement, toute courbe dont l'équation polaire dans un repère <math>(O, \vec u, \vec v)</math> est :
{{retrait|<math>\rho=\frac{p}{A\cos(\theta)+B\sin(\theta)+1}</math>,}}
où ''p'' est un réel non nul, et (''A'', ''B'') un couple de réels différent de (0, 0), est une conique de foyer ''O'', d'excentricité <math>\sqrt{A^2+B^2}</math> et d'axe la droite d'équation {{mvar|Ay {{=}} Bx}}<ref name=LFA149>{{harvsp|Lelong-Ferrand|Arnaudiès|1977|p=149}}.</ref>.

Cette forme d'équation polaire est utile dans l'étude de la trajectoire des planètes<ref name=LFA149/>.

=== Définition bifocale ===

L'ellipse peut être définie comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes, appelés foyers de l'ellipse, est constante et égale à une valeur fixée. Cette définition reste valable dans le cas du cercle, pour lequel les foyers sont confondus.

L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes, appelés foyers de l'hyperbole, est constante et égale à une valeur fixée.

La parabole n'a pas de définition bifocale.

Cette propriété bifocale correspond à une autre définition d'une conique par un point et une courbe directrice<ref>V. Lespinard et R. Pernet, ''Géométrie : Cours Complet. Classe de mathématiques élémentaires'', Lyon, André Desvigne, {{6e}} éd., 646 p., chap. XXX, (« Générations ponctuelles des coniques »), {{p.|451-453}}.</ref>{{,}}<ref>http://iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard.Eguether/zARTICLE/1L.pdf</ref> : l’ensemble des centres des cercles passant par un point fixe ''F'' et tangent à, soit un cercle fixe (C) ne passant pas par ''F'', soit une droite fixe (D) ne contenant pas ''F'', est une conique de foyer ''F'' et de courbe directrice (C) ou (D).

Si ''F'' est intérieur à (C), la courbe est une ellipse ; si ''F'' est extérieur à (C) la courbe est une hyperbole ; si la directrice est une droite, la courbe est une parabole. 

En notant {{mvar|F'}} le centre du cercle (C) et {{math|2''a''}} son rayon ({{math|''a'' > 0}}), on obtient en effet :
* dans le cas de l'ellipse, le cercle centré en ''M'' est tangent intérieurement à (C), et le point ''M'' vérifie {{math|''MF + MF{{'}}'' {{=}} 2''a''}} ;
* dans le cas de l'hyperbole, le cercle (C) est tangent au cercle centré en ''M'', soit intérieurement, et le point ''M'' vérifie {{math|''MF – MF{{'}}'' {{=}} 2''a''}}, soit extérieurement, et le point ''M'' vérifie {{math|''MF{{'}} – MF'' {{=}} 2''a''}}. On regroupe les deux cas par la condition {{math|{{!}}''MF – MF{{'}}''{{!}} {{=}} 2''a''}}.
Les points ''F'' et ''F{{'}}'' sont les foyers de la conique.

Quant à la parabole, on retrouve, pour le cercle centré en ''M'' passant par ''F'' et tangent à (D), l'égalité {{math|''MF'' {{=}} d(''M'',(D))}}.

=== Liens entre les définitions ===

==== Définition monofocale et définition bifocale ====

Les paraboles admettent un et un seul couple foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et l'excentricité correspondante vaut 1.

Ellipses et hyperboles admettent exactement deux couples foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et ceux-ci correspondent à une même valeur de l'excentricité. Ils sont symétriques par rapport au centre de l'ellipse ou au point d'intersection des asymptotes de l'hyperbole. Ces foyers sont les points intervenant dans la définition bifocale.

==== Définition géométrique, foyers et directrices ====

Les foyers et les directrices des coniques peuvent être déterminés géométriquement dans le cadre de la définition des coniques comme intersection d'un cône et d'un plan ne passant pas par le centre de celui-ci.

Il existe, selon l'orientation du plan par rapport à l'axe du cône, une (cas des paraboles) ou deux (cas des ellipses et des hyperboles) sphères tangentes à la fois au plan et au cône ; ce sont des sphères centrées sur l'axe, situées dans un même demi-cône (cas des ellipses) ou dans des demi-cônes opposés (cas des hyperboles).

Chacune de ces sphères définit l'un des foyers de la conique (c'est le point de tangence de la sphère et du plan) ainsi que la droite directrice associée (c'est l'intersection du plan de la conique et du plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône) ; c'est le [[théorème de Dandelin]].

== Définition algébrique ==
Dans un espace affine muni d'un repère, on appelle conique tout ensemble de points ''M''(''x'', ''y'') vérifiant une égalité de la forme 
<center><math> Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx+2Ey+F=0</math></center>
où ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E'', ''F'' sont des constantes<ref> Ces constantes sont à prendre dans le corps K (de caractéristique différente de 2 vu la définition choisie) associé à l'espace affine.</ref> telles que (''A'',''B'',''C'') ≠ (0,0,0).

L'ensemble des coniques est stable par [[transformation affine]] ou par changement de repère.
=== Équation réduite en géométrie euclidienne ===
Une conique étant donnée, avec son équation dans un repère quelconque, on cherche à déterminer un repère orthonormal dans lequel l'équation de la conique serait ''aussi simple que possible''. On se place d'emblée dans le cas où l'équation est donnée dans un repère orthonormal, si ce n'est pas le cas, on peut s'y ramener par changement de base. On peut également éliminer le terme en {{mvar|xy}} en changeant de base par rotation<ref name=DeschampsWarusfel>Claude Deschamps, [[André Warusfel]], ''Cours de mathématiques - {{1re|année}}, MPSI, PCSI, PTSI'', Dunod, 1999, {{p.|913-914}}.</ref>.

En effet, les équations de changement de base, pour une rotation d'angle {{mvar|θ}}, sont :
{{retrait|<math>\begin{cases}
x=\cos(\theta)X-\sin(\theta)Y\\
y = \sin(\theta)X + \cos(\theta)Y.
\end{cases}</math>}}

Le coefficient devant {{mvar|XY}} s'écrit alors :
{{retrait|<math> (C-A)\sin(2\theta)+2B\cos(2\theta)</math>}}
et si ''B'' est non nul, ce coefficient s'annule lorsque {{math|2''θ''}} est un argument de {{math|''C'' – ''A'' – 2''B''i}}

On suppose désormais que la conique a pour équation :
<center><math> A_1x^2 + C_1y^2 + 2D_1x+2E_1y+F=0</math></center>
et l'on distingue trois éventualités<ref name=DeschampsWarusfel/>.

==== Si ''A''{{Ind|1}}''C''{{Ind|1}} > 0 ====
Un changement d'origine en prenant ''O''{{Ind|1}}(− ''D''{{Ind|1}}/''A''{{Ind|1}},− ''E''{{Ind|1}}/''C''{{Ind|1}}) permet d'éliminer les termes en ''x'' et ''y''. La conique a pour équation dans ce nouveau repère :
{{retrait|<math>A_1x^2+C_1y^2+F_1=0</math>}}
Trois cas se présentent alors :
* si ''F''{{Ind|1}} est de signe opposé à ''A{{Ind|1}} et C''{{Ind|1}}, en posant {{Formule|''a''{{2}} {{=}} − ''F''{{Ind|1}}/''A''{{Ind|1}}}} et {{Formule|''b''{{2}} {{=}} − ''F''{{Ind|1}}/''C''{{Ind|1}}}}, on obtient l''''équation réduite d'une ellipse''' ;
<center><math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1</math></center>
* si ''F''{{Ind|1}} est nul, la conique est réduite à '''un point''' : ''O''{{Ind|1}} ;
* si ''F''{{Ind|1}} est de même signe que ''A''{{Ind|1}} et ''C''{{Ind|1}}, la conique est '''vide'''.

==== Si ''A''{{Ind|1}}''C''{{Ind|1}} < 0 ====
Le même changement de repère conduit à l'équation :
{{retrait|<math>A_1x^2+C_1y^2+F_1=0</math>}}
et l'on peut même, en permutant éventuellement les vecteurs de la base, supposer que ''C''{{ind|1}}''F''{{ind|1}} ≥ 0. Deux cas se présentent alors :
* si ''F''{{Ind|1}} est non nul, en posant {{Formule|''a''{{2}} {{=}} − ''F''{{Ind|1}}/''A''{{Ind|1}}}} et {{Formule|''b''{{2}} {{=}}  ''F''{{Ind|1}}/''C''{{Ind|1}}}}, on obtient l''''équation réduite d'une hyperbole''' ;
<center><math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math> ;</center>
* si ''F''{{Ind|1}} est nul, en posant {{Formule|''a''{{2}} {{=}} {{!}}1/''A''{{Ind|1}}{{!}}}} et {{Formule|b{{2}} {{=}} {{!}} 1/''C''{{Ind|1}}{{!}}}}, la conique est la réunion de '''deux droites sécantes''' d'équations : {{formule| ''bx'' ± ''ay'' {{=}} 0}}.

==== Si ''A''{{Ind|1}}''C''{{Ind|1}} = 0 ====
On peut, en permutant éventuellement les vecteurs de la base, supposer que ''A''{{Ind|1}} est nul et ''C''{{Ind|1}} non nul. Un changement d'origine en prenant ''O''{{Ind|1}}(0, −''E''{{Ind|1}}/''C''{{Ind|1}}) conduit à l'équation
{{retrait|<math> C_1y^2 + 2D_1x+ F_1=0, </math>}}
et deux cas se présentent :
*si ''D''{{Ind|1}} est non nul, le changement d'origine en prenant ''O''{{Ind|2}}(−''F''{{ind|1}}/(2''D''{{Ind|1}}), 0) permet d'éliminer le terme constant. Ensuite, en posant {{formule|''p'' {{=}} − ''D''{{ind|1}}/''C''{{ind|1}}}}, on obtient l''''équation réduite d'une parabole '''
<center><math>y^2=2px</math> ;</center>
*si ''D''{{Ind|1}} est nul, l'équation se réduit à{{retrait|<math> C_1y^2 + F_1 = 0 </math>}}et l'on distingue trois sous-cas :
**si ''F''{{Ind|1}} est de signe opposé à ''C''{{Ind|1}}, en posant {{Formule|''p''{{2}} {{=}} − ''F''{{Ind|1}}/''C''{{Ind|1}}}} la conique est la réunion de '''deux droites parallèles''' d'équations {{formule|''y {{=}} ± p''}},
**si ''F''{{Ind|1}} est nul, la conique se réduit à '''une droite''' d'équation ''y'' = 0,
**si ''F''{{Ind|1}} est de même signe que ''C''{{Ind|1}}, la conique est '''vide'''.

Ces équations réduites permettent de mettre en évidence les [[Action de groupe (mathématiques)#Orbite|orbite]]s des coniques pour les isométries : toutes les coniques d'une même classe avec les mêmes paramètres sont isométriques.

=== Classification affine ===
On se place dans le cadre d'un plan affine réel muni d'un repère et on considère l'ensemble des fonctions ''f'' définies pour tout point M(''x'', ''y'') par
{{retrait|<math>f(M)=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F</math>}}
où ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E'', ''F'' sont des constantes réelles telles que (''A'',''B'',''C'') ≠ (0,0,0). 

On note ''C{{ind|f}}'' la conique d'équation ''f''(''M'') = 0. La question qui se pose est de savoir quel est l'effet des transformations affines sur la conique ''C{{ind|f}}'', plus exactement de déterminer son [[Action de groupe (mathématiques)#Orbite|orbite]] pour les [[transformation affine|transformations affines]]. Pour deux coniques ''C''{{ind|''f''1}} et ''C''{{ind|''f''2}}, on observe que s'il existe une transformation affine et un réel {{math|λ}} non nul tels que ''f''{{ind|1}} ∘ ''φ'' = ''λf''{{ind|2}}, alors {{math|φ(''C''{{ind|''f''2}}) {{=}} ''C''{{ind|''f''1}}}}. On dit alors que ''f''{{ind|1}} et ''f''{{ind|2}} sont affinement équivalentes. Le but de la classification affine est de ranger les fonctions ''f'' en classe d'équivalence<ref>Patrice Tauvel, ''Cours de géométrie - Agrégation, 2d cycle, Master'', Dunod, 2005, {{p.|407-411}}.</ref>. 

On définit pour cela
* <math> Q_f= \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}</math>
* <math> L_f= \begin{pmatrix} 2D & 2E \end{pmatrix}</math>
* <math> M_f = \begin{pmatrix} A & B & D\\ B & C & E\\D & E & F \end{pmatrix}</math>
* <math> X= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math>
* <math> \tilde X = \begin{pmatrix} x \\ y \\1 \end{pmatrix}</math>
On obtient les écritures matricielles de ''f'' suivantes
{{retrait| <math> f(M)= ^{\operatorname t}XQ_fX+L_fX+F = ^{\operatorname t}\tilde X M_f\tilde X</math>}}

On démontre ensuite que ''f''{{ind|1}} et ''f''{{ind|2}} sont affinement équivalentes si et seulement si ''Q''{{ind|''f''1}} et ''Q''{{ind|''f''2}} ont même [[Loi d'inertie de Sylvester|signature]] (à l'ordre près) ainsi que ''M''{{ind|''f''1}} et ''M''{{ind|''f''2}}. De plus la signature de ''Q''{{ind|''f''}} (à l'ordre près) caractérise le signe de son déterminant ''AC'' -''B''{{2}}. On obtient alors une classification des coniques en fonction des signatures de ces deux matrices :

{| class="wikitable centre"
|-
!scope="col"| Signature de ''Q{{ind|f}}'' !!scope="col"|signe de ''AC - B''{{2}} !!scope="col"| Signature de ''M{{ind|f}}'' !!scope="col"| Det(''M{{ind|f}}'') !!scope="col"|Équation type !!scope="col"| Classe de conique
|-
|rowspan="3"|(2, 0)||rowspan="3"| positif||(3, 0)||non nul||''X''{{2}} + ''Y''{{2}} + 1 = 0||Vide
|-
|(2, 1)||non nul||''X''{{2}} + ''Y''{{2}} – 1 = 0||Ellipse
|-
|(2, 0)||nul||''X''{{2}} + ''Y''{{2}} = 0||Un point
|-
|rowspan="2"|(1, 1)||rowspan="2"| négatif||(1, 2)||non nul||''X''{{2}} - ''Y''{{2}} – 1 = 0||Hyperbole
|-
|(1, 1)|| nul||''X''{{2}} – ''Y''{{2}} = 0||Deux droites sécantes
|-
|rowspan="4"|(1, 0)||rowspan="4"| nul||(2, 1)||non nul||''X''{{2}} – ''Y'' = 0||Parabole
|-
|(2, 0)||nul||''X''{{2}} + 1 = 0||Vide
|-
|(1, 1)||nul||''X''{{2}} – 1 = 0||Deux droites parallèles
|-
|(1, 0)||nul||''X''{{2}}= 0||Une droite
|}

Quand le déterminant de ''M{{Ind|f}}'' est nul, on dit que la conique est dégénérée<ref>On range parfois aussi les cas où la conique est vide dans les cas dégénérés.</ref>.

=== Géométrie projective ===

En [[géométrie projective]], les coniques sont encore les courbes planes algébriques du second degré, c'est-à-dire les courbes planes caractérisées dans un certain [[repère projectif]] par une [[polynôme homogène|équation polynomiale homogène]] de degré 2. Une telle équation a pour forme (voir [[coordonnées homogènes]])
: <math> A X^2 + 2B X Y + C Y^2 + 2D X Z + 2E Y Z + F Z^2 = 0</math>
avec ''A'', ''B'' et ''C'' non tous nuls<ref name="Ladegaillerie401">{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=401}}.</ref>.

Les coordonnées (''X'', ''Y'',''Z'') d'un point dans un repère de l'espace projectif ne sont pas toutes nulles, et deux triplets de coordonnées proportionnelles définissent le même point. On travaille plus précisément dans le [[plan projectif réel]] '''P'''(E), où E est l'espace vectoriel réel de dimension 3. Une conique projective réelle est une courbe qui possède une équation polynomiale homogène du second degré dans un [[repère projectif]] de '''P'''(E).

Même pour les coniques réelles (les coefficients ''A, B, C, D, E, F'' ci-dessus sont réels), il peut être utile de considérer le ''complexifié'' '''P'''(E<sub>C</sub>) de '''P'''(E), qui est le plan projectif complexe. Un repère de '''P'''(E) est aussi un repère de '''P'''(E<sub>C</sub>), les coordonnées étant complexes. Les points réels sont ceux de '''P'''(E), les points imaginaires ceux de '''P'''(E<sub>C</sub>) qui ne sont pas dans '''P'''(E). Les points imaginaires sont ceux qui ont au moins une coordonnée non réelle dans un repère de '''P'''(E) (ceci ne dépend pas du repère). Sauf précision, les points de la conique sont les points réels qui satisfont l'équation, mais on peut parler des points imaginaires d'une conique réelle<ref name="Ladegaillerie401"/>.

Les coordonnées homogènes sont les coordonnées dans la base de E déterminée par le repère projectif choisi. On voit alors qu'une conique de '''P'''(E) est définie par une forme quadratique sur E. Plus précisément la conique (''C{{ind|q}}'') de '''P'''(E) associée à une forme quadratique ''q'' de ''E'' est l'ensemble des points de '''P'''(''E'') déterminés par des vecteurs non nuls ''u'' de E tels que ''q''(''u'') = 0. Deux formes quadratiques proportionnelles définissent la même conique<ref name="Ladegaillerie401"/>.

Une conique est dite ''propre'' si elle est associée à une forme quadratique non dégénérée, ''dégénérée'' sinon. Une forme quadratique dégénérée est soit le carré d'une [[forme linéaire]], soit la somme ou la différence de carrés de formes linéaires. Elle se factorise donc toujours comme produit de deux formes linéaires (éventuellement complexes). Les noyaux de ses formes linéaires sont des plans qui définissent des droites projectives (éventuellement complexes). Une conique dégénérée réelle non vide (sur l'espace réel) est donc soit une droite, soit la réunion de deux droites (éventuellement complexes)<ref name="Ladegaillerie402">{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=402}}.</ref>.

L'image d'une conique par une [[application projective#Homographies du plan|homographie]] est encore une conique, puisque celle-ci correspond à une [[transformation linéaire]] ''f'' sur ''E'', si la conique est associée à la forme quadratique ''q'', l'image de celle-ci est associée à la forme quadratique {{nobr|''q'' ∘ ''f''{{-1}}<ref name="Ladegaillerie402"/>.}}

==== Classification projective des coniques réelles ====
La classification projective des coniques est la classification à homographie près : deux coniques sont dans la même classe si l'une est image de l'autre par une homographie. Elle se déduit donc de la [[forme quadratique#Classification des formes quadratiques|classification des formes quadratiques]], sachant que deux coniques proportionnelles (opposées en particulier) définissent la même conique. La classification projective des coniques réelles s'obtient alors directement à partir de celle des formes quadratiques réelles donnée par la [[loi d'inertie de Sylvester]]. Autrement dit, l'[[Action de groupe (mathématiques)|orbite]] d'une conique réelle sous l'action du [[Groupe général linéaire#Groupe projectif linéaire|groupe projectif linéaire]] PGL(3,'''R''') est caractérisée par la signature de la forme quadratique.

Comme deux formes quadratiques opposées sont associées à la même conique, on peut toujours supposer que le premier terme de la signature est supérieur ou égal au second.

Par diagonalisation des formes quadratiques, par exemple par [[réduction de Gauss]], on obtient une écriture de celle-ci comme somme et/ou différence de carrés qui est déterminée par la signature. La conique est alors l'image par transformation projective d'une conique de l'équation réduite indiquée dans le même repère, ou, de façon équivalente, il existe un repère dans lequel l'équation de la conique est l'équation indiquée.

{| class="wikitable centre"
!colspan="2"|Forme quadratique!!colspan="2"|Conique
|-
!rang!!scope="col"|Signature!!scope="col"|Équation type!!scope="col"| Classe
|-
|3||(3, 0)||''X''{{2}} + ''Y''{{2}} + ''Z''{{2}} = 0||Conique propre imaginaire, vide sur le plan projectif réel
|-
|3||(2, 1)||''X''{{2}} + ''Y''{{2}} – ''Z''{{2}} = 0||Conique propre réelle
|-
|2||(2, 0)||''X''{{2}} + ''Y''{{2}} = 0             ||Conique dégénérée en un seul point réel (deux droites sécantes complexes)
|-
|2||(1, 1)||''X''{{2}} – ''Y''{{2}} = 0             ||Conique dégénérée en deux droites sécantes (réelles)
|-
|1||(1, 0)||''X''{{2}} = 0                           ||Conique dégénérée en une droite double (réelle)
|- style="Background: white; border-bottom: hidden; border-right:hidden; border-left:hidden; font-size: smaller;"
|colspan="4"|Le rang de la forme quadratique est précisé mais se déduit de la signature ; on parle également de rang pour la conique associée.
|}

En particulier, il n'y a à homographie près qu'une seule conique projective réelle non dégénérée non vide, celle qui a pour équation dans un certain repère projectif ''X''<sup>2</sup>+''Y''<sup>2</sup>-''Z''<sup>2</sup>=0 (signature (2,1) ou (1,2)). Cette équation est celle d'un cône à base elliptique de sommet l'origine dans l'espace vectoriel E<ref>{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=402}} pour l'ensemble du paragraphe, voir aussi, avec une définition différente de conique et dans le cas général (dimension ''n'') des [[quadrique]]s, {{Ouvrage|prénom=Michèle|nom=Audin|lien auteur=Michèle Audin|titre=Géométrie|numéro d'édition=3|éditeur=EDP Sciences|lien éditeur=EDP Sciences|année=2006|isbn=978-2-75980180-0|url={{Google Livres|n1EdG4fcor0C|page=245}}|page=245}}.</ref>.

==== Coniques projectives et affines ====
Un plan affine peut toujours être plongé dans un espace vectoriel E de dimension 3, comme plan affine ne passant pas par l'origine. Un repère de E peut être choisi de façon que le plan affine soit identifié au plan affine d'équation ''Z'' = 1 dans ce repère. Ce plan affine apparait alors également comme la partie du plan projectif P(''E'') formée des points de coordonnées homogènes (''X'':''Y'':1), donc par homogénéité ceux de coordonnées (''X'' : ''Y'' : ''Z'') avec ''Z'' ≠ 0. Les points de coordonnées (''X'';''Y'':0) forment alors une droite projective, qui est la droite à l'infini associée au plan affine.

La restriction de la conique projective d'équation
: <math>AX^2+2BXY+CY^2+2DXZ+2EYZ+FZ^2=0</math>
au plan affine ''Z'' = 1, a pour équation, en choisissant le repère affine déduit du repère projectif
: <math>AX^2+2BXY+CY^2+2DX+2EY+F=0</math>
et l'on a bien l'équation d'une conique affine, et par l'opération inverse, en homogénéisant l'équation de la conique affine, celle-ci apparaît comme la restriction au plan affine d'une conique projective.

L'intersection de la conique projective avec la droite à l'infini associée au plan affine a pour équation
: <math> A X^2 + 2B X Y + C Y^2 = 0</math>.
Le trinôme ''AX''<sup>2</sup> + 2''BXY'' + ''CY''<sup>2</sup> est la ''forme quadratique à l'infini'' de la conique affine. Le nombre de solutions de l'équation à homogénéïté près est le nombre de point à l'infini de la conique. Celui-ci est 0, 1, ou 2, suivant le signe de ''B''<sup>2</sup> -''AC'', discriminant (réduit) de l'équation (en ''Y/X'' ou ''X/Y'' suivant que l'on cherche des solutions telles que ''X'' est non nul ou ''Y'' est non nul).

On retrouve alors la classification affine à partir de la classification projective et du nombre de points à l'infini : les critères sont les mêmes, signature de la forme quadratique donnée par l'équation homogénéisée, le discriminant est l'opposé du déterminant de la forme quadratique à l'infini. En particulier une ellipse (''B''<sup>2</sup> -''AC'' < 0) n'a pas de point à l'infini, une parabole (''B''<sup>2</sup> -''AC'' = 0) a un seul point double à l'infini, c'est-à-dire qu'elle est tangente à la droite à l'infini, une hyperbole (''B''<sup>2</sup> -''AC'' > 0) a deux points à l'infini.

=== Cas barycentrique ===

En géométrie analytique '''barycentrique''', les coniques sont toujours les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des [[coordonnées barycentriques]] ''λ'', ''μ'' et ''ν'' qui vérifient une équation polynomiale homogène du second degré de la forme :

:<math>\mathrm A_{11}\lambda^2+\mathrm A_{22}\mu^2+\mathrm A_{33}\nu^2+2\mathrm A_{12}\lambda\mu+2\mathrm A_{23}\mu\nu+2\mathrm A_{31}\nu\lambda=0</math>.

On peut identifier cette équation à la précédente, en posant :
: <math>\lambda= \mathrm X,\ \mu=\mathrm Y,\ \nu=\mathrm Z</math>.
On obtient alors, à un coefficient multiplicatif près :
: <math>\mathrm A_{11}=\mathrm A,\mathrm A_{22}=\mathrm C,\mathrm{A}_{33}=\mathrm F,\mathrm A_{12}=\mathrm B,\mathrm A_{23}=\mathrm E,\mathrm A_{31}=\mathrm D</math>.

== Propriétés d'incidence ==
=== Intersection d'une conique avec une droite ===
{{...}}
=== Conique passant par cinq points ===
{{Article détaillé|Théorème des cinq points}}

Le [[théorème des cinq points]], cas particulier du [[paradoxe de Cramer]], permet de montrer qu'il suffit de connaitre cinq points distincts, non alignés trois par trois, pour déterminer de façon unique une conique. Plus précisément, elle sera déterminée de façon unique si aucun sous-ensemble de quatre points n'est aligné, et non dégénérée si et seulement si les cinq points sont non alignés trois par trois.

{{Démonstration|
On note les cinq points {{math|''A''{{ind|1}}, ''A''{{ind|2}}, ''A''{{ind|3}}, ''A''{{ind|4}}, ''A''{{ind|5}}}}, qu'on suppose donc non alignés quatre à quatre. En se plaçant dans le repère affine <math>(A_1, overrightarrow{A_1 A_2}, overrightarrow{A_1 A_3})</math>, on note les [[coordonnées barycentriques]] dans ce repère (''X'',''Y'',''Z''). Alors toute conique passant par {{math|''A''{{ind|1}}, ''A''{{ind|2}}, ''A''{{ind|3}}}} dans ce repère a une équation de la forme :
:<math> pXY + qZX + rYZ = 0</math>
Les points {{math|''A''{{ind|4}}, ''A''{{ind|5}}}}, de coordonnées barycentriques dans ce repère {{math|(''x''{{ind|4}}, ''y''{{ind|4}}, ''z''{{ind|4}})}} et {{math|(''x''{{ind|5}}, ''y''{{ind|5}}, ''z''{{ind|5}})}} étant également sur la conique, les coefficients ''p'', ''q'', ''r'' vérifient 
:<math> px_4y_4 + qz_4x_4 + ry_4z_4 = px_5y_5 + qz_5x_5 + ry_5z_5 = 0</math>
Ce système linéaire est de rang exactement 2, car sinon, au moins quatre points parmi {{math|''A''{{ind|1}}, ''A''{{ind|2}}, ''A''{{ind|3}}, ''A''{{ind|4}}, ''A''{{ind|5}}}} seraient alignés, ce qui est exclu. Ainsi, l'ensemble solution de ce système est une droite vectorielle, donc défini à une constante près. Les équations sont donc toutes proportionnelles et définissent bien la même courbe.
}}

== Histoire ==
[[File:MenechmeProblem.svg|thumb|left|'''Problème de Ménechme''' : ''OM'' et ''ON'' étant donnés, il faut placer ''OP'' et ''OQ'' tels que ''OM''/''OP'' = ''OP''/''OQ'' = ''OQ''/''ON''. Cette série d'égalités est équivalente à ''OP''{{2}} = ''OM''.''OQ'' (1) et ''OP''.''OQ'' = ''OM''.''ON'' (2). Ces deux conditions placent le point ''R'', quatrième point du rectangle ''POQR'', à l'intersection d'une parabole (1) et d'une hyperbole (2).]]
L'étude des coniques remonte, en Grèce, au moins jusqu'au {{-s|IV|e}} quand [[Ménechme]] recherchant une double moyenne proportionnelle entre deux segments, la trouve comme l'intersection de deux courbes, une parabole et une hyperbole<ref>[[#Vitrac|Vitrac]], [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html#inventeur Ménechme, l'inventeur des sections coniques ?]</ref>. Ménechme ne donne pas de nom à ses courbes. Elles furent également étudiées par [[Euclide]] et [[Aristée l'ancien|Aristée]]. Pour eux, un cône est obtenu comme rotation d'un triangle (''ABC'') rectangle en ''B'' autour d'un côté de l'angle droit ''AB'', l'hypoténuse est appelée génératrice du cône. Le cône est dit rectangle si l'angle de sommet ''A'' est égal à 45°, acutangle (respectivement obtusangle) si l'angle de sommet ''A'' est inférieur (respectivement supérieur) à 45°. Pour Aristée, une conique est obtenue par intersection d'un cône avec un plan perpendiculaire à une génératrice. Si le cône est rectangle, la section (parabole) est appelée une ''section rectangle'', si le cône est acutangle, la section (ellipse) est appelée ''section acutangle'' et si le cône est obtusangle, la section (hyperbole) est appelée ''section obtusangle'' du cône<ref>[[#Vitrac|Vitrac]], [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html#aristee La génération des coniques selon Aristée].</ref>. Pour [[Apollonios de Perga|Apollonius de Perge]], le cône est généré par un cercle, un point non situé dans le plan du cercle et une faisceau de droites passant par le point et s'appuyant sur le cercle (le cône n'est donc pas nécessairement droit). Il parle de surface conique et envisage les deux nappes du cône<ref>[[#Vitrac|Vitrac]], [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html#apollonius L'approche d'Apollonius].</ref>. Une conique est l'intersection d'un plan avec le cône, il est donc un des premiers à voir que l'hyperbole est formée de deux parties : une section et sa section opposée.
[[File:EllipseDiametre.svg|thumb|Dans cette ellipse de centre ''O'', les cordes ''MM{{'}}'', ''NN{{'}}'' et ''TT{{'}}'' sont ''ordonnées''. Le segment [''SS{{'}}''] qui passe par le milieu de ces cordes est le ''diamètre'' associé aux cordes ordonnées. Les longueurs ''Sm'', ''Sn'' et ''SO'' sont des ''abscisses'' et les longueurs ''mM'', ''nN'' et ''OT'' sont des ''ordonnées''. Le segment ''SP'' est le ''côté droit'' de l'ellipse associé à ce diamètre. Il est tel que SP=2OT²/OS.]]C'est également dans ses écrits que l'on trouve les termes d’''abscisse'' et d’''ordonnée'' : il remarque que dans une conique, des cordes parallèles ont des milieux alignés. La droite passant par ces milieux est appelée un diamètre, les segments parallèles sont appelés segment ''ordonnés'' et les segments découpés sur un diamètre par les ordonnées sont les ''abscisa'' (découpées)<ref name=aube>{{ouvrage |auteur=Árpád Szabó |titre=L'aube des mathématiques grecques |éditeur=Vrin |année=2000 |lire en ligne= {{Google Livres |id=dinTO2RzDJMC |p=223}} |passage=223}}.</ref>.

Il caractérise également les coniques par une égalité d'aire : l'aire du carré s'appuyant sur une ordonnée est fonction de l'aire d'un rectangle s'appuyant sur l'abscisse. Il définit une longueur constante qu'il appelle le ''côté droit'' <ref name=aube/> et qui portera plus tard le nom de ''paramètre'' (mesuré à côté)<ref>Thomas Corneille, Bernard Le Bovier de Fontenelle, ''Dictionnaire universel des arts et des sciences'' : M - Z, vol. 2, Coignard, 1732, [https://books.google.fr/books?id=SPpEAAAAcAAJ&pg=PA173 article Paramètre].</ref> et s'en sert pour exprimer la relation d'aire :
* dans une section parallèle à une génératrice du cône, l'aire du carré s'appuyant sur l'ordonnée est égale à l'aire du rectangle construit sur l'abscisse et de hauteur le côté droit. Il donne à cette courbe le nom de ''parabole'' (application simple) ;
* dans une section traversant le cône, l'aire du carré s'appuyant sur l'ordonnée est inférieure à l'aire de ce rectangle. La courbe obtenue porte alors le nom d'''ellipse'' (ajustement ''par défaut'') ;
* dans une section recoupant le cône dans l'autre nappe, l'aire du carré s'appuyant sur l'ordonnée est supérieure à l'aire de ce rectangle. La courbe porte alors le nom d'''hyperbole'' (ajustement ''par excès'')<ref name=aube/>.
Il précise par une construction la relation exacte entre l'aire du carré et l'aire d'un rectangle s'appuyant sur l'abscisse<ref>[[#Vitrac|Vitrac]], [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grecs8/encart5/grecs8-encart5.html Encart 5 : Les coniques selon Apollonius].</ref>.

{| width="100%" align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="4"
|- valign="top"
| width="33%" |
[[File:EllipseApollonios.svg|center|thumb|Égalité d'aire, dans une ellipse, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse. Ce rectangle est '''plus petit''' que le rectangle de hauteur ''SP'' (paramètre de l'ellipse) d'où le nom d'''ellipse'' (ajustement par défaut) donné à la courbe par [[Apollonios de Perga|Apollonius]].]]

| width="33%" |
[[File:ParaboleApollonios.svg|thumb|center|Égalité d'aire, dans une parabole, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse. Ce rectangle est '''égal''' au rectangle de hauteur ''SP'' (paramètre de la parabole) d'où le nom de ''parabole'' (ajustement exact) donné à la courbe par Apollonius.]]

| width="33%" |
[[File:HyperboleApollonios.svg|thumb|center|Égalité d'aire, dans une hyperbole, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse. Ce rectangle est '''plus grand''' que le rectangle de hauteur ''SP'' (paramètre de l'hyperbole), d'où le nom d'''hyperbole'' (ajustement par excès) donné à la courbe par Apollonius.]]

|}

Cette propriété est illustrée par les équations de coniques dans un repère orthonormé (''S'', '''u''', '''v''') où ''S'' est un sommet de la conique et '''u''' le vecteur unitaire de l'axe principal orientant la demi-droite [''S'', '''u''') vers l'intérieur de la conique :
{{retrait|<math>y^2=2px+(e^2-1)x^2</math>,}}

où ''p = eh'' dans le cas des coniques à foyer et directrice et où ''p = R'' dans le cas du cercle pour ''e'' = 0. On voit en effet que l'aire du carré est égale à l'aire du rectangle dans le cas de la parabole (''e'' = 1), excède celle du rectangle dans le cas de l'hyperbole (''e'' > 1) et est en déficit par rapport à celle du rectangle dans le cas de l'ellipse (''e'' < 1).

Il étudie également les asymptotes de l'hyperbole, les tangentes, les propriétés des foyers et les intersections de coniques<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=13-26}}.</ref>

[[Fichier:Parabola connection with areas of a square and a rectangle.gif|thumb|Vision animée de l'égalité d'aire dans une parabole, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse, telle que mise en évidence par Apollonius.]]
Apollonius accorde peu de place à la définition par foyer et directrice qui est plus spécialement étudiée par [[Pappus d'Alexandrie|Pappus]]<ref>{{harvsp|Coolidge |1968|p=9}}.</ref>. C'est également Pappus qui montre comment déterminer les éléments remarquables d'une ellipse (centre et diamètre) lorsque 5 points sont connus<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=10-11}}.</ref>. Les propriétés optiques des coniques sont utilisées dans les problèmes de réflexions notamment dans l'étude des [[miroir ardent|miroirs ardents]]. Les quadratures (c'est-à-dire les calculs d'aire de surfaces délimitées par des coniques sont étudiées par Archimède qui entreprend la [[La Quadrature de la parabole (Archimède)|quadrature de la parabole]], du cercle et montre la relation entre l'aire de l'ellipse et l'aire de son cercle directeur<ref name=Perrin>{{ouvrage|lien auteur=Daniel Perrin|prénom=Daniel|nom=Perrin|titre=Livre de géométrie| volume=3|sous-titre=La géométrie d'une forme quadratique, premier épisode : la conique|lire en ligne=http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Livregeometrie/DPPartie3.pdf|page=3-4}}.</ref>.

[[Fichier:Conica of Apollonius of Perga fol. 6b-7a DETAIL.jpg|vignette|Détail des ''Coniques'' d'Apollonius de Perge dans une traduction arabe du {{s|IX}}.]]
Les écrits d'Apollonius sont ensuite traduits en arabe<ref>{{harvsp|Rashed|1997|p=122}}.</ref>et les coniques et leurs intersections sont exploitées pour théoriser la classification des équations de degré trois<ref>{{harvsp|Rashed|1997|p=43}}.</ref>. Les mathématiciens de langue arabe élaborent des procédés mécaniques de tracés de coniques en continu<ref>{{harvsp|Rashed|1997|p=131}}.</ref> (méthode du jardinier et sa variante pour l'hyperbole d'[[Ibn Sahl]], [[compas parfait]] d'[[Abū Sahl al-Qūhī|al Quhi]]). Ils exploitent les propriétés géométriques des coniques dans des problèmes optiques de réflexion et de réfraction<ref>{{harvsp|Rashed|1997|p=306}}.</ref>.

Au {{s|XVII|e}}, on assiste en Europe à un renouveau dans l'étude des coniques. La [[géométrie algébrique]] de [[René Descartes]] permet un traitement algébrique de ces courbes avec leur représentations paramétriques, travail entrepris pas Descartes, [[Pierre de Fermat]], [[Isaac Newton]] qui démontre la relation entre les coniques et les trajectoires des planètes observée par [[Johannes Kepler]]<ref name=Perrin/>, le [[Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital|marquis de l'Hôpital]] et, au siècle suivant, par [[Leonhard Euler]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=71-82}}.</ref>.

Mais le bond le plus important est lié aux avancées de la [[géométrie projective]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=28}}.</ref> avec les travaux de [[Girard Desargues]] sur les involutions et les [[Pôle et polaire|polaires]] de points par rapport à des coniques<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=28-32}}.</ref>. [[Blaise Pascal]] démontre [[Théorème de Pascal|son théorème]] sur un [[Hexagramme de Pascal|hexagramme]] construit sur une conique<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=32-34}}.</ref>. D'autres mathématiciens s'intéressent à ce sujet : [[Grégoire de Saint-Vincent]] qui entreprend le calcul d'aire sous l'hyperbole origine de la [[Logarithme naturel|fonction logarithme]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=35-37}}.</ref>, [[Johan de Witt|Jean de Witt]] s'intéresse aux tracés continus de coniques<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=38-40}}.</ref>, [[Philippe de La Hire]] écrit une ''Nouvelle méthode en géométrie pour les sections et superficies coniques '' et ''Sectione Conicae'' faisant une recension des propriétés des coniques et présentant des démonstrations claires utilisant des propriétés projectives, des rapports harmoniques et des propriétés sur pôles et polaires<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=40-43}}.</ref>.

Le {{s|XIX|e}} voit l'avènement de la géométrie projective et de l'étude projective des coniques avec les écrits de [[Jean-Victor Poncelet]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=50-55}}.</ref>, [[Michel Chasles]] qui énonce [[Théorème de Dandelin|le théorème récemment découvert]] par [[Germinal Pierre Dandelin|Dandelin]] et [[Adolphe Quetelet]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=56-58}}.</ref>, [[Jakob Steiner]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=58-61}}.</ref> et [[Karl Georg Christian von Staudt|Georg von Staudt]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=61-66}}.</ref>.

L'étude des coniques est associée à celle des [[forme quadratique|formes quadratiques]] avec les travaux d'[[Adrien-Marie Legendre]], [[Carl Friedrich Gauss]], [[Leonhard Euler]], [[Augustin Louis Cauchy]], [[Charles Gustave Jacob Jacobi|Carl Jacobi]], [[James Joseph Sylvester|James J. Sylvester]]<ref name=Perrin/> et [[Julius Plücker]]<ref>{{harvsp|Coolidge|1968|p=86-88}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=3}}

== Bibliographie ==
* {{Berger2}} ([[Référence:Géométrie (Berger)#Nathan (Tome 1)|Tome 1)]]
* Abdelmalek Bouzari, ''Contribution de l’Occident Musulman au développement des mathématiques - L’exemple des sections coniques. '', Printemps de Cirta, Éclosions Mathématiques et Philosophiques, avril 2009
* {{ouvrage|langue=en|auteur=[[Julian Coolidge|Julian L. Coolidge]]|titre=A History of The Conic Sections and Quadric Surfaces|lien éditeur=Dover Publications|éditeur=Dover|année=1968}}
*''Petite encyclopédie de mathématique'', [[Didier (maison d'édition)|Didier]]
*Jean-Denis Eiden, ''Géométrie analytique classique'', Calvage & Mounet, 2009 {{ISBN|978-2-91-635208-4}}
* {{ouvrage|auteur=Jean Fresnel|titre=Méthodes modernes en géométrie|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=1996|isbn=2 7056 1437 0}}.
* Bruno Ingrao, ''Coniques projectives, affines et métriques'', Calvage & Mounet {{ISBN|978-2-91-635212-1}}
* {{ouvrage|auteur=Yves Ladegaillerie|titre=Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2003|isbn=2-7298-1416-7}}.
* {{ouvrage|auteur=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]]|auteur2=[[Jean-Marie Arnaudiès]]|titre=Cours de mathématiques|sous-titre=géométrie et Cinématique|tome=3|éditeur=[[Éditions Bordas|Bordas]]|année=1977}}
* D. Lehmann et [[Rudolf Bkouche]], ''Initiation à la géométrie'', [[PUF]], 1988 {{ISBN|978-2-13-040160-5}}
* {{ouvrage|auteur=[[Roshdi Rashed]]|titre=Histoire des sciences arabes|volume=2|sous-titre=Mathématiques et physique|éditeur=[[Éditions du Seuil|Seuil]]|année=1997}}
* J.-C. Sidler, ''Géométrie projective'', [[InterÉditions]], 1993
*{{Lien web|auteur=Bernard Vitrac|titre=Les géomètres de l'antiquité 8- Apollonius de Perge et la tradition des coniques|id=Vitrac|url=http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html|site=[http://www.math.ens.fr/culturemath/ cultureMATH] (Ressources pour les enseignants de mathématiques, site expert des [[École normale supérieure (France)|Écoles normales supérieures]] et du [[Ministère de l'Éducation nationale (France)|Ministère de l'Éducation nationale]]}})

== Articles connexes ==
* [[Perspective conique]]
* [[Quadrique]]
* [[Pôle et polaire]]
* [[Point de Frégier]]
* [[Théorème des cinq points]]
* [[Ellipse de Steiner]]

{{Palette|Courbes}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe]]
[[Catégorie:Conique|*]]
[[Catégorie:Quadrique]]