Voir la source de Connexion (mathématiques)

{{ébauche|géométrie}}
{{homon|Connexion}}
[[Image:Parallel transport.png|vignette|Transport parallèle sur une sphère]]
En [[géométrie différentielle]], la '''connexion''' est un outil pour réaliser le [[transport parallèle]]. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par [[Élie Cartan]] et [[Hermann Weyl]] (avec comme cas particulier celle de [[connexion affine]]), puis reformulée en 1951 par [[Charles Ehresmann]] et [[Jean-Louis Koszul]].

== Connexion de Koszul ==
{{article détaillé|Connexion de Koszul}}
La connexion de Koszul est un [[opérateur (mathématiques)|opérateur]] sur des [[espace (mathématiques)|espaces]] de [[Section d'un fibré|sections]]. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les [[fibré vectoriel|fibrés vectoriels]], et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954<ref>{{en}} Katsumi Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, dans ''[[American Journal of Mathematics|Amer. J. Math.]]'', vol. 76, 1954, p. 33-65</ref>.

Cet opérateur fait correspondre à toute [[Section d'un fibré|section globale]] ''s'' d'un fibré vectoriel ''E'' de base ''B'', et à tout [[champ de vecteurs]] sur ''B'', une section globale notée <math>\scriptstyle\nabla_Xs</math> vérifiant :
# L'application <math>\scriptstyle X\mapsto \nabla_Xs</math> est <math>\scriptstyle C^\infty(M)</math>-linéaire ; autrement dit, pour toute [[Classe de régularité|fonction régulière]] <math>f</math>, on a :
#: <math>\nabla_{f\cdot X}s=f\cdot\nabla_Xs</math>.
# la ''relation de Leibniz'' :
#: <math>\nabla_{X}(f\cdot s)=df(X)\cdot s+f\cdot \nabla_Xs</math>.
La relation de Leibniz démontre que la valeur de <math>\scriptstyle\nabla_Xs</math> en un point ''b'' de ''B'' ne dépend que des variations de <math>s</math> au voisinage de ''b''. La <math>\scriptstyle C^\infty(M)</math>-linéarité implique que cette valeur ne dépend que de <math>X(p)</math>. Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de [[Dérivée directionnelle|dérivée suivant un vecteur]], la quantité <math>\nabla_Xs</math> pouvant être interprétée comme la dérivée de ''s'' dans la direction X.

== Connexion d'Ehresmann ==
{{article détaillé|Connexion d'Ehresmann}}
Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux [[fibré]]s des connexions de Koszul. De façon plus précise, une
'''connexion d'Ehresmann''' sur ''E'' est un sous-fibré régulier ''H'' de ''TE'', le [[fibré tangent]] de ''E''.

== Connexion de Levi-Civita ==
{{article détaillé|Connexion de Levi-Civita}}
Une [[métrique riemannienne]] ''g'' de classe <math>C^k</math> sur une variété différentielle ''M'' étant donnée,
il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur <math>T_xM</math>, appelée '''connexion de Levi-Civita''' vérifiant les deux conditions :
# ∇ est sans {{Lien|trad=Torsion tensor|Tenseur de torsion|texte=torsion}} : pour tous champs de vecteurs <math>X</math> et <math>Y</math>,<center><math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math> ;</center>
# <math>g</math> est parallèle : pour tous champs de vecteurs <math>X</math>, <math>Y</math> et <math>Z</math>, on a :
<center><math> Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math>.</center>

== Voir aussi ==
* [[Chariot pointant le sud]]
* [[Connexion affine]]
* [[Courbure]]
* [[Dérivée covariante]]
* [[Géodésique]]
* [[Holonomie]]
* [[Variété riemannienne]]

== Notes et références ==

=== Note ===
{{références}}

=== Références ===
* {{Berger1}}
* {{GallotHulinLafontaine}}

{{Palette|Variété différentielle}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie différentielle]]