Voir la source de Constante d'Euler-Mascheroni

{{voir homonymes|e (nombre){{!}}Nombre d'Euler|Mascheroni (homonymie)}}{{sources à lier|date=octobre 2017}}
En [[mathématiques]], la '''constante d'[[Leonhard Euler|Euler]]-[[Lorenzo Mascheroni|Mascheroni]]''', ou '''constante d'Euler''', est une [[constante]] mathématique, utilisée principalement en [[théorie des nombres]], définie comme la [[Limite (mathématiques)|limite]] de la différence entre la [[série harmonique]] et le [[logarithme naturel]]. On la note usuellement <math>\gamma</math> (gamma minuscule).

{| border="1" style="float: right; border-collapse: collapse;"
| colspan="2" align="center" | [[Liste des nombres]]<br />'''γ''' - [[constante d'Apéry|ζ(3)]] - [[Racine carrée de deux|√2]] - [[Racine carrée de 3|√3]] - [[Racine carrée de 5|√5]] - [[Nombre d'or|φ]] - [[Nombres de Feigenbaum|α]] - [[e (nombre)|e]] - [[Pi|π]] - [[Nombres de Feigenbaum|δ]]
|-
|[[Système binaire|Binaire]]
| 0,100 100 111 100 010 001 1…
|-
| [[Décimal]]
| 0,577 215 664 901 532 860 6…
|-
| [[Hexadécimal]]
| 0,93C 467 E37 DB0 C7A 4D1 B…
|-
| [[Fraction continue]]
| <math>0+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{\ \ddots\ {}}}}}}</math><br /><small>(on ignore encore si cette fraction continue se termine ou non).</small>
|}

== Définition ==
La constante d'Euler-Mascheroni <math>\gamma</math> est définie de la manière suivante :

:<math>\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\dots+\frac1n-\ln(n)\right)</math>.

De façon condensée, on obtient :

:<math>\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln(n)\right)</math>.

La constante peut également être définie sous la forme explicite d'une série (telle qu'elle fut d'ailleurs introduite par Euler) :
:<math>\gamma=\sum_{k=1}^\infty\left[\frac1k-\ln\left(1+\frac1k\right)\right]</math>.

La [[série harmonique]] [[Série divergente|diverge]], tout comme la [[Suite (mathématiques)|suite]] de terme général <math>\ln(n)</math> ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées.

== Valeur approchée et propriétés ==
Les 10 premières décimales de la constante d'Euler-Mascheroni ({{OEIS|id=A001620}}) sont : {{formule|γ}} ≈ 0,577 215 664 9.

Le calcul au moyen de la suite <math>\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln(n)</math> est extrêmement lent et imprécis. Il présente néanmoins un intérêt pédagogique pour se sensibiliser aux problèmes de propagation d'erreurs d'arrondi. En simple précision, pour {{formatnum:100000}} termes, en sommant dans l'ordre naturel, il y a une erreur sur la {{4e|décimale}}, erreur beaucoup plus faible si la somme est effectuée dans l'ordre inverse (du plus petit au plus grand), ou si on utilise l'algorithme de Kahan (voir [[somme (algorithmique)]]). Pour un million de termes, l'erreur atteint la {{2e|décimale}} dans le sens naturel, et la {{4e|décimale}} dans le sens inverse ; par contre, par la méthode de Kahan, on a atteint les 6 décimales exactes.

Des méthodes plus efficaces doivent être mises en œuvre pour obtenir une précision suffisante. Par exemple, l'utilisation de la [[formule d'Euler-Maclaurin]] permet d'obtenir des développements asymptotiques tels que :
:<math>\gamma=\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln(n)-\frac1{2n}+\frac1{12n^2}-\frac1{120n^4}+\dots</math>.
Cela permit à Euler d'obtenir 16 décimales de <math>\gamma</math>. Puis [[Lorenzo Mascheroni]] en proposa 32 en [[1790 en science|1790]], mais avec une erreur à partir de la {{20e}}, erreur corrigée en [[1809 en science|1809]] par [[Johann Georg von Soldner]]. [[Donald Knuth]] donne {{Unité|1271|décimales}} en [[1962 en science|1962]], Thomas Papanikolaou donne un million de décimales en [[1997 en science|1997]], P. Dechimel et X. Gourdon en donnent cent millions deux ans plus tard. En [[2008 en science|2008]], le record est de dix milliards de décimales, établi par Shigeru Kondo et Steve Pagliarulo.

On ignore toujours si la constante d'Euler-Mascheroni est ou non un [[nombre rationnel]]. Cependant, l'analyse en [[fraction continue]] de la constante indique que si elle est rationnelle, le [[dénominateur]] de sa [[fraction irréductible]] possède plus de {{Unité|242080|chiffres}} {{harv|Havil 2003|p=97}}.

== Formules diverses ==
=== Formules intégrales ===
[[File:gamma-area.svg|thumb|Constante gamma ([[Série (mathématiques)|somme]] des aires des surfaces bleues) comme intégrale de 1/E(x) – 1/x de 1 à ∞.]]
[[File:Euler mascheroni constant.svg|thumb|Constante gamma comme intégrale de -ln(ln(1/x)) de 0 à 1.]]
La constante d'Euler-Mascheroni intervient dans plusieurs [[intégration (mathématiques)|intégrales]] :
:<math>\gamma =\int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,{\rm d}x</math> (où <math>E</math> est la fonction [[partie entière]])
::<math>=1-\int_1^\infty\ \frac{x-E(x)}{x^2}\,{\rm d}x</math>
::<math>=-\int_0^1{\ln\ln\left(\frac1x\right)}\,{\rm d}x</math>
::<math>=\int_0^1\left(\frac1{\ln(x)}+\frac1{1-x}\right)\,{\rm d}x</math>
::<math>=\int_0^\infty{\left(\frac1{1-\mathrm e^{-x}}-\frac1x\right)\mathrm e^{-x}}\,{\rm d}x</math>
::<math>=\int_0^\infty{\frac1x\left(\frac1{1+x}-\mathrm e^{-x}\right)}\,{\rm d}x</math>.

Il est possible ({{harvsp|Sondow|2003}}, {{harvsp|Sondow|2005}}) d'exprimer <math>\gamma</math> sous forme d'une [[intégrale double]] (avec ici la série équivalente) :
:<math>\gamma=\int_0^1\int_0^1\frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n-\ln\left(\frac{n+1}n\right)\right)</math>.

Une autre constante s'exprime de façon analogue {{harv|Sondow|2005}} :
:<math>\ln\left(\frac4{\pi}\right)=\int_0^1\int_0^1\frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\left(\frac1n-\ln\left(\frac{n+1}n\right)\right)</math>.

Ces deux constantes sont également liées par deux séries {{harv|Sondow|2010}} :
:<math>\gamma=\sum_{n=1}^\infty\frac{N_1(n)+N_0(n)}{2n(2n+1)}</math>
:<math>\ln\left(\frac4{\pi}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{N_1(n)-N_0(n)}{2n(2n+1)}</math>

où <math>N_1(n)</math> et <math>N_0(n)</math> sont le nombre de 1 et de 0 dans l'écriture de <math>n</math> en base 2.

On trouvera d'autres expressions non classiques de la constante d'Euler dans l'article « [[Mesure secondaire]] ».

=== Formules en relation avec certaines fonctions analytiques ===
La constante d'Euler-Mascheroni possède des liens avec d'autres [[fonction analytique|fonctions analytiques]] particulières :

* [[Fonction gamma]] :
** <math>\Gamma(z)=\int_0^\infty\mathrm e^{-t}t^{z-1}\,{\rm d}t=\frac{\mathrm e^{-\gamma z}}z\prod_{n=1}^\infty\frac{n\mathrm e^{z/n}}{n+z}</math>,
** <math>\Gamma(x)=\frac1x-\gamma+o(1)</math> quand ''x'' tend vers 0,
** <math>\Gamma'(1)=\int_0^\infty{\mathrm e^{-x}\ln x}\,{\rm d}x=-\gamma</math>,
** <math>\Gamma''(1)=\int_0^\infty{\mathrm e^{-x}(\ln(x))^2}\,{\rm d}x=\gamma^2+\frac{\pi^2}6</math>,
** <math>\Gamma'(1/2)=4\int_0^\infty {\mathrm e^{-x^2}\ln(x)}\,{\rm d}x=-(\gamma+2\ln 2)\sqrt{\pi}</math> ;
* [[Exponentielle intégrale|Fonction exponentielle intégrale]] :
**<math>E_1(z)=\int_z^\infty{\mathrm e^{-t}\over t}\,{\rm d}t=
\int_1^\infty{\mathrm e^{-zt}\over t}\,{\rm d}t=
\mathrm e^{-z}\int_0^\infty{\mathrm e^{-zt}\over{1+t}}\,{\rm d}t</math>
**:<math>={\mathrm e^{-z}\over z}\int_0^\infty{\mathrm e^{-t}\over {1+t/z}}\,{\rm d}t=
-\ln z-\gamma+\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}z^n\over n\cdot n!}</math>;
* [[Logarithme intégral|Fonction logarithme intégral]] :
** <math>{\rm pour} \; x > 1,\ \mathrm{li}(x)=\gamma+\ln(\ln(x))+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(x)^n}{n\cdot n!}</math> ;
* [[Cosinus intégral|Fonction cosinus intégral]] :
**<math>\forall x > 0,\ \mathrm{Ci}(x)=\gamma+\ln(x)+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}</math> ;
* [[Fonction digamma|Fonction psi]] :
** <math>\psi(z)={\Gamma'(z)\over\Gamma(z)}=-\gamma-{1\over z}+\sum_{n=1}^\infty{1\over n}-{1\over n+z}</math>,
**:en particulier, <math>\psi(1)=\Gamma'(1)=-\gamma</math> et <math>\sum_{k=1}^n{1\over k}=\psi(n+1)+\gamma</math> ;
* [[Fonction zêta de Riemann]] :
** <math>\zeta(1+x)=\frac1x+\gamma+o(1)</math> quand ''x'' tend vers 0,
** <math>\sum_{n=2}^\infty\frac1n(\zeta(n)-1)=1-\gamma</math>,
** <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)2^{2n}}(\zeta(2n+1)-1)=1-\gamma-\ln\frac32</math>,
** <math>\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}n\zeta(n)=\gamma</math>.

=== Formules en relation avec certaines fonctions arithmétiques ===
Dans ce paragraphe, ''p'' désigne un [[nombre premier]].

* <math>\lim_{n \to \infty}\frac1{\ln(n)}\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)^{-1}=\mathrm e^\gamma</math> ([[Théorème de Mertens#Troisième théorème|théorème de Mertens]]).
* <math>\lim_{n \to \infty}\frac1{\ln(n)}\prod_{p\le n}\left(1+\frac1p\right)=\frac{6\mathrm e^\gamma}{\pi^2}</math>.
* Soit <math>\Lambda</math> la [[fonction de von Mangoldt]], définie sur les entiers par <math>\Lambda(n)=\ln(p)</math> si ''n'' est une puissance du nombre premier ''p'' et <math>\Lambda(n)=0</math> sinon. Alors <math>\sum_{n=2}^\infty\frac{\Lambda(n)-1}n=-2\gamma</math>.
* Soit <math>d(n)</math> le [[Fonction diviseur#Fonction nombre de diviseurs|nombre de diviseurs]] de ''n'' (y compris 1 et ''n'' lui-même). Alors <math>\frac1n\sum_{k=1}^n d(k)=\ln(n)+2\gamma-1+O\left (\frac 1{\sqrt n}\right )</math> quand ''n'' tend vers l'infini<ref name ="HardyWright18"/>.
* Soit <math>\sigma(n)</math> la [[somme des diviseurs]] de l'entier ''n''. Alors <math>\limsup\frac{\sigma(n)}{n\ln(\ln(n))}=\mathrm e^\gamma</math>, où lim sup désigne la [[Limites inférieure et supérieure|limite supérieure]] de la suite<ref name ="HardyWright18"/>.
* Soit <math>\varphi</math> la fonction [[indicatrice d'Euler]]. Alors <math>\liminf\frac{\varphi(n)\ln(\ln(n))}n=\mathrm e^{-\gamma}</math>, où lim inf désigne la [[Limites inférieure et supérieure|limite inférieure]] de la suite<ref name ="HardyWright18">{{HardyWrightFr}}, chapitre 18 (« L'ordre de grandeur des fonctions arithmétiques »), sections 18.2 à 18.4.</ref>.

== Généralisation ==
{{Article détaillé|Constantes de Stieltjes}}
Il est possible de généraliser le sujet en définissant les constantes suivantes, appelées [[constantes de Stieltjes]] :

:<math>\gamma(m)=\lim_{n\to\infty}\left(
\sum_{k=1}^n\frac{(\ln k)^m}k-\frac{(\ln n)^{m+1}}{m+1}\right)</math>.

On constate que <math>\gamma(0)=\gamma</math>, la constante d'Euler.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Euler–Mascheroni constant}}
=== Articles connexes ===
* [[Constante de Brun]]
* [[Constante de Meissel-Mertens]]

===Bibliographie===
* {{HardyWright}}, pour les formules en relation avec les fonctions arithmétiques.
* {{Ouvrage|id=Havil 2003|lang=en|nom1={{Lien|lang=de|Julian Havil}}|titre=Gamma: Exploring Euler's Constant|lien éditeur=Princeton University Press|éditeur=PUP|année=2003|isbn=0-691-09983-9}}
* {{en}} [[Jeffrey Lagarias]], Euler's constant: Euler's work and modern developments, 98 pages, 258 références. (2013) {{Lire en ligne|lien=https://arxiv.org/pdf/1303.1856v6}}
*{{Article|auteur=[[Matyáš Lerch]]|titre=Expressions nouvelles de la constante d'Euler|revue=Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften|vol=42|date=1897}}
* {{Article|lang=en|first=Jonathan|nom=Sondow|year=2003|titre=Criteria for irrationality of Euler's constant|lien périodique=Proceedings of the American Mathematical Society|revue=Proc. Amer. Math. Soc.|vol=131|p.=3335-3344|arxiv=math.NT/0209070}}
* {{Article|lang=en|first=Jonathan|nom=Sondow|year=2005|titre=Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula|lien périodique=American Mathematical Monthly|revue=Amer. Math. Month.|vol=112|p.=61-65|arxiv=math.CA/0211148}}
* {{Article|lang=en|first=Jonathan|nom=Sondow|titre=New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π|revue=Additive Number Theory|year=2010|p.=331-340|arxiv=math.NT/0508042}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=H. M. Srivastava|auteur2=Junesang Choi|titre=Zeta and q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals|éditeur= Elsevier|date=2012|isbn=978-0-12-385218-2|url={{Google Livres|DUyACqwqaqIC|page=13}}|page=13-22}}

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=Euler-MascheroniConstant|titre=Euler-Mascheroni Constant}}
* {{en}} [http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/gamma.html « {{Langue|en|texte=Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History}} »] par Stefan Krämer, de l'[[université de Göttingen]]
*{{Lien web|lang=en|auteur=[[Simon Plouffe]]|url=https://archive.is/EYc1c#selection-997.0-997.31|titre=Miscellaneous Mathematical Constants - 170000 digits of Euler or gamma}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Constante mathématique|Euler-Mascheroni]]
[[Catégorie:Leonhard Euler]]