Voir la source de Corps parfait

En [[mathématiques]] et plus particulièrement en [[algèbre]] dans le contexte de la [[théorie de Galois]], un '''corps parfait''' est un [[corps commutatif]] dont toutes les [[extension algébrique|extensions algébriques]] sont [[extension séparable|séparables]].

Les corps parfaits sont utiles pour la théorie de Galois, car les théorèmes fondateurs, comme le [[théorème de l'élément primitif]] ou le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] utilisent dans les hypothèses le fait que l'extension considérée est séparable.

Les corps parfaits sont relativement fréquents, en effet, tout corps de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle (comme ceux des [[nombre rationnel|nombres rationnels]], des [[nombre réel|nombres réels]] ou des [[nombre complexe|nombres complexes]]) est parfait. C'est aussi le cas des [[corps fini]]s.

== Définition ==

* Un corps est dit '''parfait''' si toutes ses extensions algébriques sont [[extension séparable|séparables]].

Soit ''K'' un corps et ''L'' une extension algébrique de ''K''. Dire que l'extension est séparable signifie que tout [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] sur ''K'' d'un élément de ''L'' est séparable, i.e. n'admet aucune racine multiple dans sa [[clôture algébrique]]. On peut donc reformuler la définition en :

* Un corps ''K'' est dit parfait si tout [[polynôme irréductible]] de ''K''[''X''] est séparable.

== Exemples ==
* Tout [[corps fini]] est parfait ''(cf le paragraphe propriétés)''.

* Tout corps de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle est parfait ''(cf le paragraphe propriétés)''. Autrement dit : le corps des nombres rationnels et ses extensions (comme le corps des nombres réels ou celui des [[Nombre p-adique|nombres p-adiques]]) sont parfaits.

* Tout corps algébrique sur un corps parfait est lui-même un corps parfait ''(cf le paragraphe propriétés)''.

* En revanche, en caractéristique non nulle ''p'' (un nombre premier), tous les corps ne sont pas parfaits. Considérons ''L''='''F'''<sub>''p''</sub>(''X'') le corps des fractions rationnelles sur le corps fini de cardinal ''p'', ''K'' le sous-corps '''F'''<sub>''p''</sub>(''X<sup>p</sup>''), et le polynôme irréductible ''P''(''Y'')=''Y<sup>p</sup>-X<sup>p</sup>'' de ''K''[''Y'']. Alors l'élément ''X'' de ''L'' est racine multiple (d'ordre ''p'') de ''P''(''Y''), qui n'est donc pas séparable.

== Propriétés ==
=== Critère de séparabilité ===
{{Article détaillé|extension séparable}}
L'analyse des extensions séparables permet d'établir des critères de séparabilité d'un polynôme ou d'une extension.

#Un polynôme est séparable si et seulement s'il est  premier avec sa dérivée formelle.
#Un [[polynôme irréductible]] est séparable si et seulement si sa dérivée formelle n'est pas nulle.
#Supposons ''K'' de caractéristique ''p'' et ''P''(''X'') un polynôme irréductible. Il est séparable si et seulement s'il n'existe pas de polynôme ''Q''(''X'') dans ''K''[''X''] tel que l'on ait l'égalité ''P''(''X'')=''Q''(''X<sup>p</sup>'').
#Soient ''L'' une extension algébrique de ''K'' et ''M'' une extension algébrique de ''L''. Alors ''M'' est séparable sur ''K'' si et seulement si ''M'' est séparable sur ''L'' et ''L'' est séparable sur ''K''. 
#Tout corps algébrique sur un corps parfait est lui-même un corps parfait.

Les propriétés 1 à 4 sont démontrées dans l'article détaillé et la 5 se déduit immédiatement de la 4.

=== Caractérisation des corps parfaits ===

{{Théorème| 
Un corps <math>K</math> est parfait si et seulement s'il est de caractéristique nulle ou, lorsqu'il est de caractéristique <math>p>0</math>, si l'[[endomorphisme de Frobenius]] <math>x\mapsto x^p</math> est [[Surjection|surjectif]] (autrement dit tout élément de ''K'' possède une racine ''p''-ième dans <math>K</math>). En particulier tout corps fini est parfait. 
}}

{{Démonstration|contenu=
* '''Si un corps K est de caractéristique nulle, alors il est parfait.'''
Soient ''P''(''X'') un polynôme unitaire irréductible de ''K''[''X''] et ''n'' son degré (''n''>0). Alors le terme de plus haut degré de sa dérivée formelle est égal à ''nX''<sup>''n''-1</sup>, donc non nul (car en caractéristique 0, ''n'' est non nul), si bien que cette dérivée n'est pas nulle donc ''P''(''X'') est séparable.
* Le cas de la caractéristique <math>p>0</math> est traité dans le paragraphe [[Endomorphisme de Frobenius#Polynôme et séparabilité|Polynôme et séparabilité]] de l'article sur l'endomorphisme de Frobenius.}}

== Voir aussi ==
== Article connexe ==
[[Clôture parfaite]]
=== Liens externes ===
* [http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/Galois.pdf Une courte présentation des extensions algébriques] par Bernard Le Stum, [[université de Rennes 1]], 2001
* [http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf Un cours de DEA sur la théorie de Galois] par Alain Kraus, [[université de Paris VI]], 1998
* [http://www.les-mathematiques.net/b/b/f/node3.php3 Extensions Séparables] sur le site les-mathematiques.net
* {{MathWorld|nom_url=PerfectField|titre=Perfect Field}}
* {{Planetmath reference|id=3577|title=perfect field}}
=== Références ===
* {{Douady1}}
* {{Lang1}}
* {{Samuel1}}

{{Palette|Théorie de Galois}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie de Galois]]