Voir la source de Couple (mathématiques)

{{voir homonymes|Couple}}
En [[mathématiques]], un '''couple''' de deux objets est la donnée de ces deux objets dans un ordre déterminé. Le couple des deux objets <math>a</math> et <math>b</math> est noté <math>(a, b)</math>. Si <math>a</math> et <math>b</math> sont distincts, le couple <math>(a, b)</math> est distinct du couple <math>(b, a)</math> ; en cela, la notion de couple se distingue de la notion de ''[[paire]]''. Pour désigner un couple, les anglophones emploient d'ailleurs ''{{Langue|en|ordered pair}}'', c’est-à-dire ''paire ordonnée''.

== Notion de couple ==

Les objets ''a'' et ''b'' sont appelés respectivement '''première composante''' et '''deuxième composante''' du couple ( ''a'', ''b'' ).

=== Propriété caractéristique ===
D'abord introduite comme une notion primitive, l'essence de la notion de couple réside dans la ''propriété caractéristique'' suivante :

{{énoncé|1=Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles.

En d'autres termes, quels que soient ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, on a :
:(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) = (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>) si et seulement si ''a''<sub>1</sub> = ''b''<sub>1</sub> et ''a''<sub>2</sub> = ''b''<sub>2</sub>.
}}
Cette propriété est à comparer avec [[Paire#Égalité de deux paires|l'égalité des paires]], pour lesquelles ''b''<sub>1</sub> et ''b''<sub>2</sub> peuvent être permutés par rapport à ''a''<sub>1</sub> et ''a''<sub>2</sub>, ce qui n'est pas le cas pour les couples.

Ceci est confirmé par le corollaire suivant :
: ''Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques''.
: ce que l'on peut exprimer plus formellement par :
::( ''a'', ''b'' ) = ( ''b'', ''a'' ) si et seulement si ''a = b''.
Par conséquent:
* pour un couple ( ''a'', ''b'' ) : ''b'' ≠ ''a'' ⇒ ( ''b'', ''a'' ) ≠ ( ''a'', ''b'' )
* pour une paire { ''a'', ''b'' } : { ''b'', ''a'' } = { ''a'', ''b'' }<ref group=note>Il faut noter une légère ambiguïté : en mathématiques en général, en combinatoire en particulier, une paire est constituée de deux éléments ''distincts'', et l'on évite la notation {''a'', ''b''} quand ''a'' = ''b''. En théorie des ensembles, la rédaction deviendrait pénible s'il fallait toujours que la notation {''a'', ''b''} suppose ''a'' ≠ ''b'', et ''on ne le supposera pas'', on a {''a'', ''a''} = {''a''}. On essaye le plus souvent de réserver ''paire'' au cas où les deux éléments sont distincts, bien que l'[[axiome de la paire]] montre également l'existence des singletons. On s'autorise parfois à écrire la paire {''a'', ''b''}, même s'il est possible que ''a'' = ''b'' ; il faudrait dire alors la paire ou singleton {''a'', ''b''}. Pratiquement, les usages sont bien circonscrits, et l'ambiguïté éventuelle ne pose pas de problème.</ref>

L'ordre des composantes dans un couple a ainsi de l'importance, d'où la définition :
: ''Si a est différent de b, le couple'' ( ''b'', ''a'' ) ''est appelé'' '''couple symétrique''' ''ou encore'' '''couple réciproque''' ''du couple'' ( ''a'', ''b'' ).

=== Produit cartésien ===

L'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à un ensemble quelconque ''X'' et la seconde à un ensemble quelconque ''Y'' est appelé ''[[produit cartésien]]'' de ces deux ensembles et se note ''X''×''Y''. Les ''[[sous-ensemble]]s'' de ''X''×''Y'' sont des [[Correspondance et relation|graphes]].

=== Exemples ===
* ( 1 , 4 ) et ( 4 , 4 ) sont des couples d'entiers.
* Si E = { 1 , 2 , 3 } alors ( { 1 }, { 1 , 3 } ) et ( Ø, { 1 } ) sont des couples de parties de E.

== Les couples en théorie des ensembles ==
[[Norbert Wiener]] fut le premier à remarquer (en 1914) que la notion de couple pouvait se définir en termes ensemblistes, et qu'il n'était donc pas nécessaire d'introduire cette notion comme une notion primitive, dès que l'on a la notion d'ensemble.

En théorie des ensembles, une ''fonction de couplage'' est une fonction (au sens intuitif, et non au sens de la théorie des ensembles dans laquelle on travaille) qui, à deux objets quelconques ''x'' et ''y'', associe un objet noté (''x'', ''y'') vérifiant la propriété caractéristique des couples. Il existe de nombreuses fonctions de couplages. Habituellement, on utilise une représentation des couples due à [[Kazimierz Kuratowski]] (1921), voir ci-après. Ce choix est commode, mais n'a rien d'intrinsèque. En particulier toutes les propriétés mathématiques usuelles des couples se déduisent de la propriété caractéristique, le choix de la fonction de couplage ne doit avoir aucune conséquence.

À partir de la notion de couple, on doit pouvoir définir la notion de produit cartésien ; c'est-à-dire qu'on doit pouvoir créer, pour tous ensembles ''X'' et ''Y'', l'ensemble ''X''×''Y'' de tous les couples dont le premier élément appartient à ''X'' et le second élément appartient à ''Y''. Dans le cas des couples de Kuratowski, il est très facile de prouver qu'un tel ensemble existe. Cependant, on ne peut pas prouver en général qu'il existe pour toute fonction vérifiant la propriété caractéristique.

Pour éviter cet écueil et pouvoir parler de produit cartésien sans spécifier une notion de couple particulière, on doit définir la fonction de couplage comme étant une fonction :
* vérifiant la propriété caractéristique ;
* telle que pour tous ensembles ''X'' et ''Y'', le produit cartésien ''X''×''Y'' est un ensemble.

=== Les couples de Kuratowski ===
Les couples sont définis en [[théorie des ensembles]] de la façon suivante :

:Pour ''x'' et ''y'' deux ensembles quelconques, on pose (''x'', ''y'') = { {''x''}, {''x'', ''y''} }.

Pour cette définition on doit utiliser trois fois l'[[axiome de la paire]] - présent dans Z, mais redondant dans ZF, car démontrable à partir de l'[[axiome de l'ensemble des parties]] et du [[schéma d'axiomes de remplacement]] - d'abord pour former le singleton {''x''}, puis pour former la paire (ou singleton) {''x'', ''y''}, et enfin pour former la paire (ou singleton) { {''x''}, {''x'', ''y''} }.

On a bien défini la notion de couple de façon unique. Ensuite, en utilisant de façon répétée l'[[axiome d'extensionnalité]] , On montre facilement la propriété caractéristique :

:''Pour tous ensembles x, y, x' et y', si'' { {''x''}, {''x'', ''y''} } = { {''x{{'}}''}, {''x{{'}}'', ''y{{'}}''} }'', alors x = x' et y = y', ce dans une théorie des ensembles qui vérifie l'axiome de la paire et l'axiome d'extensionalité.''

Il suffit d'utiliser la [[Paire#Égalité de deux paires (ou singletons)|condition d'égalité pour deux paires (ou singletons)]], en distinguant soigneusement tous les cas possibles.

* Soit {''x''} = {''x{{'}}''} et {''x'', ''y''} = {''x{{'}}'', ''y{{'}}''}. Alors (égalité des deux singletons) ''x = x{{'}}''. D'autre part (égalité des deux paires), soit ''x = x{{'}}'' et ''y = y{{'}}'', ce que l'on veut démontrer, soit ''x = y' '' et ''y = x{{'}}'', mais comme par ailleurs ''x = x{{'}}'', les 4 éléments sont égaux d'où le résultat.
* Soit {''x''} = {''x{{'}}'', ''y{{'}}''} et {''x'', ''y''} = {''x{{'}}''}. On déduit de ces deux égalités que les 4 éléments sont égaux, d'où le résultat.

Supposons donné un ensemble de couples ''C''. Alors les composantes de ''C'' appartiennent à l'ensemble ''E'' obtenu par réunion de la réunion des éléments de ''C'', et donc on peut définir les ensembles des premières et des secondes composantes de ''C'' par compréhension :
:E=∪∪C ; A = {x ∈ E | ∃ y (x, y) ∈ C} ; B = {y ∈ E | ∃ x (x, y) ∈ C}.
Ceci est utile pour définir par exemple l'ensemble de définition ou l'ensemble image d'une relation ou d'une fonction vues comme des ensembles de couples (on utilise l'[[axiome de la réunion]], et le [[schéma d'axiomes de compréhension]] dans Z, de remplacement dans ZF).

On montre également que, ''X'' et ''Y'' étant deux ensembles donnés, les couples de Kuratowski dont la première composante appartient à ''X'' et la seconde à ''Y'' forment un ensemble qui est, pour ce codage, le ''produit cartésien'' de ''X'' et ''Y'' (voir l'article [[produit cartésien]]).

=== D'autres fonctions de couplage ===

Wiener, en 1914, utilisait la définition suivante des couples : (''x'', ''y'') = { { {''x''}, ∅ }, { {''y''} } }, qui est à peine plus compliquée que celle de Kuratowski.

On peut aussi utiliser (''x'', ''y'') = {''x'', {''x'', ''y''} } mais la preuve de la propriété caractéristique demande l'[[axiome de fondation]]. Cette définition a la propriété commode que le couple contient toujours deux éléments, x et {x, y} nécessairement distincts, ce qui n'est pas le cas des couples de Kuratowski ou de Wiener.

=== Le couple en théorie des catégories ===

Ici, la construction des concepts se fait en sens inverse : le couple est défini à partir du [[produit cartésien]] lequel est lui-même défini à partir de fonctions, la notion de [[fonction (mathématiques)|fonction]] vue comme un [[morphisme]] se situant donc très en amont dans la [[théorie des catégories]].

Il s'agit là cependant d'une vision particulière et relativement récente de la théorie des catégories, dont la base axiomatique n'est pas encore fixée<ref>{{en}} [http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/#1 « {{Langue|en|Category Theory {{!}} 1. General Definitions, Examples and Applications}} »], {{Langue|en|Stanford Encyclopedia of Philosophy}}, 6 décembre 1996, mis à jour le 3 octobre 2014.</ref>; dans la plupart des ouvrages les concepts de base utilisés pour les catégories, dont les couples et les fonctions, reposent sur la théorie des ensembles.

== Généralisations ==
Les triplets peuvent être définis comme vérifiant la propriété caractéristique :

:''deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, leurs deuxièmes composantes aussi et leurs troisièmes composantes de même''.

Un triplet (''a'', ''b'', ''c'') peut être codé comme (''a'', (''b'', ''c'')) soit deux couples imbriqués. Le choix de l'ordre d'imbrication est purement arbitraire. On peut généraliser le procédé de construction à des ''n''-uplets, ''n'' étant un entier quelconque.
{{article détaillé|n-uplet{{!}}''n''-uplet}}
Pour généraliser à une infinité de composantes, on ne parle plus de ''n''-uplet, mais de [[Famille (mathématiques)|famille]] ou de [[suite (mathématiques)|suite]] dans le cas [[ensemble dénombrable|dénombrable]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Notes}}

=== Références ===
{{Références}} 

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Théorie naïve des ensembles]]
* [[Produit cartésien]]

=== Sources ===
* {{en}} [[Azriel Lévy]], ''{{Langue|en|Basic Set Theory}}'', Springer Verlag, 1979 {{ISBN|3-540-08417-7}}.
Contient entre autres les références suivantes :
* Kazimierz Kuratowski, « Sur la notion d'ordre dans la théorie des ensembles », ''[[Fundamenta Mathematicae|{{Langue|la|Fund. Math.}}]]'' 2, 161-171 (1921) ;
* {{en}} Norbert Wiener, « {{Langue|en|A Simplification of the Logic of Relations}} », ''{{Langue|en|Proc. Cambridge Philos. Soc.}}'' 17, 387-390 (1914).

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]