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En [[algèbre linéaire]], la '''décomposition d'une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] en éléments propres''' est la factorisation de la matrice en une forme [[Canonique (mathématiques)|canonique]] où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des [[valeur propre|valeurs propres]] et des [[vecteur propre|vecteurs propres]].

==Aspects théoriques de la détermination des valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice==
{{Voir|Valeur propre (synthèse)|Valeur propre, vecteur propre et espace propre}}
Un vecteur non nul '''v''' à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée '''A''' à ''N'' lignes et ''N'' colonnes [[si et seulement si]] il existe un scalaire ''λ'' tel que :
:<math> \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}  </math>
où ''λ'' est appelé valeur propre associée à '''v'''. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Ces valeurs propres sont les solutions de l'équation :
:<math> p\left(\lambda\right) := \det\left(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\right)= 0. \!\ </math>
On appelle ''p''(''λ'') le '''[[polynôme caractéristique]]''' de '''A''', et cette équation, l''''équation caractéristique''', est une [[équation polynomiale]] de degré ''N'' dont ''λ'' est l'inconnue. Cette équation admet ''N''<sub>λ</sub> solutions distinctes, avec 1 ≤ ''N''<sub>λ</sub> ≤ ''N''. L'ensemble des solutions, ''i. e.'' des valeurs propres, est appelé le [[Spectre (algèbre linéaire)|spectre]] de '''A'''.  

On peut [[Factorisation|factoriser]] ''p'' :
:<math>p\left(\lambda\right)= (\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{n_k} = 0 \!\ </math>
avec
:<math>\sum\limits_{i=1}^{N_{\lambda}}{n_i} =N.</math>

Pour chaque valeur propre λ<sub>''i''</sub>, on a une équation particulière :
:<math> \left(\mathbf{A} - \lambda_i \mathbf{I}\right)\mathbf{v}  = 0,</math>
qui admet ''m''<sub>''i''</sub> vecteurs solutions [[Indépendance linéaire|linéairement indépendants]], formant une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de l'espace de toutes les solutions (le sous-espace propre associé à la valeur propre λ<sub>''i''</sub>). Il est important de remarquer que cette [[multiplicité géométrique]] ''m''<sub>''i''</sub> peut être égale ou pas à la multiplicité algébrique ''n''<sub>''i''</sub>, mais qu'on a toujours :  1 ≤ ''m''<sub>''i''</sub> ≤ ''n''<sub>''i''</sub>.
Le cas le plus simple est évidemment ''m''<sub>''i''</sub> = ''n''<sub>''i''</sub> = 1.

Le nombre de vecteurs propres indépendants de la matrice, noté ici ''N''<sub>'''v'''</sub>, est égal à la somme :
<math>\sum\limits_{i=1}^{N_{\lambda}}{m_i} =N_{\mathbf{v}}.</math>
Les vecteurs propres peuvent alors être indexés par leurs valeurs propres respectives, avec un double indice : on appellera alors '''v'''<sub>''i'',''j''</sub> le ''j''-ième vecteur propre associé à la ''i''-ième valeur propre.  Les vecteurs propres  peuvent aussi être notés plus simplement, avec un seul indice : '''v'''<sub>''k''</sub>, avec ''k'' = 1, 2, ... , ''N''<sub>'''v'''</sub>.

==Décomposition d'une matrice en éléments propres==

Soit '''A''' une matrice carrée (''N'' lignes et ''N'' colonnes) admettant ''N'' vecteurs propres linéairement indépendants, <math>q_i \,\, (i = 1, \dots, N).</math>  Alors, '''A''' peut s'écrire sous la forme :
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}  </math>
Où la [[matrice de passage]] '''Q''' est une matrice carrée (à ''N'' lignes et ''N'' colonnes) dont la ''i''-ième colonne est le vecteur propre <math>q_i</math> de '''A''' et '''Λ''' est la [[matrice diagonale]] dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres, ''i.e.'', <math>\Lambda_{ii}=\lambda_i</math>.  

Les vecteurs propres <math>q_i \,\, (i = 1, \dots, N)</math> sont souvent choisis [[Vecteur unitaire|unitaires]], mais pas toujours.

===Inversion d'une matrice via sa décomposition en éléments propres===
Si une matrice carrée '''A''' est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont non nulles, alors '''A''' est [[Matrice inversible|inversible]], et son inverse vaut :
:<math>\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1}.</math>

Or, '''Λ''' étant diagonale, les coefficients de son inverse se calculent trivialement :
:<math>\left[\Lambda^{-1}\right]_{ii}=\frac{1}{\lambda_i}</math>

==Conséquences sur le calcul des puissances==
La décomposition en éléments simples permet de calculer facilement les [[Polynôme d'endomorphisme|fonctions polynomiales de matrices]]. Si ''f''(''x'') s'écrit
:<math>f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots</math>
alors, on sait que : 
:<math>f\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{Q}f\left(\mathbf{\Lambda}\right)\mathbf{Q}^{-1}</math>
et '''Λ''' étant diagonale, un polynôme en '''Λ''' est très facile à calculer :
:<math>\left[f\left(\mathbf{\Lambda}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda_i\right).</math>
Les coefficients non diagonaux de ''f''('''Λ''') sont nuls ; ''f''('''Λ''') est donc également diagonale. Le calcul de ''f''('''A''') revient donc à calculer l'image par ''f'' de chaque valeur propre.

;Exemples
:*<math>\mathbf{A}^{2}=(\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1})(\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}) = \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}(\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{Q})\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{2}\mathbf{Q}^{-1}</math>
:*<math>\mathbf{A}^{n}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{n}\mathbf{Q}^{-1}</math>

Une technique similaire s'applique plus généralement au [[calcul fonctionnel holomorphe]], en utilisant la formule
:<math>\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1}</math>
[[#Inversion d'une matrice via sa décomposition en éléments propres|ci-dessus]]. On trouve encore
:<math>\left[f\left(\mathbf{\Lambda}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda_i\right).</math>

==Cas particuliers de décomposition en éléments simples==

===Matrices symétriques réelles===
Toute [[matrice symétrique]] réelle à ''N'' lignes et ''N'' colonnes admet ''N'' vecteurs propres linéairement indépendants. De plus, ces vecteurs peuvent être choisis de façon à être orthogonaux deux à deux et unitaires. Donc, toute matrice symétrique réelle '''A''' peut s'écrire sous la forme :
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{T}  </math>
où '''Q''' est une [[matrice orthogonale]], et '''Λ''' est une matrice diagonale réelle.

===Matrices normales===
De la même façon, une [[matrice normale]] complexe admet une [[base orthonormale]] de vecteurs propres, et peut donc s'écrire sous la forme :
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U}^{H}</math>
où '''U''' est une [[matrice unitaire]]. De plus, si '''A''' est [[matrice hermitienne|hermitienne]], la matrice diagonale '''Λ''' a tous ses coefficients réels, et si '''A''' est unitaire, les coefficients diagonaux de '''Λ''' ont tous pour module 1.

==Articles connexes==
*[[Problème aux valeurs propres généralisé]]
*[[Théorème spectral]]

{{Traduction/Référence|en|Eigendecomposition of a matrix|313280810|type=note}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Application linéaire]]