Voir la source de Demi-groupe

{{confusion|texte=Cet article concerne la structure algébrique. Pour les applications aux équations différentielles, voir {{Lien|trad=C0-semigroup|C0-semigroupe|texte=C{{ind|0}}-semigroupe}} ou [[Théorème de Hille-Yosida#Semi-groupes|Semi-groupes]].}}

En [[mathématiques]], un '''demi-groupe''' (ou '''semi-groupe''') est l'une des [[Structure algébrique|structures algébriques]] utilisées en [[algèbre générale]]. C'est un [[ensemble]] muni d'une [[loi de composition interne]] [[associativité|associative]]. Autrement dit, c'est un [[Magma (algèbre)|magma]] [[associatif]]. Il est dit commutatif si sa loi est de plus [[commutative]].

Un [[monoïde]] est un demi-groupe unifère, c'est-à-dire possédant un [[élément neutre]]<ref name=Bourbaki/>{{,}}<ref name=Confusion/>.

== Exemples ==

* L'[[ensemble vide]] pour sa seule loi de composition interne : l'[[Ensemble vide#Propriétés|application vide]].
* Tout [[Groupe (mathématiques)|groupe]] et plus généralement [[Monoïde#Exemples|tout monoïde]].
* Tout [[pseudo-anneau]], pour la multiplication (plus exactement si <math>(A,+,*)</math> est un [[pseudo-anneau]], alors <math>(A,*)</math> est un demi-groupe).
* Tout [[ensemble ordonné]] dont toute paire d'éléments possède une [[borne inférieure]], muni précisément de la loi qui leur associe cette borne inférieure, constitue un demi-groupe [[commutatif]] et dont tout élément est [[idempotent]]. La réciproque est vraie : soit <math>(S,*)</math> un tel demi-groupe, en posant <math>aRb</math> si <math>a*b = a</math>, on a {{math|''S''}} partiellement ordonné par {{math|''R''}} et toute paire d'éléments possède une borne inférieure dans {{math|(''S'', ''R'')}}.
* Pour tout demi-groupe <math>(S,*)</math>, l'ensemble des parties de {{math|''S''}} en est également un pour l'opération définie par{{Retrait|<math>A\cdot B=\{a*b\mid a\in A, b\in B\}.</math>}}

== Morphisme ==
Soient <math>(S,\cdot)</math> et <math>(T,\star)</math> deux demi-groupes. Une application <math>f:S\to T</math> est un ''morphisme'' de demi-groupes si <math>f(s\cdot t) = f(s)\star f(t)</math> pour tous <math>s,t \in S</math>. 
Par exemple, l'application <math>f:n\mapsto 2^n</math> est un morphisme du demi-groupe des entiers naturels munis de l’addition dans le demi-groupe des puissances entières de 2 munis de la multiplication.
== Adjonction d'un élément neutre ==

Soit <math>(S,\cdot)</math> un demi-groupe. Il est d'usage de noter <math>(S^1,\cdot')</math> le [[monoïde]] obtenu par l'ajout à <math>S</math> d'un élément supplémentaire, qui déterminera <math>\cdot'</math> comme l'unique [[prolongement]] de <math>\cdot</math> à <math>(S^1)^2</math> qui fait de ce nouvel élément le [[élément neutre|neutre]] de <math>(S^1,\cdot');</math> ce dernier restant <math>(S,\cdot)</math> s'il est déjà [[unifère]]. Formellement
:<math>S^1=\begin{cases}S&\text{si }S\mathrm{~contient~un~\acute el\acute ement~neutre~;}\\ S\cup\{1\}&\text{sinon.}\end{cases}</math>
Dans le deuxième cas, <math>1</math> est un objet quelconque qui ne figure pas dans <math>S</math>, et la loi <math>\cdot</math> sur <math>S</math> est étendue à <math>S\cup\{1\}</math> en posant
:<math>a\cdot'1=1\cdot'a=a</math> pout tout <math>a</math> dans <math>S\cup\{1\}.</math>

Lorsque le demi-groupe <math>(S,\cdot)</math> est [[commutatif]], le monoïde <math>(S^1,\cdot')</math> l'est aussi. On définit alors son [[Monoïde#Symétrisation|groupe symétrisé]] ou [[Groupe de Grothendieck (algèbre)|groupe de Grothendieck]] <math>G(S^1,\cdot')</math>.
Si de plus <math>(S,\cdot)</math> est simplifiable (c'est-à-dire si tous ses éléments sont [[Loi de composition interne#Réguliers et dérivés|réguliers]]) alors <math>(S^1,\cdot')</math> l'est aussi, donc le morphisme canonique de <math>(S,\cdot)</math> dans <math>G(S^1,\cdot')</math> (via <math>(S^1,\cdot')</math> ) est [[injectif]].

== Sous-demi-groupe ==

Un ''sous-demi-groupe'' d'un demi-groupe <math>S</math> est un [[sous-ensemble]] de <math>S</math> fermé sous l'opération de <math>S</math>. Un ''sous-monoïde'' d'un monoïde <math>M</math> est un sous-demi-groupe de <math>M</math> qui contient l'[[élément neutre]] de <math>M</math>.

Ainsi l'ensemble ℕ des nombres naturels, muni de la multiplication, est un demi-groupe commutatif dont l'ensemble 2ℕ des nombres pairs est un sous-demi-groupe : à noter que ℕ est un monoïde avec [[élément neutre]] 1 alors que 2ℕ n'est qu'un demi-groupe.

Un sous-demi-groupe d'un monoïde <math>M</math> peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de <math>M</math>. Par exemple dans le monoïde multiplicatif ℕ ci-dessus, le sous-demi-groupe {0} est le monoïde trivial, mais n'est pas un sous-monoïde de ℕ, car il ne contient pas l'élément neutre de ℕ.

== Inverses ==

Il existe dans les demi-groupes une notion de ''pseudoinverse'' (à comparer avec celle de [[Pseudoinverse|matrice pseudoinverse]]) et une notion d'''inverse'' (nécessairement différente de celle d'« inverse » au sens d'[[élément symétrique]] dans les groupes, puisqu'un demi-groupe ne possède pas nécessairement d'élément neutre) ; (voir aussi {{Page h'|Inverse (homonymie)}}) :

:<math>x</math> est un ''pseudoinverse''<ref name=KKM33/> de <math>a</math> si <math>axa=a</math>.
:<math>b</math> est un ''inverse'' de <math>a</math> si <math>aba = a</math> et <math>bab= b</math>.

Tout inverse est évidemment un pseudoinverse. Réciproquement, si <math>x</math> est un pseudoinverse de <math>a</math> alors<ref name=CP1.14/> <math>b=xax</math> est un inverse de <math>a</math>, puisque <math>aba = a(xax)a = (axa)(xa) = a(xa) = a</math> et <math>bab = (xax)ab = x(axa)b = (xa)(xax) = x(axa)x = xax = b</math>.

Un '''[[demi-groupe régulier]]''' est un demi-groupe dans lequel tout élément admet au moins un pseudoinverse ou (ce qui, d'après ce qui précède, est équivalent) au moins un inverse. 

Un '''[[demi-groupe inversif]]''' est un demi-groupe dans lequel tout élément admet un ''unique'' inverse<ref name=Inversif/>.

== Idéaux ==
Une partie<ref>Howie accepte l'idéal vide, Grillet demande qu'il ne soit pas vide.</ref> <math>I</math> d'un demi-groupe <math>S</math> est un ''idéal à gauche'' (''à droite'') si <math>SI\subset I</math>, <math>IS\subset I</math>. C'est un ''idéal'' (''bilatère'') s'il est à la fois un idéal à droite et à gauche. Pour tout élément <math>a</math> de <math>S</math>, l'ensemble <math>S^{1}a</math>, <math>aS^{1}</math>, <math>S^{1}aS^{1}</math> est l'idéal à gauche, à droite, bilatère ''engendré'' par <math>a</math>. Un idéal est ''propre'' s'il est non vide et distinct du demi-groupe tout entier.

Un ''zéro'' d'un demi-groupe <math>S</math> est un élément <math>0</math> tel que <math>0s=s0=0</math> pout tout <math>s</math> dans <math>S</math>. Par exemple, le nombre 0 est un zéro des entiers naturels pour la multiplication. Si un demi-groupe possède un zéro, il est unique. Le zéro, s'il existe, est un idéal bilatère propre si <math>S</math> ne se réduit pas à cet élément. 

=== Quotient de Rees ===

Soit <math>S</math> un demi-groupe et soit <math>I</math> un idéal de <math>S</math>. Le ''quotient de Rees'' <math>S/I</math> de <math>S</math> par <math>I</math> est le demi-groupe quotient de <math>S</math> par la ''congruence de Rees'' <math>\mathcal{J}</math>, définie par
:<math>x\mathcal{J}y \iff x=y \text{ ou } x,y\in I</math>.
Si <math>I</math> est vide, <math>S/I=S</math>. Si <math>I=S</math>, <math>S/I</math> est un singleton. Si <math>I\ne\emptyset, S</math>, on emploie la construction suivante<ref>Voir par exemple {{harvsp|Grillet|1995|p=17-18}}.</ref> : On dénote la classe de <math>I</math> par <math>0</math>, et on identifie les autres classes à leur unique élément. Alors <math>S/I=(S\setminus I)\cup\{0\}</math>, avec la multiplication <math>*</math> définie comme suit : <math>0</math> est un zéro, et
:<math>x*y=\begin{cases}0&\text{si }xy\in I \\xy&\text{sinon}.\end{cases}</math>
Le quotient de Rees est nommé ainsi d'après son concepteur, le mathématicien [[David Rees (mathématicien)|David Rees]].

;Exemple : Dans le monoïde libre <math>A^*</math> engendré par un [[alphabet]] <math>A</math> à deux lettres au moins, on considère l'idéal des mots contenant un [[mot (mathématiques)|mot]] [[mot sans carré|carré]], c'est-à-dire l'ensemble des mots de la forme <math>xyyz</math>, où <math>x, y, z</math> sont des mots, et <math>y</math> n'est pas le mot vide. Le quotient de Rees est composé des mots sans carré de <math>A^*</math>, et d'un zéro. Si <math>A</math> est composé de deux lettres <math>a</math> et <math>b</math>, le quotient de Rees est fini et formé de <math>a, b, ab, ba, aba, bab</math>, du mot vide et du zéro. Si <math>A</math> a plus de deux lettres, ce quotient de Rees est infini.

=== Demi-groupe simple et 0-simple ===

* Un demi-groupe <math>S</math> est ''simple'' si ses seuls idéaux sont <math>\emptyset</math> et S.
* Un demi-groupe <math>S</math> est ''0-simple'' s'il possède un zéro noté <math>0</math>, si <math>S^2\ne\{0\}</math> et si <math>\emptyset, 0</math> et <math>S</math> sont ses seuls idéaux. Comme <math>S^2</math> est un idéal non vide, la seule possibilité qui reste est <math>S^2=S</math>. Un demi-groupe 0-simple ne se réduit donc pas à son zéro.

;Exemples :Le [[demi-groupe bicyclique]] est simple. Tout groupe est simple en tant que demi-groupe.
:Un ''0-groupe'' est un demi-groupe de la forme <math>G\cup\{0\}</math>, où <math>G</math> est un groupe et où <math>0</math> est un élément qui joue le rôle d'un zéro et qui n'est pas dans <math>G</math>. La loi de <math>G</math> est donc étendue à <math>G\cup\{0\}</math> par <math>0s=s0=0</math> pour <math>s</math> dans <math>G\cup\{0\}</math>. On écrit en général <math>G^0</math> pour <math>G\cup\{0\}</math>. Plus généralement, si <math>S</math> est un demi-groupe non vide, on note <math>S^0</math> le demi-groupe avec zéro obtenu en ajoutant un zéro à <math>S</math>. Un 0-groupe est un demi-groupe 0-simple.

=== Idéal minimal ===
Le produit <math>I_1I_2\cdots I_n</math> d'idéaux <math>I_1, I_2,\ldots,I_n</math> est un idéal contenu dans leur intersection. Il en résulte que si les idéaux <math>I_1, I_2,\ldots,I_n</math> ne sont pas vides, leur intersection ne l'est pas non plus.

Un idéal non vide <math>I</math> est ''minimal'' s'il ne contient pas d'autre idéal non vide. Ainsi, un idéal minimal, vu comme demi-groupe, est un demi-groupe simple. Comme l'intersection de deux idéaux non vides est un idéal non vide, un demi-groupe possède au plus un seul idéal minimal. L'existence d'un idéal minimal est assurée dans le cas d'un demi-groupe fini (on prend simplement l'intersection de tous les idéaux non vides).

Si un demi-groupe <math>S</math> possède un zéro <math>0</math>, il est à lui tout seul l'idéal minimal de <math>S</math>. Un idéal <math>I</math> de <math>S</math> est ''<math>0</math>-minimal'' s'il est non vide, différent de <math>0</math>, et ne contient pas d'autre idéal non vide. Un idéal 0-minimal <math>I</math>, vu comme demi-groupe, est un demi-groupe 0-simple sauf si <math>I^2=0</math>.

;Exemple : Le demi-groupe <math>S=\{s,t,0\}</math> défini par <math>xy=0</math> pour <math>x, y \in S</math> possède deux idéaux 0-minimaux, à savoir <math>\{s,0\}</math> et <math>\{t,0\}</math>.

== Historique ==

L'étude des demi-groupes, en tant que structure algébrique, commence avec des travaux russes, notamment de [[Anton Suschkewitsch]], qui détermina en [[1928 en science|1928]] la structure des semi-groupes simples finis<ref name=Susch/>, et [[Ievgueni Sergueïevitch Lyapine|Evgenii Sergeevich Lyapin]]. Quelques années plus tard, des travaux fondateurs ultérieurs furent menés par [[David Rees (mathématicien)|David Rees]], [[James Alexander Green]], [[Alfred H. Clifford]] et [[Gordon Preston]]<ref name=Preston/>.
La théorie des demi-groupes finis s'est beaucoup développée, en liaison avec la théorie des automates, sous l'impulsion de [[Marcel-Paul Schützenberger]] et [[Samuel Eilenberg]] notamment. Elle est directement liée aux [[Théorème des variétés d'Eilenberg|variétés de langages formels]]<ref name=Pin/>.

Depuis [[1970 en science|1970]] paraît un périodique consacré à la théorie des demi-groupes, appelé ''[[Semigroup Forum]].''

== Références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Semi-groupe|80664016}} 
{{Traduction/Référence|en|Semigroup|127334256}}
{{Références|références=
<ref name=Bourbaki>Cette définition est conforme à [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', ''Algèbre'', vol. I, Paris, édition de 1970, ch. I, § 2, n° 1, déf. 2, p. I.12. Dans l'édition de 1964, « monoïde » avait un sens différent.</ref>

<ref name=Confusion>Une certaine confusion dans la terminologie a pu exister en langue française due, en partie du moins, au fait qu'en 1904, le  mathématicien français J.-A. de Séguier, dans ''Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits'', proposait le terme « semi-groupe » pour désigner un demi-groupe simplifiable. Cette distinction est maintenant abandonnée.</ref>

<ref name=KKM33>{{harvsp|Kilp|Knauer|Mikhalev|2000}}, page 33.</ref>

<ref name=CP1.14>{{harvsp|Clifford|Preston|1961}}, Lemma 1.14.</ref>

<ref name=Inversif>Le terme « inversif » apparaît dans 
G. Thierrin, « Sur les éléments inversifs et les éléments unitaires d'un demi-groupe inversif », ''[[CRAS|C. R. Acad. Sci.]]'' Paris vol. 234 (1952) pp. 33-34. On dit aussi « inverse », en analogie avec le terme anglais.</ref> 

<ref name=Susch>''Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit'', 1928.</ref>

<ref name=Pin>{{harvsp|Pin|1986}}.</ref>

<ref name=Preston>{{lien web|langue=en|url=http://www.gap-system.org/~history/Extras/Preston_semigroups.html|site=gap-system.org|titre=Personal reminiscences of the early history of semigroups|auteur=[[Gordon Preston|G. B. Preston]]|année=1990|consulté le=12 mai 2009}}.</ref>
}}

=== Littérature ===
;Histoire des demi-groupes

* {{lien web|url=http://www.gap-system.org/~history/Extras/Preston_semigroups.html |site=gap-system.org |titre=Personal reminiscences of the early history of semigroups |auteur=[[Gordon B. Preston]]|année=1990}}.
*:
* {{Article|auteur1=[[Paul Dubreil]]
|titre=Apparition et premiers développements de la théorie des demi-groupes en France
|périodique=Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques
|année=1981|volume=2|pages=59-65
|url texte=http://www.numdam.org/item?id=CSHM_1981__2__59_0|math reviews=618658|zbl=0465.01005
}}
*:
* {{Article
|langue=en|prénom1=Christopher|nom1=Hollings | titre= The early development of the algebraic theory of semigroups | périodique= Arch. Hist. Exact Sci. (2009) |année=2009|volume=63|pages=497–536 |doi=10.1007/s00407-009-0044-3
}}
;Ouvrages historiques
<!-- C -->
* {{ouvrage
|langue=en|prénom= Alfred H.|nom=Clifford|lien auteur1=Alfred H. Clifford|prénom2=Gordon B.|nom2=Preston
|lien auteur2= Gordon B. Preston
|titre=The Algebraic Theory of Semigroups
|éditeur=American Mathematical Society
|lieu=Providence, R.I.|année=1961|volume=I
|collection=Mathematical Surveys|numéro dans collection=7-Part I
|pages totales= xv+224|isbn=978-0-8218-0272-4|math reviews=0132791}} 
*:
* {{ouvrage
|langue=en|prénom1= Alfred H.|nom1=Clifford|prénom2=Gordon B.|nom2=Preston
|titre=The Algebraic Theory of Semigroups|éditeur=American Mathematical Society
|lieu=Providence, R.I.| année=1967|volume=II|collection=Mathematical Surveys|numéro dans collection=7-Part II
|pages totales= xv+350|isbn=978-0-8218-0272-4|math reviews=0218472}}
*:
* {{ouvrage|langue=en|prénom1=Evgueni S.
|nom1=Lyapine|lien auteur=Evgueni Lyapine|titre=Semigroups
|éditeur=American Mathematical Society
|collection= Translations of Mathematical Monographs|numéro dans collection=3|année=1963 |commentaire=Deux autres éditions suivent, une première en 1968 avec un chapitre additionnel, et une deuxième, en 1974, avec un autre chapitre en plus.}}

;Ouvrages classiques
<!-- H -->
* {{ouvrage|langue=en
|prénom=John M.|nom=Howie|lien auteur1=John M. Howie
|titre=Fundamentals of Semigroup Theory |éditeur=Oxford University Press
|collection = London Mathematical Society Monographs. New Series |numéro dans collection = 12
|année=1995 |pages totales=x+351 |isbn=0-19-851194-9|math reviews=1455373}}
*:
* {{ouvrage|langue=en|prénom1=Pierre Antoine|nom1=Grillet
 |titre=Semigroups|sous-titre=An Introduction to the Structure Theory
 |collection=Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics
 |numéro dans collection=193|éditeur=Marcel Dekker|année=1995
 |pages totales=xii+398|isbn=0-8247-9662-4|math reviews=2000g:20001}}
*:
* {{ouvrage|prénom1=Gérard|nom1=Lallement|titre=Semigroups and Combinatorial Applications
 |collection=Pure and Applied Mathematics |éditeur=John Wiley & Sons|année=1979
 |pages totales=xi+376|math reviews=81j:20082|isbn=0-471-04379-6}}
*:
<!-- P -->
* {{ouvrage|langue=en|prénom1=Jean-Éric|nom1=Pin
 |titre=Varieties of Formal Languages|éditeur=Plenum Press|année=1986}}

;Ouvrages récents
<!-- K -->
* {{Ouvrage |langue=en
| prénom1=Mati|nom1=Kilp| prénom2=Ulrich |nom2=Knauer| prénom3=Alexander V.|nom3=Mikhalev
| titre=Monoids, Acts and Categories
| sous-titre= With Applications to Wreath Products and Graphs| éditeur=Walter de Gruyter| numéro dans collection = 29| collection  = De Gruyter Expositions in Mathematics| pages totales=xviii+529| isbn=3-11-015248-7 | année=2000}}
*:
* {{ouvrage|langue=en |prénom1=Attila|nom1=Nagy
|titre=Special Classes of Semigroups
|éditeur=Kluwer Academic Publishers
|année=2001
|collection=Advances in Mathematics (Dordrecht)
|numéro dans collection=1
|pages totales=viii+269|isbn=0-7923-6890-8|math reviews=2002d:20091
|présentation en ligne=https://books.google.fr/books/about/Special_Classes_of_Semigroups.html?id=BmyCMoEU1n4C&redir_esc=y
}}

== Articles connexes ==
* {{Lien|trad=Special classes of semigroups|lang=en|fr=Classes particulières de demi-groupes}}
* [[Théorème des variétés d'Eilenberg]]
* [[Demi-groupe 3x+1]]
* [[Demi-groupe automatique]]
* [[Demi-groupe numérique]]

{{Palette|Structures algébriques}}
{{Portail|Algèbre}}

[[Catégorie:Structure algébrique]]
[[Catégorie:Algèbre générale]]