Voir la source de Ellipsoïde

[[Image:Ellipsoide.png|vignette|upright=1.5|Ellipsoïde avec {{math|1=(''a'', ''b'', ''c'') = (4, 2, 1)}}.]]

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[géométrie euclidienne]], un '''ellipsoïde''' est une [[surface (géométrie)|surface]] du second degré de l'[[espace euclidien]] à trois dimensions. Il fait donc partie des [[quadrique]]s, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.

L'ellipsoïde admet un centre et au moins trois plans de [[symétrie (transformation géométrique)|symétrie]]. L'[[Intersection (mathématiques)|intersection]] d'un ellipsoïde avec un plan est une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]], un point ou l'[[ensemble vide]].

L'équation d'un ellipsoïde centré à l'origine d'un système cartésien et aligné avec les axes du repère est de la forme
:<math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1</math>
où {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} sont des paramètres strictement positifs donnés, égaux à la longueur des demi-axes de cet ellipsoïde.

== Équations ==
=== Équation généralisée ===

Dans un repère cartésien en trois dimensions, l'équation d'une [[quadrique|surface quadratique]] est
{{retrait|<math>\mathbf{x}^\mathsf{T}A\,\mathbf{x}+B^\mathsf{T}\mathbf{x}+C = 0</math>}}
où la matrice {{mvar|A}} est, par construction, une [[matrice symétrique]] réelle. D'après le [[théorème spectral]], elle est [[diagonalisable]] et ses [[valeurs propres]] sont toutes réelles. Si ces trois valeurs propres sont strictement positives (ou strictement négatives), c'est-à-dire que {{mvar|A}} est de signature (3, 0) (ou (0, 3)), cette équation définit une quadratique type ellipsoïde. À condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice {{mvar|A}} est alors [[matrice définie positive|définie positive]]. Le déterminant de {{mvar|A}} n'étant pas nul, la quadratique possède un centre dont les coordonnées sont
{{retrait|<math>\mathbf{v} = -\frac12A^{-1}B,</math>}}
et son équation s'écrit sous la forme :
{{retrait|<math>\left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^\mathsf{T} A \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right) = k</math>}}
avec
{{retrait|<math>k = \frac14B^\mathsf{T}A^{-1}B - C.</math>}}

{{démonstration/début|déroulante=oui}}
Puisque d'une part {{mvar|A}} est symétrique et que d'autre part tout [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] est égal à sa [[matrice transposée]],
{{retrait|<math>\mathbf{v}^\mathsf{T}A=\mathbf{v}^\mathsf{T}A^\mathsf{T}=\left(A\mathbf{v}\right)^\mathsf{T}\quad{\rm et}\quad\mathbf{x}^\mathsf{T}A\mathbf{v}=\left(\mathbf{x}^\mathsf{T}A\mathbf{v}\right)^\mathsf{T}=\left(A\mathbf{v}\right)^\mathsf{T}\mathbf{x}</math>}}
donc
{{retrait|<math>\begin{align}\left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^\mathsf{T} A \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)-k&=\mathbf{x}^\mathsf{T}A\mathbf{x}-\left(\mathbf{v}^\mathsf{T}A\mathbf{x}+\mathbf{x}^\mathsf{T}A\mathbf{v}\right)+\mathbf{v}^\mathsf{T}A\mathbf{v}-k\\
&=\mathbf{x}^\mathsf{T}A\mathbf{x}-2\left(A\mathbf{v}\right)^\mathsf{T}\mathbf{x}+\left(A\mathbf{v}\right)^\mathsf{T}\mathbf{v}-k.\end{align}</math>}}
Or
{{retrait|<math>\left(A\mathbf{v}\right)^\mathsf{T}=-\frac12B^\mathsf{T}\quad{\rm et}\quad\left(A\mathbf{v}\right)^\mathsf{T}\mathbf{v}-k=C</math>}}
si (et seulement si)
{{retrait|<math>\mathbf{v}=-\frac12A^{-1}B\quad{\rm et}\quad k=\frac14B^\mathsf{T}A^{-1}B-C.</math>}}
{{démonstration/fin}}

Si {{math|''k''}} est strictement positif, l'ellipsoïde (centré en {{math|v}} et arbitrairement orienté) est alors l'ensemble des points {{math|x}} vérifiant l'équation :
:<math>\left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^\mathsf{T} A_1 \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right) = 1</math>
où {{math|''A''{{ind|1}}}} est réelle, [[matrice définie positive|définie positive]].

De plus, les vecteurs propres de {{math|''A''{{ind|1}}}} définissent les axes de l'ellipsoïde et les valeurs propres de {{math|''A''{{ind|1}}}} sont égales à l'inverse du carré des demi-axes (c'est-à-dire {{math|1/''a''{{2}}}}, {{math|1/''b''{{2}}}} et {{math|1/''c''{{2}}}})<ref>{{Lien web |langue=en |titre=Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD |url=http://stanford.edu/class/ee263/lectures/symm.pdf|date= automne 2012-2013|site=[[Université Stanford]]|auteur={{Lien|Stephen P. Boyd}}<!--|consulté le=10/7/15-->}}.</ref>. Les [[Décomposition en valeurs singulières|valeurs singulières]] de {{math|''A''{{ind|1}}}}, étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.

=== Paramétrisation ===
Un ellipsoïde peut être paramétré de différentes manières. Une des possibilités, en choisissant l'axe {{mvar|z}}, est la suivante :
{{retrait|<math>
\begin{cases}
x=a\cos(\theta)\cos(\phi)\\
y=b\cos(\theta)\sin(\phi)\\
z=c\sin(\theta)
\end{cases}
</math>}}
où
{{retrait|<math>
-\pi/2\le\theta\le\pi/2
\quad{\rm et}\quad
-\pi\le\phi\le\pi.
</math>}}
Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques. Pour un {{mvar|θ}} constant, nous obtenons une ellipse qui est l'intersection de l'ellipsoïde et d'un plan {{mvar|1=z = k}}. Le paramètre {{mvar|ϕ}} correspond alors à l'[[anomalie excentrique]] de cette ellipse. Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation. Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la [[Latitude#Autres latitudes|latitude réduite]].

=== Espace projectif ===
{{référence nécessaire|date=mars 2014|En [[géométrie projective]]}}, l'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+1=0.</math>

L'équation genre [[Conique#Classification projective des coniques réelles|ellipsoïde, cône imaginaire]] :

:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0.</math>

== Cas particuliers ==
=== Ellipsoïde de révolution ===
{{Article détaillé|Ellipsoïde de révolution}}
Dans le cas où seuls deux paramètres sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la [[Rotation dans l'espace|rotation]] d'une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un [[ellipsoïde de révolution]], parfois appelé [[sphéroïde]], permettant d'obtenir les [[miroir|miroirs elliptiques]] des projecteurs de cinéma et les [[Ballon de rugby à XIII|ballons de rugby]]. On montre aussi que cette surface est optimale pour les [[dirigeable]]s.

En prenant {{math|1=''a = b''}}, l'équation s'écrit :

:<math>\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0.</math>

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe {{math|''Oz''}}. En effet, les sections par les plans {{math|1=''z = k''}} sont des cercles d'axe {{math|''Oz''}}.

La méridienne dans le plan {{math|''xOz''}} que l'on obtient avec {{math|1=''y'' = 0}} est l'ellipse d'équation :

:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0.</math>

On remarque que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant {{math|''x''{{2}}}} par {{math|''x''{{2}} + ''y''{{2}}}}.

=== Sphère ===
Dans le cas dégénéré où {{mvar|1=a = b = c}}, l'ellipsoïde est une [[sphère]] de rayon {{mvar|a}}.

== Propriétés ==
=== Volume ===
Le [[volume]] de l'espace délimité par un ellipsoïde est égal à :
{{Retrait|<math>V=\frac43\pi abc=\frac{4\pi}3\sqrt{\det\left({A_1}^{-1}\right)}.</math>}}

Cette formule donne le [[Boule (solide)#Formulaire|volume d'une boule]] de rayon {{mvar|a}} dans le cas où les trois demi-axes sont de la même longueur.

Les volumes du plus grand [[parallélépipède rectangle]] inscrit et du plus petit [[parallélépipède rectangle]] circonscrit sont donnés par les formules suivantes :
{{Retrait|<math>V_{\max} =\frac8{3\sqrt{3}}abc\quad{\rm et}\quad V_{\min} = 8abc.</math>}}

=== Aire ===
L'[[Aire (géométrie)|aire]] d'un ellipsoïde quelconque est donnée par la formule<ref>{{ouvrage|langue=en|prénom1=F. W. J. |nom1=Olver |directeur1=oui|prénom2= D. W. |nom2=Lozier|directeur2=oui|prénom3= R. F.|nom3=Boisvert|directeur3=oui|prénom4= C. W.|nom4= Clark|directeur4=oui|année= 2010|mois=mai|jour=17|titre= [[NIST]] Handbook of Mathematical Functions|éditeur =Cambridge University Press|lire en ligne=http://dlmf.nist.gov/19.33}}.</ref>
:<math>
\mathcal{A}=2\pi c^2+\frac{2\pi ab}{\sin(\phi)}
\left(E(\phi,k)\sin^2(\phi)+ F(\phi,k)\cos^2(\phi)\right),
</math>
où
:<math>
\cos(\phi) = \frac{c}{a}, \qquad
k^2 =\frac{a^2\left(b^2-c^2\right)}{b^2\left(a^2-c^2\right)}, \qquad
a\ge b \ge c,
</math>
et où {{math|''F''(''ϕ'' , ''k'')}} et {{math|''E''(''ϕ'' , ''k'')}} sont les [[intégrale elliptique|intégrales elliptiques]] incomplètes de première et deuxième espèce respectivement<ref>http://dlmf.nist.gov/19.2</ref> :
:<math> F(\phi,k) = \int_0^\phi \frac {\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}, \quad E(\phi,k) = \int_0^\phi\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}~\mathrm{d}\theta.</math>

=== Excentricité ===
Si {{math|''a'' ≥ ''b'' ≥ ''c''}} (c'est-à-dire si {{mvar|a}} est la longueur du plus grand demi-axe et {{mvar|c}} est la longueur du plus petit demi-axe), l'excentricité de l'ellipsoïde est donnée par la formule suivante :

{{retrait|1= <math>e={{\sqrt{a^2-c^2}}\over a}.</math>}}

== Applications ==
L'ellipsoïde dispose de plusieurs applications pratiques tel que le [[modèle ellipsoïdal de la Terre]] qui est une figure mathématique se rapprochant de la forme de la Terre.

=== Propriétés dynamiques ===
Une ellipsoïde de densité uniforme {{mvar|ρ}} possède la masse suivante :
:<math>m = \rho V = \frac{4\pi\rho}{3}abc</math>

Les moments d'inertie dans le système des axes principaux sont :
:<math>I_{xx} = \frac{m}{5}(b^2+c^2)</math>
:<math>I_{yy} = \frac{m}{5}(a^2+c^2)</math>
:<math>I_{zz} = \frac{m}{5}(a^2+b^2)</math>

Les produits d'inertie sont tous nuls dans ce système d'axe :
:<math>I_{xy}=I_{yx}=I_{xz}=I_{zx}=I_{yz}=I_{zy}=0</math>

== Exemples ==
* [[Ellipsoïde de Fresnel]]
* [[Ellipsoïde de Bessel]]
* [[Figure de la Terre]]

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Ellipsoid|598762912|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Ellipsoids|wiktionary=ellipsoïde}}
* [[Ellipsoïde d'inertie]]
* [[Méthode de l'ellipsoïde]]
* [[Système de coordonnées (cartographie)]]

{{Palette|Quadriques}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Surface]]
[[Catégorie:Quadrique]]