Voir la source de Ensemble polaire

{{Homon|Polaire}}
En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] et en [[analyse convexe]], le<ref>On utilise le masculin pour ''polaire'' parce que l'on fait référence à ''un'' ensemble. Pour la définition de ''la'' (droite) polaire, voir « [[Pôle et polaire]] ».</ref> '''polaire''' d'une partie <math>P</math> d'un [[espace localement convexe]] est un [[Ensemble convexe|convexe]] [[Fermé (topologie)|fermé]] de son [[dual topologique]], contenant l'origine et ayant une « [[Dualité (mathématiques)|relation de dualité]] » avec <math>P</math>. Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux [[Dual d'un espace vectoriel topologique#Espaces en dualité|espaces en dualité]]<ref>{{Harvsp|Grothendieck|1955}} ; {{Harvsp|Bourbaki|1981}} ; {{harvsp|Aliprantis|Border|2007}}.</ref>, nous nous limiterons dans cet article au cas d'un [[espace euclidien]], qui s'identifie à son dual.

Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature :
* le polaire du polaire, appelé le '''bipolaire''', d'un ''convexe fermé <math>P</math> contenant l'origine'' est égal à <math>P</math> ;
* le polaire d'un [[polyèdre convexe]] contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ;
* le polaire de la boule unité fermée de la [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|norme ℓ{{exp|''p''}} de ℝ{{exp|''n''}}]] est la boule unité fermée de la norme ℓ{{exp|''q''}}, avec 1/''p'' + 1/''q'' = 1.

En [[géométrie]], lorsque <math>P</math> est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois <math>P^\circ</math> le [[Polytope dual|''dual'']] de <math>P</math>, mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du [[cône dual]] <math>P^+</math>, dont la signification est tout autre (sauf si <math>P</math> est un [[Cône (analyse convexe)|cône]], auquel cas <math>P^\circ=-P^+</math>).

== Définitions ==
Le '''polaire''' <math>P^\circ</math><ref>Dans ce contexte, pour éviter l'éventuelle confusion entre polaire <math>P^{\circ}</math> (cercle en exposant) et [[Intérieur (topologie)|intérieur]] <math>\stackrel{\ \circ}{P}</math> (cercle suscrit), l'intérieur d'une partie <math>P</math> est noté <math>\operatorname{int}P</math>.</ref> d'une partie <math>P</math> d'un espace euclidien <math>E</math> est défini par<ref>C'est la définition donnée par {{Harvsp|Rockafellar|1970|p=125}} et par {{harvsp|Korte|Vygen|2010|p=95}}. Dans le cadre plus général de deux espaces en dualité, ≤ 1 est remplacé par ≥ –1 dans {{Harvsp|Bourbaki|1981}}, tandis que {{Harvsp|Grothendieck|1955}} utilisait une définition de Bourbaki antérieure {{Harv|Ferrier|2011|p=33}} et différente, qui dans notre cas euclidien s'écrit :<center><math>P^\circ := \{y\in E\mid\forall x\in P\;\;\left|\langle y,x\rangle\right|\leqslant1\}</math>.</center>{{harvsp|Aliprantis|Border|2007}} notent eux aussi <math>P^\circ</math> cet ensemble ({{Citation étrangère|lang=en|absolute polar}}), et notent <math>P^\odot</math> ({{Citation étrangère|lang=en|one-sided polar}}) l'ensemble que nous notons <math>P^{\circ}</math>. Avec leurs notations, on a donc <math>P^\circ=(P\cup(-P))^\odot\subset P^\odot</math>.</ref>
<center><math>
P^\circ := \{y\in E\mid\forall x\in P\;\;\langle y,x\rangle\leqslant 1\},
</math></center>
où <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math> désigne le produit scalaire de <math>E</math>.

;Exemples
:*Le polaire d'un cône est égal à son [[Cône dual|cône dual négatif]] ; en particulier, <math>\{0\}=E</math>.
:*Les boules unité fermées des [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|normes ℓ{{exp|''p''}} et ℓ{{exp|''q''}}]], avec 1/''p'' + 1/''q'' = 1, sont polaires l'une de l'autre ; en particulier (cas ''p = q'' = 2), la boule unité fermée de <math>E</math> est son propre polaire.
:*Dans le [[plan euclidien]], le polaire de la bande <math>\R\times\left]0,1\right]</math> est la [[demi-droite]] <math>\{0\}\times\left]-\infty,1\right]</math>.

{{ancre|bipolaire}}
Le '''bipolaire''' d'une partie <math>P</math> de <math>E</math> est le polaire de son polaire. On le note <math>P^{\circ\circ} := (P^\circ)^\circ.</math>

== Propriétés ==
On désigne ci-dessous l'[[enveloppe convexe]] de <math>P</math> par <math>\operatorname{co}{(P)}</math> et son [[Ensemble convexe#Enveloppe convexe-fermée|enveloppe convexe fermée]] par <math>\overline{\operatorname{co}}{(P)}</math>.

=== Propriétés du polaire ===
On peut voir <math>P^\circ</math> comme une intersection de demi-espaces fermés de <math>E</math>, contenant l'origine :
<center><math>
P^\circ=\bigcap_{x\in P}\,\{y\in E\mid\langle y,x\rangle\leqslant1\}.
</math></center>
Ceci conduit à la première propriété ci-dessous.

{{Théorème|Propriétés du polaire|Soient <math>E</math> un espace euclidien, <math>P</math>, <math>P_1</math> et <math>P_2</math> des parties de <math>E</math>, <math>(P_i)_{i\in I}</math> une [[Famille (mathématiques)|famille]] non vide de parties de <math>E</math>. Alors :
*<math>P^\circ</math> est un convexe fermé contenant l'origine ;
*<math>P_1\subset P_2 ~\Longrightarrow~ P_1^\circ\supset P_2^\circ</math> et plus précisément : <math>(\cup_{i\in I}P_i)^{\circ} = \cap_{i\in I}P_i^{\circ}</math> ;
*si <math>\alpha\ne0</math>, alors <math>(\alpha P)^\circ = (1/\alpha)\,P^\circ</math> ;
*<math>\big[{\overline{\operatorname{co}}{(P\cup\{0\})}}\big]^\circ=P^\circ</math> ;
*<math>P^{\circ}=P</math> si, et seulement si, <math>P</math> est la boule unité fermée de <math>E</math>.}}

On peut aussi écrire <math>P^\circ</math> comme suit :
<center><math>
P^\circ
=\left\{y\in E~\left|~\sup_{x\in P}\,\langle y,x\rangle\leqslant1\right.\right\}
=\left\{y\in E\mid\mathcal{I}_P^*(y)\leqslant1\right\},
</math></center>
où <math>\mathcal{I}_P^*</math> désigne la [[Fonction conjuguée|conjuguée]] de la [[Fonction indicatrice (analyse convexe)|fonction indicatrice]] <math>\mathcal{I}_P</math> de l'ensemble <math>P</math>.

=== Propriétés du bipolaire ===
Soit <math>P</math> une partie d'un espace euclidien. Alors, <math>P^{\circ\circ}=\overline{\operatorname{co}}(P\cup\{0\})</math>.

Par conséquent, <math>P^{\circ\circ}=P</math> si, et seulement si, <math>P</math> est un convexe fermé contenant l'origine.

=== Bornitude ===
Il n'y a pas d'équivalence entre la bornitude de <math>P</math> et celle de <math>P^\circ</math>. Par exemple, si <math>P=\operatorname{conv}\{0,e_1+e_2,e_1-e_2\}</math>, qui est borné dans <math>\R^2</math>, <math>P^\circ=\{y\in\R^2\mid y_1+y_2\leqslant1</math>, <math>y_1-y_2\leqslant1\}</math> n'est pas borné. En réalité, comme le montre le résultat suivant, la bornitude de <math>P</math> est équivalente au fait que <math>P^\circ</math> contient une petite boule centrée en zéro.

{{Théorème|Bornitude|Soit <math>P</math> une partie de <math>E</math> contenant <math>0</math> et soit <math>\alpha>0</math>. Alors
<center><math>
\begin{array}{rcl}
P\subset\alpha B
&\Longleftrightarrow&
\textstyle
\frac1{\alpha}B\subset P^\circ,
\\
\alpha B\subset P
&\Longrightarrow&
P^\circ\subset\frac1{\alpha}B.
\end{array}
</math></center>
La réciproque de la dernière implication a lieu si <math>P</math> est convexe.}}

La réciproque de la dernière implication n'est pas nécessairement vérifiée si <math>P</math> n'est pas convexe. Par exemple, si <math>P = ([-1,1]\times\{0\}) \cup (\{0\}\times[-1,1])</math>, <math>P^\circ =[-1,1]^2</math> est borné, alors que <math>P</math> ne contient pas de boule.

== Exemple ==
{{Théorème|Polaire d'un polyèdre|Si <math>P</math> est un [[polyèdre]] d'un espace euclidien, alors <math>P^\circ</math> est un [[polyèdre convexe]].}}

En effet, puisque <math>P</math> a même polaire que <math>\operatorname{co}{(P\cup\{0\})}</math>, on peut toujours se ramener au cas où ce polyèdre <math>P</math> est convexe et contient <math>0</math>.

Puisque <math>P</math> est alors un polyèdre convexe, son [[Fonction indicatrice (analyse convexe)|indicatrice]] <math>\mathcal{I}_P</math> est une [[fonction convexe polyédrique]], donc la [[fonction conjuguée]] <math>\mathcal{I}_P^*</math> également, si bien que <math>P^\circ</math> est polyédrique, comme [[ensemble de sous-niveau]] <math>1</math> de <math>\mathcal{I}_P^*</math>.

Plus explicitement : <math>P</math> (polyèdre convexe contenant <math>0</math>) peut s'écrire sous la forme
<center><math>
P := \operatorname{conv}{\{c_i\mid i\in I\}}+\operatorname{cone}{\{d_j\mid j\in J\}},
</math></center>
où <math>I\ne\varnothing</math> et <math>J</math> sont des ensembles d'indices disjoints et finis, les points <math>c_i\in E</math> pour <math>i\in I</math>, les directions <math>d_j\in E</math> pour <math>j\in J</math>, et <math>\operatorname{cone}</math> désigne l'[[enveloppe conique]] (convexe pointée). Le polaire <math>P^\circ</math> de <math>P</math> est le polyèdre convexe
<center><math>
P^\circ=\{y\in E\mid\forall i\in I\;\;
\langle y,c_i\rangle\leq1\quad\text{et}\quad\forall j\in J\;\;\langle y,d_j\rangle\leq0\}.
</math></center>

== Annexes ==

=== Notes ===
{{Références|colonnes=2}}

=== Article connexe===
{{Lien|trad=Mahler volume|Volume de Mahler}}

=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique]], [[Espace vectoriel topologique|EVT]]|year=1981|url={{Google Livres|Xx6mCTnpybwC|page=47}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|titre=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|auteur=[[Charalambos D. Aliprantis]]|auteur2=Kim C. Border|numéro d'édition=3|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|year=2007|url={{Google Livres|4hIq6ExH7NoC|page=215}}|page=215-218}}
*{{Lien web|auteur=Jean-Pierre Ferrier|titre=La dualité dans les EVT de Bourbaki : entre exposition et création|year=2011|url=http://iecl.univ-lorraine.fr/~Jean-Pierre.Ferrier/EVT/DualEVT.pdf}}
*{{Ouvrage|auteur=[[Alexander Grothendieck]]|titre={{Lien|trad=Topological tensor product|Produit tensoriel topologique|texte=Produits tensoriels topologiques}} et [[Espace nucléaire|espaces nucléaires]]|year=1955|collection=Memoirs of the [[American Mathematical Society]]|numéro dans collection=16|lieu=Providence, Rhode Island|url={{Google Livres|wqDTCQAAQBAJ|page=97}}}}
*{{Ouvrage|titre=Optimisation combinatoire|sous-titre=théorie et algorithmes|auteur=Bernhard Korte|auteur2=Jens Vygen|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2010|url={{Google Livres|KkZ5liP7CFAC|page=95}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|lien auteur=Ralph Tyrrell Rockafellar|first=R. Tyrrell|nom=Rockafellar|year=1970|titre=Convex Analysis|collection=Princeton Mathematical Series|numéro dans collection=28|éditeur=[[Princeton University Press]]|lieu=Princeton, New Jersey|url={{Google Livres|1TiOka9bx3sC}}}}

{{Portail|mathématiques|analyse}}

[[Catégorie:Analyse convexe]]