Voir la source de Entier friable

En [[théorie des nombres]], un nombre '''friable''', ou '''lisse''', est un [[entier naturel]] dont l'ensemble des [[Décomposition en produit de facteurs premiers|facteurs premiers]] sont petits, relativement à une borne donnée. Ce terme aurait été inventé par [[Leonard Adleman]].

Les entiers friables sont particulièrement importants dans la [[cryptographie]] basée sur la factorisation, qui constitue depuis une vingtaine d'années une branche dynamique de la [[théorie des nombres]], avec des applications dans des domaine aussi variés que l'[[algorithmique]] (problème du logarithme discret), la théorie de la sommabilité ([[sommation friable]] des [[séries de Fourier]]<ref>{{article|lang=fr|prénom1=R.|nom1=de la Bretèche|prénom2=G.|nom2=Tenenbaum|titre=Séries trigonométriques à coefficients arithmétiques|journal={{Lien|lang=nl|Journal d'Analyse Mathématique}}|volume=92|pages=1-79|année=2004}}.</ref>), la théorie élémentaire des [[nombres premiers]] (preuve élémentaire du [[théorème des nombres premiers]] de [[Hédi Daboussi|Daboussi]] en 1984<ref>Cf. {{Harvsp|Tenenbaum|Mendès France|2013}}.</ref>), la [[méthode du cercle]] ([[problème de Waring]]), le modèle de Billingsley, le modèle de {{Lien|Jonas Kubilius|texte=Kubilius}}, l'{{Lien|trad=Turán–Kubilius inequality|inégalité de Turán-Kubilius}}, les théorèmes de type [[Paul Erdős|Erdős]]-{{Lien|Aurel Wintner|texte=Wintner}}, etc.

== Définition ==
Un entier strictement positif est dit ''B-friable'', ou ''B-lisse'', si tous ses [[facteurs premiers]] sont inférieurs ou égaux à ''B''.

Par exemple {{formatnum:72 900 000 000}} = 2{{8}} × 3{{6}} × 5{{8}} est 5-friable car aucun de ses facteurs premiers ne dépasse 5.

Dans cette définition, ''B'' n'est pas nécessairement un facteur premier de l'entier ''B''-friable : 12 est 5-friable, ou 5-lisse, même si 5 n'est pas un facteur de 12. Le nombre ''B'' n'a pas non plus besoin d'être premier.

== Répartition ==
D'après Hildebrand-[[Gérald Tenenbaum|Tenenbaum]]<ref>{{article|lang=en|prénom1=A.|nom1=Hildebrand|prénom2=G.|nom2=Tenenbaum|titre=On integers free of large prime factors|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]|volume=296|pages=265-290|année=1986}} (voir aussi {{harvsp|Tenenbaum|2015}}).</ref>, pour tout <math>\varepsilon>0</math>, le nombre <math>\Psi(x,y)</math> des entiers ''y''-friables n'excédant pas ''x'' vérifie
:<math> 
(*)\qquad \Psi(x,y)= x \varrho(u) \exp{O(R)} \;
</math>
dès que <math> y>(\log x)^{1+\varepsilon}</math>, 
où 
<math>
u:=(\log x)/\log y</math>, et
:<math>
R:=(\log (u+1))/\log y + u \exp(-(\log y)^{3/5-\varepsilon}).
</math>
Cela implique notamment
:<math>
(**)\qquad \Psi(x,y)= \{1+o(1)\}x \varrho(u)\;
</math> 
si <math> y>\exp(\log\log x)^{5/3+\epsilon}
</math>, où <math>\varrho</math> désigne la [[fonction de Dickman]].
<br />
De plus, Hildebrand a montré<ref>{{article|lang=en|prénom1=A.|nom=Hildebrand|title=Integers free of large prime factors and the Riemann hypothesis|journal={{Lien|Mathematika}}|volume=31|year=1984|pages= 258-271}}.</ref> que la formule <math>
\Psi(x, y) = x\rho(u) \exp\{O(1)\}
</math> est valable dans le domaine 
:<math>
 y>(\log x)^{2+\varepsilon}
</math> 
si et seulement si l'[[hypothèse de Riemann]] est vraie.

== Entier ultrafriable ==
Un nombre est dit ''B''-superlisse ou ''B''-ultrafriable si tous ses [[diviseur]]s de la forme {{mvar|p{{exp|n}}}}, avec {{mvar|p}} premier et {{mvar|n}} entier, sont inférieurs ou égaux à ''B''.

Par exemple, 720 (2{{4}}3{{2}}5{{1}}) est 5-lisse mais pas 5-ultralisse (parce qu'il a des diviseurs [[Nombre primaire|primaires]] plus grands que 5 : 3{{2}} = 9 > 5 ou 2{{3}} > 5). Il est par contre 16-ultralisse puisque son plus grand diviseur primaire est 2{{4}} = 16. Ce nombre est bien sûr aussi 17-ultralisse, 18-ultralisse, etc.

Les nombres ultrafriables interviennent en [[algorithmique]], en [[théorie des graphes]] et bien entendu en [[théorie des nombres]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Smooth number|type=note|3=692602259}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary = nombre lisse}}

=== Liens externes ===
Suites des nombres y-friables sur l'[[encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers]] :
* nombres 2-friables : {{OEIS2C|id=A000079}} (2<sup>''i''</sup>)
* nombres 3-friables : {{OEIS2C|id=A003586}} (2<sup>''i''</sup>3<sup>''j''</sup>)
* nombres 5-friables : {{OEIS2C|id=A051037}} (2<sup>''i''</sup>3<sup>''j''</sup>5<sup>''k''</sup>)
* nombres 7-friables : {{OEIS2C|id=A002473}} (2<sup>''i''</sup>3<sup>''j''</sup>5<sup>''k''</sup>7<sup>''l''</sup>)
* nombres 11-friables : {{OEIS2C|id=A051038}}
* nombres 13-friables : {{OEIS2C|id=A080197}}
* nombres 17-friables : {{OEIS2C|id=A080681}}
* nombres 19-friables : {{OEIS2C|id=A080682}}
* nombres 23-friables : {{OEIS2C|id=A080683}} (etc.)

=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
*[[Algorithme p-1 de Pollard|Algorithme ''p ''– 1 de Pollard]]
*[[Fonction de Dickman]]
*[[Logarithme discret]]
*{{Lien|trad=Størmer's theorem|Théorème de Størmer}}
*[[Transformée de Fourier rapide]]
*[[VSH]]
}}

=== Bibliographie ===
* {{ouvrage|lang=fr|prénom=Gérald|nom1= Tenenbaum|titre=Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres|éditeur=Belin|année=2015|isbn=978-2701196565}}.
* {{ouvrage|lang=fr|prénom=Gérald|nom1= Tenenbaum|lien auteur2=Michel Mendès France|prénom2=Michel|nom2=Mendès France|titre=Les nombres premiers, entre l'ordre et le chaos|éditeur=Dunod|année=2013|isbn=2-100-70656-X|ref name=GTMMF2013}}

{{Palette|Ensembles de divisibilité}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Propriété arithmétique|Lisse]]