Voir la source de Entier quadratique

{{Voir homonymes|Entier}}
En [[mathématiques]], un '''entier quadratique''' est un [[nombre complexe]], [[racine d'un polynôme|racine]] d'un [[polynôme unitaire]] du second degré à coefficients [[Entier relatif|entiers]]. La notion de [[nombre algébrique]] de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale. Elle correspond encore à un nombre complexe, racine d'un [[polynôme formel|polynôme]] du second degré à coefficients [[Nombre rationnel|rationnels]].

Ces [[nombre]]s particuliers disposent de propriétés [[algèbre|algébriques]]. Si α est un entier quadratique, l'ensemble ℤ[α] des nombres de la forme ''a'' + ''b''α, où ''a'' et ''b'' désignent deux entiers relatifs, est un [[sous-anneau]] du [[Corps commutatif|corps]] ℂ des nombres complexes (c'est-à-dire qu'il est stable par addition, soustraction et multiplication et qu'il contient 1). Si β est un nombre algébrique de degré 2, l'ensemble des nombres de la forme ''a'' + ''b''β, où ''a'' et ''b'' désignent deux rationnels, est toujours un [[anneau unitaire]] et même un corps (tout élément non nul est inversible), appelé [[#Corps quadratique|corps quadratique]] et noté ℚ(β).

Un nombre quadratique, entier ou seulement algébrique, est ainsi avant tout un élément d'un ensemble, structuré par deux opérations. Cette approche est au cœur de la [[théorie algébrique des nombres]]. Au lieu d'étudier un nombre particulier, comme le [[nombre d'or]], l'analyse de la structure d'anneau associé, ici celui des [[Anneau des entiers de ℚ(√5)|entiers du corps ℚ({{racine|5}})]] est plus fructueuse. Cette démarche est ancienne, dès le {{s|VI}} les [[mathématiques indiennes|mathématiciens indiens]] avaient déjà découvert une ''multiplication'' sur un ensemble de cette nature, qui permet de résoudre certains cas particuliers de l'[[équation de Pell-Fermat]]. Au {{s-|XIX}}, [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] préfigure la démarche moderne et fixe le vocabulaire avec l'étude des [[entier de Gauss|entiers portant maintenant son nom]]. Il découvre que cet anneau est [[anneau euclidien|euclidien]], permettant de développer une [[arithmétique]] analogue à celle des [[entier relatif|entiers relatifs]], avec sa version du [[théorème fondamental de l'arithmétique]] et ses [[nombre premier de Gauss|nombres premiers]].

Ces structures sont parfois sujettes à des difficultés, qualifiées d'obstructions. L'une concerne les éléments inversibles qui sont parfois en nombre infini. Une deuxième obstruction existe si l'anneau n'est par exemple pas euclidien ni même [[Anneau principal|principal]]. L'unicité de la décomposition en « facteurs premiers » ne s'applique plus et les techniques usuelles de l'arithmétique s'avèrent inopérantes. Une analyse plus profonde de la structure de l'anneau permet d'y remédier à l'aide du concept d'[[idéal]] d'un anneau.

Les anneaux d'entiers quadratiques forment en général la première classe d'exemples dans laquelle on tente de faire fonctionner des théories inaccessibles dans le cas général (voir par exemple le [[théorème de Kronecker-Weber]] en [[théorie des corps de classes]]). L'étude des entiers quadratiques admet une version plus algébrique : l'étude des [[Forme quadratique binaire|formes quadratiques binaires]] et de leur réduction de Gauss, qui reflète les propriétés arithmétiques des corps quadratiques ([[groupe des classes d'idéaux]] en particulier). {{refnec|date=mai 2011|Il n'y a pas}} d'analogue à cette interprétation dans les [[corps de nombres]] en général.

== Préambule ==
Le nombre {{math|''d''}} désigne dans le reste de l'article un [[entier sans facteur carré]] et différent de 1, la lettre ℤ désigne l'anneau des entiers relatifs, ℚ le corps des rationnels et ℂ celui des complexes.
=== Motivation ===
La première motivation historique est la résolution d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]] du deuxième degré. Ces équations sont à coefficients entiers et les solutions recherchées sont entières. Un exemple célèbre est ''x''<sup>2</sup> – 61''y''<sup>2</sup> = 1, traité<ref>{{Stillwell}}, 2010, {{p.|75-77}}.</ref> par [[Brahmagupta]], un mathématicien indien, et repris par [[Pierre de Fermat|Fermat]] dans un défi présenté à la communauté européenne en 1657<ref>Fermat termine son défi par : {{Citation|J'attends la solution de ces questions ; si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise}} (Laurent Hua et Jean Rousseau, ''Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? l'hypothèse "Pascal"'', L'Harmattan, 2002 {{ISBN|978-2-74752836-8}}, {{p.|113}}).</ref>.

En vue de résoudre cette équation, il est judicieux d'étudier les nombres de la forme ''a'' + ''b''{{racine|61}}, ici ''a'' et ''b'' désignent deux entiers relatifs. On remarque que si α et β sont de cette forme, alors leur somme et leur produit le sont aussi. De plus, si α et β correspondent à deux couples d'entiers solutions de l'équation, alors c'est aussi le cas pour αβ. Résoudre l'équation revient en fait à déterminer un sous-ensemble particulier de l'anneau unitaire des entiers quadratiques de la forme ''a'' + ''b''{{racine|61}}. Cet ensemble correspond à un [[sous-groupe]] du [[groupe des unités]], le groupe multiplicatif des éléments possédant un inverse dans l'anneau (si ''a''{{2}} – 61 ''b''{{2}} = 1, l'inverse de ''a'' + ''b''{{racine|61}} est ''a – b''{{racine|61}}).

Un deuxième exemple est l'étude des propriétés arithmétiques associées au [[nombre d'or]] φ = (1 + {{racine|5}})/2. Une fois encore, les nombres de la forme ''a'' + ''b''φ forment une structure stable pour l'addition et la multiplication, appelée anneau. Elle est particulière dans le sens où elle admet une [[division euclidienne]]. Cette division euclidienne offre une structure suffisamment proche de celle des entiers relatifs pour que le terme d''''entier''' soit utilisé pour écrire un élément de l'ensemble. Les techniques de résolution sont absolument analogues à celle de l'arithmétique élémentaire.

En ajoutant des éléments à ℤ de façon à obtenir un corps, on construit ℚ, son [[corps des fractions]]. Lorsqu'on applique la même technique à un anneau d'entiers quadratiques, on obtient un [[#Corps quadratique|corps quadratique]]. Cette structure est la « première marche » d'une [[tour d'extensions quadratiques]], l'un des fondements de la compréhension des figures [[construction à la règle et au compas|constructibles à la règle et au compas]].

=== Anneaux euclidiens ===
{{Article détaillé|Anneau euclidien}}
Les [[entier algébrique|entiers algébriques]] d'un [[#Corps quadratique|corps quadratique]] ℚ({{sqrt|''d''}}) forment un anneau aux propriétés variables en fonction de la valeur de ''d''. [[#Groupe des unités de l'anneau des entiers|Son groupe des unités]] est connu pour chaque valeur de ''d''. Il est fini si {{Nobr|''d'' < 0.}}

Cet anneau est euclidien pour la norme définie [[#Conjugué et norme|ci-dessous]] (ou sa [[valeur absolue]], si ''d'' > 0) si et seulement si ''d'' est l'une des 21 valeurs suivantes :<center>[[Anneau euclidien#Autres anneaux euclidiens|–11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73]].</center>

Si ''d'' = –1, l'anneau est celui des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]]. Il est formé des nombres complexes de la forme ''a'' + {{math|i}}''b'' avec ''a'' et ''b'' deux entiers relatifs et {{math|i}} l'[[unité imaginaire]].

Si ''d'' = –3, l'anneau est celui des [[entier d'Eisenstein|entiers d'Eisenstein]].

Lorsque l'anneau est euclidien, il est [[#Anneaux non factoriels|principal donc factoriel]].

=== Groupe des unités ===
Si ''d'' est positif ([[Anneau des entiers de Q(√5)|par exemple si ''d'' = 5]]), une première difficulté apparait : le [[#Groupe des unités de l'anneau des entiers|groupe des unités de l'anneau des entiers de ℚ({{sqrt|''d''}})]] (c'est-à-dire l'ensemble des éléments inversibles muni de la multiplication) est infini. Pour la résolution d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]] comme celle du [[Démonstrations du dernier théorème de Fermat|« dernier théorème de Fermat » pour les « petits » exposants]], ne serait-ce que pour ''n'' = 5, les contournements deviennent acrobatiques. Dirichlet appelle « obstruction » cette difficulté.

=== Anneaux non factoriels ===
{{Article détaillé|Anneau factoriel}}

Lorsque l'anneau est [[Anneau principal|principal]], les outils de l'[[arithmétique]] élémentaire s'appliquent avec succès. Le [[lemme d'Euclide]], l'[[théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] ou encore la [[théorème fondamental de l'arithmétique|décomposition en facteurs premiers]] se traduisent pratiquement sans modification, hormis l'identification ci-dessus du groupe des unités. Ceux plus sophistiqués de l'[[arithmétique modulaire]] comme le passage au [[anneau quotient|quotient]], le [[petit théorème de Fermat]] ou la [[loi de réciprocité quadratique]] se généralisent aussi.

Le [[théorème de Stark-Heegner]] précise pour quels entiers négatifs ''d'' l'anneau est principal :{{énoncé|L'[[#Entier quadratique|anneau des entiers]] de ℚ({{racine|''d''}}), pour {{math|''d''}} entier négatif sans facteur carré, est principal si, et seulement si, {{math|''d''}} est l'une des neuf valeurs suivantes :<center>−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67 et −163.</center>}}Dans le cas des entiers ''d'' positifs, les anneaux principaux sont beaucoup plus nombreux, mais la conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers est principal n'est toujours pas résolue.

Lorsque l'anneau est principal, il est factoriel. Ces deux notions sont [[Anneau principal#Anneau de Dedekind|en fait équivalentes pour]] l'anneau des entiers d'un corps quadratique ou plus généralement d'un [[corps de nombres]], car [[Anneau de Dedekind#Entier algébrique|il est de Dedekind]].

Mais lorsqu'il ne l'est pas, les deux caractérisations usuelles dans ℤ<ref>Ou plus généralement dans un [[anneau à PGCD]].</ref> des [[nombres premiers]] ne sont plus équivalentes car un élément (non nul et non inversible) [[élément irréductible|irréductible]], c'est-à-dire ne possédant pas d'autre diviseur que 1 et lui-même (à produit près par les inversibles) n'est plus nécessairement [[élément premier|premier]] au sens du [[lemme d'Euclide]], si bien qu'un élément peut avoir plusieurs décompositions différentes en produit d'irréductibles. Par exemple dans l'anneau ℤ[{{math|i}}{{racine|5}}] des [[#Entier quadratique|entiers de ℚ({{math|i}}{{racine|5}})]],
<center><math>2\times3=(1+\mathrm i\sqrt 5)(1-\mathrm i\sqrt 5).</math></center>

De même, ℤ[{{math|i}}{{racine|3}}], [[sous-anneau]] de [[#Anneaux euclidiens|l'anneau euclidien des entiers d'Eisenstein]], n'est pas factoriel car
<center><math>2\times2=(1+\mathrm i\sqrt3)(1-\mathrm i\sqrt3),</math></center>
(on peut aussi, pour celui-ci, arguer du fait qu'il n'est pas intégralement clos : cf. [[#Fermeture intégrale et clôture intégrale|§ Fermeture intégrale et clôture intégrale]]).

== Caractérisation ==

=== Nombre algébrique de degré 2 ===
L'étude des entiers quadratiques fait intervenir les nombres plus généraux répondant à la définition suivante :

* Un [[nombre algébrique]] est dit de degré 2 si son [[Polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] est de degré 2.
Le polynôme minimal d'un nombre algébrique α est le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont α est racine. Ainsi, un nombre complexe est algébrique de degré 2 si et seulement s'il est non rationnel et solution d'une [[équation du second degré]] à coefficients rationnels.

L'intérêt de cette notion provient de structures algébriques sous-jacentes à un tel nombre. On étudie plus les propriétés des structures associées que le nombre lui-même.
* ''Si ''α ''est un nombre algébrique de degré ''2, ''le plus petit sous-corps de ''ℂ ''contenant ''α ''est l'ensemble ''ℚ(α) ''des nombres complexes de la forme x + y''α.
{{Démonstration|
*Cet ensemble ℚ(α) contient α et c'est bien un sous-corps de ℂ, car il vérifie toutes les propriétés de stabilité requises : les deux seuls points délicats sont la stabilité par produits et par inverses. Or si α{{2}} + ''b''α + ''c'' {{=}} 0 avec ''b'' et ''c'' rationnels et ''c'' non nul, alors α{{2}} appartient à ℚ(α) – ce qui assure la stabilité de ℚ(α) par produits – et l'inverse d'un élément non nul β {{=}} ''x + y''α de ℚ(α) appartient à ℚ(α), car il s'écrit γ/''z'', où l'élément γ {{=}} ''x + y''(–''b'' – α) est non nul aussi, et où le produit (non nul) ''z'' {{=}} βγ est le rationnel ''x''{{2}} – ''xyb + y''{{2}}''c''.
*C'est le plus petit, car [[Caractéristique d'un anneau#Propriétés sur les corps|tout sous-corps de ℂ contient ℚ]], donc s'il contient aussi α, alors il contient ℚ(α).
}}

Un tel corps est une extension quadratique de ℚ, or (cf. [[#Corps quadratique|section suivante]]) une telle extension est toujours de la forme ℚ({{racine|''d''}}) pour un certain entier sans facteur carré {{math|''d''}} ≠ 1. Il existe [[Extension quadratique#Cas des rationnels|une convention]] prise ici, que les [[analyse (mathématiques)|analystes]] ne font pas. Il n'est dit nulle part que {{math|''d''}} est un entier ''positif'', ce qui sous-entend que l'expression {{racine|''d''}} peut décrire la [[racine carrée]] d'un nombre négatif. En analyse, cette situation est dangereuse, on ne sait pas si cette racine désigne {{math|i}}{{racine|–''d''}} ou –{{math|i}}{{racine|–''d''}} et il n'est pas possible d'adopter une convention qui rende la fonction racine continue sur l'ensemble des nombres complexes. Le paragraphe suivant montre que cette difficulté n'existe pas dans le contexte de cet article. Pour une raison de commodité, l'usage du radical racine pour des entiers négatifs est fréquent en [[théorie algébrique des nombres]]<ref>Par exemple {{Ouvrage|prénom=Bas|nom=Edixhoven|lien auteur1=Bas Edixhoven|prénom2=Laurent|nom2=Moret-Bailly|url=http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf|titre=Théorie algébrique des nombres, cours de [[Maîtrise (France)|maîtrise]] de mathématiques|éditeur=[[université de Rennes I]]|année=2004}}.</ref>, cette convention est utilisée ici.

Si α est algébrique de degré 2, ℚ(α) est égal à un certain ℚ({{racine|''d''}}) et α appartient à ℚ({{racine|''d''}}). Réciproquement, un élément ''a + b{{racine|d}}'' de ℚ({{racine|''d''}}) est solution de l'équation ''X''{{2}} – 2''aX'' + (''a''{{2}} – ''db''{{2}}) = 0 donc est soit algébrique de degré 1 c'est-à-dire rationnel (si ''b'' = 0), soit algébrique de degré 2. On en déduit la caractérisation suivante des nombres algébriques de degré 2 :

:* ''Un nombre ''α ''est algébrique de degré ''2 ''si, et seulement s'il existe deux rationnels b non nul et a, et un entier sans facteur carré {{math|d}} ''≠ 1, ''tels que'' α ''est égal à a + b{{racine|d}}.''

=== Corps quadratique ===
{{Article détaillé|Extension quadratique}}

Le corps ℚ({{racine|''d''}}) est [[isomorphisme de corps|isomorphe]] à l'[[anneau quotient]] ℚ[''X'']/(''X''{{2}} – ''d'') et toutes les extensions quadratiques de ℚ sont de cette forme (cf. article détaillé), ce qui justifie la définition suivante :
* Un '''corps quadratique''' est un sous-corps de ℂ de la forme ℚ({{racine|''d''}}), où {{math|''d''}} est un entier sans facteur carré différent de 1.
Ainsi, tout nombre algébrique α de degré 2 appartient à un unique corps quadratique ℚ(α) = ℚ({{racine|''d''}}) et tous les éléments d'un corps quadratique sont algébriques de degré 1 ou 2. C'est même une propriété caractéristique des corps quadratiques :
* ''Tout corps commutatif contenant strictement'' ℚ ''et qui ne contient que des nombres algébriques de degré ''1 ''ou ''2 ''est isomorphe à un corps quadratique.''<br />(Une démonstration est proposée dans l'article détaillé.)

=== Entier quadratique ===
{{Article détaillé|Entier algébrique}}
Un entier algébrique est un nombre algébrique dont le polynôme minimal (donc pris unitaire) est à coefficients dans ℤ. Un nombre α est algébrique de degré 1 si et seulement si c'est un rationnel ; son polynôme minimal est alors ''X'' – α. Les seuls entiers algébriques de ℚ sont donc les éléments de ℤ. Comme dans tout autre corps algébrique<ref>{{citation|Un corps algébrique est un corps qui ne contient que des nombres algébriques.}} : {{p.|8}} de {{Article|lien auteur=Øystein Ore|prénom=O.|nom=Ore|titre=Les corps algébriques et la théorie des idéaux|revue=Mémorial des sciences mathématiques|volume=64|year=1934|p.=1-72|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/MSM/MSM_1934__64_/MSM_1934__64__1_0/MSM_1934__64__1_0.pdf}}.</ref> on peut, dans un corps quadratique, s'intéresser aux éléments qui sont entiers algébriques :

{{énoncé|Un '''entier quadratique''' est<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics|nom1={{Lien|Kenneth H. Rosen}}|prénom2=John G.|nom2=Michaels|éditeur=[[CRC Press]]|année=2000|isbn=978-0-84930149-0|url=https://books.google.fr/books?id=yJIMx9nXB6kC&pg=PA295|passage=295}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Primality Testing and Integer Factorization in Public-Key Cryptography|prénom=Song Y.|nom1=Yan|numéro d'édition=2|lien éditeur=Springer Verlag|éditeur=Springer|année=2009|isbn=978-0-38777268-4|url=https://books.google.fr/books?id=6K6LQkcjotYC&pg=PA370|passage=370}}.</ref> un [[entier algébrique]] qui est de degré 1 ou 2 en tant que nombre algébrique.}}
Tout entier quadratique est donc élément d'un corps quadratique. 

L'article détaillé montre que (de même que ℤ dans ℚ) l'''anneau O{{ind|K}} des entiers d'un corps algébrique K'', constitué des entiers algébriques de ''K'', mérite son nom d'anneau, en tant que [[#Fermeture intégrale et clôture intégrale|fermeture intégrale]]<ref>Ne pas confondre avec la [[fermeture algébrique]] ni avec la [[#Fermeture intégrale et clôture intégrale|clôture intégrale]].</ref> dans ''K'' d'un [[sous-anneau]] : ℤ. En particulier pour un corps quadratique :

{{énoncé|''La somme, la différence et le produit de deux entiers algébriques d'un corps quadratique est un entier algébrique.''}}

On peut le vérifier directement en caractérisant d'abord l'anneau des entiers d'un corps quadratique :

{{énoncé|''L'anneau des entiers de ''ℚ({{racine|''d''}}) ''est ''ℤ[(1 + {{racine|''d''}}) / 2] ''si {{math|d}} est ''[[Congruence sur les entiers|''congru à ''1 ''modulo ''4]], ''et ''ℤ[{{racine|''d''}}] ''sinon<ref>{{ouvrage|langue=en|nom1=Cohn|prénom1=Harvey|titre=Advanced Number Theory|année=1980|année première édition=1962|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|isbn=978-0-486-64023-5|url=https://books.google.fr/books?id=yMGeElJ8M0wC&pg=PA45|page=45-47}}.</ref>.''}}

L'expression « ℤ[ω] » désigne l'ensemble des nombres de la forme ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>ω + ''a''<sub>2</sub>ω<sup>2</sup> + … + ''a<sub>n</sub>''ω<sup>''n''</sup>, où ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, … , ''a<sub>n</sub>'' sont des éléments de ℤ. Ici, ω<sup>2</sup> s'écrit toujours comme une combinaison linéaire à coefficients dans ℤ de 1 et de ω, elle est donnée par le polynôme minimal, si ω désigne une des valeurs de l'énoncé de la proposition, à savoir (1 + {{racine|''d''}}) / 2 ou bien {{racine|''d''}}. Dans toute la suite de l'article ω désigne cette valeur. Un élément de l'anneau ℤ[ω] est donc de la forme ''a + b''ω, où ''a'' et ''b'' sont des éléments de ℤ.

{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
* '''Calcul de l'ensemble des entiers algébriques de ℚ({{racine|''d''}}) :'''<br />Soient ''a'' et ''b'' deux rationnels et α l'élément ''a + b{{racine|d}}''. Si ''b'' est nul, α est rationnel donc c'est un entier algébrique si et seulement si ''a'' est un entier relatif. Si ''b'' est non nul, α a pour polynôme minimal ''X''{{2}} – 2''aX'' + (''a''{{2}} – ''db''{{2}}) donc c'est un entier algébrique si et seulement si 2''a'' et ''a''{{2}} – ''db''{{2}} sont des entiers (relatifs). Or si tel est le cas, 4''a''{{2}} et 4(''a''{{2}} – ''db''{{2}}) seront entiers, donc 4''db''{{2}} aussi, donc 2''b'' aussi puisque ''d'' est sans facteur carré. La condition pour que α soit un entier algébrique se réécrit donc :<center><math>2a\in\Z,\quad2b\in\Z\quad\text{et}\quad(2a)^2-d(2b)^2\equiv0\mod4.</math></center>Si 2''a'' et 2''b'' sont entiers, les classes ''x'' et ''y'' modulo 4 de leurs carrés sont égales à 0 ou 1, par conséquent la condition ''x – dy'' = 0 équivaut à :
** si ''d'' n'est pas congru à 1 modulo 4 : ''x = y ''= 0, c'est-à-dire 2''a'' et 2''b'' tous deux pairs, autrement dit ''a'' et ''b'' entiers ;
** si ''d'' est congru à 1 modulo 4 : ''x = y'', c'est-à-dire 2''a'' et 2''b'' de même parité.<br />Dans le premier cas, l'ensemble des entiers algébriques de ℚ({{racine|''d''}}) est donc bien ℤ + ℤ{{racine|''d''}} et dans le second, c'est l'ensemble { (''n''+2''k'')/2 + (''n''/2){{racine|''d''}} | ''n'' et ''k'' entiers }, qui est bien égal à {{nobr|ℤ + ℤ(1 + {{racine|''d''}})/2.}}
* '''Vérification que cet ensemble forme un sous-anneau du corps ℚ({{racine|''d''}}) :'''<br />L'ensemble considéré est manifestement un groupe abélien, il suffit donc de montrer la stabilité pour la multiplication, dans les deux cas. Elle résulte des deux égalités suivantes :<center><math>\forall a,b,a',b'\in\Z\quad (a + b\sqrt d)(a' + b'\sqrt d)= aa' + dbb' +(ab'+ba')\sqrt d
\;</math></center><center><math>\forall k,n,k',n'\in\Z\quad\left(k + n\frac{1+\sqrt d}2\right)\left(k' + n'\frac{1+\sqrt d}2\right)=kk'+\frac{d-1}4nn' +(kn'+nk'+nn')\frac{1+\sqrt d}2.~</math></center>
{{Démonstration/fin}}

=== Fermeture intégrale et clôture intégrale ===

Comme précédemment pour les corps et les nombres algébriques, on peut se poser la question de la forme d'un ''anneau unitaire ''composé uniquement d'''entiers quadratiques. ''Hormis bien sûr ℤ, chacun d'eux est inclus dans un unique corps quadratique : son [[corps des fractions]] (c'est-à-dire, [[à quelque chose près|à isomorphisme près]], le plus petit sous-corps de ℂ qui contient cet anneau). Cet anneau est donc inclus dans l'anneau des entiers de ce corps, ce qui permet de déterminer toutes les possibilités :

* ''Soit A un anneau contenant strictement ''ℤ ''et formé uniquement d'entiers quadratiques. Le corps des fractions de A est l'unique corps quadratique contenant A, et il existe un entier {{math|f}}, non [[carré parfait]], tel que : ou bien A = ''ℤ[{{racine|''f''}}], ''ou bien {{math|f}} est congru à ''1 ''modulo ''4 ''et A = ''ℤ[(1 + {{racine|''f''}})/2].

{{Démonstration/début}}
Tout sous-corps de ℂ qui contient ''A ''doit contenir l'ensemble ℚ''A ''des produits d'un rationnel par un élément de ''A''. Cet ensemble est donc le corps des fractions de ''A'' car c'est un corps (en effet, l'inverse de tout nombre algébrique non nul α appartient à ℚ(α)). De plus, ℚ''A ''n'est pas réduit à ℚ, et tout élément de ℚ''A ''est algébrique de degré 1 ou 2. Ce corps est donc un corps quadratique ℚ({{racine|''d''}}), et tout corps quadratique contenant ''A ''contient son corps des fractions ℚ({{racine|''d''}}), donc lui est égal.

L'anneau ℤ[ω] des entiers quadratiques de ℚ({{racine|''d''}}) (avec ''d'' et ω comme [[#Entier quadratique|ci-dessus]]) contient ''A''. On vérifie sans peine que ''A ''= [[Somme d'ensembles|ℤ + ''G'']] pour ''G'' égal à ''A ''∩ ℤω, sous-groupe additif non [[Groupe trivial|trivial]] du [[groupe cyclique|groupe cyclique infini]] ℤω, [[Sous-groupe#Sous-groupe des entiers relatifs|donc égal à ℤ''m''ω]] pour un certain entier ''m ''> 0. On a donc<ref>{{Harvsp|Cohn|1980|p=48}}.</ref> ''A ''= ℤ + ℤ''m''ω, autrement dit :
* si ''d ''≢ 1 mod 4 : ''m''ω = ''m{{racine|d}} = {{racine|f}} ''en définissant ''{{math|f}} ''comme égal à ''m''{{2}}''d'', et ''A ''= ℤ[{{racine|''f''}}] ;
* si ''d ''≡ 1 mod 4 : ''m''ω = ''m''(1 + {{racine|''d''}})/2 et deux nouveaux cas se présentent :
** si ''m ''est pair : ''m''ω = (''m''/2) + (''m''/2)''{{racine|d}} ''∈ ℤ + ''{{racine|f}} ''en définissant ''{{math|f}} ''comme égal à (''m''/2){{2}}''d'', et ''A ''= ℤ[{{racine|''f''}}] ;
** si ''m ''est impair : ''m''ω = (''m'' – 1)/2 + (1 + ''m{{racine|d}}'')/2 ∈ ℤ + (1 + {{racine|''f''}})/2 en définissant ''{{math|f}} ''comme égal à ''m''{{2}}''d'', et ''A ''= ℤ[(1 + {{racine|''f''}})/2].
Dans les trois cas, ''{{math|f}} ''est non carré et dans le troisième, ''{{math|f}} = m''{{2}}''d ''est congru à 1 modulo 4 (car ''d ''et ''m''{{2}} le sont).
{{Démonstration/fin}}

En particulier :
* Tout corps quadratique est le corps des fractions de l'anneau de ses entiers (de même que ℚ est le corps des fractions de ℤ).
* L'entier sans facteur carré {{math|''d''}} tel que ℚ({{racine|''d''}}) soit le corps des fractions de ''A ''se déduit de l'entier non carré {{math|''f''}} ci-dessus : il a même signe que {{math|''f''}} et sa valeur absolue est le [[radical d'un entier|radical]] de |{{math|''f''}}|.<br />Par exemple :
** l'anneau des entiers de ℚ({{racine|–2}}) est ℤ[{{racine|–2}}], dont ℤ[{{racine|–18}}] est un sous-anneau, et leur corps des fractions commun est ℚ({{racine|–2}}) ;
** l'anneau des entiers de ℚ({{racine|–3}}) est l'anneau ℤ[(1 + {{racine|–3}})/2] des [[entier d'Eisenstein|entiers d'Eisenstein]], dont ℤ[{{racine|–3}}] et ℤ[(1 + {{racine|–27}})/2] sont des sous-anneaux, et leur corps des fractions est ℚ({{racine|–3}}).

Un anneau d'entiers quadratiques – ou plus généralement d'entiers algébriques – est [[Anneau intégralement clos|intégralement clos]] si et seulement s'il est égal à l'anneau des entiers de son corps des fractions. En effet, dans le cas général, un anneau intègre ''A ''est dit intégralement clos si sa [[clôture intégrale]] est réduite à ''A'', cette clôture intégrale étant définie comme la [[fermeture intégrale]] de ''A ''dans son corps des fractions ''K ''(c'est-à-dire l'anneau intermédiaire des éléments de ''K'' qui sont [[élément entier|entiers sur ''A'']]) ; mais si ''A'' est constitué d'entiers algébriques, sa fermeture intégrale dans ''K ''est réduite à l'anneau des entiers de ''K ''(cf. corollaire 2 de l'article « [[Élément entier]] »). Par conséquent :

* ''L'anneau des entiers d'un corps quadratique est, comme ''ℤ, ''intégralement clos, et aucun anneau intermédiaire ne l'est.''

Ainsi, l'anneau des entiers d'un corps quadratique n'est [[#Anneaux non factoriels|pas toujours factoriel]], mais vérifie toujours la propriété ([[Anneau factoriel#Premières propriétés|plus faible]]) d'être intégralement clos.

== Outils et théorèmes ==
=== Conjugué et norme ===
{{Article détaillé|Extension quadratique#Groupe de Galois{{!}} § « Groupe de Galois » de l'article « Extension quadratique »}}
Deux applications ont un rôle privilégié dans les corps quadratiques. 

* L'[[Isomorphisme de corps|automorphisme]] σ du corps ℚ({{racine|''d''}}) qui envoie {{racine|''d''}} sur –{{racine|''d''}}.<br />(Si ''d'' < 0, σ est la restriction à ℚ({{racine|''d''}}) de la [[conjugué|conjugaison des nombres complexes]].) Les deux seuls [[Endomorphisme|endo]][[Morphisme de corps commutatifs|morphismes]] de ℚ({{racine|''d''}}) sont d'ailleurs σ et l'[[application identité]]. Par [[Application (mathématiques)#Opérations sur les applications|restriction]], on obtient :

{{énoncé|L'[[Involution (mathématiques)|involution]] σ est un [[Isomorphisme d'anneaux|automorphisme de l'anneau]] ℤ[ω] des entiers de ℚ({{racine|''d''}}).}}

En effet, tout automorphisme d'un corps laisse stable l'anneau de ses entiers. Cet endo[[morphisme d'anneaux|morphisme]] σ de ℤ[ω] est d'ailleurs le seul à part l'identité, puisqu'un tel endomorphisme est nécessairement [[injectif]] (il envoie tout élément non nul de l'anneau sur un [[élément conjugué]] donc également non nul) donc s'étend en un endomorphisme du corps des fractions ℚ({{racine|''d''}}).

* L'application [[Norme (arithmétique)|norme relative]] ''N'', de ℚ({{racine|''d''}}) dans ℚ, qui à élément α associe le [[Déterminant (mathématiques)#Déterminant d'un endomorphisme|déterminant du]] [[Endomorphisme linéaire|ℚ-endomorphisme]] ''x'' ↦ α''x'' de ℚ({{sqrt|''d''}}). On démontre que [[Norme (théorie des corps)#Cas séparable|''N''(α) = ασ(α)]], donc ''N''(''a'' + ''b''{{racine|''d''}}) = ''a''{{2}} – ''db''{{2}}.<br />Par construction, cette application respecte la multiplication :<center><math>\forall \alpha,\beta\in\Q(\sqrt d)\quad N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta).</math></center>Dans le cas où ''d'' est négatif, on trouve le carré de la ''norme'' géométrique usuelle. Contrairement à cette dernière, la norme arithmétique est à valeurs rationnelles. Cette propriété est essentielle pour de nombreux usages.<br />Si ''d'' est positif, la norme n'a pas de raison d'être positive. Par exemple ''N''(1 + 1{{racine|2}}) = –1.

Dans la [[Module libre|ℤ-base]] (1, ω) de ''O''{{ind|ℚ({{racine|''d''}})}} = ℤ[ω], selon que ''{{math|d}} ''est congru à 1 modulo 4 ou pas, donc selon que ω est égal à (1 + {{racine|''d''}})/2 ou à {{racine|''d''}}, la norme prend la forme suivante (pour tous entiers relatifs {{math|''a''}} et {{math|''b''}}) :
<center><math>N(a + b\omega)=\begin{cases}a^2+ab-\frac{d-1}4b^2&\text{si }d\equiv 1\text{ mod }4,\\a^2 - db^2& \text{sinon.}\end{cases}</math></center>
Sur l'anneau ℤ[ω], la norme est donc à valeurs dans ℤ. Par multiplicativité, on en déduit que dans cet anneau<ref>{{Harvsp|Hardy|Wright|2007|p=266-267 et 279}}, § 14.4 et 15.1.</ref> :
* les unités sont les éléments de norme ±1 ;
* tout élément non nul est un produit d'[[Élément irréductible|irréductibles]]<ref>Cette propriété est vraie plus généralement dans tout [[anneau noethérien]].</ref> ;
* tout élément dont la norme est égale, au signe près, à un nombre premier, est irréductible ;
* pour tout élément π [[élément premier|premier]] dans ℤ[ω] (c'est-à-dire non nul, non inversible, et vérifiant le [[lemme d'Euclide]]), il existe un entier naturel premier (au sens usuel) qui est soit [[Éléments associés dans un anneau|associé]] à π, soit égal à |''N''(π)|.

=== Groupe des unités de l'anneau des entiers ===
[[Fichier:Entier de Dirichlet Unite.jpg|vignette|Les éléments du groupe des unités (représenté ici<ref>Aux interversions près des puissances négatives impaires de ω avec leurs opposés.</ref> pour ''d'' = 5) se répartissent sur quatre branches d'[[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] qui se déduisent les unes des autres par rotations d'un quart de tour.]]
{{Article détaillé|Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques}}
La première difficulté à résoudre pour comprendre la structure d'un anneau d'entiers quadratiques est son [[groupe des unités]]. Une première remarque simplifie l'analyse : un entier quadratique est inversible si et seulement si sa norme est égale à ±1, ce qui ramène la question à l'étude d'une des deux équations diophantiennes : ''x''<sup>2</sup> – ''dy''<sup>2</sup> = ±1 ou, si ''d'' est congru à 1 modulo 4 et si ''g'' désigne l'entier (''d ''– 1)/4 : ''x''<sup>2</sup> + ''xy'' – ''gy''<sup>2</sup> = ±1.

La première équation est étudiée<ref>{{Dickson1}}, vol. 2.</ref> depuis [[Diophante]] et porte le nom d'[[équation de Pell-Fermat]]. Elle est résolue de manière algorithmique par [[Bhāskara II]]<ref>Bhāskara II, ''Bijaganita'' (1150), cf. {{MacTutor|class=history/HistTopics|id=Pell|title=Pell's equation}}.</ref>, un [[mathématiques indiennes|mathématicien indien]] du {{s|XII}}, et par [[Joseph-Louis Lagrange]] en 1767 de manière théorique<ref>J.-L. Lagrange, ''[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41029 Solution d'un problème d'arithmétique]''.</ref>, à l'aide des [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique|fractions continues d'un irrationnel quadratique]].

Si ''d'' est négatif, le groupe est toujours [[groupe cyclique|cyclique]], et même d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 2 (réduit au groupe {1, –1}), sauf dans les deux cas ''d'' = –1 (ordre 4, {{cf.}} l'article « [[Entier de Gauss]] ») et ''d'' = –3 (ordre 6). Si ''d'' est positif, le groupe est infini car isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ. Il existe une unique unité ρ dont les deux coordonnées sont positives et telle que toute unité soit égale à ρ{{exp|''k''}} ou –ρ{{exp|''k''}} pour un certain entier relatif ''k''. Il existe deux algorithmes célèbres et relativement efficaces pour trouver cette [[Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques#Structure géométrique|unité dite fondamentale]].

Graphiquement si l'on représente l'anneau dans le repère (1, ω) que l'on considère comme [[base orthonormale|orthonormal]], les points de l'anneau se situent sur le quadrillage régulier contenant le point 0 et formé de carrés de côté 1. Les éléments du groupe des unités se trouvent sur 4 branches d'hyperboles qui s'obtiennent par rotations successives d'un quart de tour.

L'analyse du groupe des unités ne nécessite pas que l'anneau soit intégralement clos. En conséquence, les résultats sont encore vrais pour un anneau d'entiers quadratiques quelconque.

=== Décomposition en idéaux premiers ===
{{Article détaillé|Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique}}

La deuxième obstruction est la conséquence de la non-principalité de certains anneaux d'entiers quadratiques, ce qui implique leur non-factorialité qui, comme on l'a vu,
induit des décompositions multiples d'un entier quadratique en facteurs irréductibles. Deux théorèmes permettent encore de travailler malgré cette obstruction, ils ne s'appliquent que sur des anneaux intégralement clos, c'est-à-dire que l'anneau doit contenir tous les entiers algébriques d'un corps quadratique.

La manière d'analyser cette situation pour [[Ernst Kummer]] est de considérer qu'il « manque » des « nombres premiers ». Les idéaux premiers sont alors vus comme les nombres premiers manquants. L'objectif consiste à ne plus décomposer un nombre mais un idéal car on a la propriété remarquable suivante de « factorialité en idéaux » :

{{énoncé|1=Dans l'anneau ''O{{ind|K}}'' = ℤ[ω] des entiers d'un corps quadratique ''K'', tout idéal non nul est [[Produit d'idéaux|produits]] d'[[Idéal premier|idéaux premiers]].}}

Autrement dit : ''O{{ind|K}}'' est un [[anneau de Dedekind]]. De plus, comme dans tout anneau de ce type, une telle décomposition est unique à l'ordre près et tout idéal premier non nul est [[Idéal maximal|maximal]].

(Les idéaux premiers de ℤ[ω] sont classifiés [[#Classification des nombres premiers|ci-dessous]].)

On définit ensuite une relation d'équivalence sur l'ensemble des idéaux non nuls de ''O{{ind|K}} '': ''A ''~ ''B ''si et seulement s'il existe des éléments non nuls ''a'', ''b'' de ''O{{ind|K}}'' tels que ''aA = bB''. Les classes s'appellent les classes d'idéaux et forment a priori seulement un [[monoïde]] commutatif (classe(''A'').classe(''B'') := classe(''A.B'')) mais en fait un [[groupe abélien]], et même un [[groupe abélien fini]] (voir l'article détaillé), appelé le [[Groupe des classes d'idéaux|groupe des classes]] de ''K''. L'anneau ''O{{ind|K}}'' est principal si et seulement si ce groupe est [[Groupe trivial|trivial]], c'est-à-dire si ''h'' = 1, où le ''nombre de classes h'' est l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] du groupe.

Le [[théorème de Chebotarev]] appliqué au [[corps de classes de Hilbert]] ''H'' de ''K'' (pour lequel le [[groupe de Galois]] de ''H''/''K'' [[Loi de réciprocité d'Artin|est isomorphe au groupe des classes]] de ''K'') indique que les idéaux premiers se répartissent régulièrement dans chaque classe. Autrement dit : toute classe d'idéaux contient une infinité d'idéaux premiers {{Incompréhensible|date=février 2015|avec la « densité » 1/''h''}}.

== Applications ==
=== Classification des nombres premiers ===

{{Article détaillé|Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique#Décomposition des nombres premiers{{!}}Décomposition des nombres premiers dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique}}

La structure de l'anneau ℤ[ω] des entiers d'un corps quadratique amène à étudier non pas les diviseurs d'un nombre premier ''p'', mais les facteurs premiers (au sens des idéaux) de l'idéal ''p''ℤ[ω]. Cette analyse est utile pour la résolution d'équations diophantiennes.

Il n'y a que trois cas possibles :
{{énoncé|Dans ℤ[ω] tout [[Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique#Norme d'un idéal|idéal de norme ''p'']] est premier et il y en a 0, 1 ou 2 ; ''p'' est dit :
*inerte s'il y en a 0 (dans ce cas, ''p''ℤ[ω] est premier) ;
*décomposé s'il y en a 2 (dans ce cas, ils sont [[#Conjugué et norme|conjugués]] et ''p''ℤ[ω] est leur produit) ;
*ramifié s'il y en a 1 (dans ce cas, il est son propre conjugué et ''p''ℤ[ω] est son carré).
}}

Une analyse plus poussée ({{cf.}} article détaillé) précise alors dans chacun des trois cas la structure de l'anneau ℤ[ω]/''p''ℤ[ω] et montre que :
* si ''p'' ≠ 2 : ''p'' est inerte si ''d'' n'est pas un carré mod ''p'', décomposé si ''d'' est un carré non nul mod ''p'', et ramifié si ''d'' est divisible par ''p'' (la [[loi de réciprocité quadratique]] permet ensuite de discriminer ces trois cas en fonction de la classe de ''p'' modulo le [[Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique#Discriminant|discriminant de ℤ[ω]]], qui vaut ''d'' ou 4''d'') ;
* si ''p'' = 2 : ''p'' est inerte si ''d'' ≡ 5 mod 8, décomposé si ''d'' ≡ 1 mod 8 et ramifié sinon.

=== Équation diophantienne ===
La raison initiale du développement des corps quadratiques est l'étude de l'[[équation de Pell-Fermat]] ''x''{{2}} – ''dy''{{2}} = ±1 et plus généralement, de l'[[équation diophantienne]] ''x''{{2}} – ''dy''{{2}} = ±''p''. Illustrons par quelques exemples comment la théorie précédente permet d'en venir à bout lorsque ''p'' est un nombre premier. Les cas ''d'' = –1 et ''d'' = –3 sont traités dans l'article « [[Théorème des deux carrés de Fermat]] » et le cas ''d'' = 5 dans l'article « [[Anneau des entiers de Q(√5)|Anneau des entiers de ℚ({{sqrt|5}})]] ». Le cas ''d'' = –2 ci-dessous est analogue car [[#Anneaux euclidiens|dans ces quatre cas, l'anneau est principal]] donc chercher les éléments de norme ''p ''est équivalent à chercher les idéaux de norme ''p''.

==== ''x''<sup>2</sup> + 2''y''<sup>2</sup> = ''p'' ====
Chaque idéal de norme ''p'' est [[Idéal principal|principal]], engendré par un élément ''x ''+ ''y''{{math|i}}{{racine|2}} de norme ''p ''ou son opposé. On en déduit :

{{énoncé|1=L'équation ''x''{{2}} + 2''y''{{2}} = ''p'' possède dans ℤ{{2}}
*4 solutions (''x, y'') = ± (''a '', ±''b'') si le nombre premier ''p ''est congru à 1 ou 3 mod 8
*2 solutions (0, ±1) si ''p ''= 2
*aucune pour les autres valeurs du nombre premier ''p.''
}}

{{Démonstration/début|titre=Détail des calculs}}
L'étude ci-dessus montre que pour ''d ''= –2, le nombre d'idéaux de norme ''p ''est :
* 2 si ''p ''≠ 2 et si –2 est un résidu quadratique mod ''p'',
* 1 si ''p ''= 2,
* 0 pour les autres nombres premiers ''p''
et pour ''p ''≠ 2, d'après les deux lois complémentaires de la loi de réciprocité quadratique, –2 est un carré mod ''p'' si et seulement si ''p'' est congru soit à 1 mod 4 et ±1 mod 8, soit à –1 mod 4 et ±3 mod 8, c'est-à-dire si ''p'' est congru, mod 8, soit à 1, soit à 3.
{{Démonstration/fin}}

==== ''x''<sup>2</sup> + 5''y''<sup>2</sup> = ''p'' ====
Si ''d'' est égal à –5, la situation est plus délicate car l'anneau [[#Anneaux non factoriels|ℤ[{{math|i}}{{racine|5}}] n'est pas principal]] : [[Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique#Groupe des classes|son groupe des classes est d'ordre 2]]. Mis à part les deux cas ramifiés ''p ''= 2, qui correspond à l'unique idéal de norme 2 (non principal, car aucun élément de l'anneau n'a pour norme 2), et ''p ''= 5, qui fournit les deux solutions triviales (0, ±1), elle se résume de la manière suivante :
<center><math>p = x^2 + 5y^2 \Leftrightarrow p\equiv 1\mbox{ ou }p\equiv 9\pmod{20},</math></center>
<center><math>2p = x^2 + 5y^2 \Leftrightarrow p\equiv 3\mbox{ ou }p\equiv 7\pmod{20}.</math></center>

Si initialement la méthode est la même que pour le cas d'un anneau principal, il devient nécessaire d'établir la nature des idéaux de norme ''p''. Si l'idéal est principal, une solution existe, sinon la valeur ''p'' n'est pas atteinte par la fonction. Le groupe des classes permet de s'en rendre compte. Cette méthode est générale, cependant pour des valeurs importantes de ''d'' les calculs s'avèrent fastidieux.

{{Démonstration/début|titre=Détail de la démonstration}}
Les deux seuls cas ramifiés ''p ''= 2 et ''p ''= 5 étant désormais exclus, cherchons dans un premier temps, parmi les autres nombres premiers ''p'', lesquels sont décomposés, c'est-à-dire tels que –5 soit un résidu quadratique modulo ''p''. La loi de réciprocité quadratique montre que c'est le cas si et seulement si ''p'' est congru soit à 1 mod 4 et ±1 mod 5, soit à –1 mod 4 et ±2 mod 5.

Les ''p ''décomposés sont donc ceux congrus, mod 20, soit à 1 ou 9, soit à 3 ou 7.

Sachant que le groupe des classes de ℤ[{{math|i}}{{racine|5}}] est d'ordre 2, engendré par l'idéal de norme 2 que nous noterons ''M''{{ind|2}}, cherchons maintenant si les ''p ''décomposés trouvés peuvent correspondre à des idéaux principaux. Soient ''a ''et ''b ''deux entiers relatifs tels que ''a''{{2}} + 5 ''b''{{2}} = ''p. ''Puisque ''p ''est impair, l'un des deux nombres ''a ''ou ''b ''est pair et l'autre impair, donc ''p ''≡ 1 mod 4, si bien que parmi les quatre classes modulo 20 de nombres ''p ''décomposés, les idéaux ''M{{ind|p}}'', σ(''M{{ind|p}}'') correspondant à 3 et 7 ne peuvent pas être principaux et par conséquent, d'après l'étude du groupe des classes, leurs produits par ''M''{{ind|2}} le sont :

* ''Pour p congru à ''3 ''ou ''7 mod 20, ''l'équation a''{{2}} + 5 ''b''{{2}} = ''p n'a pas de solutions entières et l'équation a''{{2}} + 5 ''b''{{2}} = 2''p en a'' 4.

Ceci nous amène à analyser de même l'équation ''a''{{2}} + 5 ''b''{{2}} = 2''p.'' Si (''a, b'') en est une solution, les entiers ''a'' et ''b'' sont impairs et donc, modulo 8, leur carré est congru à 1 et donc 2''p ''à 6, si bien que ''p'' est congru à 3 modulo 4. Ainsi, parmi les quatre classes modulo 20 de nombres ''p ''décomposés, les idéaux ''M{{ind|p}}'', σ(''M{{ind|p}}'') correspondant à 1 et 9 sont tels que leur produit par ''M''{{ind|2}} est non principal et, à nouveau d'après l'étude du groupe des classes, ''M{{ind|p}}'' et σ(''M{{ind|p}}'') sont donc principaux :

* ''Pour p congru à ''1 ''ou ''9 mod 20, ''l'équation a''{{2}} + 5 ''b''{{2}} = 2''p n'a pas de solutions entières et l'équation a''{{2}} + 5 ''b''{{2}} = ''p en a'' 4.
{{Démonstration/fin}}

=== Classification des formes quadratiques ===
{{Voir|Principe local-global}}
{{...}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|lang=en|auteur1=[[David A. Cox]]|titre=Primes of the Form {{math|x{{2}} + ny{{2}}}}|éditeur=Wiley|année première édition=1989|année=2011|isbn=978-1-11803100-1|url=https://books.google.fr/books?id=tlTZC-k-l2EC}}
* {{Ouvrage|lien auteur=Godfrey Harold Hardy|prénom=G. H.|nom=Hardy|lien auteur2=Edward Maitland Wright|prénom2=E. M.|nom2=Wright|traducteur=François Sauvageot|préface=[[Catherine Goldstein]]|titre=Introduction à la théorie des nombres|éditeur=Vuibert-Springer|year=2007|isbn=978-2-7117-7168-4}}
* {{Ouvrage|lang=en|prénom1=Kenneth|nom1=Ireland|lien auteur2=Michael Rosen (mathématicien)|prénom2=Michael|nom2=Rosen|titre=A Classical Introduction to Modern Number Theory|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=84|numéro d'édition=2|éditeur=Springer|année=1990|réimpression=1998|isbn=978-0-387-97329-6|url=https://books.google.fr/books?id=jhAXHuP2y04C}}
* {{Samuel1}}
* {{Serre1}}

=== Lien externe ===
{{MathWorld|nom_url=QuadraticField|titre=Quadratic Field}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Entier quadratique]]