Voir la source de Espace vectoriel

En [[mathématiques]], plus précisément en [[algèbre linéaire]], un '''espace vectoriel''' est un ensemble muni d'une [[structure (mathématiques)|structure]] permettant d'effectuer des [[Combinaison linéaire|combinaisons linéaires]].

Étant donné un [[corps (mathématiques)|corps]] ''K'', un espace vectoriel ''E'' sur ''K'' est un [[groupe commutatif]] (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de ''K'' (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de ''E'' sont appelés [[vecteur]]s, et les éléments de ''K'' des [[scalaire (mathématiques)|scalaires]].

Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article « [[Vecteur]] ».

== Espace vectoriel ==
=== Définitions ===
Soit ''K'' un corps commutatif<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Serge Lang|titre=Algebra|année=1965|référence=Référence:Algèbre (Lang)}} : corps défini au chapitre II, espace vectoriel au chapitre III. La théorie des corps fait l'objet des chapitres VII à XII, d'autres notions d'algèbre étant présentées aux chapitres XIII à XVIII.</ref>{{,}}<ref>[[Roger Godement]], ''Cours d'algèbre'', 1966 : le chapitre 8 porte sur les anneaux et corps, et le chapitre 10 sur les modules et espaces vectoriels.</ref>, comme le [[corps commutatif]] ℚ des [[nombre rationnel|rationnels]], celui, ℝ, des [[nombre réel|réels]]<ref>{{Artin1}} : le chapitre 3, consacré aux espaces vectoriels, présente d'abord les espaces vectoriels ℝ<sup>''n''</sup> avant de donner une définition de la structure de corps.</ref> ou celui, ℂ, des [[nombre complexe|complexes]] (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).

Un espace vectoriel sur ''K'', ou ''K-espace vectoriel'', est un ensemble ''E'', dont les éléments sont appelés [[vecteur]]s (ou — plus rarement — points<ref>{{Harvsp|Dieudonné|1964|p=31}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Serge Lang]]|titre=Algèbre linéaire|vol=1|numéro chapitre=1 et 2|éditeur=Interéditions}}.</ref>) muni de deux lois :
* une [[loi de composition interne]] « + » : ''E''{{2}} → ''E'', appelée addition ou [[somme vectorielle]],
* une [[Loi de composition#Lois de composition externes|loi de composition externe]] à gauche « • » : ''K'' × ''E → E'', appelée [[multiplication par un scalaire]],
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées.
:1. (''E'',+) est un [[groupe abélien]], autrement dit :
:*la loi « + » est [[commutative]]<ref group=N>L'hypothèse de commutativité de « + » est en fait redondante : elle se déduit des autres propriétés, en [[Développement (mathématiques)|développant]] de deux façons différentes (1 + 1)•(''u'' + ''v'') : cf. notes analogues dans les articles « [[Anneau unitaire]] » et « [[Module sur un anneau]] ».</ref>,
:*elle est [[associative]],
:*elle admet un [[élément neutre]], pouvant être noté 0 ou 0<sub>''E''</sub>, appelé [[vecteur nul]] et,
:*tout vecteur ''v'' a un [[Opposé (mathématiques)#Définition générale|opposé]], noté –''v''.
:C'est-à-dire que pour tous vecteurs ''u'', ''v'' et ''w'' de ''E'' :
{| align="center" width="60%" border="0"
|-
| width="24%" align="right" | ''u + v''
| =
| width="24%" align="left" | ''v + u''
| width="24%" align="right" | ''u ''+ (''v + w'')
| =
| width="24%" align="left" | (''u + v'') + ''w''
|-
| align="right" | 0<sub>''E''</sub> + ''v''
| = || align="left" | ''v'' || align="right" | ''u ''+ (–''u'')
| = || align="left" | 0<sub>''E''</sub>
|}
:2. La loi « • » vérifie les propriétés suivantes :
:*elle est [[distributive]] à gauche par rapport à la loi « + » de ''E'' et à droite par rapport à l'addition du corps ''K'',
:*elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dans ''K''),
:*l'élément neutre  multiplicatif du corps ''K'', noté 1, est neutre à gauche pour •<ref group=N>Cette condition est nécessaire, comme le montre le contre-exemple suivant. Si on prend par exemple ''E'' = ''K'', et que la loi externe est définie comme l'opération toujours nulle (λ•''u'' = 0 pour tout λ de ''K'' et tout ''u'' de ''E''), alors tous les autres axiomes sont satisfaits sauf celui-ci.</ref>.
:C'est-à-dire que pour tous vecteurs ''u'', ''v'' de ''E ''et tous scalaires λ, μ :
{| align="center" width="60%" border="0"
|-
| width="24%" align="right" | λ•(''u'' + ''v'') 
| =
| align="left" width="24%" | (λ•''u'') + (λ•''v'')
| align="right" width="24%" | (λ + µ)•''u'' 
| =
| align="left" width="24%" | (λ• ''u'') + (µ • ''u'')
|-
| align="right" | (λμ)•''u'' || = || align="left" | λ•(µ•''u'')
| align="right" |  1•''u'' || = || align="left" | ''u''
|}

Ces axiomes impliquent que ''E'' est non vide et pour tout vecteur ''u'' de ''E'' et tout scalaire λ<ref>{{Ouvrage|auteur=Stéphane Balac|auteur2=Frédéric Sturm|titre=Algèbre et analyse|sous-titre=cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés|éditeur=[[PPUR]]|date=2003|url={{Google Livres|-LbuKvfK9AkC|page=302}}|page=302}}, prop. 8.1.3.</ref> :

{| align="center" width="60%" border="0"
|-
| align="right"| λ•''u'' = 0<sub>''E''</sub>  
| align="center" | ⇔
| align="left"| (λ = 0<sub>''K''</sub> ou ''u'' = 0<sub>''E''</sub>)
|(–λ)•''u'' = –(λ•''u'') = λ•(–''u'')
|}
{{Démonstration|titre=Démonstrations|1=
#De l'axiome 1, il découle que ''E'' est nécessairement non vide. En effet :
#:0<sub>''E''</sub> appartient à ''E''.
#Les axiomes 1 et 2 impliquent que 0<sub>''E''</sub> est « absorbant à droite » pour la loi • ({{c.-à-d.}} que le produit de 0<sub>''E''</sub> par un scalaire quelconque vaut 0<sub>''E''</sub>) et que le produit d'un vecteur quelconque de ''E'' par le scalaire 0<sub>''K''</sub> (l'élément neutre additif du corps ''K'') vaut aussi 0<sub>''E''</sub>. En effet :
#*λ•0<sub>''E ''</sub> =  λ•(0<sub>''E''</sub> + 0<sub>''E''</sub>) = λ•0<sub>''E''</sub> + λ•0<sub>''E''</sub>, ce qui, [[Groupe (mathématiques)#Régularité|d'après l'axiome 1]], équivaut à 0<sub>''E''</sub> = λ•0<sub>''E''</sub> ;
#*de même, 0<sub>''K''</sub>•''u'' = (0<sub>''K''</sub> + 0<sub>''K''</sub>)•''u'' = 0<sub>''K''</sub>•''u'' + 0<sub>''K''</sub>•''u'' donc 0<sub>''E''</sub> = 0<sub>''K''</sub>•''u''.
#Réciproquement, si λ•''u'' = 0<sub>''E''</sub> et λ ≠ 0<sub>''K''</sub>, alors ''u'' = 1•''u'' = (λ{{-1}}λ)•''u'' = λ{{-1}}•(λ•u) = λ{{-1}}•0<sub>''E''</sub> = 0<sub>''E''</sub>.
#Enfin, le produit du vecteur ''u'' par le scalaire –λ et le produit de –''u'' par λ sont tous deux égaux à –(λ•''u'') (l'opposé de λ•''u''). En effet, le point 2 précédent et l'axiome 2 donnent :
#*λ•''u'' + λ•(–''u'') = λ•(''u – u'') = 0<sub>''E''</sub> ;
#*de même, λ•''u'' + (–λ)•''u'' = (λ – λ)•''u'' = 0<sub>''E''</sub>.
}}

Les vecteurs (éléments de ''E'') ont été ici écrits avec des lettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.

=== Exemples ===
{{Article détaillé|Exemples d'espaces vectoriels}}
[[Fichier:Continuidad de funciones 04.svg|thumb|upright=1.2|Les fonctions ℝ → ℝ continues forment un ℝ-espace vectoriel, noté C{{exp|0}}(ℝ, ℝ).]]
Voici quelques exemples d'espaces vectoriels qui servent entre autres en analyse ou en géométrie :
* L'[[espace nul]] est l'espace vectoriel sur un corps ''K'' comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est [[Problème universel#Objet initial et objet final|l'objet initial et l'objet final]] de la {{Lien|trad=Category of vector spaces|catégorie des espaces vectoriels}} sur ''K''.
*[[Exemples d'espaces vectoriels#Le corps|Tout corps ''K'']] se présente comme un ''K''-espace vectoriel. L'addition et la multiplication de ''K'' fournissent respectivement l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.
*Plus généralement, l'ensemble des [[n-uplet|''n''-uplets]] d'éléments de ''K'', muni des lois usuelles, forme l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espace des n-uplets|espace vectoriel ''K<sup>n</sup>'']].
*Les [[matrice (mathématiques)|matrices]] à ''n'' lignes et ''p'' colonnes à coefficients dans ''K'' forment l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces de matrices|espace M{{ind|''n'',''p''}}(''K'')]].
* Si ''K'' est commutatif, toute [[extension de corps]] de ''K'', c'est-à-dire tout plongement de ''K'' dans un corps ''L'', munit ''L'' d'une structure d'espace vectoriel sur ''K''.
* L'ensemble C{{exp|0}}(''X'') des [[fonction (mathématiques)|fonctions]] [[Continuité (mathématiques)|continues]] réelles ou complexes définies sur espace topologique ''X'' est un espace vectoriel (réel ou complexe).
* L'ensemble des (germes de) solutions d'une [[équation différentielle linéaire]] homogène est un espace vectoriel (réel ou complexe).
* L'ensemble des [[suite (mathématiques)|suites]] numériques satisfaisant une [[relation de récurrence]] linéaire est un espace vectoriel réel.

=== Espaces vectoriels sur un [[corps non commutatif]] ===
La définition ci-dessus est celle des espaces vectoriels à gauche sur ''K''. Les [[Module sur un anneau#Module à gauche, module à droite|espaces vectoriels à droite sur ''K'' sont les espaces vectoriels à gauche sur]] le [[Anneau opposé|corps opposé]] à ''K''. Si le corps ''K'' est commutatif, les notions d'espaces vectoriels à gauche et à droite coïncident, et l'on peut alors noter à gauche ou à droite (au choix) la multiplication par un scalaire.

Les notions de la théorie des espaces vectoriels qui ne sont valables, avec les définitions usuelles, que lorsque le corps est commutatif sont notamment celles liées à la [[Application multilinéaire|multilinéarité]] ([[Déterminant (mathématiques)|déterminant]], [[Trace (algèbre)|trace]], [[Produit tensoriel de deux modules|produits tensoriels]], [[algèbre extérieure]], [[algèbre sur un corps]] commutatif) ou aux [[Fonction polynôme|fonctions polynomiales]]. Même si l'on ne se sert pas de ces notions, il faut faire attention à divers détails lorsque le corps de base n'est pas supposé commutatif. Par exemple, les [[homothétie]]s n'existent (en tant qu'[[#Application linéaire|applications linéaires]]) que si le facteur scalaire est [[Corps gauche#Énoncés et méthodes|central]] dans le corps, et la multiplication scalaire doit être écrite du côté opposé des applications linéaires (donc avec le scalaire à droite si les applications linéaires sont notées à gauche de leurs arguments).

== Combinaison linéaire ==
{{Loupe|Combinaison linéaire}}
Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir les [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]], c'est-à-dire les sommes finies de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La combinaison linéaire d'une [[Famille (mathématiques)|famille]] (''v{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de vecteurs ayant pour coefficients ({{math|λ}}''{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} est le vecteur ∑{{ind|''i''∈''I''}} {{math|λ}}''{{ind|i}}v{{ind|i}}''. Lorsque l'ensemble d'indexation ''I ''est [[Ensemble infini|infini]], il est nécessaire de supposer que la famille ({{math|λ}}''{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} est à [[Support de fonction|support]] [[Ensemble fini|fini]], c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un ensemble fini d'indices ''i ''pour lesquels {{math|λ}}''{{ind|i}}'' est non nul.

== Sous-espace vectoriel ==
{{Loupe|Sous-espace vectoriel}}
[[Fichier:Linear subspaces with shading.svg|thumb|upright=1.5|Deux plans vectoriels de l'espace ℝ{{3}} en jaune et en vert, qui se coupent selon une [[droite vectorielle]] en bleu.]]
Un sous-espace vectoriel de ''E'' est une [[Inclusion (mathématiques)|partie]] non [[Ensemble vide|vide]] ''F'' de ''E'' stable par combinaisons linéaires. Muni des lois induites, ''F'' est alors un espace vectoriel. L'[[Algèbre des parties d'un ensemble#Réunion et intersection : cas général|intersection d'une famille]] non vide (finie ou infinie) de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel mais l'[[Algèbre des parties d'un ensemble#Réunion et intersection : cas général|union]], même [[Union (mathématiques)|finie]], n'en est pas un en général.

== Famille de vecteurs et dimension ==
=== Indépendance linéaire ===
{{Loupe|Indépendance linéaire}}
Une famille (''v{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de vecteurs de ''E'' est dite libre (sur ''K'') ou encore les vecteurs de cette famille sont dits  [[indépendance linéaire|linéairement indépendants]], si la seule combinaison linéaire des ''v{{ind|i}}'' égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Dans le cas contraire, la famille est dite liée et les ''v{{ind|i}}'' sont dits linéairement dépendants.

Une famille constituée d'un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul. Un couple de vecteurs est lié si et seulement si les deux vecteurs sont [[colinéarité|colinéaires]]. Si (''u'', ''v'') est un couple de vecteurs linéairement indépendants, alors (''u'', ''v''), (''u + v'', ''v'') et (''u'', ''u + v'') sont eux aussi des couples de vecteurs non colinéaires, mais la famille (''u'', ''v'', ''u + v'') est toujours liée.

=== Sous-espace vectoriel engendré ===
{{Loupe|Sous-espace vectoriel engendré|Base (algèbre linéaire)}}
Le sous-espace vectoriel engendré par une famille (''v{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de vecteurs, noté {{math|Vect}}((''v{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}}), est le plus petit sous-espace (au sens de l'inclusion) contenant tous les vecteurs de cette famille. De manière équivalente, c'est l'ensemble des [[#Combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] des vecteurs ''v{{ind|i}}''. La famille engendre ''E'', ou encore est [[Famille génératrice|génératrice]], si le sous-espace qu'elle engendre est ''E ''tout entier.

Une famille ''B ''de vecteurs de ''E ''est une '''base''' de ''E'' si elle est libre et génératrice ou, ce qui est équivalent, si tout vecteur de ''E'' s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de ''B''. L'existence d'une base pour tout ''K''-espace vectoriel ''E'' se déduit du [[théorème de la base incomplète]].

=== Définition de la dimension ===
{{Loupe|Dimension d'un espace vectoriel}}
Étant donné un espace vectoriel ''E'' sur un corps ''K'', [[Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels|toutes les bases de ''E'' ont le même cardinal]], appelé dimension de ''E''.
*La dimension de l'[[#Exemples|espace ''K<sup>n</sup>'']] est ''n''.
*Tout espace vectoriel de dimension 1 est appelé [[droite vectorielle]]. Tout espace de dimension 2 est appelé [[plan vectoriel]].
Deux espaces vectoriels sur ''K'' sont isomorphes (c'est-à-dire reliés par un [[isomorphisme]]) si et seulement s'ils sont de même dimension.

== Application linéaire ==
{{Loupe|Application linéaire}}
[[Fichier:Droites lineaires.png|thumb|Les [[#Forme linéaire|formes linéaires]] sur ℝ sont les fonctions linéaires ℝ → ℝ.]]
[[Fichier:Secretsharing-1.png|thumb|Dans ℝ{{3}}, un plan est le [[#Noyau et image|noyau]] d'une forme linéaire.]]
Soient ''E'' et ''F'' deux espaces vectoriels sur un même corps ''K''. Une [[application (mathématiques)|application]] {{mvar|f}} de ''E'' vers ''F'' est dite '''linéaire''' si elle est additive et commute à la multiplication par les scalaires :
{{retrait|<math>\begin{matrix}\forall x,y\in E&f(x+y)&=&f(x)+f(y),\\\forall x\in E\quad\forall \lambda\in K&f(\lambda x)&=&\lambda f(x).\end{matrix}</math>}}
Autrement dit, {{mvar|f}} préserve les [[#Combinaison linéaire|combinaisons linéaires]].

L'ensemble des applications linéaires de ''E'' dans ''F'' est souvent noté L(''E'', ''F''). Si ''K'' est commutatif, L(''E'', ''F'') est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de ''E'' dans ''F''. Toute [[Composition de fonctions|composée]] d'applications linéaires est linéaire. L'ensemble L(''E'', ''E'') des [[Endomorphisme linéaire|endomorphismes de ''E'']] se note L(''E''). Un [[isomorphisme]] d'espaces vectoriels est une application linéaire [[bijection|bijective]]. Un [[automorphisme]] est un endomorphisme bijectif. L'ensemble des automorphismes de ''E'' est le [[groupe linéaire]] GL(''E'').

=== Noyau et image ===
{{Loupe|Application linéaire#Noyau et image{{!}}Noyau et image d'une application linéaire|Théorème du rang}}
Pour toute application linéaire ''f'' de ''E'' dans ''F'',
* les vecteurs ''x'' de ''E'' tels que ''f''(''x'') = 0 forment un sous-espace vectoriel de ''E'', appelé le [[Noyau (algèbre)|noyau]] de ''f'' et noté Ker(''f'') ;
* les vecteurs ''f''(''x'') pour ''x'' dans ''E'' forment un sous-espace vectoriel de ''F'', appelé l'[[Image d'une application|image]] de ''f'' et noté Im(''f'') ;
*''f ''est
**[[Injection (mathématiques)|injective]] si et seulement si Ker(''f'') = {0{{ind|''E''}}},
**[[surjective]] si et seulement si Im(''f'') = ''F '';
*la [[#Définition de la dimension|dimension]] de Im(''f''), appelée le [[Rang (mathématiques)|rang]] de ''f'', est inférieure ou égale à celles de ''E ''et ''F''. Elle est reliée à celles de ''E'' et Ker(''f'') par le théorème du rang :<center><math>\dim (E) = \dim\ {\rm Ker}(f)</math> + <math>\dim \ {\rm Im}(f).</math></center>

Le [[Graphe d'une fonction|graphe]] de ''f'' est un sous-espace vectoriel de ''E'' × ''F'', dont l'intersection avec ''E'' × {0} est Ker(''f'') × {0}.

=== Forme linéaire ===
{{Loupe|Forme linéaire|espace dual}}

Une [[forme linéaire]] sur un ''K''-espace vectoriel ''E'' est une application linéaire de ''E'' dans ''K''. Si ''K'' est commutatif, les formes linéaires sur ''E'' forment un ''K''-espace vectoriel appelé l'[[espace dual]] de ''E'' et noté ''E''*. Les noyaux des formes linéaires non nulles sur ''E ''sont les [[hyperplan]]s de ''E''.

== Produits et sommes directes ==
{{Loupe|Produit direct|Somme directe}}

La [[Somme d'ensembles#En algèbre|somme ''F + G'']] de deux sous-espaces vectoriels ''F'' et ''G'', définie par
{{retrait|<math>\ F+G=\left\{x+y\mid(x,y) \in F\times G \right\},</math>}}
coïncide avec le [[#Sous-espace vectoriel engendré|sous-espace vectoriel engendré]] par ''F''⋃''G''. [[Sous-espace vectoriel#Somme de sous-espaces vectoriels|Cette construction se généralise]] à une famille quelconque (non vide) de sous-espaces vectoriels.

La [[formule de Grassmann]] relie les dimensions de ''F ''et ''G ''à celles de leur somme et de leur intersection :
<center><math>\dim (F+G)+\dim(F\cap G)=\dim F+\dim G.</math></center>

Les deux sous-espaces ''F'' et ''G'' de ''E'' sont dits « [[Somme directe#Somme directe de deux sous-espaces vectoriels|''en ''somme directe]] » lorsque la décomposition de tout vecteur de leur somme ''F + G ''en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à ''F'' et l'autre à ''G'', est unique (il suffit pour cela que la décomposition de 0{{ind|''E''}} soit unique, c'est-à-dire que ''F''∩''G ''= {0{{ind|''E''}}}). [[Somme directe#Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels|Cette définition se généralise]] à la somme d'une famille quelconque (non vide) (''F{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de sous-espaces. Si cette somme est directe alors les ''F{{ind|i}}'' sont d'intersection nulle deux à deux mais la réciproque est fausse.

Une somme ''F + G'', lorsqu'elle est directe, est notée ''F''⊕''G''. Les sous-espaces ''F'' et ''G'' sont dits [[sous-espace supplémentaire|supplémentaires]] (l'un de l'autre) dans ''E'' s'ils sont en somme directe et si de plus, cette somme est égale à ''E''.
Le [[théorème de la base incomplète]] garantit que tout sous-espace vectoriel possède au moins un supplémentaire.

Soit une famille (''E{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de ''K''-espaces vectoriels. Le [[produit cartésien]] ∏{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'' hérite naturellement d'une structure de ''K''-espace vectoriel, appelé [[Produit direct#Produit direct d'espaces vectoriels|espace vectoriel produit]].

Les familles à [[Support d'une fonction|support]] fini forment un sous-espace vectoriel de ∏{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'', appelé la somme directe des espaces ''E{{ind|i}}'' et noté ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}''.

Lorsque tous les ''E{{ind|i}}'' sont égaux à ''K'', ce produit et cette somme sont respectivement notés ''K<sup>I</sup>'' (l'espace des fonctions de ''I'' dans ''K'') et ''K''<sup>(''I'')</sup> (le sous-espace des fonctions à support fini, dont la [[#Définition de la dimension|dimension]] est égale au [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal de ''I'']]). Pour ''I ''= '''N''', on construit ainsi l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espace de suites|espace ''K''<sup>'''N'''</sup> des suites dans ''K'' et le sous-espace ''K''<sup>('''N''')</sup>]] des suites à support fini.

== Espace vectoriel quotient ==
Soit ''F'' un sous-espace vectoriel de ''E''.
L''''[[espace vectoriel quotient|espace quotient]]''' ''E''/''F'' (c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalence de ''E'' pour la relation « ''u ''~ '' v ''si et seulement si ''u – v ''appartient à ''F'' », muni des opérations définies naturellement sur les classes) est un espace vectoriel tel que la projection ''E ''→ ''E''/''F ''(qui associe à ''u ''sa classe d'équivalence) soit linéaire de noyau ''F''.

Tous les [[sous-espace supplémentaire|sous-espaces supplémentaires]] de ''F ''dans ''E ''sont isomorphes à ''E''/''F''. Leur dimension commune, lorsqu'elle est finie, s'appelle la [[codimension]] de ''F ''dans ''E''.

==Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie==   
{{Loupe|Espace vectoriel de dimension finie}}
Soit ''E'' un espace vectoriel engendré par un nombre fini ''m'' d'éléments.
*La dimension ''n ''de ''E ''est finie, inférieure ou égale à ''m''.
*Toute famille libre de ''E'' a au plus ''n'' vecteurs et toute famille génératrice en a au moins ''n''. Pour qu'une famille d'exactement ''n'' vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit libre ''ou ''génératrice : elle est alors les deux.
*Le seul [[Sous-espace vectoriel#Dimension|sous-espace de ''E'' de dimension ''n'']] est ''E''.
* Si ''K'' est commutatif, l'[[espace dual]] ''E''* de ''E'' est également de dimension ''n'', d'après le théorème de la [[base duale]].
* Si ''K'' est commutatif et si ''n ''≠ 0, l'ensemble des [[Application multilinéaire#Application n-linéaire alternée en dimension n|formes ''n''-linéaires alternées sur ''E'']] est un espace vectoriel de dimension 1. Ce résultat est à la base de la théorie du [[déterminant (mathématiques)|déterminant]].
*[[Théorème du rang#Application à la caractérisation des isomorphismes|On déduit du théorème du rang que]] pour toute application linéaire ''f'' de ''E'' dans un espace de même dimension ''n'',{{retrait|''f'' est surjective ⇔ ''f'' est injective ⇔ ''f'' est bijective.}}
*Si ''K'' est commutatif, alors l'application de M{{ind|''m'',''n''}}(''K'') dans L(''K{{exp|n}}'', ''K{{exp|m}}'') qui, à toute [[matrice (mathématiques)|matrice]] ''A'', associe l'application linéaire ''X'' ↦ ''AX'', est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Plus généralement, toute application linéaire entre deux espaces munis chacun d'une base finie est [[Matrice d'une application linéaire|représentable par une matrice]].

== Structures connexes ==
=== Structures relatives ===
* Une [[Paire d'espaces|paire]] d'espaces vectoriels est la donnée d'un espace vectoriel et d'un sous-espace de celui-ci.
* Plus généralement, un espace vectoriel peut être [[Filtration (mathématiques)|filtré]] par la donnée d'une [[Suite (mathématiques)|suite]] croissante ou décroissante de sous-espaces.
* Un [[drapeau (mathématiques)|drapeau]] sur un espace vectoriel ''E ''de dimension finie est une suite strictement croissante de sous-espaces, de l'[[espace nul]] à ''E''.
* Un espace vectoriel réel de dimension finie peut être [[orientation (mathématiques)|orienté]] par le choix d'une orientation sur ses bases.
* Un [[Espace gradué|espace vectoriel gradué]] est une famille d'espaces vectoriels, généralement indexée par ℕ, ℤ ou ℤ/2ℤ. Un morphisme entre deux tels espaces vectoriels gradués est alors une famille d'applications linéaires qui respecte la graduation.

=== [[Structure algébrique|Structures algébriques]] ===
* Un [[module sur un anneau|module]] ''M'' sur un [[anneau unitaire|anneau]] ''A'' est un groupe additif muni d'une loi externe sur ''M'' à coefficients dans ''A'', compatible avec l'addition sur ''M'' et avec les opérations sur ''A''. Il ne dispose en général ni de base ni de supplémentaires. Un espace vectoriel est simplement un module sur un corps<ref>{{Harvsp|Lang|1965|p=85}}.</ref>.
* Une [[algèbre sur un corps|algèbre]] est un espace vectoriel muni d'une multiplication distributive par rapport à l'addition et compatible avec la loi de composition externe.
* Une [[algèbre de Lie]] est un espace vectoriel muni d'un [[crochet de Lie]] compatible avec la loi de composition externe.

=== Structures topologiques et géométriques ===
* Un [[espace affine]] est un ensemble muni d'une [[action de groupe (mathématiques)|action]] libre et transitive d'un espace vectoriel.
* Un [[espace euclidien|espace vectoriel euclidien]] est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un [[produit scalaire]].
* Un espace vectoriel réel ou complexe est dit [[espace vectoriel normé|normé]] lorsqu'il est muni d'une [[norme (mathématiques)|norme]]. Par exemple, les [[Espace de Banach|espaces de Banach]], dont les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] qui généralisent la notion d'espace vectoriel euclidien, sont des espaces vectoriels normés.
* Si ''K'' est un corps muni d'une topologie, un [[espace vectoriel topologique]] sur ''K'' est un ''K''-espace vectoriel muni d'une topologie compatible, c'est-à-dire que l'addition et la multiplication par un scalaire doivent être continues. C'est le cas entre autres des espaces vectoriels normés et des espaces de Fréchet.
* Un [[fibré vectoriel]] est une surjection d'un espace topologique sur un autre, telle que la préimage de chaque point soit munie d'une structure d'espace vectoriel compatible continûment avec les structures des préimages des points voisins.

== Historique ==
[[Fichier:Giuseppe Peano.jpg|thumb|[[Giuseppe Peano]], qui exposa la première définition axiomatique d'un espace vectoriel en 1888.]]
La notion d'espace vectoriel naît conceptuellement de la [[géométrie affine]] avec l'introduction des [[Système de coordonnées|coordonnées]] dans un repère du plan ou de l'espace usuel. Vers 1636, [[René Descartes|Descartes]] et [[Pierre de Fermat|Fermat]] donnèrent les bases de la [[géométrie analytique]] en associant la résolution d'une équation à deux inconnues à la détermination graphique d'une [[courbe]] du plan.

Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, [[Bernard Bolzano|Bolzano]] introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs<ref>{{de}} B. Bolzano, ''Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie'', 1804.</ref>. Ce travail trouve un écho dans la conception des [[coordonnées barycentriques]]<ref>{{de}} A. Möbius, ''Der barycentrische Calcül'', 1827.</ref> par [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]] du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme, achève ainsi de définir les vecteurs.

La notion de vecteur est reprise avec la présentation des [[Nombre complexe|nombres complexes]] par [[Jean-Robert Argand|Argand]] et [[William Rowan Hamilton|Hamilton]], puis celle des [[quaternion]]s par ce dernier, comme des éléments des espaces respectifs ℝ{{2}} et ℝ{{4}}. Le traitement par combinaison linéaire se retrouve dans les [[système d'équations|systèmes d'équations linéaires]], définis par [[Edmond Laguerre|Laguerre]] dès 1867.

En 1857, [[Arthur Cayley|Cayley]] introduisit la [[Matrice (mathématiques)|notation matricielle]], qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des [[application linéaire|applications linéaires]] entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.

Vers la même époque, [[Hermann Günther Grassmann|Grassmann]] reprit le calcul barycentrique initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opérations<ref>{{de}} H. Grassmann, ''Die Ausdehnungslehre''.</ref>. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication, il aboutissait à la notion d'[[algèbre sur un corps|algèbre]]. On y retrouve néanmoins les concepts de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] et d'[[indépendance linéaire]], ainsi que le [[produit scalaire]] apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] avec la publication de ''Sur les clefs algébrique'' dans les ''[[CRAS|Comptes Rendus]]''.

[[Giuseppe Peano|Peano]], dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — notamment la construction des ensembles usuels — a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel<ref>{{it}} G. Peano, ''Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva'', 1888.</ref> vers la fin du {{s-|XIX|e}}.

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de [[Fonction (mathématiques)|fonctions]] par [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]], construction qui a été formalisée au cours du {{s-|XX|e}} par [[David Hilbert|Hilbert]] et [[Stefan Banach|Banach]], lors de sa thèse de doctorat en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction entre l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] naissante et l'[[algèbre]] se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les [[espace Lp|espaces de fonctions ''p''-intégrables]] ou encore les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]]. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension infinie.

=== Translations ===
{{Loupe|plan affine de Desargues}}
[[Fichier:TraslazioneOK.png|thumb|upright=1.2|Les translations forment un espace vectoriel sur un corps approprié.]]
Sans disposer d'une définition des espaces vectoriels, une approche possible de la [[géométrie plane]] se fonde sur l'étude d'un [[plan affine de Desargues]] ''P''. Il comporte des points et des droites, avec une relation d'appartenance appelée incidence, dont les propriétés donnent un sens à l'alignement des points et au parallélisme des droites. On appelle homothétie-translation toute transformation de ''P'' préservant l'alignement et envoyant toute droite sur une droite parallèle. Hormis l'identité (considérée à la fois comme une homothétie et une translation), une telle transformation fixe au plus un point ; elle est appelée [[homothétie]] si elle fixe un point O, qui est alors son centre ; elle est appelée une [[translation (géométrie)|translation]] sinon. L'ensemble des homothéties de centre fixé ''O'' forment un groupe commutatif pour la loi de composition, indépendant de O à [[Isomorphisme de groupes|isomorphisme]] [[à quelque chose près|près]], noté ''K''*. Il est possible d'adjoindre un élément 0 pour former un corps ''K'', dont la loi d'addition est encore définie à partir de ''P''. Tout scalaire non nul <math>\lambda</math> correspond à une unique homothétie de centre O, et on dit que <math>\lambda</math> est son rapport. L'ensemble des translations de ''P'' forme un ''K''-espace vectoriel, ses lois étant les suivantes :
* La somme vectorielle de deux translations ''t'' et ''t''' est leur composée <math>t\circ t'=t'\circ t</math> qui est une translation ;
* La multiplication d'une translation ''t'' par un scalaire non nul {{mvar|λ}} de ''K'' est la conjugaison de ''t'' par une homothétie ''h'' de centre quelconque et de rapport {{mvar|λ}}, autrement dit la transformation <math>hth^{-1}</math>, qui est une translation.
Le vecteur nul est l'identité. L'opposé d'un vecteur représenté par une translation ''t'' est le vecteur défini par ''t''{{-1}}.

Tout ceci se généralise aux espaces affines d'incidence (ou synthétiques) de dimensions (finies ou infinies) supérieures ou égales à 3 (ils sont alors de Desargues). Mais dans ce cas, si le nombre d'éléments des droite est égal à 2, la relation de parallélisme entre droites doit être incluse dans la définition des espaces affines. Donc, il y a intrinsèquement un espace vectoriel « sous-jacent » à tout plan affine de Desargues et à tout espace affine d'incidence.

Ces considérations permettent de faire le lien entre une approche moderne de la géométrie fondée sur l'algèbre linéaire, et une approche axiomatique.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}
=== Références ===
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary=espace vectoriel|wikiversity=Espace vectoriel}}

=== Bibliographie ===
* {{de}} Helmut Boseck, ''{{Langue|de|Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume}}'', 1967
*{{Ouvrage|auteur=[[Jean Dieudonné]]|titre=Algèbre linéaire et géométrie élémentaire|year=1964|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]}}
* {{en}} {{Lien|Leon Mirsky}}, ''{{Langue|en|An Introduction to Linear Algebra}}'', 1955, rééd. 1990 {{Lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=TteOFYtbIVQC}}

=== Lien externe ===
{{MacTutor|class=HistTopics|id=Abstract_linear_spaces|title=Abstract linear spaces}}

=== Articles connexes ===
* [[Réduction d'endomorphisme]] et [[Diagonalisation]] (méthodologie pour déterminer des formes normales des opérateurs)
*[[Tenseur]] (objet utile en géométrie et en physique)

{{Palette|Algèbre linéaire|Structures algébriques}}
{{Portail|Algèbre}}

[[Catégorie:Espace vectoriel]]
[[Catégorie:Algèbre linéaire]]
[[Catégorie:Algèbre générale]]
[[Catégorie:Structure algébrique]]
[[Catégorie:Module]]