Voir la source de Exponentielle de base a

{{titre mis en forme|Exponentielle de base {{Formule|§=''a''}}}}
{{Infobox Fonction mathématique
| nom = Fonction exponentielle de base {{Formule|§=''a''}}
| image = Exponentials(2).svg
| légende = Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu).
| notation = <math>\exp_a(x)</math> ou <math>a^x</math>
| réciproque = <math>\log_a(x)</math> ou <math>\frac{\ln(x)}{\ln(a)}</math>
| dérivée = <math>\ln(a) \exp_a (x)</math>
| primitives = <math>\frac{\exp_a (x)}{\ln(a)}+C</math>
| ensemble de définition = <math>\R</math>
| ensemble image = <math>\R_+^*</math>
| parité = 
| périodicité = 
| zéro = 1
| plusinf = <math>+\infty</math> si <math>a>1</math><br /><math>0</math> si <math>a<1</math>
| moinsinf = <math>0</math> si <math>a>1</math><br /><math>+\infty</math> si <math>a<1</math>
| maxima = 
| minima = 
| asymptotes = 
| zéros = 
| points critiques = 
| points d'inflexion = 
| points fixes = 
}}

En [[analyse réelle]], l''''exponentielle de base {{Formule|§=''a''}}''' est la [[Fonction (mathématiques)|fonction]] notée {{math|exp{{ind|''a''}}}} qui, à tout [[Nombre réel|réel]] {{math|''x''}}, associe le réel {{math|''a{{exp|x}}''}}. Elle n'a de sens que pour un réel {{math|''a''}} strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des [[Entier naturel|entiers naturels]], qui à l'entier {{math|''n''}} associe {{math|''a{{exp|n}}''}}. C'est donc la version continue d'une [[suite géométrique]].

Elle s'exprime à l'aide des [[fonctions usuelles]] [[fonction exponentielle|exponentielle]] et [[logarithme népérien]] sous la forme
: <math>\exp_a (x) = a^x ={\rm e}^{x\ln(a)}.</math>

Elle peut être définie comme la seule fonction [[continue]] sur ℝ, prenant la valeur {{math|''a''}} en {{math|1}} et transformant une somme en produit.

Pour {{math|''a''}} différent de {{math|1}}, c'est la [[Bijection réciproque|réciproque]] de la [[logarithme|fonction logarithme de base {{math|''a''}}]]. On appelle d'ailleurs parfois ces fonctions les [[antilogarithme|fonctions antilogarithmes]]. Le cas {{math|1=''a'' = [[e (nombre)|e]]}} correspond aux fonctions exponentielle et logarithme népérien.

Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions [[dérivable]]s sur ℝ, [[Proportionnalité|proportionnelles]] à leur [[dérivée]] et prenant la valeur {{math|1}} en {{math|0}}. Elle permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologiques dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population.

On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est {{math|''N a{{exp|x}}''}}.

== De la puissance à l'exponentielle ==
On considère un réel ''{{math|a}}'' strictement positif ; il est facile de définir ''{{math|a{{exp|n}}}}'' comme le produit de ''{{math|a}}'' par lui-même {{math|''n''}} fois pour tout entier {{math|''n''}} supérieur ou égal à {{math|1}},
:<math>\exp_a(n) = a^n = \underset{n \text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}</math>
puis de définir {{math|''a''{{exp|0}} {{=}} 1}} et {{math|''a{{exp|–n}}'' {{=}} {{sfrac|1|''a{{exp|n}}''}}}}. On démontre aisément la propriété {{math|''a''{{exp|''n'' + ''m''}} {{=}} ''a{{exp|n}}'' × ''a{{exp|m}}''}}. Cette construction, assez naturelle, correspond aux phénomènes dits à [[croissance exponentielle|croissance ou décroissance exponentielle]].
{{Article détaillé|Suite géométrique}}
* Exemple 1 : Imaginons une population dont la taille augmente de 30 % tous les {{nombre|10|ans}}. Si l'on note {{math|''N''}} la population en 1900, il est facile de calculer la population en 1910, 1920… qui sera de {{math|''N'' × 1,3}}, puis {{math|''N'' × 1,3{{2}}}}… pour aboutir au bout de ''n'' décennies à {{math|''N'' × 1,3{{exp|''n''}}}}. Il est même possible de déterminer la population en 1890, 1880… qui sera de {{math|''N'' × 1,3{{-1}}}}, {{math|''N'' × 1,3{{exp|–2}}}}…
* Exemple 2 : Le [[carbone 14]] a une décroissance radioactive de période {{math|1=''T'' = 5 730}} ans ce qui veut dire que tous les {{math|''T''}} ans, le nombre de particules radioactives a été divisé par 2. Si l'on mesure, à un instant donné, le nombre {{mvar|N}} de particules radioactives, au bout de {{mvar|n}} périodes, le nombre de particules radioactives n'est plus que de {{math|''N'' × (1/2){{exp|''n''}}}}.
La question qui se pose est de déterminer la taille de la population ou le nombre de particules radioactives entre deux mesures (la décennie pour la population ou la période pour la particule). Il s'agit donc de « combler les trous entre les entiers ». Une tentative peut être faite grâce à la [[Racine d'un nombre|racine {{math|''n''}}-ième]] : si la population a été multipliée en {{nombre|10|ans}} par 1,3, on cherche à déterminer par combien elle est multipliée chaque année. Elle est multipliée par un réel {{mvar|q}} tel que {{math|1=''q''{{10}} = 1,3}}, c'est-à-dire {{math|1=''q'' = {{sqrt|n=10|1,3}}}} que l'on note {{math|1,3{{exp|1/10}}}}.

On est donc capable de définir [[Puissance d'un nombre|{{mvar|a{{exp|r}}}} pour des exposants non entiers]] :
:<math>\exp_a(1/q)=a^{1/q} = \sqrt[q] a</math>
: <math>\exp_a(p/q)=a^{p/q} = (\sqrt[q] a)^p = \sqrt[q]{a^p}</math>.
On a ainsi « comblé les trous » et défini {{mvar|a{{exp|r}}}} pour tout {{mvar|r}} [[nombre rationnel|rationnel]]. Pour définir {{mvar|a{{exp|x}}}} pour tout réel {{mvar|x}}, il faut ajouter un argument de [[Continuité (mathématiques)|continuité]] : tout réel {{mvar|x}} est « aussi proche que l'on veut » d'un rationnel {{math|''p''/''q''}} ; la valeur de {{mvar|a{{exp|x}}}} sera alors « proche de » {{math|''a''{{exp|''p''/''q''}}}}.

Cette idée intuitive de ce que pourrait être ''{{math|a{{exp|x}}}}'' apparaît très tôt — en même temps que la notation exponentielle, c'est-à-dire dès le {{s|XVII|e}}<ref>[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] n'hésite pas à utiliser la notation ''{{math|a{{exp|x}}}}'' sans avoir une idée claire de ce que vaudrait {{math|''a''{{exp|{{sqrt|2}}}}}}.</ref>. Mais il faudra attendre les siècles suivants pour voir en {{math|''x'' ↦ ''a{{exp|x}}''}} :
* une fonction ;
* vérifiant ''{{math|1=a{{exp|x + y}} = a{{exp|x}}a{{exp|y}}}}'', c'est-à-dire transformant une somme en produit ;
* continue ;
*réciproque d'une fonction logarithme (qui transforme un produit en somme) ;
*dérivable et dont la dérivée est proportionnelle à la fonction.

== Définitions ==
Il existe plusieurs points d'entrée possibles pour la définition de la fonction exponentielle : par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit), par la propriété de sa dérivée (dérivée proportionnelle à la fonction), ou par ses relations avec la [[fonction exponentielle]] et la fonction [[logarithme népérien]].

=== Par la propriété algébrique ===
{{Voir|Équation fonctionnelle de Cauchy}}

{{Théorème|Définition|On appelle fonction exponentielle réelle, toute fonction de '''R''' dans '''R''', non [[Fonction nulle|identiquement nulle]] et continue en au moins un point, transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'[[équation fonctionnelle]]
<center><math>\forall u,v\in\R\quad f(u+v)=f(u)\times f(v).</math></center>
Une telle fonction {{math|''f''}} est continue et strictement positive et pour tout réel {{math|''a'' > 0}}, l'unique {{math|''f''}} telle que {{math|''f''(1) {{=}} ''a''}} est appelée ''exponentielle de base {{math|a}}'' et se note {{math|exp{{ind|''a''}}}}.}}

Autrement dit : ces fonctions sont les [[Morphisme de groupes|morphismes]] continus de ('''R''', +) dans ('''R'''{{ind|+}}*, ×), et sont en [[bijection]] avec '''R'''{{ind|+}}* ''[[wikt:via|via]]'' {{math|''f'' ↦ ''f''(1)}}.

La relation
:<math>f(u)=f\left(2\frac u2\right) =\left[ f\left(\frac u2\right)\right]^2</math>
assure que la fonction est à valeurs positives.

L'équation fonctionnelle garantit de plus que toutes ces valeurs sont non nulles dès que l'une d'entre elles l'est.

Puis, des considérations analogues à celles développées dans la section précédente assurent l'existence<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Fonction exponentielle/Fonction racine n-ième|chapitre « Fonction racine ''n''-ième »|début=Voir par exemple le}}</ref> et l'unicité<ref name=Exo/>, pour tout réel {{math|''a'' > 0}}, d'une fonction {{math|''f''}} définie ''sur les rationnels'', vérifiant l'équation fonctionnelle, et prenant en 1 la valeur {{math|''a''}}.

On démontre<ref name=Exo>{{Note autre projet|Wikiversité|Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle#Exercice 5|cet exercice corrigé de la leçon sur la fonction exponentielle|début=Voir par exemple}}</ref> la continuité et — par [[Partie dense|densité]] de ℚ dans ℝ — l'unicité d'une fonction vérifiant l'équation fonctionnelle, prenant en {{math|1}} la valeur {{math|''a''}}, et continue en au moins un point. Son existence s'obtient par [[prolongement par continuité]] :

{{Démonstration|titre=Détails|contenu=
On vérifie facilement que la fonction {{math|''x'' ↦ ''a{{exp|x}}''}} (définie pour l'instant seulement sur les rationnels) est [[Fonction monotone|monotone]] et que la suite {{math|''a''{{exp|1/2{{exp|''n''}}}}}} converge vers 1. Ceci, joint à l'équation fonctionnelle, permet de montrer que la fonction est [[Fonction Cauchy-continue|Cauchy-continue]] sur ℚ, donc prolongeable par continuité à ℝ. Par continuité et densité, ce prolongement à ℝ vérifie encore l'équation fonctionnelle.
}}

On peut remarquer que — hormis la [[fonction constante]] {{math|1}}, qui correspond à {{math|1=''a'' = 1}} — toutes ces applications {{math|''f'' : ℝ → ]0, +∞[}} sont bijectives. Ce sont donc des [[isomorphisme de groupes|isomorphismes]] de ('''R''', +) dans ('''R'''{{ind|+}}*, ×).

On prouve qu'alors {{math|''f''}} est dérivable et vérifie l'[[équation différentielle]] :
<center><math>f'(x)=f'(0)\times f(x)\quad\text{et}\quad f(0)=1.</math></center>

{{Démonstration|titre=Démonstrations|contenu=
'''{{1re|méthode}}.''' — D'après le § « Par une équation différentielle » [[#Par une équation différentielle|ci-dessous]], les fonctions {{math|''g{{ind|k}}'' : ''x'' ↦ exp(''kx'')}} vérifient {{math|1=''g'{{ind|k}} = kg{{ind|k}}''}}, {{math|1=''g{{ind|k}}''(0) = 1}} et transforment les sommes en produits. Pour {{math|1=''k'' = exp{{-1}}(''a'')}}, on a {{math|1=''g{{ind|k}}''(1) = ''a''}} donc par unicité, {{math|1=''g{{ind|k}} = f''}}.

'''{{2e|méthode}}.''' — Pour démontrer qu'une fonction continue transformant une somme en produit est nécessairement dérivable, on peut s'appuyer sur le fait qu'une fonction continue possède des [[primitive]]s<ref>Ce procédé s'applique à beaucoup d'équations fonctionnelles. Cf. {{Lien web|auteur=Dominique Hoareau|url=http://megamaths.perso.neuf.fr/domi/Integrer-Mieux-Deriver.pdf|titre=Intégrer pour mieux dériver|site=MégaMaths}}.</ref>. Si l'on note {{math|''F''}} une primitive de {{math|''f''}}, on peut écrire
:<math>\int_0^1f(x)f(t)\mathrm dt = f(x)\int_0^1f(t)\mathrm dt =f(x)(F(1)-F(0))</math>
mais aussi
:<math>\int_0^1f(x)f(t)\mathrm dt = \int_0^1f(x+t)\mathrm dt = F(x+1) - F(x).
</math>
La fonction {{math|''f''}} étant strictement positive, {{math|''F''}} est strictement croissante et {{math|''F''(1) – ''F''(0)}} est alors non nul. En confrontant les deux égalités, on peut écrire
:<math>f(x) = \frac{F(x+1)-F(x)}{F(1)-F(0)},</math>
ce qui prouve que, {{math|''f''}} s'exprimant comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, {{math|''f''}} est dérivable.

En dérivant l'égalité
: <math>f(x+u) = f(x)f(u)</math>
par rapport à {{math|''x''}}, on obtient
:<math>f'(x+u)=f'(x)f(u)</math>
puis, en prenant {{math|''x''}} égal à {{math|0}},
: <math>f'(u)=f'(0)f(u).</math>
}}

=== À l'aide de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien ===
{{Théorème|Définition| Soit {{math|''a''}} un réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base {{math|''a''}} la fonction définie sur ℝ par 
<center><math> f(x)={\rm e}^{x\ln(a)}\,</math></center>
où {{math|''x'' ↦ e{{exp|''x''}}}} est la [[fonction exponentielle]] et {{math|ln}} la fonction [[logarithme népérien]].}}

Cette fonction est bien continue, transforme une somme en produit et prend la valeur {{math|''a''}} en 1.

===Par une équation différentielle ===
{{Théorème|Définition| On appelle fonction exponentielle toute fonction dérivable vérifiant l'équation différentielle et la condition initiale suivantes :
<center><math> f'=kf \quad\text{et}\quad f(0) = 1</math></center>
où {{math|''k''}} est un réel quelconque.}}

On peut remarquer que pour une telle fonction, {{math|''k''}} est la valeur de la dérivée en 0.

En supposant seulement connue l'[[Fonction exponentielle#Par une équation différentielle|existence d'une solution pour {{math|1=''k'' = 1}} (la fonction {{math|exp}})]], une solution évidente pour {{math|''k''}} quelconque est la fonction {{math|''x'' ↦ exp(''kx'')}}.

On montre<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle#Cas général|« L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle »|début=Voir par exemple le chapitre}}</ref> que cette solution est la seule. De plus, la solution transforme toute somme en produit<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle#Propriété fondamentale|« Propriétés algébriques de l'exponentielle »|début=Voir par exemple le chapitre}}</ref>, donc sa définition coïncide avec celle ci-dessus « [[#Par la propriété algébrique|Par la propriété algébrique]] », pour {{math|1=''a'' = exp(''k'')}}.

=== Comme réciproque des fonctions logarithmes ===
{{Théorème|Définition| Soit {{math|''a''}} un réel strictement positif, différent de {{math|1}}. La fonction [[logarithme]] de base {{math|''a''}} est une [[bijection]] de '''R*<sub>+</sub>''' dans '''R'''. On appelle fonction exponentielle de base {{math|''a''}} sa [[bijection réciproque]] :
<center><math>\bigl(x\in\R,\quad y=\exp_a(x)\bigr)\Leftrightarrow\bigl(y\in\left]0,+\infty\right[,\quad x=\log_a(y)\bigr).</math></center>
}}

La fonction logarithme étant continue, transformant un produit en somme et prenant la valeur {{math|1}} en {{math|''a''}}, sa bijection réciproque est continue, transforme une somme en produit et prend la valeur {{math|''a''}} en {{math|1}}.

==Propriétés==
=== Propriétés algébriques ===
*Pour tous réels strictement positifs {{math|''a''}} et {{math|''b''}} et pour tous réels {{math|''x''}} et {{math|''y''}} :
*:<math>a^x = \exp( x \ln(a)) ={\rm e}^{x \ln(a)},\quad a^x = b^{x \log_b(a)},\quad a^{x y} = \left( a^x \right)^y.</math>
*Les applications {{math|exp{{ind|''a''}} : ''x'' ↦ ''a{{exp|x}}''}} sont des morphismes de [[Groupe abélien|groupes (abéliens)]] de ('''R''', +) dans ('''R'''{{ind|+}}*, ×) :
*: <math>a^{x + y} = a^xa^y,\quad a^0 = 1,\quad\frac1{a^x}=a^{-x}.</math>
*Ces morphismes constituent un [[Isomorphisme de groupes|groupe isomorphe]] à ('''R'''{{ind|+}}*, ×) (''via'' {{math|''a'' ↦ exp{{ind|''a''}}}}) — donc aussi [[Groupe à un paramètre|à ('''R''', +)]] :
*: <math>a^xb^x = (a b)^x,\quad1^x=1,\quad\frac1{a^x} = \left(\frac1a \right)^x,\quad a^1 = a.</math>

=== Étude de fonction ===

La fonction exponentielle de base {{math|''a''}} est [[Classe de régularité|indéfiniment dérivable]] sur '''R''' et sa dérivée a pour expression
:<math>\exp_a'(x)=\ln(a) \exp_a(x).</math>

Puisque la fonction exponentielle est toujours positive, le signe de sa dérivée ne dépend que du signe de {{math|ln(''a'')}}. La fonction est donc strictement croissante lorsque la base {{math|''a''}} est strictement plus grande que {{math|1}} ; elle est strictement décroissante quand la base est inférieure à {{math|1}} et constante si on a pris pour base {{math|1=''a'' = 1}}.

Les limites de la fonction exponentielle de base {{math|''a''}} dépendent de la position de {{math|''a''}} par rapport à {{math|1}} :
* si {{math|''a'' > 1}} alors <math> \lim_{x \to + \infty}a^x=+ \infty\quad{\rm et}\quad\lim_{x \to - \infty}a^x=0~;</math>
* si {{math|''a'' < 1}} alors <math> \lim_{x \to + \infty}a^x=0\quad{\rm et}\lim_{x \to - \infty}a^x=+\infty.</math>

La fonction exponentielle a un comportement prévisible par rapport à la fonction puissance : [[Théorème des croissances comparées|en cas d'indétermination en {{math|+∞}}, c'est l'exponentielle qui l'emporte]] :
: pour tous réels {{math|''a'' > 1}} et {{math|''b''}}, <math>\lim_{x \to + \infty}\frac{a^x}{x^b}=+ \infty.</math>

Elle est à la fois [[Fonction logarithmiquement convexe|logarithmiquement convexe]] (donc [[Fonction convexe|convexe]]) et {{Lien|trad=Logarithmically concave function|Fonction logarithmiquement concave|texte=logarithmiquement concave}}.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| wikiversity = Fonction exponentielle
| wikiversity titre= Fonction exponentielle
| wikt        = exponentielle
}}

{{Palette|Fonctions mathématiques usuelles|Puissances d'entiers}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Exponentielle]]