Voir la source de Fibré

{{Voir homonyme|Fibre}}
{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec une [[fibration]] ni avec un [[espace filtré]].}}
{{ébauche|mathématiques}}
En [[mathématiques]], un '''espace fibré''' est, intuitivement, un [[espace topologique]] qui est ''localement'' le [[Topologie produit|produit]] de deux espaces — appelés la ''base'' et la ''fibre'' — mais en général pas globalement. Par exemple, le [[ruban de Möbius]] est un fibré de base un cercle et de fibre un segment de droite : il ressemble ''localement'' au produit d'un cercle par un segment, mais ''pas globalement'' comme le cylindre

Plus précisément, l'''espace total'' du fibré est muni d'une projection [[Continuité (mathématiques)|continue]] sur la base, telle que la [[préimage]] de chaque point soit [[homéomorphisme|homéomorphe]] à la ''fibre''. Cette projection est ''a priori'' supposée '''localement triviale''', c'est-à-dire que tout point de la base admet un [[voisinage (topologie)|voisinage]] dont la préimage s'identifie à un [[produit cartésien]] de ce voisinage et de la fibre, par le biais d'homéomorphismes appelés ''trivialisations'' ou ''cartes''. Le passage d'une trivialisation à l'autre se fait au moyen d'un [[groupe (mathématiques)|groupe]] d'homéomorphismes<ref>Ces homéomorphismes peuvent éventuellement préserver des structures additionnelles sur la fibre comme dans le cas d'un [[fibré vectoriel]].</ref> de la fibre appelé '''groupe de structure'''.

Cette notion généralise donc la projection d'un produit cartésien sur l'un de ses facteurs.

== Définition formelle ==
Un espace fibré peut se présenter comme la donnée d'une application continue ''<math>\pi</math>'' (''projection'' ou ''pied'') entre deux espaces topologiques [[espace séparé|séparés]] <math>E</math> et <math>B</math> (''espace total'' et ''base''), d'un espace séparé <math>F</math> (''fibre'') sur lequel [[action de groupe (mathématiques)|agit]] un groupe topologique <math>G</math> (''groupe de structure'')<ref>Pour ne pas avoir à spécifier le groupe de structure, il suffit de choisir par défaut le groupe des homéomorphismes de la fibre.</ref> et d'un ensemble d'homéomorphismes (''cartes'') appelés trivialisations locales
:<math>\phi_i \colon\ U_i \times F \stackrel{\simeq}{\longrightarrow} \pi^{-1}(U_i)</math>
où la famille<ref>C'est une [[famille (mathématiques)|famille]] indexée par l'ensemble des cartes, deux cartes pouvant éventuellement relier les mêmes ouverts.</ref> <math>(U_i)</math> décrit un recouvrement ouvert de <math>B</math>, satisfaisant les conditions suivantes :
# Les cartes commutent avec les projections :
#: <math>\forall (b, y) \in U_i\times F,\ \pi(\phi_i(b,y)) = b\ .</math>
# Les changements de carte sont induits par des sections dans le groupe de structure, autrement dit pour tout couple de cartes (''<math>\phi</math>'', ''<math>\psi</math>'') définies sur un même<ref>Il s'agit là de définition par restriction. Ces mêmes cartes peuvent être par ailleurs définies sur des ouverts plus grands.</ref> ouvert <math>U</math>×<math>F</math> il existe une application continue ''<math>\theta</math>'' de <math>U</math> dans <math>G</math> telle que :
#: <math>\forall (b, y) \in U\times F,\ \psi(b,y) = \phi(b \, , \, \theta(b) \! \cdot \! y)\ .</math>

L'ensemble des cartes est en général supposé maximal satisfaisant ces conditions, c'est-à-dire que tout homéomorphisme commutant avec les projections et compatible avec les autres cartes est aussi une carte.

Un fibré de fibre <math>F</math> et de base <math>B</math> se dit parfois « en <math>F</math> sur <math>B</math> ».

== Fibré trivialisable ==
Un espace fibré est dit ''trivialisable'' s'il admet une carte ayant l'espace total pour image. Il est dit ''trivial'' lorsqu'une telle carte est précisée, ce qui l'identifie comme espace fibré au produit cartésien de la base et de la fibre.

Une ''réduction du groupe de structure'' est la donnée d'un sous-ensemble de cartes dont la réunion des images est l'espace total et qui reste maximal pour un groupe de structure plus petit. Une trivialisation est donc une réduction du groupe de structure au groupe trivial.

== Exemples et contre-exemples ==
* Le [[ruban de Möbius]] muni de la projection sur un cercle médiateur est un espace fibré non trivial, de fibre un intervalle réel et dont le groupe de structure peut se réduire à deux éléments (l'identité et une réflexion).
* La [[bouteille de Klein]] est un fibré en cercles sur le cercle dont le groupe de structure se réduit aussi à deux éléments.
* La [[fibration de Hopf]] est un fibré en cercles sur la [[sphère]], dont le groupe de structure se réduit au groupe des isométries positives du cercle.
* La projection du [[quadrant (mathématiques)|premier quadrant]] sur sa bissectrice est une [[fibration]] qui ''ne définit pas'' un fibré, car la préimage de l'origine est réduite à un point tandis que la préimage de tout autre point de la bissectrice est un segment d'intérieur non vide.

== Types de fibrés ==
* Un [[revêtement (mathématiques)|revêtement]] est un espace fibré dont la fibre est [[topologie discrète|discrète]].
* Un [[fibré vectoriel]] est un espace fibré dont la fibre est un [[espace vectoriel]] et le groupe de structure est le [[groupe linéaire]]. C'est le cas des fibrés [[fibré tangent|tangent]] et [[Fibré cotangent|cotangent]] sur une [[variété différentielle]].
* Un [[fibré différentiel]] est un fibré pour lequel l'espace total, la base et la fibre sont des [[variété différentielle|variétés différentielles]]<ref>Boris Doubrovine, Sergueï Novikov & Anatoli Fomenko ; ''Géométrie contemporaine - Méthodes & applications - Deuxième partie : Géométrie et topologie des variétés'', Mir (1982)</ref>.
* Un [[fibré principal]] est un fibré pour lequel le groupe de structure [[Action de groupe (mathématiques)|agit librement et transitivement]] sur la fibre, autrement dit si la fibre peut s'identifier au groupe de structure muni de l'[[action de groupe|action à droite]]. C'est le cas du fibré de Hopf, ainsi que du fibré des repères d'une variété différentielle.
* Un [[fibré associé]] est un fibré induit par un fibré principal et par une action de groupe.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Section d'un fibré]]
* [[Fibré associé]]
* {{Lien|langue=en|trad=Circle bundle|fr=Fibré en cercles}}
* {{Lien|langue=en|trad=Torus bundle|fr=Fibré en tores}}
* [[Fibré en coniques]]
* [[Topologie différentielle]]
* [[Géométrie différentielle]]
* [[Théorie de jauge]]

=== Bibliographie ===
* N. Steenrood, ''The topology of fiber bundles'', Princeton University Press.
* {{Douady1}}
* {{Godbillon1}}
* {{DoubrovineFomenkoNovikov}} - Deuxième partie : Géométrie et topologie des variétés'', Mir, 1982

=== Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens ===
* {{en}} Theodore Frankel, ''The Geometry of Physics - An Introduction'', Cambridge University Press, 2004, {{2e}} éd. révisée et illustrée {{ISBN|978-0-52153927-2}}
* {{en}} Mikio Nakahara, ''Geometry, Topology and Physics'', Institute of Physics Publishing, 2003, {{2e}} éd. illustrée {{ISBN|978-0-75030606-5}}
* {{en}} Charles Nash et Siddhartha Sen, ''Topology and Geometry for Physicists'', Academic Press, 1983 {{ISBN|978-0-12514080-5}}
* {{en}} [[Yvonne Choquet-Bruhat]] et [[Cécile DeWitt-Morette]], ''Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics'', North-Holland, {{2e|édition}} révisée, 1989 {{ISBN|978-0-44486017-0}}

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://planetmath.org/fiberbundle Fiber bundle], sur [[Planetmath]]
* {{MathWorld|nom_url=FiberBundle|titre=Fiber Bundle}}

{{Portail|mathématiques|physique}}

[[Catégorie:Topologie différentielle]]
[[Catégorie:Géométrie différentielle]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]