Voir la source de Fonction de Tchebychev

<!---
[[Image:ChebyshevPsi.png|thumb|right|La fonction de Tchebychev {{math|''ψ''(''x'')}}, pour {{math|''x'' < 50}}]]
[[Image:Chebyshev.svg|thumb|right|La fonction {{math|''ψ''(''x'') − ''x''}}, pour {{math|''x'' < 10<sup>4</sup>}}]]
[[Image:Chebyshev-big.svg|thumb|right|La fonction {{math|''ψ''(''x'') − ''x''}}, pour {{math|''x'' < 10<sup>7</sup>}}]]
--->
En [[mathématiques]], la '''fonction de Tchebychev''' peut désigner deux fonctions utilisées en [[théorie des nombres]]. La '''première fonction de Tchebychev''' {{math|''ϑ''(''x'')}} ou {{math|''θ''(''x'')}} est donnée par

:<math>\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \ln p</math>

où la somme est définie sur les [[nombre premier|nombres premiers]] {{mvar|p}} inférieurs ou égaux à {{mvar|x}}.

La '''seconde fonction de Tchebychev''' {{math|''ψ''(''x'')}} est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à &nbsp;{{mvar|x}} :

:<math> \psi(x) = \sum_{p^k\le x}\ln p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p\le x}\left\lfloor\ln_p x\right\rfloor\ln p, </math>

où {{math|Λ}} désigne la [[fonction de von Mangoldt]]. Les fonctions de Tchebychev, notamment la seconde {{math|''ψ''(''x'')}}, sont souvent utilisées dans des résultats sur les nombres premiers, car elles sont plus simples à utiliser que la [[fonction de compte des nombres premiers]], {{math|π(''x'')}} (voir [[#La formule exacte|la formule exacte]], plus bas). Les deux fonctions de Tchebychev sont asymptotiquement équivalentes à {{mvar|x}}, un résultat similaire au [[théorème des nombres premiers]].

Les deux fonctions sont nommées d'après [[Pafnouti Tchebychev]].

== Relations ==
La seconde fonction de Tchebychev peut être liée à la première comme suit :

:<math>\psi(x)=\sum_{p\le x}k \ln p</math>

où {{mvar|k}} est l'unique entier tel que {{math|''p''<sup>''k''</sup> ≤ ''x''}} et {{math|''x'' < ''p''<sup>''k'' + 1</sup>}}. Les valeurs de {{mvar|k}} sont données dans la suite {{OEIS2C|id=A206722}}. Une relation plus directe est donnée par

:<math>\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \vartheta \left(x^\frac{1}{n}\right).</math>

On remarque que la dernière somme a seulement un nombre fini de termes non-nuls :
:<math>\vartheta \left(x^\frac{1}{n}\right) = 0\quad \text{pour}\quad n>\log_2 x\ = \frac{\ln x}{\ln 2}.</math>

La seconde fonction de Tchebychev est le logarithme du [[plus petit commun multiple]] des entiers de 1 à {{mvar|n}}.

:<math>\operatorname{ppcm}(1,2,\dots, n)={\rm e}^{\psi(n)}.</math>

Les valeurs de {{math|ppcm(1,2,...,''n'')}} pour un entier {{mvar|n}} sont données par {{OEIS2C|id=A003418}}.

== Équivalents asymptotiques et bornes ==
On connait les bornes suivantes pour les fonctions de Tchebychev<ref name="Dusart1999">{{article|auteur=Pierre Dusart|titre=Sharper bounds for {{mvar|ψ}}, {{mvar|θ}}, {{mvar|π}}, {{math|''p''<sub>''k''</sub>}}|périodique=Rapport de recherche no. 1998-06|lieu=Université de Limoges|année=1998}}.  Une version abrégée existe sous le nom {{article|titre=The {{math|''k''}}th prime is greater than {{math|''k''(ln ''k'' + ln ln ''k'' − 1)}} for {{math|''k'' ≥ 2}}|périodique=Mathematics of Computation|volume=68|numéro=225|année=1999|pages=411-415}}</ref>{{,}}<ref name=Dusart2010>{{article|auteur=[[Pierre Dusart]]|titre=Estimates of some functions over primes without R.H.|année=2007|périodique=Mathematics Subject Classiﬁcation|arxiv=1002.0442}}</ref> (dans ces formules {{math|''p''<sub>''k''</sub>}} est le {{mvar|k}}-ème nombre premier : {{math|''p''<sub>1</sub> {{=}} 2}}, {{math|''p''<sub>2</sub> {{=}} 3}}, etc.)

:<math>\begin{align}
\vartheta(p_k)&\ge k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2,050735}{\ln k}\right)&& \text{pour }k\ge 10^{11}, \\[8px]
\vartheta(p_k)&\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right)&& \text{pour }k \ge 198, \\[8px]
|\vartheta(x)-x|&\le0,006788\frac{x}{\ln x}&& \text{pour }x \ge 10\,544\,111, \\[8px]
|\psi(x)-x|&\le 0,006409\frac{x}{\ln x}&& \text{pour } x \ge e^{22},\\[8px]
0,9999\sqrt x&<\psi(x)-\vartheta(x)<1,00007\sqrt x+1,78\sqrt[3]x&& \text{pour }x\ge121.
\end{align}</math>

De plus, sous l'[[hypothèse de Riemann]],

:<math>\begin{align} |\vartheta(x)-x|&=O\left(x^{\frac12+\varepsilon}\right) \\ |\psi(x)-x|&=O\left(x^{\frac12+\varepsilon}\right) \end{align}</math>

pour tout {{math|''ε'' > 0}}.

Des bornes supérieures existent pour {{math|''ϑ''(''x'')}} et {{math|''ψ''(''x'')}} telles que<ref>{{article
  | nom =  Rosser
  | prénom = J. Barkley
  | author-link1 = J. Barkley Rosser
  | nom2 =  Schoenfeld
  | prénom2 = Lowell
  | author-link2 = Lowell Schoenfeld
  | titre = Approximate formulas for some functions of prime numbers.
  | journal = Illinois J. Math.
  | année = 1962
  | volume = 6
  | pages = 64–94.  
  | url = http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm/1255631807}}</ref>{{,}}<ref name="Dusart2010"/> 

:<math>\begin{align} \vartheta(x)&<1,000028 x \\ \psi(x)&<1,03883 x \end{align}</math>

pour tout {{math|''x'' > 0}}.

Une explication de la constante 1,03883 est donnée par {{OEIS2C|id=A206431}}.

== La formule exacte ==
En 1895, [[Hans Carl Friedrich von Mangoldt]] a prouvé<ref name="Dav104">{{ouvrage|auteur=Harold Davenport|année=2000|lire en ligne=https://books.google.com/books?vid=ISBN0387950974&id=U91lsCaJJmsC&pg=PA104&lpg=PA104|titre=Multiplicative Number Theory|éditeur=Springer|pages=104|isbn=0-387-95097-4}}</ref> une expression explicite pour {{math|''ψ''(''x'')}} comme une somme sur les zéros non triviaux de la [[fonction zeta de Riemann]] :

: <math> \psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \ln (1-x^{-2}). </math>

(La valeur numérique de {{math|{{sfrac|''ζ′''(0)|''ζ''(0)}}}} est {{math|ln(2π)}}.) Ici, {{mvar|ρ}} parcourt les zéros non triviaux de la fonction zêta, et {{math|''ψ''<sub>0</sub>}} est égale à {{mvar|ψ}}, sauf en ces points de discontinuités (les puissances premières), où elle prend la valeur moyenne entre les valeurs haute et droite :

: <math> \psi_0(x) 
= \tfrac12\left( \sum_{n \leq x} \Lambda(n)+\sum_{n < x} \Lambda(n)\right)
=\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px]
\psi(x) & \mbox{sinon.} \end{cases}</math>

De la [[série de Taylor]] pour le [[logarithme]], le dernier terme dans la formule explicite peut être écrit comme la somme de {{math|{{sfrac|''x<sup>ω</sup>''|''ω''}}}} sur les zéros triviaux de la fonction zêta, {{math|''ω'' {{=}} −2, −4, −6, ...}}, i.e.

: <math> \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = -\tfrac{1}{2} \ln \left( 1 - x^{-2} \right). </math>

De même, le premier terme, {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|''x''<sup>1</sup>|1}}}}, correspond au [[Pôle (mathématiques)|pôle]] simple de la fonction zêta en 1. 

== Propriétés ==
Un théorème d'[[Erhard Schmidt]] affirme que, pour une constante positive explicite {{mvar|K}}, il y a un nombre infini d'entiers naturels {{mvar|x}} tels que
:<math>\psi(x)-x < -K\sqrt{x}</math>

et un nombre infini d'entiers naturels {{mvar|x}} tels que<ref name="Sch03">{{article|auteur1=Erhard Schmidt|titre=Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze|périodique=Mathematische Annalen|volume=57|année=1903|pages=195-204}}</ref>{{,}}<ref name="Hard16"/>

:<math>\psi(x)-x > K\sqrt{x}.</math>

En [[notation de Landau]], on peut l'écrire sous la forme
:<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\right).</math>

[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] et [[John Edensor Littlewood|Littlewood]]<ref name="Hard16">{{article|auteur1=G .H. Hardy|auteur2=J. E. Littlewood|titre=Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes|périodique=Acta Mathematica|volume=41|année=1916|pages=119-196}}.</ref> ont trouvé le résultat suivant, plus précis :

:<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\ln\ln\ln x\right).</math>

==Relation aux primorielles==

La première fonction de Tchebychev est le logarithme de la [[primorielle]] de {{mvar|x}}, noté {{math|''x''#}}:

:<math>\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \ln p=\ln \prod_{p\le x} p = \ln \left(x\#\right).</math>

On prouve ainsi que le primoriel {{math|''x''#}} est asymptotiquement égal à {{math|e<sup>(1 + ''o''(1))''x''</sup>}}, et avec le théorème des nombres premiers, on peut déduire le comportement asymptotique de {{math|''p''<sub>''n''</sub>#}}.

==Relation à la fonction de compte==
La fonction de Tchebychev peut être reliée à la fonction de compte des nombres premiers. Si on pose
: <math> \Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\ln n}. </math>

Alors
: <math> \Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{\mathrm{d}t}{t \log^2 t} + \frac{1}{\ln x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, \mathrm{d}t}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\ln x}. </math>

La transition de {{math|Π}} à la [[fonction de compte des nombres premiers|fonction de compte]], {{math|π}}, est obtenue à l'équation

: <math> \Pi(x) = \pi(x) + \frac{1}{2} \pi(\sqrt x) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3] x\right) + \cdots </math>

Puisque {{math|π(''x'') ≤ ''x''}}, pour l'approximation, cette dernière relation peut être réécrite

: <math> \pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt x\right). </math>

== L'hypothèse de Riemann ==
L'[[hypothèse de Riemann]] affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta ont pour partie réelle {{sfrac|1|2}}. Dans ce cas, {{math|{{!}}''x<sup>ρ</sup>''{{!}} {{=}} {{sqrt|''x''}}}}, et elle peut être décrite par

: <math>\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\left(\sqrt x \ln^2 x\right).</math>

De l'égalité, on déduit :
: <math> \pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\left(\sqrt x \ln x\right). </math>

De bonnes preuves de la véracité de l'hypothèse viennent du fait proposé par [[Alain Connes]] et d'autres, que si on différencie la formule de von Mangoldt par rapport à {{mvar|x}}, on a {{math|''x'' {{=}} e<sup>''u''</sup>}}. Par des calculs, on obtient la formule de trace de l'exponentielle de l'opérateur hamiltonien satisfaisant :

: <math>\left. \zeta\left(\tfrac12+{\rm i} \hat H \right)\right|n \ge \zeta\left(\tfrac12+{\rm i}E_{n}\right)=0, </math>
et
:<math> \sum_n {\rm e}^{{\rm i}u E_{n}}=Z(u) = {\rm e}^\frac{u}{2}-{\rm e}^{-\frac{u}{2}} \frac{{\rm d}\psi _0}{{\rm d}u}-\frac{{\rm e}^\frac{u}{2}}{{\rm e}^{3u}-{\rm e}^u} = \operatorname{Tr}\left({\rm e}^{{\rm i}u\hat H }\right),</math>

où la somme trigonométrique peut être considérée comme la trace de l'opérateur {{math|e<sup>i''uĤ''</sup>}} (en [[mécanique statistique]]), qui n'est vrai que si {{math|''ρ'' {{=}} {{sfrac|1|2}} + i''E''(''n'')}}.

Par une approche semi-classique, le potentiel de {{math|''H'' {{=}} ''T'' + ''V''}} satisfait :

:<math> \frac{Z(u)u^\frac12}{\sqrt \pi }\sim \int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{{\rm i} \left(uV(x)+ \frac{\pi}{4} \right)}\,{\rm d}x </math>

avec {{math|''Z''(''u'') → 0}} si {{math|''u'' → ∞}}.

Des solutions de cette équation intégrale non linéaire peuvent être obtenues (entre autres) par
:<math>V^{-1} (x) \approx \sqrt {4\pi}\cdot \frac{{\rm d}^\frac12}{{\rm d}x^\frac12} N(x) </math>
pour obtenir l'inverse du potentiel:
:<math> \pi N(E) = \operatorname{arg} \xi \left(\tfrac12+{\rm i}E\right). </math>

== Fonction de lissage ==
<!---
[[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|The difference of the smoothed Chebyshev function and {{math|{{sfrac|''x''<sup>2</sup>|2}}}} 
for {{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}]]
--->
La '''fonction de lissage''' est définie par

:<math>\psi_1(x)=\int_0^x \psi(t)\,{\rm d}t.</math>

On peut montrer que
:<math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>

== Formulation variationnelle ==

La fonction de Tchebychev en {{math|''x'' {{=}} e<sup>''t''</sup>}} minimise la fonctionnelle

:<math> J[f]=\int_{0}^{\infty}\frac{f(s)\zeta' (s+c)}{\zeta(s+c)(s+c)}\,{\rm d}s-\int_{0}^{\infty}\!\!\!\int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-st}f(s)f(t)\,{\rm d}s\,{\rm d}t, </math>

ainsi

:<math> f(t)= \psi \left({\rm e}^t\right){\rm e}^{-ct} \quad\text{pour  } c > 0.</math>

==Notes==
{{Traduction/Référence|en|Chebyshev function|854628985}}
{{Références}}

==Références==
* {{ouvrage|auteur1=Tom M. Apostol|année=1976|titre=Introduction to analytic number theory|collection=Undergraduate Texts in Mathematics|lieu=New York-Heidelberg|éditeur=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90163-3}}

== Liens externes==
* {{mathworld|nom_url=ChebyshevFunctions|titre=Chebyshev functions}}
* {{planetmath reference|id=4020|title=Mangoldt summatory function}}
* {{planetmath reference|id=4573|title=Chebyshev functions}}
* [http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html Riemann's Explicit Formula], avec images et animations

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Fonction arithmétique]]
[[Catégorie:Fonction remarquable|Tchebychev]]