Voir la source de Fonction puissance

En [[mathématiques]], et plus spécialement en [[analyse (mathématiques)|analyse]], les '''fonctions puissances''' sont les fonctions {{mvar|f{{ind|a}}}} définies par 
: <math>f_a : x \mapsto x^a</math>
où {{mvar|a}} peut désigner un entier naturel, un entier relatif, un réel voire un complexe que l'on appelle l'exposant de la fonction puissance. Selon la nature de {{mvar|a}}, l'ensemble de définition de la fonction {{mvar|f{{ind|a}}}} peut changer.

Définie en général comme fonction de la variable réelle, on peut la trouver dans certains cas comme fonction complexe. Les fonctions puissances à exposant entier servent de base dans la construction des [[fonction polynomiale|fonctions polynomiales]] et dans les [[série entière|développements en séries]]. Les fonctions puissances à exposant réel servent à modéliser des relations tant en physique qu'en biologie ou en économie.

== Fonction de la variable réelle ==
=== Exposant entier naturel ===
[[Fichier:Puissance entière.svg|thumb|upright=1.5|Fonctions puissances pour un exposant 0 (noir), 1 (bleu), 2 (rouge), 3 (vert), 4 (orange), 5 (violet).]]
Ce sont les fonctions définies sur ℝ par 
:<math> f_n(x)= x^n= \underbrace{x \times \cdots \times x}_n.</math>
Pour {{mvar|n}} pair, la fonction associée est [[parité d'une fonction|paire]], c'est-à-dire que, pour tout réel {{mvar|x}}, {{math|''f''(–''x'') {{=}} ''f''(''x'')}}, et la courbe représentative possède l'axe des ordonnées comme [[Symétrie (transformation géométrique)|axe de symétrie]].

Pour {{mvar|n}} impair, la fonction est [[Parité d'une fonction|impaire]], c'est-à-dire que, pour tout réel {{mvar|x}}, {{math|''f''(–''x'') {{=}} –''f''(''x'')}}, et la courbe représentative possède le point O comme [[Symétrie (transformation géométrique)|centre de symétrie]].

Les premières valeurs de ''n'' correspondent à des [[Fonction de référence|fonctions de référence]] : 
* pour {{math|''n'' {{=}} 1}}, il s'agit de la fonction linéaire {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''}} ;
* pour {{math|''n'' {{=}} 2}}, il s'agit de la fonction carré ;
* pour {{math|''n'' {{=}} 3}}, il s'agit de la fonction cube ;
* le cas {{math|''n'' {{=}} 0}} est à étudier de près : par convention, on dira que la fonction ''x ''↦ ''x''{{exp|0}} est la fonction constante 1.

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses entre –1 et 1, et plus sa pente est raide en dehors de cet intervalle. En particulier, si {{math|''m'' < ''n''}}, alors pour tout {{mvar|x}} de l'intervalle {{math|]0&nbsp;;&nbsp;1[}}, {{math|''x{{exp|n}}'' < ''x{{exp|m}}''}} et pour tout {{mvar|x}} supérieur à 1, {{math|''x{{exp|n}}'' > ''x{{exp|m}}''}}.

La fonction constante 1 étant mise à part, les fonctions puissances sont toutes strictement croissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours plus l'infini et leur valeur en 0 est toujours 0. Pour un exposant strictement supérieur à 1, la courbe possède, en plus l'infini et en moins l'infini, une [[branche parabolique]] d'axe {{math|(''Oy'')}}. Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est décroissante, et le cas des exposants impairs, pour lesquels la fonction est strictement croissante. Si l'exposant est impair et différent de 1, la courbe possède un [[point d'inflexion]] à l'origine.

Une fonction puissance est toujours dérivable sur {{math|ℝ}}. Si l'exposant est nul, la dérivée de {{mvar|f}} est nulle ; sinon, [[Opérations sur les dérivées#Produit, inverse et quotient|sa fonction dérivée est]] : 
{{retrait|<math>f'_n(x) = nx^{n-1}</math>.}}
Ceci peut se démontrer par exemple en revenant à la définition du [[Dérivée|nombre dérivé]] et en utilisant le [[Formule du binôme de Newton|binôme de Newton]].

Enfin, une telle fonction possède toujours des [[primitive]]s définies par 
:<math>F_n(x)=\frac 1{n+1}x^{n+1} +\rm{Cste}.</math>

Les fonctions puissances à exposant entier servent à construire les [[fonction polynomiale|fonctions polynomiales]]. On les retrouve aussi dans le développement en [[série entière]] des autres fonctions.

=== Exposant entier négatif ===
[[Fichier:Puissance inverse.svg|thumb|upright=1.5|Fonctions puissances pour un exposant –1 (bleu), –2 (rouge), –3 (vert).]]
Ce sont les fonctions définies sur {{math|ℝ*}} par 
{{retrait|<math> f_{-n}(x)= x^{-n}=\frac 1{x^n}=\frac1{f_n(x)}. </math>}}
[[#Exposant entier naturel|De même que {{math|''f{{ind|n}}''}}]], la fonction {{math|''f{{ind|–n}}''}} est paire pour {{mvar|n}} pair et impaire pour {{mvar|n}} impair.

La première valeur de {{mvar|n}} correspond à une fonction de référence : 
* pour {{math|''n'' {{=}} 1}}, il s'agit de la fonction inverse. C'est la seule des fonctions puissances dont la représentation graphique donne une [[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]].

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses avant –1 et après 1, et plus sa pente est raide dans les intervalles {{math|]–1&nbsp;;&nbsp;0[}} et {{math|]0&nbsp;;&nbsp;1[}}. En particulier, si {{math|''m'' < ''n''}} alors, pour tout {{mvar|x}} de l'intervalle {{math|]0&nbsp;;&nbsp;1[}}, {{math|''x{{exp|–n}}'' > ''x{{exp|–m}}''}} et pour tout {{mvar|x}} supérieur à 1, {{math|''x{{exp|–n}}'' < ''x{{exp|–m}}''}}.

Ces fonctions puissances sont toutes strictement décroissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours 0 et leur limite en 0 par valeurs positives est toujours plus l'infini. La courbe possède donc deux asymptotes, d'équations {{math|''x'' {{=}} 0}} et {{math|''y'' {{=}} 0}}. Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est croissante, et le cas des exposants impairs, pour lesquels la fonction est strictement décroissante. 

Une telle fonction puissance est toujours dérivable sur {{math|ℝ*}} :
{{retrait|<math>f'_{-n}(x) =-nx^{-n-1}= -\frac n{x^{n+1} }. </math>}}

En effet,
{{retrait|<math>f_{-n}'(x) = \left( \frac{1}{f_n} \right)'(x) = - \frac{f_n'(x)}{f_n^2(x)} = - \frac{nx^{n-1}}{(x^n)^2} = - \frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = - n x^{n-1-2n} = - nx^{-n-1}. </math>}}

Une telle fonction possède toujours des primitives définies sur {{math|]–∞&nbsp;,&nbsp;0[}} ou sur {{math|]0&nbsp;,&nbsp;∞[}} par 
{{retrait|<math>F_{-n}(x)=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C = -\frac1{(n-1)x^{n-1}} + C, \quad C \in\mathbb R</math> pour ''n'' différent de 1}}
ou par
{{retrait|<math>F_{-1}(x)= \ln(|x|) + C, \quad C \in\R. </math>}}

=== Racines ''n''-ièmes ===
{{Article détaillé|Racine d'un nombre}}
[[Fichier:Racine nieme.svg|thumb|upright=1.5|Fonctions puissances pour un exposant 1/2 (bleu), 1/3(rouge).]]
Pour tout entier naturel non nul, la fonction {{math|''f{{ind|n}}''}} est une bijection
* de {{math|[0, +∞[}} sur {{math|[0, +∞[}} si ''n'' est pair
* de ℝ sur ℝ si ''n'' est impair

La réciproque s'appelle la racine ''n''-ième, et peut aussi s'écrire sous forme de puissance :
{{retrait|<math>f_n^{-1}(x)=\sqrt[n]{x} = x^{1/n}. </math>}}

Sa limite en {{math|+∞}} est toujours {{math|+∞}} mais la courbe est tournée vers l'axe des abscisses. On parle alors de branche parabolique d'axe ''Ox''. Dans un repère orthonormal, la courbe représentative de {{math|''f''{{ind|1/''n''}}}} est symétrique de celle de {{math|''f{{ind|n}}''}} (restreinte éventuellement à {{math|[0, +∞[}}) par rapport à la droite d'équation {{math|''y'' {{=}} ''x''}}.

Cette fonction est dérivable sur son ensemble de définition sauf en 0 où la courbe possède pour tangente l'axe des ordonnées. La dérivée de {{math|''f''{{ind|1/''n''}}}} se calcule à l'aide de la [[Opérations sur les dérivées#Bijection réciproque|dérivée de la fonction réciproque]] et s'exprime par :
{{retrait|<math>f_{1/n}'(x)=\frac 1n \frac 1x x^{1/n}. </math>}}
{{Démonstration|
Le théorème de la dérivée de la réciproque assure que
:<math> f_{1/n}'=\frac 1{f_n'\circ f_{1/n}}</math>
en tout point où <math>f_n'\circ f_{1/n}</math> ne s'annule pas. Donc pour tout {{mvar|x}} non nul, 
:<math> f_{1/n}'(x)=\frac1{n(x^{1/n})^{n-1}}=\frac 1n \frac{x^{1/n}}{(x^{1/n})^n}= \frac 1n \frac 1x x^{1/n}. </math>
}}
Elle possède sur son ensemble de définition des primitives définies par 
: <math>F_{1/n}(x)=\frac n{n+1}x\cdot x^{1/n} + {\rm Cste}. </math>

=== Exposant réel ===
[[Fichier:Puissance reelle.svg|thumb|300 px|Fonctions puissances pour un exposant -0,5 (rouge), 0 (noir), 0,6 (vert), 1(bleu), 1,7 (violet)]]
==== Étude générale ====
Grâce aux fonctions [[fonction exponentielle|exponentielle]] et [[Logarithme naturel|logarithme]], on peut généraliser les fonctions puissances à tout exposant {{mvar|a}} réel. Pour tout réel {{mvar|x}} strictement positif, la fonction {{mvar|f{{ind|a}}}} est alors définie par:
: <math>f_a(x)=x^a = {\rm e}^{a\ln(x)}</math>

Selon les valeurs de {{mvar|a}}, elle est parfois prolongeable par continuité en 0 (voire à {{math|ℝ*}} ou {{math|ℝ}} (cf supra)). Selon les valeurs de {{mvar|a}}, le prolongement peut ou non être dérivable en 0. le sens de variation dépend du signe de {{mvar|a}}.

La [[fonction convexe|convexité]] d'une fonction est liée au signe de sa dérivée seconde. Ici la convexité d'une fonction puissance est liée au signe de {{math|''a''(''a''–1)}}.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:60%;"
|+ Tableau récapitulatif
|-
! scope=col | Valeur de a
! scope=col | Prolongeable en 0
! scope=col | Dérivable en 0
! scope=col | Sens de variation
! scope=col | Comportement à l'infini
! scope=col | Convexité
|-
! scope=row | {{math|''a'' < 0}}
|non
|non
|décroissante
|asymptote d:y = 0
|convexe
|-
! scope=row | {{math|''a'' {{=}} 0}}
|oui
|oui
|constante
|confondue avec d:y=1
|droite
|-
! scope=row | {{math|0 < ''a'' < 1}}
|oui
|non
|croissante
|branche parabolique d'axe Ox
|concave
|-
! scope=row | {{math|''a'' {{=}} 1}}
|oui
|oui
|croissante
|confondue avec d:y=x
|droite
|-
! scope=row | {{math|''a'' > 1}}
|oui
|oui
|croissante
|branche parabolique d'axe Oy
|convexe
|}

==== Dérivée et primitive ====
La fonction puissance est toujours dérivable sur {{math|]0&nbsp;;&nbsp;+∞[}} et sa dérivée s'exprime toujours sous la forme 
:<math> f_a'(x)=ax^{a-1}</math>

Pour un exposant {{mvar|a}} différent de -1, elle possède toujours des primitives sur ce même intervalle définies par
: <math>F_a(x)=\frac{x^{a+1}}{a+1}</math>
Pour l'exposant –1, on retrouve comme primitive la fonction logarithme népérien appelé aussi parfois logarithme hyperbolique en référence à l'aire sous l'hyperbole représentant la fonction inverse.

==== Croissances comparées ====
{{Article détaillé|Théorème des croissances comparées}}
Les fonctions logarithmes et exponentielle de base {{math|''b'' > 1}} et les fonctions puissances d'exposant {{math|''a'' > 0}} ont toutes une limite infinie en {{math|+∞}}. Il est donc intéressant de définir leur ''force'' respective et de comparer leur croissance.

On démontre qu'en {{math|+∞}}, l'exponentielle est toujours ''plus forte'' que la puissance et cette dernière est toujours ''plus forte que le logarithme''.

Cela signifie que pour tout {{math|''b'' > 1}} et tout {{math|''a'' > 0}},
: <math>\lim_{x \to + \infty} \frac {b^x}{x^a}=+ \infty\quad{\rm et}\quad\lim_{x \to + \infty} \frac {\log_b(x)}{x^a}=0.</math>

==== Infiniment petit et fonction höldérienne ====
{{Ancre|Infiniment petit et fonction lipschitzienne}}
{{Voir|Condition de Hölder}}
Pour {{mvar|a}} strictement positif, on a <math> \lim_{x \to 0}{f_a(x)}=0</math>. On peut dès lors chercher à comparer la force de cette convergence avec la force de convergence d'autres fonctions.

Ainsi on dira que {{math|''f''}} est un infiniment petit d'ordre supérieur ou égal à ''n'' au voisinage de 0 si <math>\frac{f(x)}{x^n}</math> est borné sur un intervalle ouvert contenant 0<ref>[[Jacqueline Lelong-Ferrand]] et [[Jean-Marie Arnaudiès]], ''Cours de mathématiques, T2'', [[Éditions Bordas|Bordas]], Paris, 1977, {{p.|147}}.</ref>{{,}}<ref>On trouve aussi, {{refinc|date=mars 2016|chez [[Paul Appell]]}} : {{math|''f''}} est un infiniment petit d'ordre {{mvar|a}} si <math>A < \left|\frac{f(x)}{x^a}\right| < B</math> au voisinage de 0, ou bien encore, de manière plus restrictive, {{math|''f''}} est un infiniment petit d'ordre {{mvar|a}} si <math>\frac{f(x)}{x^a}</math> possède une limite en zéro ni nulle, ni infinie (Evgeny Chikine, ''Mathématiques supérieures, pour ingénieurs et polytechniciens'').</ref>.

On dit que {{math|''f''}} est [[Condition de Hölder|{{mvar|a}}-höldérienne]] sur un intervalle {{math|''I''}} s'il existe un réel {{math|''M''}} tel que, pour tous réels {{mvar|x}} et {{mvar|y}} de {{mvar|I}},
: <math>|f(x) - f(y)|\le M|x - y|^a.</math>
En général, on prend {{mvar|a}} compris entre 0 et 1 car si {{mvar|a}} est strictement supérieur à 1, cette condition conduit à dire que {{math|''f''}} est constante sur {{math|''I''}}.

La fonction puissance d'exposant {{mvar|a}}, pour {{math|0 < ''a'' ≤ 1}}, est l'exemple le plus simple de fonction {{mvar|a}}-höldérienne. En effet, pour tous réels {{math|''x'' ≥ ''y'' ≥ 0}},
: <math>0\le x^a-y^a \le(x-y)^a</math><ref>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités|cet exercice corrigé|début=Voir par exemple}}</ref>.

==== Fonction à rapport constant ====
{{Théorème|1=Une fonction {{math|''f'' : ]0, +∞[ → ℝ}}, non [[Fonction nulle|identiquement nulle]] et continue en au moins un point, vérifie l'[[équation fonctionnelle]] {{math|1=''f''(''xy'') = ''f''(''x'')''f''(''y'')}} si et seulement si elle est de la forme {{math|''x'' ↦ ''x{{exp|a}}''}} pour un certain réel {{mvar|a}}.}}

{{Démonstration|
Soit {{math|''f'' : ]0, +∞[ → ℝ}} vérifiant {{math|1=''f''(''xy'') = ''f''(''x'')''f''(''y'')}}, non nulle en au moins un point {{math|''u''}} et continue en au moins un point {{math|''v''}}.
*{{math|''f''}} est non nulle en tout point {{math|''x''}} car {{math|1=''f''(''x'')''f''(''u''/''x'') = ''f''(''u'') ≠ 0}}.
*{{math|''f''}} est à valeurs positives car {{math|''f''(''x'')}} est le carré de {{math|1=''f''({{sqrt|''x''}})}}.
*{{math|''f''}} est continue en tout point {{math|''x''}} car quand {{math|''h'' → 0}}, {{math|1=''f''(''x + h'') = ''f''(''x''/''v'') ''f''(''v + hv''/''x'') → ''f''(''x''/''v'') ''f''(''v'') = ''f''(''x'')}}.
*La fonction continue {{math|1=''g'' = ln ∘ ''f'' ∘ exp : ℝ → ℝ}} vérifie l'[[équation fonctionnelle de Cauchy]] : {{math|1=''g''(''s'' + ''t'') = ''g''(''s'') + ''g''(''t'')}} donc c'est l'[[homothétie]] de rapport {{math|1=''a = g''(1)}}. Ainsi, {{math|1=''f''(e{{exp|''s''}}) = e{{exp|''as''}}}}, c'est-à-dire {{math|1=''f''(''x'') = ''x''{{exp|''a''}}}}. Ou plus directement : en posant {{math|1=''a'' = ln ''f''(e)}}, on déduit de l'équation fonctionnelle que {{math|1=''f''(''x'') = ''f''(e{{exp|ln ''x''}}) = (''f''(e)){{exp|ln ''x''}} = e{{exp|''a'' ln ''x''}} = ''x''{{exp|''a''}}}} pour tout {{math|''x'' > 0}} de logarithme rationnel donc (par continuité) pour tout réel {{math|''x'' > 0}}.
}}

Par conséquent, une fonction {{math|''f'' : ]0, +∞[ → ℝ*}} continue en au moins un point est proportionnelle à une fonction puissance si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : des rapports de {{math|''x''}} égaux induisent des rapports de {{math|''f''(''x'')}} égaux, c'est-à-dire :
: <math>\text{si }\frac xy= \frac uv\text{ alors }\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{f(u)}{f(v)}.</math>

==== Développement en série ====
{{Article détaillé|Formule du binôme généralisée}}
La fonction {{mvar|f{{ind|a}}}} est développable en [[série entière]] au voisinage de {{math|''x''{{ind|0}}}} selon la formule
: <math>(x_0+x)^a =\sum_{n=0}^{+{\infty}}{{a \choose n}\, x_0^{a-n}x^n}.</math>
où 
:<math>{a \choose n} = \frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!} \ \textrm{ et } \ {a \choose 0} = 1 </math>
sont des [[coefficient binomial#Généralisations|coefficients binomiaux généralisés]].

On remarque que pour {{mvar|a}} entier naturel, la somme comporte un nombre fini de termes : il s'agit de la [[Formule du binôme de Newton|formule du binôme]]. Le rayon de convergence de cette série est alors infini.

Si {{mvar|a}} n'est pas entier naturel, la somme comporte une infinité de termes et le rayon de convergence est de <math>x_0</math>. Voir aussi [[Fonction hypergéométrique#Cas particuliers]].

== Utilisations ==
La multiplicité des formes de courbes de fonctions puissances en fait de bons candidats pour des modélisations de phénomènes en physique, biologie<ref>André Ross, ''[http://www.clevislauzon.qc.ca/Professeurs/Mathematiques/Rossa/Comp.Maths/Chim03B.pps Fonction puissance et modélisation]'', [[Cégep de Lévis-Lauzon]].</ref>, [[allométrie]] ou économie. Dès que l'on observe que la courbe exprimant y en fonction de x a une allure ressemblant aux courbes précédemment décrites, on peut proposer un modèle de la forme 
: <math>y = Kx^a</math>
Par abus de langage, on parle alors encore de fonctions puissances et l'on écrit que {{mvar|y}} est une fonction puissance de {{mvar|x}}. 

On cherche aussi une modélisation de ce type dès que des rapports égaux entre valeurs de {{mvar|x}} induisent des rapports égaux entre les valeurs de {{mvar|y}}.

Dans cette modélisation, il s'agit de trouver la meilleure valeur de {{mvar|K}} et de {{mvar|a}} modélisant cette relation. On peut chercher {{mvar|a}} sous forme rationnelle, on cherche alors deux entiers {{mvar|p}} et {{mvar|q}} tels que 
: <math>y^q=K'x^p</math>,
où encore deux entiers relatifs ''p{{'}}'' et ''q'' tels 
:<math> y^qx^{p'} = K'</math>.
Pour des courbes de type {{math|''a'' < 1}}, on cherche {{mvar|p{{'}}}} et {{mvar|q}} positifs ; pour des courbes de type {{math|0 < ''a'' < 1}}, on cherche des entiers {{mvar|p{{'}}}} et {{mvar|q}} de signes contraires, l'exposant de {{mvar|y}} étant, en valeur absolue, supérieur à l'exposant de {{mvar|x}}. Enfin, pour {{math|''a'' > 1}}, on cherche des exposants de signes contraires, celui de {{mvar|x}} étant en valeur absolue plus grand que celui de {{mvar|y}}.

[[Fichier:repere loglog2.gif|thumb|upright=2|Période (en millions de secondes) des trajectoires des planètes du [[Système solaire]] en fonction du demi-grand axe (en millions de km).]]

Ainsi par exemple pour mettre en place la troisième [[lois de Kepler|loi de Kepler]], donnant la relation entre le [[Grand axe|demi-grand axe]] de la trajectoire d'une [[planète]] et la période de celle-ci, on peut observer que la courbe donnant la période en fonction du demi-grand axe est du type puissance avec {{math|''a'' > 1}}. À partir du tableau de mesures, 
{| border="1" cellspacing="0"
|-
|align="center" width="100"|'''Planète'''
|align="center" width="100"|'''demi grand axe ''R'' en <math>10^9</math> m'''
|align="center" width="100"|'''période T en <math>10^6s</math> '''
|-
|align="center" width="100"|'''Mercure'''
|align="center" width="100"|57,9
|align="center" width="100"|7,58
|-
|align="center" width="100"|'''Vénus'''
|align="center" width="100"|108,2
|align="center" width="100"|19,36
|-
|align="center" width="100"|'''Terre'''
|align="center" width="100"|149,6
|align="center" width="100"|31,47
|-
|align="center" width="100"|'''Mars'''
|align="center" width="100"|227,9
|align="center" width="100"|59,19
|-
|align="center" width="100"|'''Jupiter'''
|align="center" width="100"|778,3
|align="center" width="100"|373,32
|} 
on cherche donc à vérifier si ''T''/''R''{{2}} ou ''T''{{2}}/''R''{{3}} est constante. La seconde tentative est la bonne et donne une constante d'environ {{math|2,96 × 10{{exp|–4}}}}.

Lorsque la relation est plus compliquée, il est préférable de procéder à un ajustement logarithmique. En effet, si la relation entre {{mvar|y}} et {{mvar|x}} est telle que 
: <math>y=Kx^a</math>
alors il doit exister une relation affine entre ln(''x'') et ln(''y'') :
: <math>\ln(y)=a\ln(x)+\ln(K)</math>
Un [[ajustement affine|ajustement linéaire]] sur le nuage de points (ln(''x''), ln(''y'')) permet alors de retrouver la fonction puissance liant ''x'' et {{mvar|y}}. Si 
:<math>\ln(y) = m\ln(x)+p</math>
alors 
: <math>y= {\rm e}^px^m</math>
Pour vérifier si un ajustement sous forme de fonction puissance est envisageable, il suffit donc de placer le nuage de points dans un [[repère log-log]]. Si les points semblent alignés, un ajustement par une fonction puissance est envisageable.

Dans le domaine économique, les [[courbe de Lorenz|courbes de concentration de Lorenz]] donnent sur l'intervalle [0;1] des courbes que l'on peut modéliser par des fonctions puissances. Cette modélisation est légitime lorsque les phénomènes étudiés suivent tous deux une [[loi de Pareto]]<ref>Marc Barbut, « [http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rfsoc_0035-2969_1984_num_25_4_3847 Note sur quelques indicateurs globaux de l'inégalité : C. Gini, V. Pareto, P. Lévy] », ''Revue de sociologie française'', vol. 25, {{n°|25-4}}, 1984, {{p.|609-622}}.</ref>.

== Fonction de la variable complexe ==
Pour la variable complexe, on peut définir sur <math>\Complex</math>, la fonction <math>z \mapsto z^n</math>, pour tout entier naturel n. Ces fonctions servent à construire les fonctions polynomiales sur <math>\Complex</math> et à construire le développement en série des [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]]. Il est aussi possible de définir sur <math>\Complex^*</math>, la fonction <math>z \mapsto z^n</math>, pour tout entier négatif. 

Mais il n'est pas possible de définir sur <math>\Complex^*</math> de manière univoque {{mvar|z{{exp|a}}}}, où {{mvar|a}} est un complexe ou réel. En effet, il faut se limiter à un ouvert de <math>\Complex^*</math> dans lequel il existe une détermination {{mvar|L}} du [[logarithme complexe]]. Dans un tel ouvert, {{mvar|f{{ind|a}}}} est alors une fonction holomorphe définie par<ref>Noëlle POTTIER, ''Matière et Systèmes Complexes'',«[http://www.msc.univ-paris-diderot.fr/~pottier/page2/files/Chapitre_4.pdf Chap. 4 Fonctions analytiques]», Université Paris 7- Denis Diderot</ref>: 
:<math>f_a(z)=\exp(aL(z))=z^a</math>

== Notes et références==
{{Références}}
== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Puissances
  | wikiversity titre = Puissances
}}

{{Palette|Fonctions mathématiques usuelles}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Fonction remarquable|Puissance]]
[[Catégorie:Fonction de référence|Puissance]]
[[Catégorie:Propriété de fonction|Puissance]]