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En [[mathématiques]], une '''fonction symétrique''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] invariante par [[permutation]] de ses variables. Le cas le plus fréquent est celui d'une [[fonction polynomiale]] symétrique, donnée par un [[polynôme symétrique]].

== Définition ==

Une fonction <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math> en ''n'' variables est ''symétrique'' si pour toute permutation ''s'' de l'ensemble d'indices {1, … ,''n''}, l'égalité suivante est vérifiée :
:<math>f(x_1,\dots,x_n)=f(x_{s(1)},\dots,x_{s(n)}).</math>

Pour ''n'' = 1, toute fonction est symétrique. Pour ''n'' = 2, la fonction <math>(x,y)\mapsto\mathrm e^{xy}</math> est symétrique, alors que la fonction <math>x\operatorname e^y</math> ne l'est pas.

Une équation <math>f(x_1,\ldots,x_n)=0</math> est une ''équation symétrique'' lorsque la fonction <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math> est symétrique.

== Exemples ==
Les fonctions 

:<math>f(x_1,x_2) = x_1 + x_2</math> &nbsp; et &nbsp; <math>f(x_1,x_2) = x_1x_2</math>

sont symétriques. Le [[discriminant]] en trois variables

:<math>f(x_1,x_2,x_3) = ( x_1 - x_2 )^2 ( x_1 - x_3 )^2 ( x_2 - x_3 )^2</math>

est aussi symétrique. Un exemple de fonction symétrique, toujours en trois variables, qui n'est pas un polynôme est

:<math>f(x_1,x_2,x_3) = \max\{ | x_1 - x_2 | , | x_1 - x_3 | , | x_2 - x_3 | \}</math>.

== Vérification ==
Pour vérifier qu'une fonction est symétrique, il n'est pas nécessaire de tester qu'elle est invariante pour chacune des ''n''! permutations de ses arguments. Il suffit de choisir un ensemble de permutations qui [[groupe symétrique#Générateurs du groupe symétrique|engendre le groupe symétrique]], et l'on a plusieurs choix pour de tels ensembles.

=== Échanges de deux variables ===
Comme toute permutation est une [[composition de fonctions|composée]] de transpositions de la forme <math>(i, j)</math>, une fonction est symétrique dès qu'elle reste inchangée par l'échange de deux variables arbitraires <math>x_i</math> et <math>x_j</math>, donc lorsque

:<math>f(\dotsc , x_i , \dotsc , x_j, \dotsc) = f(\dotsc , x_j , \dotsc , x_i, \dotsc)</math>

pour tout <math>i,j \in \{ 1, \ldots , n \}</math> avec <math>i < j</math>. Ceci réduit le nombre de permutations à tester à <math>n^2</math>.

=== Échanges de variables consécutives ===
Comme toute transposition s'exprime aussi comme une composée de transpositions de valeurs consécutives de la forme <math>(i, i+1)</math>, il suffit de considérer des variables consécutives <math>x_i</math> et <math>x_{i+1}</math>. Pour la symétrie, il suffit que les ''n'' – 1 égalités 

:<math>f(\dotsc , x_i , x_{i+1}, \dotsc) = f(\ldots , x_{i+1} , x_i, \dotsc)</math>

valent pour <math>i=1, \ldots , n-1</math>.

=== Échanges avec une variable fixée ===
On peut aussi bien considérer les transpositions de la forme <math>(1, i)</math>. Une fonction est alors symétrique lorsque l'on peut échanger la première et la <math>i</math>-ème variable sans changer la valeur de la fonction, en d'autres termes, lorsque 

:<math>f(x_1 , \dotsc , x_i, \dotsc) = f(x_i , \dotsc , x_1, \dotsc)</math>

pour <math>i=2, \ldots , n</math>. À la place de la première variable, on peut choisir toute autre variable.

=== Critère minimal ===
Un ensemble générateur du groupe symétrique <math>S_n</math> est formé des deux permutations <math>(1, 2, \ldots, n)</math> et <math>(1 , 2)</math>. Il suffit donc, pour qu'une fonction soit symétrique, qu'elle vérifie seulement les deux égalités

:<math>f(x_1, x_2, \dotsc , x_n) = f(x_2, \ldots , x_n, x_1)</math>
et
:<math>f(x_1, x_2, \dotsc , x_n) = f(x_2, x_1, \ldots , x_n)</math>.
La paire formée de <math>(1, 2, \ldots, n)</math> et <math>(1 , 2)</math> peut aussi être remplacée par n'importe quelle [[permutation circulaire]] et toute transposition d'éléments consécutifs dans ce cycle. 

== Propriétés ==
Lorsque les fonctions sont à valeurs réelles ou complexes, les fonctions symétriques forment une sous-algèbre de l'algèbre des fonctions à ''n'' variables, c'est-à-dire :
* la somme de deux fonctions symétriques est encore une fonction symétrique ;
* le produit de deux fonctions symétriques est encore une fonction symétrique.

Toute [[fraction rationnelle]] symétrique (sur un [[corps commutatif]]) est le quotient de deux polynômes symétriques.
{{Démonstration|
Soit <math>F=\frac PQ\in K(X_1,\dots,X_n)</math> une fraction rationnelle symétrique.

Pour toute permutation <math>s\in S_n</math>, notons <math>Q^s(X_1,\dots,X_n)=Q(X_{s(1)},\dots,X_{s(n)})</math>.

Le polynôme <math>D:=\prod_{s\in S_n}Q^s</math> est symétrique donc <math>N:=FD</math> (qui est un polynôme) l'est aussi, et <math>F=\frac ND</math>.
}}

== Symétrisation ==
Sur un corps de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] 0, la symétrisation est la sommation d'une fonction sur toutes les permutations possibles de variables, pondérée par ''n''!. C'est l'expression

:<math>Sf(x_1, \dotsc , x_n) = \frac{1}{n!}\sum_{s \in S_n} f(x_{s(1)}, \dotsc , x_{s(n)})</math>.

Par construction, la fonction <math>Sf</math> est symétrique. L'opérateur de symétrisation <math>S</math> est une [[Projecteur (mathématiques)|projection]] de l'[[Espace vectoriel|espace]] des fonctions sur le [[Sous-espace vectoriel|sous-espace]] des fonctions symétriques.

== Extensions ==
Le [[théorème fondamental des polynômes symétriques]], ou théorème de [[Isaac Newton|Newton]], affirme que tout polynôme symétrique est un polynôme en les [[Polynôme symétrique élémentaire|polynômes symétriques élémentaires]] ; il s'étend aux [[Série formelle|séries formelles]]<ref>{{Ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique|Algèbre]]|sous-titre=chapitres 4 à 7|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2007|url={{Google Livres|Dc-TU2Iub6sC|page=57}}|page=IV.57 et suivantes}}.</ref>. Des résultats analogues sont valables pour des [[Continuité (mathématiques)|fonctions continues]], des [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]] et des [[Classe de régularité|fonctions lisses]] (fonctions <math>C^\infty</math>). On a 
:<math>f(x_1,\ldots, x_n)=g(\sigma_1(x_1,\ldots, x_n),\ldots,\sigma_n(x_1,\ldots, x_n))</math>,
où les <math>\sigma_i</math> sont les fonctions symétriques élémentaires<ref>{{article|prénom=Georges|nom=Glaeser|titre=Fonctions composées différentiables|journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]]|numéro=2|volume=77|année=1963|pages=193-209|math reviews= 0143058 |zbl=0106.31302}}.</ref>. 

Plus généralement, soit <math>G</math> un [[groupe compact]] opérant linéairement sur <math>\R^n</math>, et soient <math>\rho_1,\ldots, \rho_m</math> des opérateurs homogènes générateurs de l'anneau des invariants <math>\R[x_1,\dotsc,x_n]^G</math>. Soit <math>\rho:\R^n\to\R^m</math> l'application <math>x\mapsto(\rho_1(x),\dotsc,\rho_m(x))</math> correspondante. Alors l'application
:<math>\rho^*:C^\infty(\R^m)\to C^\infty(\R^n)^G</math>
est surjective<ref>{{article|lang=en|auteur=Gerald W. Schwarz|titre= Smooth functions invariant under the action of a compact Lie group|journal=[[Topology (périodique)|Topology]]|volume=14|année=1975|pages=63-68|math reviews= 0370643 |zbl=0297.57015}}.</ref>, ce qui est le théorème fondamental pour les fonctions lisses invariantes. Ce résultat est basé sur le [[théorème de préparation de Malgrange]], qui est un analogue <math>C^\infty</math> du [[théorème de préparation de Weierstrass]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|de|Symmetrische Funktion|131062047|type=note}}
{{Références}}

== Annexes ==
=== Article connexe===
[[Algèbre symétrique]]

=== Liens externes ===
* {{EncycloMath|prénom1=V. M.|nom1=Khrapchenko|titre=Symmetric function |id=Symmetric_function}}
* {{MathWorld|nom_url=SymmetricFunction|titre=Symmetric Function}}

=== Bibliographie ===
*{{Article|auteur=[[Pierre Cartier]]|titre=La théorie classique et moderne des fonctions symétriques|revue=[[Séminaire Bourbaki]]|year=1982-1983|issue=597|p.=1-23|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1982-1983__25__1_0}}
* {{ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|Martin Golubitsky|texte=M. Golubitsky}}|auteur2=[[Victor Guillemin|V. Guillemin]]
|titre=Stable Mappings and Their Singularities
|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection = 14
|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1973|pages totales=x+209
|passage= 108 et suiv.|math reviews=0341518|zbl= 0294.58004}}
* {{Lang1}}
* {{ouvrage|lang=en|prénom1=B. L.|nom1=van der Waerden|lien auteur=Bartel Leendert van der Waerden
|titre=Algebra I| isbn=978-0387406244 | Springer  |année=2003 |pages totales = 265}}
* {{ouvrage|lang=en|prénom1=B. L.|nom1=van der Waerden
|titre=Algebra II| isbn=978-0387406251 | Springer  |année=2003 |pages totales = 284}}
* {{ouvrage|lang=en|auteur=[[Ian G. Macdonald]]|titre=Symmetric Functions and Hall Polynomials|collection=Oxford Mathematical Monographs|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1979|isbn=0-19-853530-9}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Algèbre commutative]]
[[Catégorie:Propriété de fonction|Symetrique]]