Voir la source de Groupe (mathématiques)

{{Voir homonymes|Groupe}}
[[Fichier:Rubik's cube.svg |vignette|[[Théorie mathématique sur le Rubik's Cube|Les manipulations possibles du ''Rubik's Cube'']] forment un groupe.]]

En [[mathématiques]], un '''groupe''' est une des [[Structure algébrique|structures algébriques]] fondamentales de l'[[algèbre générale]]. C'est un [[ensemble]] muni d'une [[loi de composition interne]] [[associativité|associative]] admettant un [[élément neutre]] et, pour chaque élément de l'ensemble, un [[élément symétrique]].

La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de [[nombre]]s — par exemple les [[entier relatif|nombres entiers relatifs]], munis de la loi d'[[addition]]. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en [[algèbre]], ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes.

La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de [[symétrie]]<ref>{{Ouvrage |titre=[[Science et Méthode]] |éditeur=Flammarion |auteur=Henri Poincaré |lire en ligne=http://jubil.upmc.fr/sdx/pl/toc.xsp?id=PC_000305_001&fmt=upmc&idtoc=PC_000305_001-pleadetoc&base=fa |année=1947 |lieu=Paris |passage=30-31}}.</ref>. Un [[groupe de symétrie]] décrit les symétries d'une [[géométrie|forme géométrique]] : il consiste en un ensemble de [[transformation géométrique|transformations géométrique]]s qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à [[composition de fonctions|composer]] de telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les [[groupes de Lie]] continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences<ref>{{Citation|Lorsqu'on aborde un chapitre quelconque de la théorie des groupes, [...] l'on ne peut échapper à l'impression d'atteindre un domaine profond et central des mathématiques et de la logique. Cela est si vrai qu'il est impossible de faire ni physique, ni géométrie, sans se servir, de façon plus ou moins consciente, du concept de groupe.}}, {{Article |auteur=[[Edmond Bauer]]|titre=Introduction à la théorie des groupes et à ses applications en physique quantique|revue=[[Annales Henri Poincaré |Annales de l'IHP]] |vol=4|issue=1|year=1933 |p.=1-170 |url=http://archive.numdam.org/article/AIHP_1933__4_1_1_0.pdf}}.</ref>. Ces derniers, par exemple, sont les groupes de symétries utilisés dans le [[Modèle standard de la physique des particules|modèle standard]] de la [[physique des particules]]. Les [[groupe général linéaire|groupes généraux linéaires]] sont, quant à eux, utilisés en [[physique]] fondamentale, afin de comprendre les lois de la [[relativité restreinte]] et les phénomènes liés à la symétrie des [[molécule]]s en [[chimie]].

Le concept de groupe fit son apparition dans l'étude des [[Équation polynomiale|équations polynomiales]]. En effet, c'est [[Évariste Galois]] qui, durant les années 1830, utilisa pour la première fois le terme « groupe » dans un sens technique similaire à ce qui est utilisé de nos jours, faisant de lui un des fondateurs de la [[théorie des groupes]]. Suite à des contributions d'autres domaines des mathématiques, comme la [[théorie des nombres]] et la [[géométrie]], la notion de groupe fut généralisée et plus fermement établie autour des années 1870.

La [[théorie des groupes]] moderne, une branche des mathématiques toujours active, se concentre donc sur la structure de groupes abstraits, indépendamment de leur utilisation extra-mathématique<ref>Pour l'année 2005, le journal [[Mathematical Reviews]] a répertorié 3 224 articles de recherche portant sur la théorie des groupes et ses généralisations.</ref>. Ce faisant, les mathématiciens ont défini, au fil des années, plusieurs notions permettant de fragmenter des groupes en des objets plus petits et plus compréhensibles ; les [[sous-groupe]]s, [[Groupe quotient|groupes quotients]], [[Sous-groupe normal|sous-groupes normaux]] et les [[Groupe simple|groupes simples]] en sont quelques exemples. En plus d'étudier ces types de structures, les théoriciens de groupes s'intéressent aussi aux différentes façons dont un groupe peut être exprimé concrètement, autant du point du vue de la [[théorie des représentations]] que du point de vue computationnel. La théorie des [[groupe fini|groupes finis]] fut développée avec, comme point culminant, la [[classification des groupes simples finis]], achevée en 2004<ref>La classification complète fut annoncée en 1983, mais quelques lacunes furent identifiées dans la preuve. Pour plus d'informations, voir la [[classification des groupes simples finis]].</ref>. Depuis le milieu des années 1980, la [[théorie géométrique des groupes]], qui s'intéresse aux [[groupe de type fini|groupes de type fini]] en tant qu'objets géométriques, est devenue un champ particulièrement actif de la théorie des groupes.

== Définition et illustration ==
=== Premier exemple : les entiers relatifs ===
Un des groupes les plus communs est l'ensemble des [[entiers relatifs]] ℤ, qui est constitué des nombres
:..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,&nbsp;...

Les propriétés suivantes de l'addition usuelle servent de modèle pour les axiomes de la définition générale donnée plus bas.
# Pour deux entiers quelconques ''a'' et ''b'', la [[somme (arithmétique)|somme]] ''a''+''b'' est aussi un entier. En d'autres termes, le fait d'additionner deux entiers ne peut jamais mener à un résultat non entier. On dit que l'addition est une [[loi de composition interne]].
# Pour tous entiers ''a'', ''b'' et ''c'', (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c''). Littéralement, additionner d'abord ''a'' et ''b'', puis ajouter ''c'' au résultat donne le même résultat final qu'ajouter ''a'' à la somme de ''b'' et ''c''. Cette propriété est nommée [[associativité]].
# Si ''a'' est un entier, alors 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''. [[Zéro]] est ce qu'on appelle un [[élément neutre]] pour l'addition, parce qu'ajouter 0 à tout entier renvoie cet entier.
# Pour tout entier ''a'', il existe un entier ''b'' tel que ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' = 0. L'entier ''b'' est appelé l'élément symétrique de l'entier ''a'' et est noté ''−a'' (pour l'addition, on dit aussi [[opposé (mathématiques)|opposé]]).

=== Définition ===
Les entiers relatifs, munis de l'opération « + », forment un objet mathématique qui appartient à une vaste classe d'objets partageant des similarités de structure. La [[définition]] formelle suivante, qui englobe l'exemple précédent et beaucoup d'autres, dont les groupes de symétries détaillés plus bas, permet de comprendre ces structures sans traiter chaque cas séparément.
<!--The integers, together with the operation « + », form a mathematical object belonging to a broad class sharing similar structural aspects. To appropriately understand these structures without dealing with every concrete case separately, the following abstract [[definition]] is developed to encompass the above example along with many others, one of which is the symmetry group detailed below.-->

Un groupe est un [[couple (mathématiques)|couple]] dont le premier terme est un [[ensemble]] ''G'' et le second une [[opération binaire|opération]] (on dit aussi ''loi de composition'') sur cet ensemble « • » qui, à deux [[Élément (mathématiques)|éléments]] ''a'' et ''b'' de G, associe un autre élément {{nobr|''a'' • ''b''}}. Le symbole « • » est un signe général qui désigne une opération donnée, comme l'addition ci-dessus. On exige que la loi satisfasse quatre [[axiome]]s.
;Loi de composition interne
Pour tous ''a'' et ''b'' éléments de ''G'', le résultat ''a'' • ''b'' est aussi dans ''G''. 
;Associativité
Pour tous éléments ''a'', ''b'' et ''c'' de ''G'', l'égalité (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'') est vraie.
;Élément neutre
Il existe un élément ''e'' de ''G'' tel que, pour tout ''a'' dans ''G'', {{nobr|''e'' • ''a'' {{=}} ''a'' • ''e'' {{=}} ''a''}}, "e" est appelé ''élément neutre'' du groupe (''G'', •).
;Symétrique
Pour tout élément ''a'' de ''G'', il existe ''b'' dans ''G'' tel que ''a'' • ''b'' = ''b'' • ''a'' = ''e'', où ''e'' est l'élément neutre. ''b'' est appelé ''symétrique'' de ''a''.
<!--A group is a [[set (mathematics)|set]], ''G'', together with an [[Binary operation|operation]] « • » that combines any two [[element (mathematics)|elements]] ''a'' and ''b'' to form another element denoted {{nobr|''a'' • ''b''}}. The symbol « • » is a general placeholder for a concretely given operation, such as the addition above. To qualify as a group, the set and operation, {{nobr|(''G'', •)}}, must satisfy four requirements known as the ''group axioms''<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.1, p. 27|nb = yes}}</ref>:

;Closure: For all ''a'', ''b'' in ''G'', the result of the operation ''a'' • ''b'' is also in ''G''.{{cref|b}}
;Associativity: For all ''a'', ''b'' and ''c'' in ''G'', the equation (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'') holds.
;Identity element: There exists an element ''e'' in ''G'', such that for all elements ''a'' in ''G'', the equation {{nobr|''e'' • ''a'' {{=}} ''a'' • ''e'' {{=}} ''a''}} holds.
;Inverse element: For each ''a'' in ''G'', there exists an element ''b'' in ''G'' such that ''a'' • ''b'' = ''b'' • ''a'' = ''e'', where ''e'' is the identity element.-->

Bien que les axiomes ci-dessus puissent être [[#Affaiblissement des axiomes|affaiblis]], l'ordre dans lequel l'opération est effectuée est en général important. Autrement dit, le résultat de la combinaison d'un élément ''a'' avec un élément ''b'' peut ne pas être le même que celui de la combinaison de ''b'' avec ''a'' ; l'égalité 
:{{nobr|''a'' • ''b'' {{=}} ''b'' • ''a''}}
n'est pas toujours vraie. Un groupe dans lequel on a toujours {{nobr|''a'' • ''b'' {{=}} ''b'' • ''a''}} est dit [[groupe commutatif|commutatif]], ou abélien (en l'honneur de [[Niels Abel]]). Ainsi, le groupe additif des nombres entiers est abélien mais le groupe de symétrie décrit ci-dessous ne l'est pas; pas plus que le groupe des mouvements  du cube de Rubik, comme on le vérifie immédiatement, si l'on dispose d'un cube..
<!--The order in which the group operation is carried out can be significant. In other words, the result of combining element ''a'' with element ''b'' need not yield the same result as combining element ''b'' with element ''a''; the equation
:{{nobr''a'' • ''b'' {{=}} ''b'' • ''a''}}
may not always be true. This equation does always hold in the group of integers under addition, because {{nobr|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} for any two integers  ([[commutativity]] of addition). However, it does not always hold in the symmetry group below. Groups for which the equation {{nobr|''a'' • ''b'' {{=}} ''b'' • ''a''}} always holds are called ''[[abelian group|abelian]]'' (in honor of [[Niels Abel]]). Thus, the integer addition group is abelian, but the following symmetry group is not.-->

=== Remarque sur le vocabulaire ===
* Lorsque la loi est notée additivement (c'est-à-dire que l'on note ''a'' + ''b'' pour ''a'' • ''b''):
** le symétrique est appelé opposé et l'opposé de ''a'' est noté ''−a'' 
** le neutre est souvent appelé zéro et noté 0. 
* Lorsque la loi est notée multiplicativement (c'est-à-dire que l'on note ''ab'' pour ''a'' • ''b''):
** le symétrique est appelé inverse et l'inverse de ''a'' est noté ''a''<sup>−1</sup> 
** le neutre est parfois appelé unité et noté 1.
En pratique, on utilise plutôt la notation additive pour les groupes commutatifs.

=== Deuxième exemple : un groupe de symétrie ===
Les [[symétrie]]s (c'est-à-dire les [[Rotation plane|rotations]] et [[réflexion (mathématiques)|réflexions]]) d'un carré munies de la composition forment un groupe appelé [[groupe diédral]] et noté D<sub>4</sub> ou D<sub>8</sub>, selon les auteurs. Pour des raisons indiquées dans l'article [[Groupe diédral]], on adoptera ici la notation D<sub>8</sub>. Voici la liste des éléments de ce groupe :
{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[Fichier:group D8 id.svg|140px]] <br /> id ([[fonction identité|identité]] : chaque point est conservé) || [[Fichier:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (rotation de 90° vers la droite) || [[Fichier:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (rotation de 180°) || [[Fichier:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (rotation de 270° vers la droite)
|-
| [[Fichier:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (retournement vertical) || [[Fichier:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (retournement horizontal)|| [[Fichier:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (retournement suivant la première diagonale) || [[Fichier:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (retournement suivant la deuxième diagonale)
|-
|style="text-align:left" colspan=4 | Les éléments du [[groupe de symétrie]] (D<sub>8</sub>). Les sommets sont colorés et numérotés uniquement pour visualiser les transformations.
|}
* l'[[application identité]], laissant tout inchangé, est notée id ;
* les rotations de 90° , 180° et 270° vers la droite, notées respectivement r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> et r<sub>3</sub>. Le centre de toutes ces rotations est le point d'intersection des diagonales du carré ;
* les [[réflexion (mathématiques)|réflexions]] ayant pour axes les [[médiatrice]]s des côtés du carré (f<sub>h</sub> et f<sub>v</sub>) ou ses diagonales (f<sub>d</sub> et f<sub>c</sub>).
{{clear}}
Deux symétries quelconques peuvent être [[composition de fonctions|composées]] ; c'est-à-dire appliquées l'une après l'autre. Le résultat obtenu en exerçant ''a'' puis ''b'' est écrit symboliquement 
:{{nobr|''b'' • ''a''}} ({{Citation|appliquer la symétrie ''b'' après avoir appliqué ''a''.}} L'écriture de droite à gauche utilisée ici provient de la [[composition de fonctions]].)

Le groupe D<sub>8</sub> est décrit par la [[table de Cayley]] ci-contre. Il s'agit d'un tableau analogue aux tables de multiplications des écoliers. Ainsi, à l'intersection de la ligne f<sub>h</sub> et de la colonne r<sub>3</sub> se trouve f<sub>d</sub> (case coloriée en bleu). Cela signifie que {{nobr|f<sub>h</sub> • r<sub>3</sub> {{=}} f<sub>d</sub>.}} Autrement dit, appliquer au carré une rotation d'angle 270° vers la droite (r<sub>3</sub>) puis un retournement horizontal (f<sub>h</sub>) revient à lui appliquer un retournement suivant la première diagonale (f<sub>d</sub>).

{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[Table de Cayley]] de D<sub>8</sub>
|-
!width="12%" style="background:#FDD; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| •
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| id
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>1</sub>
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>2</sub>
!style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>3</sub>
! width="11%"| f<sub>v</sub> !!width="11%"| f<sub>h</sub> !!width="11%"| f<sub>d</sub> !!width="11%"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | id
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>3</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>d</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| id || f<sub>c</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>v</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>h</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>1</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>c</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>d</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| id
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>2</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>c</sub>
|| f<sub>h</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| f<sub>v</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>v</sub>
| f<sub>v</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub>|| id || r<sub>2</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>h</sub>
| f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> ||style="background:#DDF;border:solid black 2px;"| f<sub>d</sub> || r<sub>2</sub> || id || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>d</sub>
| f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub> || id || r<sub>2</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>v</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>d</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | f<sub>h</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>2</sub> || id
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Les éléments id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, et r<sub>3</sub> forment un [[sous-groupe]], colorié en rouge (en haut à gauche). Deux [[classe suivant un sous-groupe|classes]] à gauche et à droite suivant ce sous-groupe sont en vert (dernière ligne) et jaune (dernière colonne), respectivement.
|}

Étant donnés cet ensemble de symétrie et l'opération décrite ci-dessus, les axiomes de groupes peuvent être compris ainsi :
# L'opération doit être une loi de composition interne : pour toutes symétries ''a'' et ''b'', {{nobr|''b'' • ''a''}} doit être aussi une symétrie du carré. Par exemple {{nobr|r<sub>3</sub> • f<sub>h</sub> {{=}} f<sub>c</sub>}}<br />c'est-à-dire que faire pivoter le carré de 270° vers la droite après l'avoir retourné horizontalement revient à l'avoir retourné suivant la deuxième diagonale (f<sub>c</sub>). Toutes les combinaisons de deux symétries donnent une symétrie, comme en atteste la table de Cayley ci-contre.
# L'hypothèse d'associativité traite de la composition de plus de deux symétries : soient trois éléments ''a'', ''b'' et ''c'' de D<sub>8</sub>, il existe deux façons possibles de calculer « ''a'' puis ''b'' puis ''c'' ». La condition 
#:: {{nobr|''a'' • (''b'' • ''c'') {{=}}  (''a'' • ''b'') • ''c''}}
#: signifie que la composition de trois éléments est indépendante de l'ordre de priorité des opérations. Cela peut aussi être vérifié en examinant la table de Cayley ci-contre. Par exemple, on peut remarquer que
#:: {{nobr|(f<sub>d</sub> • f<sub>v</sub>) • r<sub>2</sub> {{=}} r<sub>3</sub> • r<sub>2</sub> {{=}} r<sub>1</sub>}}
#:: est égal à
#:: {{nobr|f<sub>d</sub> • (f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>) {{=}} f<sub>d</sub> • f<sub>h</sub> {{=}} r<sub>1</sub>}}
# L'élément neutre est la symétrie notée id, qui laisse tout invariant. Quelle que soit la symétrie ''a'', composer ''a'' et id revient à appliquer ''a'' :
#: {{nobr|id • ''a'' {{=}} ''a''}},
#: {{nobr|''a'' • id {{=}} ''a''}}.
# Un élément symétrique est la transformation réciproque d'une symétrie donnée. Chaque symétrie peut être « défaite ». Chacune des transformations id, f<sub>h</sub>, f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>c</sub> et la rotation à 180° r<sub>2</sub> est son propre symétrique, ce qui revient à dire qu'appliquer deux fois une de ces transformations revient à laisser le carré invariant. Les rotations r<sub>3</sub> et r<sub>1</sub> sont symétriques l'une de l'autre. Formellement, on écrit :
#: {{nobr|f<sub>h</sub> • f<sub>h</sub> {{=}} id}},
#: {{nobr|r<sub>3</sub> • r<sub>1</sub> {{=}} r<sub>1</sub> • r<sub>3</sub> {{=}} id.}}

Au contraire du groupe des entiers déjà cité, l'ordre dans lequel sont effectuées les opérations est important, dans D<sub>8</sub> : {{nobr|f<sub>h</sub> • r<sub>1</sub> {{=}} f<sub>c</sub>}} mais {{nobr|r<sub>1</sub> • f<sub>h</sub> {{=}} f<sub>d</sub>}}. On dit que D<sub>8</sub> n'est pas [[groupe commutatif|commutatif]]. On voit ici que la structure de groupe est plus délicate que le premier exemple sur les entiers pouvait le laisser supposer.

== Histoire ==
Le concept moderne et abstrait de groupe se développa à travers différents champs des mathématiques.

La motivation originelle de la théorie des groupes fut la recherche des solutions des [[équation polynomiale|équations polynomiales]] de degré supérieur à quatre. Au {{s-|XIX}}, le mathématicien français [[Évariste Galois]], développant des travaux précédents de [[Paolo Ruffini (mathématicien)|Paolo Ruffini]] et [[Joseph-Louis Lagrange]], donna un critère de résolubilité d'équations polynomiales particulières en termes de [[groupe de symétrie]] de leurs [[Racine d'un polynôme|racines]]<ref name="dahan">{{DahanPeiffer}}.</ref>. Les éléments d'un tel groupe (appelé [[groupe de Galois]]) correspondent à certaines [[permutation]]s des racines. Les idées de Galois furent méconnues par ses contemporains et publiées seulement à titre posthume. Des [[groupe de permutations|groupes de permutations]] plus généraux furent étudiés par [[Augustin Louis Cauchy]]<ref name="dahan"/>. [[Arthur Cayley]], dans un article de 1854, donna la première définition abstraite d'un [[groupe fini]].

La [[géométrie]] fut le second domaine dans lequel les groupes furent systématiquement utilisés, en particulier dans le [[programme d'Erlangen]] de [[Felix Klein]], en 1872<ref name="dahan"/>. Après que de nouvelles géométries, comme la [[géométrie hyperbolique]] et la [[géométrie projective]], eurent émergé, Klein utilisa la théorie des groupes pour les organiser en un système cohérent. En prolongeant ces idées, [[Sophus Lie]] posa les fondations de l'étude des [[groupe de Lie|groupes de Lie]] en 1884.

Le troisième domaine qui contribua à la théorie des groupes fut la [[théorie des nombres]]. Certaines structures de [[groupe abélien]] ont été implicitement utilisées par [[Carl Friedrich Gauss]] dans ses ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798)<ref>{{Belhoste1}}.</ref>, et plus explicitement par [[Leopold Kronecker]]. En 1847, [[Ernst Kummer]] mena les premières tentatives de preuve du [[dernier théorème de Fermat]] à leur point culminant en développant une [[Groupe des classes d'idéaux|factorisation des groupes]] en [[nombres premiers]].

La convergence de ces différentes sources en une théorie des groupes uniforme commença avec le ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' (1870) de [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]]. [[Walther von Dyck]] (1882) donna {{refnec|le premier|date=novembre 2010}} énoncé moderne de la définition d'un groupe abstrait. Durant le {{s-|XX}}, les groupes gagnèrent une grande reconnaissance avec les travaux de [[Ferdinand Georg Frobenius]] et [[William Burnside]], qui travaillèrent sur la théorie des [[représentations d'un groupe fini]], la {{Lien|trad=Modular representation theory|lang=en|fr=théorie des représentations modulaires}} de [[Richard Brauer]] et les articles de [[Issai Schur]]. La théorie des groupes de Lie, et plus généralement des [[groupe localement compact|groupes localement compacts]] fut développée par [[Hermann Weyl]], [[Élie Cartan]] et beaucoup d'autres. Son aspect algébrique, la théorie des [[groupe algébrique|groupes algébriques]], fut tout d'abord formée par [[Claude Chevalley]], à la fin des années 1930, puis par le travail essentiel d'[[Armand Borel]] et [[Jacques Tits]].

En 1960-61, l'''Année de la théorie des groupes'' de l'[[université de Chicago]] rassembla de nombreux spécialistes comme [[Daniel Gorenstein]], [[John G. Thompson]] et [[Walter Feit]] et jeta les bases d'une collaboration qui, avec l'apport de nombreux autres mathématiciens, aboutit à la [[classification des groupes simples finis]] en 1982. Ce projet dépassa les efforts précédents par son ampleur, tant au niveau de la longueur de la preuve que du nombre de chercheurs impliqués. La recherche continue pour simplifier la démonstration de cette classification. De nos jours, la théorie des groupes reste une branche très active des mathématiques avec un fort impact sur les autres domaines.

== Conséquences élémentaires de la définition ==
Quelques conséquences élémentaires peuvent être tirées de l'étude de la définition.

=== Plus de deux éléments ===
L'axiome d'associativité permet de définir l'opération sur trois éléments et non plus deux, en « levant » les parenthèses. En effet, quels que soient les éléments ''a'', ''b'' et ''c'' du groupe, il est possible de définir ''a'' • ''b'' • ''c'' sans ambigüité :
:''a'' • ''b'' • ''c'' = (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'').
Puisque les parenthèses peuvent être écrites n'importe où dans une série de plusieurs termes, il est d'usage de les omettre.

=== Affaiblissement des axiomes ===
Les axiomes peuvent être réduits. Par exemple, on obtient une définition équivalente si on remplace les deux derniers axiomes de la définition ci-dessus par la condition suivante :

Il existe un élément ''e'' de ''G'' qui est neutre à gauche (c'est-à-dire que, pour tout ''a'' dans ''G'', {{nobr|''e'' • ''a'' {{=}} ''a''}}) et tel que pour tout élément ''a'' de ''G'', il existe ''b'' dans ''G'' tel que ''b'' • ''a'' = ''e'' (ce qu'on peut exprimer en disant que tout élément de ''G'' admet un symétrique à gauche en association avec ''e'').

{{Démonstration|contenu=
;Symétrique
Soit ''a'' un élément de ''G''. Choisissons un symétrique à gauche de ''a'' en association avec ''e'', soit ''b''. Choisissons de même un symétrique à gauche de ''b'' en association avec ''e'', noté ''c''. On a donc :
: ''b'' • ''a'' = ''e''
: ''c'' • ''b'' = ''e''
Donc
: ''a'' • ''b'' = ''e'' • (''a'' • ''b'')  ; car ''e'' est élément neutre à gauche
:: = (''c'' • ''b'') • (''a'' • ''b'') ; car ''c'' • ''b'' = ''e''
:: = ''c'' • (''b'' • ''a'') • ''b'' ; par associativité
:: = ''c'' • ''e'' • ''b'' ; puisque ''b'' • ''a'' = ''e''
:: = ''c'' • ''b'' ; car ''e'' • ''b'' = ''b'', puisque ''e'' est élément neutre à gauche
:: = ''e'' ; car ''c'' est le symétrique à gauche de ''b''.
Donc ''a'' • ''b'' = ''e'' : il existe donc un symétrique à gauche de ''a'' en association avec ''e'' qui est aussi un symétrique à droite de ''a'' en association avec ''e''.

;Élément neutre
Prouvons maintenant que ''e'' est élément neutre. Soit ''a'' un élément du groupe. D'après ce qui précède, nous pouvons choisir un élément ''b'' qui est symétrique à gauche et à droite de ''a'' en association avec ''e''. Alors
: ''a'' = ''e'' • ''a''
:: =  (''a'' • ''b'') • ''a'' 
:: = ''a'' • (''b'' • ''a'') ; par associativité
:: = ''a'' • ''e''
donc ''e'' est aussi élément neutre à droite.
}}

=== Unicité de l'élément neutre et des symétriques ===
Il y a [[Élément neutre#Propriétés|unicité de l'élément neutre]] et, pour chaque élément ''a'' du groupe, [[Élément symétrique#Propriétés|unicité du symétrique]] de ''a''. Cela signifie qu'un groupe possède exactement un élément neutre et que chaque élément du groupe possède un et un seul symétrique. L'emploi de l'[[article défini]] est donc correct : on parle du {{Citation|symétrique}} d'un élément et du {{Citation|neutre}} du groupe.

===Régularité===
Dans un groupe, tout élément ''a'' est [[Élément régulier|régulier]], ou « simplifiable », c'est-à-dire que si ''a • x = a • y'' ou si ''x • a = y • a'', alors ''x = y'' (cela [[Élément symétrique#Propriétés|se déduit du fait que ''a'' est symétrisable]], et de l'associativité).

== Concepts essentiels ==
{{Article connexe|Lexique des groupes}}
Pour comprendre les groupes au-delà des manipulations symboliques présentées ci-dessus, d'autres concepts doivent être employés. Ils suivent tous un principe sous-jacent : pour bénéficier de la structure de groupe, les constructions liées à un groupe doivent être « compatibles » avec sa loi de composition. Cette compatibilité se manifeste de différentes façons. Par exemple, des groupes peuvent être reliés entre eux par des [[fonction (mathématiques)|fonctions]] appelées [[Morphisme de groupes|morphismes de groupes]], c'est-à-dire des fonctions qui conservent la structure de groupe. La structure des groupes peut aussi être étudiée en les « cassant » en morceaux plus simples, appelés [[sous-groupe]]s ou [[groupe quotient|groupes quotients]]<ref>{{Perrin1}}, ch. 1 : {{citation|L'intérêt des sous-groupes distingués est  de permettre le « dévissage » des groupes.}}</ref>. Ce principe de conservation des structures est l'idée centrale de la [[théorie des catégories]], dans laquelle on parle de catégorie des groupes.

{{ancre|Homomorphisme de groupe}}
=== Morphisme de groupes ===
{{Article détaillé|Morphisme de groupes}}
Pour que les morphismes de groupes soient les fonctions « compatibles avec la structure de groupe », on adopte la définition suivante :

Une fonction {{nobr|''f'' : ''G'' → ''H''}} entre deux groupes munis respectivement de deux lois • et * est un morphisme si l'égalité
:{{nobr|''f''(''a'' • ''b'') {{=}} ''f''(''a'') * ''f''(''b'').}}
est vraie pour tous les éléments ''a'' et ''b'' de ''G'', c'est-à-dire que le résultat est le même, que l'on effectue l'opération avant ou après avoir appliqué la fonction ''f''.

On démontre (au début de l'article détaillé) qu'alors, ''f'' est bien « compatible » non seulement avec les lois des deux groupes, mais avec leurs neutres et symétriques respectifs ; plus précisément : l'image de l'élément neutre du groupe (''G'' ; •) est l'élément neutre de (''H'' ; *)  et l'[[Image (mathématiques)|image]] du symétrique ''a''<sup>−1</sup> de tout élément ''a'' est le symétrique de l'image de ''a'' (''f''(''a''{{-1}}) = ''f''(''a''){{-1}}).

Deux groupes ''G'' et ''H'' sont dits [[isomorphisme|isomorphes]] s'il existe deux morphismes de groupes {{nobr|''f'' : ''G'' → ''H''}} et {{nobr|''g'' : ''H'' → ''G''}} tels que la composée de ces deux fonctions, quel que soit l'ordre, donne l'identité. C'est-à-dire que, quels que soient ''a'' élément de ''G'' et ''b'' de ''H'',
: ''g''(''f''(''a'')) = ''a'' et
: ''f''(''g''(''b'')) = ''b''.

Du point de vue de la structure de groupe, ''G'' et ''H'' sont en quelque sorte « le même groupe ».

=== Sous-groupe ===
[[Fichier:Dih4 subgroups.svg|thumb|Le [[treillis des sous-groupes]] de ''D''<sub>4</sub>, représenté sous forme de [[diagramme de Hasse]].]]
{{Article détaillé|Sous-groupe}}

Intuitivement, ''un sous-groupe'' est un groupe ''H'' inclus dans un autre groupe ''G''. Cela signifie que l'élément neutre de ''G'' est contenu dans ''H'' et, quels que soient ''h''<sub>1</sub> et ''h''<sub>2</sub> éléments de ''H'', {{nobr|''h''<sub>1</sub> •  ''h''<sub>2</sub>}} et ''h''<sub>1</sub><sup>−1</sup> appartiennent aussi à ''H''.

Dans l'exemple du groupe ''D''<sub>4</sub> ci-dessus, l'identité et les rotations forment un sous-groupe {{nobr|''R'' {{=}} {id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, r<sub>3</sub>}}} coloré en rouge dans le tableau : la composée de deux rotations est une rotation et chaque rotation a pour symétrique une rotation, celle telle que la somme des angles des deux rotations est 360° (un tour complet).

Une [[Équivalence logique|condition nécessaire et suffisante]] pour qu'un [[Inclusion (mathématiques)|sous-ensemble]] ''H'' d'un groupe ''G'' soit un sous-groupe de ''G'' est qu'il soit non [[Ensemble vide|vide]] et que, quels que soient les éléments ''a'' et ''b'' de ''H'' :
: {{nobr|''a''<sup>−1</sup> • ''b'' ∈ ''H''.}}

Cela permet par exemple de montrer que [[Morphisme de groupes#Noyau et image|l'image d'un morphisme de groupes est un sous-groupe]] du groupe d'arrivée.

La connaissance du [[treillis des sous-groupes]] d'un groupe donné est importante pour la compréhension de ce groupe.

Étant donné un sous-ensemble ''S'' d'un groupe ''G'', le ''sous-groupe engendré'' par ''S'' est constitué par tous les produits des éléments de ''S'' avec des symétriques de ces éléments, l'opération pouvant être répétée plusieurs fois. C'est le plus petit sous-groupe contenant ''S''. Dans l'exemple ''D''<sub>4</sub>, le sous-groupe engendré par r<sub>2</sub> et f<sub>v</sub> est constitué de ces deux éléments, de l'identité et de {{nobr|f<sub>h</sub> {{=}} f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>}}. C'est un sous-groupe, car combiner deux éléments, ou leurs symétriques donne un élément de cet ensemble. On peut également remarquer que le groupe ('''Z''' ; +) des entiers relatifs est engendré par le seul élément 1 : on peut obtenir n'importe quel entier en ajoutant 1 avec lui-même ou avec son opposé —1. On dit que '''Z''' est monogène. Le sous-groupe de '''Z''' engendré par 2 est constitué des nombres pairs (noté 2'''Z'''), celui qui est engendré par 3 est le sous-groupe des [[multiple (mathématiques)|multiples]] de 3 (noté 3'''Z'''), etc.

=== Classe suivant un sous-groupe ===
{{Article détaillé|Classe suivant un sous-groupe}}
Dans de nombreuses situations, il est souhaitable de considérer que deux éléments d'un groupe sont les mêmes s'ils diffèrent d'un élément d'un sous-groupe donné.

Par exemple, dans D<sub>4</sub>, une fois qu'un retournement a été effectué, le carré ne peut jamais revenir à la position de r<sub>2</sub> par application de rotations, sans autre retournement. Il est possible de classer les figures du carré données dans l'exemple ci-dessus suivant deux parties : celle qui rassemble les figures pour lesquelles la suite des sommets 1-2-3-4 est parcourue dans le sens des aiguilles d'une montre, et celle des figures où 1-2-3-4 est parcouru dans l'autre sens. Il est possible de passer d'une figure d'une de ces parties à une autre par un retournement, mais aucune rotation ne permet de passer d'un carré de type {{Citation|1-2-3-4 dans le sens des aiguilles d'une montre}} à un carré de l'autre type. Ainsi, deux figures du même type diffèrent d'une rotation.

La notion de ''[[classe suivant un sous-groupe]]'' formalise ceci : un sous-groupe ''H'' définit une classe à gauche et une classe à droite, qui peuvent être vues comme des [[translation (géométrie)|translations]] de ''H'' par des éléments arbitraires ''g'' du groupe. Les ''classe à gauche'' et ''classe à droite'' suivant ''H'' contenant ''g'' sont respectivement 
:{{nobr|''gH'' {{=}} {''g'' • ''h'', ''h'' ∈ ''H''}}} et {{nobr|''Hg'' {{=}} {''h'' • ''g'', ''h'' ∈ ''H''}}},
c'est-à-dire les ensembles constitués de tous les éléments de la forme ''g'' • ''h'' (classe à gauche) et de la forme ''h'' • ''g'' (classe à droite), où ''h'' est un élément de ''H''.

Les classes suivant un sous-groupe ''H'' forment une [[partition (mathématiques)|partition]] de ''G'', c'est-à-dire que la [[Union (mathématiques)|réunion]] de toutes les classes à gauche est égale à ''G'' et l'[[intersection (mathématiques)|intersection]] de deux classes à gauche différentes est [[ensemble vide|vide]].

L'égalité {{nobr|''g''<sub>1</sub>''H'' {{=}} ''g''<sub>2</sub>''H''}} a lieu [[si et seulement si]] {{nobr|''g''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''g''<sub>2</sub> ∈ ''H''}}, c'est-à-dire lorsque ''g''<sub>1</sub> et ''g''<sub>2</sub> diffèrent d'un élément de ''H''. De même pour les classes à droite suivant ''H''. Les classes à gauche et à droite suivant ''H'' peuvent être égales, mais ce n'est pas le cas en général. Si, pour tout élément ''g'' de ''G'', ''gH''&nbsp;=&nbsp;''Hg'', alors ''H'' est un [[sous-groupe normal]] (ou ''distingué'') de ''G''.

Dans D<sub>4</sub>, les classes à gauche ''gR'' relatives au sous-groupe ''R'' constitué par les rotations sont : soit ''R'' si ''g'' est une rotation, soit l'ensemble {{nobr|''U'' {{=}} f<sub>v</sub>''R'' {{=}} {f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>h</sub>, f<sub>c</sub>}}} colorié en vert sur la table de Cayley donnée plus haut. Le sous-groupe ''R'' est distingué car les classes à gauche et à droite sont égales : {{nobr|f<sub>v</sub>''R'' {{=}} ''U'' {{=}} ''R''f<sub>v</sub>}}, par exemple, cette égalité étant aussi vraie pour tous les éléments autres que f<sub>v</sub>.

Dans '''Z''', le sous groupe 2'''Z''' des nombres pairs définit deux classes : celle des nombres pairs et celle des nombres impairs. Les classes à gauche et à droite dans '''Z''' sont toujours égales car ce groupe est commutatif.

Le [[groupe diédral]] D<sub>3</sub> des symétries d'un triangle équilatéral ABC possède plusieurs sous groupes : il y a trois sous-groupes contenant l'identité et la symétrie par rapport à une hauteur, les sous-groupes de rotation de 120 degrés (sens direct et sens indirect), le sous-groupe contenant l'identité seulement et le groupe diédral lui-même. Certains de ces sous-groupes sont normaux, d'autres non, et cela peut se voir très simplement.

Si H est normal, pour tout g appartenant à D<sub>3</sub>, g H g <sup>−1</sup> = H. Supposons que H soit le sous groupe contenant l'identité ''e'', et la symétrie ''s'' par rapport à l'axe vertical (hauteur issue de A). Si g est la rotation de 120 degrés dans le sens direct, les éléments de g H g <sup>−1</sup> sont l'identité et la symétrie par rapport à la hauteur issue de B (prendre l'exemple d'un point M proche de B, g <sup>−1</sup> fait tourner M de -120 degrés, ''s'' envoie M de l'autre côté de l'axe vertical et ''g'' fait ramène M vers B par la rotation de 120 degrés). Autrement dit, g H g <sup>−1</sup> est différent de H, mais surtout g H g <sup>−1</sup> est ''semblable'' à H, mais par rapport à un autre axe. Les deux groupes H et g H g <sup>−1</sup> ne diffèrent que par un ''changement de coordonnée''.

Un groupe normal est en quelque sorte indépendant du système de coordonnées. On voit toute de suite que le groupe contenant l'identité et la symétrie par rapport à une droite n'est pas normal, mais que le groupe contenant l'identité, la rotation de 120 degrés et la rotation de 240 degrés l'est : il n'y a pas d'axe privilégié.

Ce genre d'exemple suggère que dans le groupe des matrices orthogonales, le sous-groupe des matrices conservant l'orientation est probablement normal, tandis que le sous-groupe qui conserve un hyperplan particulier ne l'est pas.

=== Groupe quotient ===
{{Article détaillé|Groupe quotient}}
Lorsqu'un sous-groupe est distingué, l'ensemble des classes qu'il définit forme également un groupe, appelé [[groupe quotient]] de ''G'' par ''N'' et noté ''G'' / ''N''.
:''G'' / ''N'' = {''gN'', ''g'' ∈ ''G''}
L'opération de ce nouveau groupe est induite par celle de ''G'' :
: {{nobr|(''gN'') • (''hN'') {{=}} (''g'' • ''h'')''N''}} 
pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G''. Cette étude est motivée par l'idée que l'application {{nobr|''G'' → ''G'' / ''N''}} qui, à tout élément ''g'' du groupe associe sa classe ''gN'', est un [[#Morphisme de groupes|morphisme de groupes]]. La classe {{nobr|''eN '' {{=}} ''N''}} est l'élément neutre du groupe quotient et le symétrique de ''gN'' est {{nobr|(''gN'')<sup>−1</sup> {{=}} (''g''<sup>−1</sup>)''N''}}.

{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
!width="30px"| •
!width="33%"| R
!width="33%"| U
|-
! ''R''
| ''R'' || ''U''
|-
! ''U''
| ''U'' || ''R''
|-
|colspan=3 style="text-align:left"|[[Table de Cayley|Table]] du groupe quotient {{nobr|D<sub>4</sub> / ''R''}}.
|}
Les éléments du groupe quotient {{nobr|D<sub>4</sub> / ''R''}} sont ''R'' lui-même, qui représente l'élément neutre, et {{nobr|''U'' {{=}} f<sub>v</sub>''R''}}. La loi de groupe de ce quotient est représentée dans le tableau ci-contre. Par exemple, {{nobr|''U'' • ''U'' {{=}} f<sub>v</sub>''R'' • f<sub>v</sub>''R'' {{=}} (f<sub>v</sub> • f<sub>v</sub>)''R'' {{=}} ''R''}}. Le sous-groupe {{nobr|''R'' {{=}} {id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, r<sub>3</sub>}}} et le groupe quotient correspondant sont tous les deux commutatifs, alors que D<sub>4</sub> ne l'est pas. L'idée de construire de grands groupes à partir d'autres plus petits est formalisée par la notion de [[produit semi-direct]].

[[Fichier:Dih 4 Cayley Graph; generators a, b; prefix.svg|thumb|[[Graphe de Cayley]] du groupe D<sub>4</sub>]]

Le quotient et les sous-groupes permettent de décrire tout groupe par sa ''[[présentation d'un groupe|présentation]]'' : chaque groupe est le quotient du [[groupe libre]] sur [[Partie génératrice d'un groupe|l'ensemble de ses générateurs]], quotienté par le sous-groupe des ''relations''. Le groupe diédral D<sub>4</sub>, par exemple, peut être engendré par deux éléments ''a'' et ''b'', où ''a'' est l'une des deux rotations d'ordre 4 (par exemple celle d'angle <math>-\pi/2</math>) et ''b'' un retournement quelconque (par exemple celui d'axe vertical). Une présentation de ce groupe est :
:: <math> \langle a, b | a^4 = b^2 = e, a b = b a^3 \rangle. \, </math>
Une présentation d'un groupe peut aussi servir à construire le [[graphe de Cayley]], un outil utilisé pour représenter graphiquement les [[groupe discret|groupes discrets]].

Les sous-groupes et groupes quotients sont liés par la relation suivante : un sous-ensemble ''H'' de ''G'' peut être vu comme une [[injection (mathématiques)|injection]] {{nobr|''H'' → ''G''}}, c'est-à-dire que chaque élément de ''G'' possède au plus un [[antécédent (mathématiques)|antécédent]] par cette fonction. La notion d'application injective est liée avec celle d'[[surjection|application surjective]] (une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent). L'application canonique {{nobr|''G'' → ''G'' / ''N''}} est surjective. Les [[théorèmes d'isomorphisme]] permettent d'exhiber des morphismes injectifs, surjectifs et bijectifs « naturels » d'un groupe afin de comprendre sa structure.

== Exemples et applications ==
{{double image verticale|right|Wallpaper group-p4m-5.jpg|Fundamental group.svg|180|Il existe 17 types de [[pavage]]s réguliers du plan. Cela se démontre grâce aux groupes.|Le [[groupe fondamental]] d'un plan privé d'un point (en gras) est constitué des boucles autour de ce point. Ce groupe est isomorphe à celui des entiers.}}

Les exemples et applications des groupes abondent. Un point de départ est le groupe '''Z''' des entiers avec l'addition comme loi, donné en introduction de l'article. Si au lieu de l'addition on considère la [[multiplication]], on obtient des groupes multiplicatifs. Ces groupes sont les prédécesseurs d'importantes constructions en [[algèbre générale]].

Les groupes sont aussi appliqués dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Les objets mathématiques sont souvent examinés en [[foncteur|leur associant]] des groupes et en étudiant les propriétés des groupes correspondants. Par exemple, [[Henri Poincaré]] a fondé ce qui est maintenant appelé la [[topologie algébrique]] en introduisant le [[groupe fondamental]]. De par cette connexion, des [[topologie|propriétés topologiques]] comme les [[voisinage (topologie)|voisinages]] et la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] se traduisent en propriétés de groupes. Par exemple, les éléments du groupe fondamental sont représentés par des boucles. La deuxième image à droite montre quelques boucles dans un plan privé d'un point. La boucle bleue est considérée comme [[homotopie|nulle]] et donc sans intérêt, car elle peut être continument (c'est-à-dire sans être « cassée ») déformée en un point. La présence d'un trou empêche la boucle orange d'être continument déformée en un point. Le groupe fondamental du plan dont un point a été ôté s'avère donc infini et cyclique, engendré par la boucle orange (ou toute autre boucle faisant [[Indice (analyse complexe)|un tour]] autour du trou).

Dans des applications plus récentes, l'influence a été inversée pour motiver les constructions géométriques par un arrière-plan de théorie des groupes. Dans le même ordre d'idées, la [[théorie géométrique des groupes]] emploie des concepts géométriques, par exemple dans l'étude des [[Groupe hyperbolique|groupes hyperboliques]]. D'autres branches appliquant les groupes de manière cruciale incluent la [[géométrie algébrique]] et la [[théorie des nombres]].

En plus des applications théoriques précédentes, de nombreuses applications pratiques des groupes existent. La [[cryptographie]] repose sur la combinaison de la théorie des groupes avec le savoir [[algorithme|algorithmique]] obtenu par la {{Lien|trad=Computational group theory|lang=en|fr=théorie algorithmique des groupes}}, en particulier l'implémentation dans les [[groupe fini|groupes finis]]. Les applications de la théorie des groupes ne sont pas restreintes aux mathématiques, des sciences comme la [[physique]], la [[chimie]] et l'[[informatique]] bénéficient de ce concept.
=== Nombres ===
De nombreux systèmes numériques, comme les [[Entier relatif|nombres entiers]] et [[nombre rationnel|rationnels]], bénéficient naturellement d'une structure de groupe. Dans certains cas, l'addition et la multiplication donnent chacune lieu à une structure de groupe. Ces considérations ont donné naissance à des structures algébriques plus élaborées : les [[anneau unitaire|anneaux]] et les [[corps commutatif|corps]].

==== Entiers ====
{{Article détaillé|Entier relatif|Construction des entiers relatifs}}
Le groupe des nombres entiers '''Z''' muni de l'addition, noté ('''Z''', +), a été décrit plus haut. L'ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication ('''Z''',&nbsp;×), ne forme pas un groupe. La loi est bien interne, associative, et il existe un élément neutre (le nombre 1), mais pas d'inverse en général : par exemple, l'équation {{nobr|2 · ''b'' {{=}} 1}} n'admet pas de solution dans '''Z'''. L'inverse de 2 serait {{sfrac|1|2|texhtml=non}}, qui n'est pas entier, mais rationnel.

==== Rationnels ====
{{Article détaillé|Nombre rationnel|Fraction (mathématiques){{!}}Fraction}}
Le besoin d'inverses des nombres entiers amène à considérer les fractions {{sfrac|''a''|''b''|texhtml=non}} 
où ''a'' et ''b'' sont deux entiers, ''b'' étant différent de [[zéro]]. Ces fractions d'entiers sont appelées [[nombre rationnel|nombres rationnels]] et l'ensemble qu'elles constituent est noté '''Q'''.

L'ensemble des rationnels muni de la multiplication, {{nobr|('''Q''', ·),}} ne constitue pas un groupe, car le nombre [[0 (nombre)|0]] ne possède pas d'inverse pour la multiplication (il n'existe aucun nombre rationnel ''x'' tel que {{nobr|''x'' · 0 {{=}} 1}}).

Cependant, l'ensemble des nombres rationnels ''non nuls'' : {{nobr|'''Q''' \ {0} {{=}} {''q'' ∈ '''Q''', ''q'' ≠ 0}}}, muni de la multiplication, forme un groupe noté {{nobr|('''Q''' \ {0}, ·)}}.

L'ensemble des nombres rationnels (y compris zéro) forme aussi un groupe lorsqu'il est muni de l'addition. L'entrelacement de l'addition et de la multiplication produit une nouvelle structure plus complexe que celle de groupe : les [[anneau unitaire|anneaux]] ('''Z''', par exemple) et, si la division est possible (comme avec '''Q'''), les [[corps commutatif]]s.

==== Entiers non nuls, modulo un nombre premier ====
{{Article détaillé|Congruence sur les entiers|Anneau Z/nZ|Arithmétique modulaire}}
{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
!width="30px"| ×
!width="30px"| 1
!width="30px"| 2
!width="30px"| 3
!width="30px"| 4
|-
! 1
| 1 || 2 || 3 || 4
|-
! 2
| 2 || 4 || 1 || 3 
|-
! 3
| 3 || 1 || 4 || 2 
|-
! 4
| 4 || 3 || 2 || 1
|-
|colspan=5 style="text-align:left"|Table de multiplication de '''Z'''/''5'''''Z''' privé de 0.
|}
L'ensemble des classes du groupe quotient de ('''Z''', +) par son sous-groupe ''p'''''Z''' engendré par un entier ''p'', noté '''Z'''/''p'''''Z''' est particulièrement intéressant lorsque ''p'' est un [[nombre premier]].

Pour tout [[nombre premier]] ''p'', '''Z'''/''p'''''Z''', muni cette fois de la multiplication (et privé de zéro), est un groupe. Ses éléments sont les entiers non divisibles par ''p'', considérés ''modulo'' ''p'', c'est-à-dire que chaque nombre est assimilé au reste de sa [[division euclidienne]] par ''p'' : deux éléments sont considérés comme équivalents lorsque leur différence est un multiple de ''p''.

Par exemple, si {{nobr|''p'' {{=}} 5}}, il y a exactement 4 éléments : 1 ; 2 ; 3 et 4. Les [[multiple (mathématiques)|multiples]] de 5 sont exclus. 6 et −4 sont considérés comme équivalents à 1. Le produit {{nobr|4 · 4 {{=}} 1}} puisque le produit usuel 16 est équivalent à 1, car 5 divise {{nobr|16 − 1 {{=}} 15}}. On note {{nobr|16 ≡ 1 (mod 5)}}.

La primalité de ''p'' assure que le produit de deux entiers non divisibles par ''p'' n'est pas divisible par ''p'', donc la multiplication sur l'ensemble de classes considérés est une loi de composition interne. L'élément neutre est 1 et l'associativité provient de la propriété correspondante sur les entiers relatifs. Enfin, le dernier axiome de groupe nécessite que, pour chaque élément ''a'' non divisible par ''p'', il existe un entier ''b'' non divisible par ''p'' tel que :
:''a''&nbsp;·&nbsp;''b''&nbsp;≡&nbsp;1 (mod ''p''), c'est-à-dire ''p'' divise la différence {{nobr|''a'' · ''b'' − 1}}.
L'inverse ''b'' peut être déterminé en utilisant le [[théorème de Bachet-Bézout]] et le fait que le [[PGCD]] de ''a'' et ''p'' est 1. Dans le cas {{nobr|''p'' {{=}} 5}} ci-dessus, l'inverse de 4 est 4 et l'inverse de 3 est 2, car {{nobr|3 · 2 {{=}} 6 ≡ 1 (mod 5)}}. Ainsi, les axiomes de groupes sont vérifiés. En fait, cet exemple est similaire à ('''Q'''\{0}, ·), car il montre que l'ensemble des éléments non nuls, muni de la multiplication, est un groupe, ce qui, conjointement au groupe additif, donne un [[corps fini]] noté '''F'''<sub>''p''</sub>. Ces groupes sont cruciaux pour la [[cryptographie à clé publique]].

=== Groupes cycliques ===
{{Article détaillé|Groupe cyclique|Groupe abélien}}
[[Fichier:Cyclic group.svg|thumb|upright|Les racines sixièmes complexes de l'unité forment un groupe cyclique. ''z'' est un générateur, mais pas ''z''<sup>2</sup>, car les puissances impaires de ''z'' ne sont pas des puissances de ''z''<sup>2</sup>.]]
Un ''groupe cyclique'' est un groupe dont tous les éléments sont des [[puissance (algèbre)|puissances]] (quand le groupe est noté additivement, le terme ''multiple'' est utilisé) d'un certain élément ''a''. En notation multiplicative, les éléments du groupe sont :
:..., ''a''<sup>−3</sup>, ''a''<sup>−2</sup>, ''a''<sup>−1</sup>, ''a''<sup>0</sup> = ''e'', ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...,
où ''a''<sup>2</sup> signifie ''a'' • ''a'', et ''a<sup>−3</sup>'' désigne ''a''<sup>−1</sup> • ''a''<sup>−1</sup> • ''a''<sup>−1</sup>=(''a'' • ''a'' • ''a'')<sup>−1</sup> etc. Un tel élément ''a'' est un générateur, ou [[Racine primitive modulo n|élément primitif]] du groupe.

Un exemple typique est celui des [[racine de l'unité|racines n{{e}} de l'unité]], qui sont les [[nombres complexes]] ''z'' tels que {{nobr|''z''<sup>''n''</sup> {{=}} 1}}, muni de la multiplication (''n'' désignant un nombre entier strictement positif). Tout groupe cyclique contenant ''n'' éléments est isomorphe à ce groupe. La [[théorie des corps]] montre que le groupe ('''F'''<sub>''p''</sub>,×) est cyclique : pour {{nobr|''p'' {{=}} 5}}, par exemple, 3 est un générateur car {{nobr|3<sup>1</sup> {{=}} 3}}, {{nobr|3<sup>2</sup> {{=}} 9 ≡ 4}}, {{nobr|3<sup>3</sup> ≡ 2}} et {{nobr|3<sup>4</sup> ≡ 1}}. Tout groupe cyclique infini est isomorphe au groupe des entiers relatifs ('''Z''', +). Comme ces deux prototypes sont abéliens, tout groupe cyclique est abélien.
=== Groupes de symétries ===
{{Article détaillé|Groupe de symétrie|Action de groupe (mathématiques){{!}}Action de groupe}}
{{Article connexe|Groupe d'espace|Symétrie (physique)}}
Les ''groupes de symétries'' sont constitués des [[symétrie]]s d'objets mathématiques donnés, que ces objets soient de nature [[géométrie|géométrique]], comme le groupe des symétries du carré vu en introduction, ou de nature algébrique, comme les [[équation polynomiale|équations polynomiales]] et leurs solutions. D'un point de vue conceptuel, la théorie des groupes peut être pensée comme l'étude de la symétrie. Les symétries simplifient grandement l'étude des objets géométriques ou [[analyse (mathématiques)|analytiques]]. On dit qu'un groupe ''opère'' sur un objet ''X'' si chaque élément du groupe réalise une opération sur ''X'' compatible avec la loi du groupe. Par exemple, le groupe diédral D<sub>4</sub> opère sur le carré.

[[Fichier:Sixteenth stellation of icosahedron.png|thumb|Rotations et retournements du groupe de symétries d'un [[grand icosaèdre]].]]

En [[chimie]], notamment en [[cristallographie]]<ref name="bauer">{{harvsp|Bauer|1933}}.</ref>, les [[groupe d'espace|groupes d'espaces]] et [[Groupe ponctuel de symétrie|groupes ponctuels de symétrie]] décrivent des [[symétrie moléculaire|symétries moléculaires]] et les symétries de cristaux. Ces symétries sous-tendent le comportement chimique et physique de ces systèmes et la théorie des groupes permet la simplification de l'[[mécanique quantique|analyse quantique]] de ces propriétés. Par exemple, la théorie des groupes est utilisée pour montrer que des transitions d'atomes entre certains niveaux quantiques ne peuvent pas se produire à cause de la symétrie des niveaux<ref name="bauer"/>.

Les groupes ne sont pas seulement utiles pour estimer les implications des symétries dans les molécules, mais il prédisent aussi, de façon surprenante, que les molécules peuvent parfois changer de symétrie. L’[[effet Jahn-Teller]], connu aussi en tant que « distorsion Jahn-Teller », décrit la distorsion de la géométrie des [[molécule]]s non-linéaires dans certaines situations. Historiquement, cet effet a été proposé dans un théorème publié en 1937 par [[Hermann Arthur Jahn]] et [[Edward Teller]], dans lequel ils démontrent que toute molécule non-linéaire possédant un niveau électronique fondamental [[dégénérescence (physique)|dégénéré]] subira une distorsion géométrique qui lèvera cette dégénérescence, ce qui aura pour effet de diminuer l’énergie totale de la molécule.

De même, la théorie des groupes aide à prévoir les changements dans les propriétés physiques qui se produisent quand un matériau subit une [[transition de phase]], par exemple, d'une forme cristalline cubique en une forme tétraédrique. Ainsi les matériaux [[ferroélectrique]]s, dans lesquels le changement d'une phase paraélectrique à une phase ferroélectrique se produit à la [[température de Curie]] et est lié à un changement de l'état hautement symétrique paraélectrique à un état ferroélectrique de moindre symétrie, accompagné d'un mode appelé ''[[phonon]]'', c'est-à-dire un « paquet élémentaire de vibration » qui s'étend de la fréquence zéro à la transition.

Une telle [[brisure spontanée de symétrie]] a trouvé une application en physique des particules élémentaires, où son apparition est reliée à l'apparition de [[Boson de Goldstone|bosons de Goldstone]].

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|-
|width=15%| [[Fichier:C60a.png|125px]]
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|width=14%| [[Fichier:Cubane-3D-balls.png|125px]]
|width=36%| [[Fichier:Hexaaquacopper(II)-3D-balls.png|125px]]
|width=15%| [[Fichier:Uniform tiling 73-t2 colored.png|125px]]
|-
| Le [[buckminsterfullerène]] possède une<br />[[Icosaèdre#Groupe de symétrie|symétrie icosaédrique]].
|L'[[ammoniac]], [[azote|N]][[hydrogène|H<sub>3</sub>]]. Son groupe de symétries est d'ordre 6, engendré par une rotation de 120° et une réflexion.
|Le [[Cubane]] [[Carbone|C<sub>8</sub>]][[Hydrogen|H<sub>8</sub>]] est caractérisé par<br />une [[symétrie octaédrique]].
|L'[[Complexe (chimie)|ion complexe]] Hexaaquacopper(II), [Cu(OH<sub>2</sub>)<sub>6</sub>]<sup>2+</sup>. Comparé à une forme parfaitement symétrique, la molécule est dilatée verticalement d'environ 22 % (effet Jahn-Teller).
|Le groupe de triangle (2,3,7), un groupe hyperbolique, opère sur ce [[pavage]] du [[géométrie hyperbolique|plan hyperbolique]].
|}

Les groupes de symétries finis comme le [[groupe de Mathieu]] sont utilisés en [[théorie des codes]], qui est à son tour appliquée à la [[Forward Error Correction|correction préventive d'erreurs]] de données transmises et dans les [[lecteur de CD|lecteurs de CD]]. Une autre application est la [[théorie de Galois différentielle]], qui caractérise les fonctions possédant des [[primitive]]s d'une certaine forme, ce qui donne des critères de théorie des groupes pour déterminer quand certaines [[équation différentielle|équations différentielles]] se comportent bien. Les propriétés géométriques qui restent stables par une action de groupe sont étudiées en {{Lien|théorie géométrique des invariants|trad=Geometric invariant theory}}.

=== Groupe général linéaire et théorie des représentations ===
{{Article détaillé|Groupe général linéaire|Représentation de groupe}}
[[Fichier:Matrix multiplication.svg|thumb|250px|Deux [[vecteur]]s (illustration de gauche) multipliés par des matrices (illustrations du milieu et de droite). L'illustration centrale représente une rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, alors que celle de droite consiste à étirer l'abscisse en la multipliant par 2.]]
Un {{Lien|groupe de matrices|trad=Matrix group}} est constitué de [[matrice (mathématiques)|matrices]] et muni de la [[multiplication matricielle]].
Le ''[[groupe général linéaire]]'' ''GL''(''n'','''R''') contient toutes les [[matrice inversible|matrices inversibles]] à ''n'' lignes et ''n'' colonnes et coefficients [[nombre réel|réels]]. Le groupe diédral mentionné ci-dessus peut être vu comme un très petit groupe de matrices. Un autre groupe de matrices très important est le [[Groupe orthogonal|groupe spécial orthogonal]] ''SO''(''n''). Il décrit toutes les rotations possibles à ''n'' dimensions. Via les [[angles d'Euler]], les [[matrice de rotation|matrices de rotation]] sont utilisées en [[infographie]] pour la [[synthèse d'image]]s.

La théorie des représentations est à la fois une application du concept de groupe et important pour une compréhension plus profonde de ce concept. Elle consiste à étudier un groupe par son action sur d'autres espaces. Une grande catégorie de représentations de groupes est celle des représentations linéaires, lorsque le groupe opère sur un [[espace vectoriel]] comme l'[[espace euclidien]] à trois dimensions. Une représentation d'un groupe ''G'' sur un espace vectoriel réel à ''n'' dimensions est simplement un morphisme de groupes 
:''ρ'': ''G'' → ''GL''(''n'', '''R''')
du groupe ''G'' vers le groupe général linéaire. De cette façon, l'opération de groupe, qui peut être définie de façon abstraite, est transposée en la multiplication de matrices, ce qui la rend accessible à des calculs explicites.

Étant donnée une action de groupe, cela donne des moyens supplémentaires pour étudier l'objet sur lequel le groupe opère. Mais aussi des informations sur le groupe lui-même. Les représentations de groupes sont un principe d'organisation de la théorie des groupes finis, des groupes de Lie, des [[groupe algébrique|groupes algébriques]] et des [[groupe topologique|groupes topologiques]], en particulier les groupes [[groupe compact|compacts]] ou [[groupe localement compact|localement compacts]].

=== Groupes de Galois ===
{{Article détaillé|Groupe de Galois}}
Les ''groupes de Galois'' ont été développés pour aider à la résolution d'[[équation polynomiale|équations polynomiales]] en identifiant leurs symétries. Par exemple, les solutions de l'[[équation du second degré|équation quadratique]] {{nobr|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} sont données par :
:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>
L'échange de « + » et « - » dans l'expression, c'est-à-dire la permutation des deux solutions de l'équation, peut être vu comme une action de groupe très simple. Des formules similaires sont connues pour les [[équation cubique|équations cubiques]] et [[équation quartique|quartiques]], mais n'existent pas en général pour les équations polynomiales de degré 5 ou davantage. Les propriétés abstraites des groupes de Galois associés à des [[polynôme]]s donnent un critère permettant de déterminer si une équation polynomiale est résoluble par radicaux, c'est-à-dire si les solutions peuvent être exprimées à partir des coefficients du polynôme en utilisant seulement l'addition, la multiplication et les [[racine d'un nombre|racines n{{e}}]], comme dans la formule ci-dessus.

Le problème peut être traité en utilisant la [[théorie des corps]], en considérant le [[corps de rupture]] du polynôme. La [[théorie de Galois]] moderne généralise les groupes de Galois évoqués ci-dessus aux [[extension de corps|extensions de corps]] et établit, par le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]], une relation précise entre les corps et les groupes, soulignant une fois de plus le rôle important des groupes dans les divers champs des mathématiques.

== Groupes finis ==
{{Article détaillé|Groupe fini}}
Un groupe est dit ''fini'' s'il possède un [[ensemble fini|nombre fini d'éléments]]. Le nombre de ses éléments est appelé l'''[[ordre d'un groupe|ordre]]'' de ce groupe. Les [[groupe symétrique|groupes symétriques]] ''S''<sub>''N''</sub>, groupes des [[permutation]]s de ''N'' lettres, sont particulièrement importants. Par exemple, le {{Lien|Groupe diédral d'ordre 6|trad=Dihedral group of order 6|texte=groupe symétrique sur 3 lettres}} ''ABC'' contient les six permutations des trois lettres : ''ABC'', ''ACB'', ''BAC'', ''BCA'', ''CAB'' et ''CBA''. Ces groupes sont importants car tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique ''S''<sub>''N''</sub>, pour une certaine valeur de ''N'' ([[théorème de Cayley]]). De manière analogue au groupe des symétries du carré vu plus haut, ''S''<sub>3</sub> peut être vu comme le groupe des symétries d'un [[triangle équilatéral]].

L'''ordre'' d'un élément ''a'' d'un groupe ''G'' est le plus petit entier positif ''n'' tel que {{nobr|''a''<sup>''n''</sup> {{=}} ''e''}}, où ''a''<sup>''n''</sup> représente
: <math>\underbrace{{} \  a \ \cdots\  a\  {}}_{n \text{ facteurs}},</math>
c'est-à-dire la répétition de l'opération • sur ''n'' copies de ''a''. Dans un groupe infini, un tel ordre ''n'' peut ne pas exister, dans ce cas on dit que l'ordre de ''a'' est l'[[infini]]. L'ordre d'un élément est égal à l'ordre du [[groupe cyclique]] engendré par cet élément.

Des techniques de comptage plus sophistiquées produisent des informations plus précises sur les groupes finis : le [[théorème de Lagrange sur les groupes|théorème de Lagrange]] indique que, pour un groupe fini ''G'', l'ordre de tous sous-groupe ''H'' de ''G'' [[diviseur|divise]] l'ordre de ''G''. Les [[théorèmes de Sylow]] donnent des réciproques partielles.

Le [[groupe diédral]] ''D''<sub>4</sub> est un groupe fini d'ordre 8. L'ordre de r<sub>1</sub> est 4, de même que l'ordre du sous-groupe ''R'' engendré par cette rotation. L'ordre des réflexions f<sub>v</sub> etc, est 2. Ces ordres divisent 8, comme l'indique le théorème de Lagrange.
=== Classification des groupes simples finis ===
{{Article détaillé|Classification des groupes simples finis}}
La classification des groupes finis mène rapidement à des mathématiques profondes et difficiles. D'après le [[théorème de Lagrange sur les groupes|théorème de Lagrange]], les groupes finis d'ordre ''p'', où ''p'' est un [[nombre premier]], sont nécessairement cycliques, donc abéliens et isomorphes à '''Z'''<sub>''p''</sub>. On peut également montrer que les groupes d'ordre ''p''<sup>2</sup> sont abéliens. Ce résultat ne se généralise pas à ''p''<sup>3</sup>, comme le montre le groupe diédral ''D''<sub>4</sub> non abélien d'ordre 8&nbsp;=&nbsp;2<sup>3</sup>. Un [[système de calcul formel]] peut être utilisé pour établir une [[liste des petits groupes]], mais il n'existe aucune classification de tous les groupes finis.

Une étape intermédiaire est la [[classification des groupes simples finis]]. Un groupe ''G'' non [[groupe trivial|trivial]] est dit [[groupe simple|simple]] si ses seuls [[sous-groupe normal|sous-groupes normaux]] sont son sous-groupe trivial (réduit à l'élément neutre) et le groupe ''G'' lui-même. Le [[théorème de Jordan-Hölder]] désigne les groupes simples comme étant les « briques » utilisées pour construire tous les groupes finis. L'élaboration de la [[liste des groupes finis simples]] fut un résultat majeur de la théorie des groupes contemporaine<ref>Voir par exemple {{Article|auteur=Lluis Puig|url=http://archive.numdam.org/article/SB_1981-1982__24__101_0.pdf|titre=La classification des groupes finis simples : bref aperçu et quelques conséquences internes|revue=[[Séminaire Bourbaki]]|issue=24|year=1981-1982}}.</ref>. [[Richard Borcherds]], lauréat de la [[médaille Fields]] en 1998, parvint à prouver les conjectures ''[[monstrous moonshine]]'', une relation surprenante et profonde entre le plus grand [[groupe sporadique]] fini simple (le ''[[groupe Monstre]]'') et certaines [[forme modulaire|formes modulaires]], qui font partie de l'[[analyse complexe]] et de la [[théorie des cordes]], une théorie supposée unifier la description de nombreux phénomènes physiques.

== Groupes munis d'une autre structure ==
De nombreux groupes sont en même temps des exemples d'autres structures mathématiques. Dans le langage de la [[théorie des catégories]], il existe des groupes dans une catégorie, ce qui signifie qu'il existe des objets (c'est-à-dire des exemples d'une autre structure mathématique) accompagnés de transformations (appelées [[morphisme]]s) qui imitent les axiomes de groupe. Par exemple, chaque groupe est aussi un ensemble, donc un groupe est un ''objet'' groupe dans la catégorie des ensembles.

=== Groupes topologiques ===
{{Article détaillé|Groupe topologique}}
[[Fichier:Circle as Lie group2.svg|thumb|Le [[cercle trigonométrique]] du [[plan complexe]] muni de la multiplication usuelle est un groupe. Il est topologique car la multiplication est continue. C'est aussi une [[variété (géométrie)|variété]] car chaque [[voisinage (mathématiques)|petit morceau]] (comme celui indiqué en rouge) est semblable à la [[droite réelle]]. Ces deux propriétés en font un [[groupe de Lie]].]]
Certains [[espace topologique|espaces topologiques]] peuvent être munis d'une loi de groupe. Pour que la loi du groupe et la topologie interagissent correctement, les opérations du groupe doivent être [[Continuité (mathématiques)|continues]], c'est-à-dire que {{nobr|''g'' • ''h'',}} et ''g''<sup>−1</sup> ne doivent pas beaucoup varier si ''g'' et ''h'' varient peu. De tels groupes sont dits ''groupes topologiques''. Les exemples les plus courants sont le groupe additif des [[nombres réels]], le groupe multiplicatif des réels non nuls et de même, (''K'', +) et {{nobr|(''K'' \ {0}, ×)}} pour tout [[corps topologique]] ''K'', comme le corps des [[nombres complexes]] ou celui des [[Nombre p-adique|nombres {{math|''p''}}-adiques]]. Lorsque — comme dans ces six exemples — le groupe est [[groupe topologique localement compact|localement compact]], il a une [[mesure de Haar]] et peut donc être étudié via l'[[analyse harmonique]]. La mesure de Haar offre un formalisme abstrait des [[intégrale (mathématiques)|intégrales]] invariantes. L'invariance signifie, dans le cas de ('''R''', +) par exemple :
: <math>\int f(x)\,{\rm d}x = \int f(x+c)\,{\rm d}x</math>
pour toute constante ''c''. Les groupes de matrices à coefficients dans ces corps relèvent de ce régime, comme les [[anneau adélique|anneaux adèles]] et les {{Lien|trad=Adelic algebraic group|Groupe algébrique adélique|texte=groupes algébriques adéliques}}, qui sont fondamentaux en théorie des nombres. Les groupes de Galois d'extensions de corps infinis comme le [[groupe de Galois absolu]] peuvent aussi être équipés d'une topologie, la [[Groupe profini|topologie de Krull]], qui est à son tour centrale pour généraliser la connexion entre les corps et les groupes d'extensions de corps infinis esquissée plus haut. Une généralisation avancée de cette idée, adaptée aux besoins de la [[géométrie algébrique]], est le {{Lien|trad=Étale fundamental group|groupe fondamental étale}}.

=== Groupes de Lie ===
{{Article détaillé|Groupe de Lie}}
Les '''groupes de Lie''' (du nom de [[Sophus Lie]]) sont des groupes qui ont une structure de [[variété différentiable]], c'est-à-dire qui sont des espaces [[difféomorphisme|localement semblables]] à un [[espace euclidien]] d'une certaine [[dimension]]. Là encore, la structure additionnelle — ici, la structure de variété — doit être compatible avec celle de groupe, c'est-à-dire que les fonctions correspondant à la multiplication et à l'inverse doivent être [[différentielle|différentiables]].

Un exemple standard est le [[groupe général linéaire]] introduit plus haut : il est un [[ouvert (topologie)|sous-ensemble ouvert]] de l'espace de toutes les matrices carrées à ''n'' lignes et ''n'' colonnes car défini par l'ensemble des matrices carrées ''A'' telles que 
:det (''A'') ≠ 0,
où det désigne le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]], qui est une application continue.

Les groupes de Lie sont d'une importance fondamentale en physique : le [[théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]] exprime l'équivalence qui existe entre les [[loi de conservation|lois de conservation]] et l'invariance des [[loi physique|lois physiques]] en ce qui concerne les [[symétrie (physique)|symétries en physique]]. Les [[Rotation plane|rotations]], ainsi que les [[translation (géométrie)|translations]] dans l'[[espace (notion)|espace]] et le [[temps]], sont des symétries de base des lois de la [[mécanique (science)|mécanique]]. Elles peuvent notamment être utilisées pour construire des modèles simples — imposer par exemple un axe de symétrie à une situation conduit généralement à une nette simplification des équations nécessaires à sa description physique. Un autre exemple est la [[transformation de Lorentz]], qui relie les mesures du temps et de la vitesse de deux observateurs en mouvement relatif. Elle peut être déduite par un raisonnement purement théorique sur le groupe des [[transformations de Galilée]] de l'[[espace de Minkowski]]. Ce dernier sert — en l'absence d'une [[gravitation]] significative — à modéliser l'[[espace-temps]] en [[relativité restreinte]]. Le groupe des [[isométrie]]s de l'espace de Minkowski est appelé [[Groupe de Poincaré (transformations)|groupe de Poincaré]]. De ce fait, celui-ci joue un rôle pivot en relativité restreinte et, par conséquent, pour la [[théorie quantique des champs]].

== Généralisations ==
{| class="wikitable right" style="text-align:center"
|+ Structures algébriques {{nobr|semblables aux groupes}}
|-
| 
! scope=col | [[Associativité]]
! scope=col | [[élément neutre|Neutre]]
! scope=col | [[élément symétrique|Symétrique]]
|-
! scope=row | Groupe
| {{oui}} || {{oui}} || {{oui}}
|-
! scope=row | [[Monoïde]]
|{{oui}} || {{oui}} || {{non}}
|-
! scope=row | [[Demi-groupe]]
|{{oui}} || {{non}} || {{non}}
|-
! scope=row | [[Magma (algèbre)|Magma]]
|{{non}} || {{non}} || {{non}}
|}

En [[algèbre générale]], des structures plus générales sont définies en omettant certains axiomes de la définition des groupes. Par exemple, si la condition que chaque élément possède un symétrique est éliminée, on obtient une structure algébrique appelée [[monoïde]]. Les [[nombre entier naturel|nombres entiers naturels]] '''N''', munis de l'addition, forment un monoïde, de même que l'ensemble des entiers relatifs non nuls munis de la multiplication {{nobr|('''Z''' \ {0}, ·)}} vu plus haut. Il existe une méthode générale pour ajouter de façon formelle des symétriques aux éléments d'un monoïde commutatif, de façon analogue à celle dont {{nobr|('''Q''' \ {0}, ·)}} est dérivé de {{nobr|('''Z''' \ {0}, ·)}}. Le groupe ainsi obtenu est appelé [[groupe de Grothendieck]] du monoïde.

Un [[Catégorie groupoïde|groupoïde]] est semblable à un groupe, si ce n'est que la loi ''a''&nbsp;•&nbsp;''b'' n'est pas définie pour tous les éléments ''a'' et ''b''. Les groupoïdes apparaissent dans l'étude de formes plus compliquées de symétries, souvent dans les structures topologiques ou analytiques, comme le [[Groupe fondamental#Groupoïde fondamental (ou groupoïde de Poincaré)|groupoïde fondamental]]. Le tableau ci-contre donne différentes structures généralisant celle de groupe.
{{clr}}
<!--
{{refnec|il existe 129 groupoides commutatifs à 5 éléments; mais comment les construire ?|date=avril 2010}}
-->
== Décidabilité ==
La théorie des groupes du [[Calcul des prédicats|premier ordre]] est [[Décidabilité|indécidable]]<ref>{{Ouvrage|langue=Anglais|auteur1=Alfred Tarski|titre=Undecidable Theories|lieu=|éditeur=|année=1953|pages totales=|isbn=|lire en ligne=|passage=}}.</ref> : il n'existe pas d'[[algorithme]] qui prend en entrée une formule du premier ordre et qui dit si la formule est vraie dans tous les groupes. {{Lien|lang=de|Wanda Szmielew}}, étudiante de [[Tarski]], a démontré que la théorie du premier ordre des groupes abéliens est décidable<ref>{{Article|lang=en|prénom1=Wanda|nom1=Szmielew|titre=Elementary properties of Abelian groups|périodique=[[Fundamenta Mathematicae|Fund. Math.]]|volume=41|issue=2|year=1955|p.=203-271|lire en ligne=https://eudml.org/doc/213354}}.</ref>.

== Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Group (mathematics)|282515541|type=n}}
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | wikiversity = Théorie des groupes
 | wikiversity titre = Théorie des groupes
}}
===Articles connexes===
{{Colonnes|nombre=3|
* [[Groupe abélien de type fini]]
* [[Groupe ax + b]]
* [[Groupe de Klein]]
* [[Groupe de Lie]]
* [[Groupe symétrique]]
* [[Groupe ponctuel de symétrie]]
* [[Groupe simple]]
* [[Groupe résoluble]]
* [[Groupe sporadique]]
* [[Ordre (théorie des groupes)|Ordre d'un sous-groupe, ordre d'un élément]]
* [[Partie génératrice d'un groupe]]
* [[produit direct (groupes)|Produit direct]]
* [[Produit semi-direct]]
* [[réseau (géométrie)|Réseau]]
}}
=== Bibliographie ===
*Jean Fresnel, ''Groupes'', Paris, Hermann, 2001 {{ISBN|978-2-7056-1448-5}}
* {{Ouvrage
 | titre       = Introduction à la théorie des groupes de Lie
 | éditeur     = Springer
 | auteur      =[[Roger Godement]]
 | année       = 2004
 | lieu        = 
 | publi       = 
 | pages       = 305
 | isbn        = 3540200347
}}
* {{Lang1}}
*Felix Ulmer, ''Théorie des groupes - Cours et exercices'', Ellipses, 2012

{{Palette|Structures algébriques}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des groupes]]
[[Catégorie:Groupe|*]]
[[Catégorie:Structure algébrique]]
[[Catégorie:Algèbre générale]]