Voir la source de Groupe de jauge

En [[géométrie différentielle]], le ''groupe de jauge'' d'un [[fibré principal]] est le [[sous-groupe]] du [[groupe (mathématiques)|groupe]] des [[Automorphisme|automorphismes]] du fibré principal qui envoient ses fibres en elles-mêmes.
La notion de groupe de jauge joue un rôle primordial en [[théorie de jauge]].
En particulier, son action de groupe sur un espace de [[forme de connexion|formes de connexions]] donne lieu à la notion d'[[espace de module de connexions]], nécessaire à la définition de l'[[homologie de Floer]] d'instantons.

== Définition ==
Soit <math>\pi:P\to B</math> un <math>G</math>-fibré principal sur une [[variété différentielle]] <math>B</math> et soit <math>\Phi:G\to\mathrm{Diff}(P)</math> son [[action de groupe]] agissant par la droite.

Le ''groupe des automorphismes du fibré <math>\pi:P\to B</math>'' est le sous-groupe du groupe des [[difféomorphisme|difféomorphismes]] de <math>P</math> qui se projètent à un difféomorphisme de <math>B</math> :
:<math>\mathrm{Aut}(P,\pi) := \{\tilde{f} \in \mathrm{Diff}(P) | \exists f\in \mathrm{Diff}(B), \pi\circ \tilde{f}=f\circ\pi\}</math>
Le ''groupe des automorphismes du <math>G</math>-fibré principal <math>\pi:P\to B</math>'' est le sous-groupe du groupe des automorphismes du fibré <math>P</math> qui préservent l'action de groupe <math>\Phi</math> :
:<math>\mathrm{Aut}(P,\pi,\Phi) := \{f \in \mathrm{Aut}(P,\pi) | \forall g\in G, f\circ\Phi_g=\Phi_g\circ f\}</math>
Le ''groupe de jauge'' de <math>P</math> est le sous-groupe du groupe des automorphismes du <math>G</math>-fibré principal <math>P</math> qui envoient les fibres du fibré en elles-mêmes :
:<math>\mathcal{G} := \{\Lambda \in \mathrm{Aut}(P,\pi,\Phi) | \pi\circ\Lambda = \pi\}</math>
Les éléments du groupe de jauge <math>\mathcal{G}</math> sont nommés ''transformations de jauge''.

Les transformations de jauge sont en bijection avec les applications <math>\iota</math>-équivariantes <math>\lambda^\sharp:P\to G</math>, pour <math>\iota</math> l'[[automorphisme intérieur]] du groupe structurel <math>G</math> sur lui-même.
La correspondance est explicitement donnée par :
:<math>\Lambda(a) = \Phi_{\lambda(a)^\sharp}(a), \qquad \forall a\in P</math>
Les applications <math>\iota</math>-équivariantes <math>\lambda^\sharp</math> descendent à des [[Section d'un fibré|sections]] <math>\iota \in \Gamma(\iota P)</math> du [[fibré associé]] :
:<math>\iota P := P\times_\iota G</math>
Lorsque le fibré <math>P</math> est trivialisé via une section trivialisante locale <math>s_\mu:(U_\mu\subset B)\to(\pi^{-1}(U_\mu)\subset P)</math>, les sections <math>\lambda</math> sont trivialisées à des fonctions sur <math>U_\mu</math> à valeurs en <math>G</math> :
:<math>\lambda_\mu := s_\mu^*\lambda^\sharp : U_\mu \to G</math>

== Transformation de jauge d'une forme connexion ==

Soit <math>A</math> une [[forme de connexion]] sur le fibré principal <math>P</math>.
Une transformation de jauge <math>\Lambda</math> agit par [[pull-back]] sur la connexion <math>A</math>:
:<math>\Lambda^*A</math>
C'est aussi une forme de connexion sur <math>P</math>.
Explicitement, un calcul direct montre que la connexion pull-back sur <math>P</math> s'écrit comme :
:<math>A' := \Lambda^*A = \mathrm{Ad}_{\lambda^\sharp}^{-1}\circ A + (\lambda^\sharp)^{-1}d\lambda^\sharp</math>
En utilisant une section trivialisante locale <math>s_\mu</math> du fibré <math>P</math>, cette dernière équation se tire en bas à <math>U_\mu</math> :
:<math>A'_\mu = \mathrm{Ad}_{\lambda_\mu}^{-1}\circ A_\mu + (\lambda_\mu)^{-1}d\lambda_\mu</math>
où <math>A_\mu:=s_\mu^*A</math> et <math>A_\mu':=s_\mu^*A'</math> sont des 1-formes différentielles à valeurs en l'algèbre de Lie <math>\mathfrak{g}</math> sur <math>U_\mu</math>.

En physique, la 1-forme différentielle <math>A_\mu</math> est dit être un ''champ de jauge'' et la transformation <math>A'_\mu = \mathrm{Ad}_{\lambda_\mu}^{-1}\circ A_\mu + (\lambda_\mu)^{-1}d\lambda_\mu</math> est nommée ''transformation de jauge''.
En particulier, dans le cas où le groupe structurel <math>G</math> est [[Groupe abélien|abélien]], e.g. <math>U(1)</math> en [[électromagnétisme]], la transformation de jauge s'écrit plus simplement:
:<math>A'_\mu = A_\mu + d\ln \lambda_\mu</math>

== Applications en physique ==
En [[théorie quantique des champs]], le '''groupe de jauge''' est le [[groupe (mathématiques)|groupe]] de [[symétrie locale]] associé à la théorie considérée. Il s'agit du groupe dont les éléments ne changent pas la valeur du [[lagrangien]] du système étudié lorsqu'ils s'appliquent au [[champ tensoriel|champ]] qui figure dans le lagrangien.

Les groupes de jauge les plus connus sont le [[groupe unitaire]] U(1) pour le [[champ électromagnétique]] et les [[groupe spécial unitaire|groupes spéciaux unitaires]] SU(3) pour la [[chromodynamique quantique]], SU(2)xU(1) pour l'[[interaction électrofaible]], SU(3)xSU(2)xU(1) pour le [[modèle standard (physique)|modèle standard]].

== Voir aussi ==
* [[théorie de jauge]]
* [[théorie de Yang-Mills]]
* [[théorie de Chern-Simons]]
* [[homologie de Floer d'instantons]]

== Livres ==

* 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.


{{Portail|physique}}
[[Catégorie:Théorie de jauge]]
[[Catégorie:Théorie quantique des champs]]