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{{ébauche|géométrie|algèbre}}

En [[mathématiques]], le '''groupe général linéaire''' — ou '''groupe linéaire''' — de degré ''n'' d’un [[corps commutatif]] ''K'' (ou plus généralement : d'un [[anneau commutatif]] [[Anneau unifère|unifère]]) est le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des [[Matrice (mathématiques)|matrices]] ''n''×''n'' [[Matrice inversible|inversibles]] à coefficients dans ''K'', muni de la multiplication matricielle. On le note GL<sub>n</sub>(''K''), ou GL<sub>n</sub> (ici GL(''n'',''K'')). Ces groupes sont importants dans la théorie des représentations de groupes et apparaissent lors de l’étude des [[symétrie]]s et des [[polynôme formel|polynômes]].

GL(''n'', ''K'') et ses sous-groupes sont souvent appelés « groupes linéaires » ou « groupes matriciels ». Le [[#Groupe spécial linéaire|groupe spécial linéaire]], noté SL(''n'',''K'') et constitué des matrices de [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] 1, est un [[sous-groupe normal]] de GL(''n'',''K'').

== Description ==
{{...}}
Pour tout anneau commutatif unifère ''R'', GL(''n'', ''R'') est un groupe pour la multiplication des matrices : c'est le [[groupe des unités]] de l'anneau des matrices ''n × n'' à coefficients dans ''R''.

Si ''n'' ≥ 2, GL(''n'', ''R'') n’est pas [[Groupe abélien|abélien]] (sauf bien sûr si ''R ''est [[Anneau nul|nul]]).

Pour tout corps commutatif ''K'', GL(''n'', ''K'') est [[Partie génératrice d'un groupe|engendré]] par les [[Matrice élémentaire|matrices élémentaires]] de [[transvection]]s et de [[Dilatation (géométrie)|dilatations]] (car les transvections engendrent le [[#Groupe spécial linéaire|groupe spécial linéaire]]).

== Groupe général linéaire ==
=== Groupe général linéaire d’un espace vectoriel ===
Si ''E'' est un [[espace vectoriel]] sur le corps ''K'', on appelle '''groupe général linéaire de E''' et on note GL(''E'') ou Aut(''E''), le groupe des [[Isomorphisme d'espaces vectoriels|automorphismes de ''E'']] muni de la [[composition des applications]].

Si ''E'' est de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] ''n'', alors GL(''E'') et GL(''n'', ''K'') sont [[Isomorphisme de groupes|isomorphes]]. Cet isomorphisme n’est pas canonique et dépend du choix d’une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de ''E''. Une fois cette base choisie, tout automorphisme de ''E'' peut être représenté par une matrice ''n × n ''inversible qui détermine l’isomorphisme.

=== Sur les réels et les complexes ===
Si le corps ''K'' est ℝ (les [[Nombre réel|nombres réels]]) ou ℂ (les [[Nombre complexe|nombres complexes]]), alors GL(''n, K'') est un [[groupe de Lie]] réel ou complexe de dimension ''n''<sup>2</sup>. En effet, GL(''n'') est constitué des matrices de déterminant non nul. Le déterminant étant une application [[Continuité (mathématiques)|continue]] (et même polynomiale), GL(''n'') est un sous-ensemble [[Ouvert (topologie)|ouvert]] non vide de la [[variété (géométrie)|variété]] M(''n'') des matrices ''n''×''n'', or cette variété est de dimension ''n''<sup>2</sup>.

L’[[algèbre de Lie]] associée à GL(''n'') est M(''n'').

GL(''n'') est [[Partie dense|dense]] dans M(''n'').

GL(''n'', ℂ) est [[Connexité (mathématiques)|connexe]] mais pas [[simplement connexe]] : son [[groupe fondamental]] est [[Groupe cyclique|monogène infini]].

GL(''n'',ℝ) possède deux [[composantes connexes]] : les matrices de déterminant positif et celles de déterminant négatif. Les matrices ''n''×''n'' réelles de déterminant positif forment un [[sous-groupe]] de GL(''n'', ℝ), noté GL<sup>+</sup>(''n'', ℝ). Ce dernier est également un groupe de Lie de dimension ''n''<sup>2</sup> et possède la même algèbre de Lie que GL(''n'',ℝ). Son groupe fondamental est monogène : [[Groupe trivial|trivial]] pour ''n'' = 1, infini pour ''n'' = 2 et d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 2 pour ''n'' > 2.

=== Sur les corps finis ===
Si ''K'' est un [[corps fini]] à ''q'' éléments, alors on écrit parfois GL(''n'', ''q'') à la place de GL(''n'', ''K''). C'est un [[groupe fini]] d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] (''q{{exp|n}} ''– 1)(''q{{exp|n}} – q'')(''q{{exp|n}} – q''{{2}}) … (''q{{exp|n}} – q''{{exp|''n''–1}}), ce qui peut être prouvé en comptant les bases d'un [[espace vectoriel fini]].

=== Groupe spécial linéaire ===
Le [[groupe spécial linéaire]] d’ordre ''n'' sur l'anneau commutatif ''R'', noté SL(''n'',''R''), est constitué des matrices de déterminant 1.

C'est un sous-groupe normal de GL(''n'',''R''), puisque c'est le [[Noyau (algèbre)|noyau]] du [[morphisme de groupes]] « déterminant », de GL(''n'', ''R'') dans le groupe multiplicatif ''R''<sup>×</sup> des éléments inversibles de ''R''. D’après le premier [[théorème d'isomorphisme]], le [[groupe quotient]] GL(''n'',''R'')/SL(''n'',''R'') est isomorphe à ''R''<sup>×</sup>. En fait, GL(''n'',''R'') est un [[produit semi-direct]] de SL(''n'',''R'') par ''R''<sup>×</sup> : {{nobr|1=GL(''n'', ''R'') = SL(''n'', ''R'') ⋊ ''R''<sup>×</sup>.}}

Pour un corps ''K'', SL(''n'',''K'') est engendré par les matrices élémentaires de transvections<ref>Cette propriété se généralise à SL(''n'', ''R'') pour tout [[anneau commutatif]] ''R ''[[anneau euclidien|euclidien]] ou [[Anneau local|semi-local]] ({{Ouvrage|lang=en|titre=Serre's Problem on Projective Modules|auteur=[[Tsit Yuen Lam]]|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2006|isbn=978-3-540-34575-6|url={{Google Livres|7K-h_v_JPf8C|page=44}}|page=44}}) mais pas pour tout ''R ''[[Anneau principal|principal]] ({{Ouvrage|lang=en|titre=Algebraic K-Theory and Its Applications|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=147|nom1={{Lien|lang=de|trad=Jonathan Rosenberg (Mathematiker)|Jonathan Rosenberg (mathématicien)|texte=Jonathan Rosenberg}}|éditeur=Springer|année=1994|isbn=978-0-38794248-3|url={{Google Livres|TtMkTEZbYoYC|page=75}}|page=75}}).</ref>.

SL(''n, K'') est le [[groupe dérivé]] de GL(''n, K''), sauf si ''n'' = 2 et ''K'' = [[Corps fini|'''F'''{{ind|2}}]].
{{Démonstration|contenu=
Tout [[Commutateur (théorie des groupes)|commutateur]] {{math|[''u, v''] {{=}} ''u''{{exp|−1}}''v''{{exp|−1}}''uv''}} de deux éléments de GL(''n, K'') est de déterminant 1, donc D(GL(''n, K'')) ⊂ SL(''n, K''). Pour prouver l'inclusion réciproque, il suffit de montrer que toute [[transvection]] différente de l'identité (avec ''n'' ≥ 2) est un commutateur. Comme elles sont toutes [[Conjugaison (algèbre)|conjuguées]], il suffit même de le montrer pour l'une d'entre elles.
*Si ''n'' ≥ 3, alors<center><math>I_n+E_{1,2}=[I_n+E_{1,3},I_n+E_{3,2}].</math></center>
*Si la [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] de ''K'' est différente de 2, alors<center><math>I_n+E_{1,2}=\left[I_n+E_{1,2},\mathrm{Diag}\left(\frac12,1,\ldots,1\right)\right].</math></center>
*Si [[Cardinalité (mathématiques)|Card]](''K'') > 3, alors, pour un élément {{math|''a''}} de ''K'' différent de –1, 0 et 1, on a<center><math>I_n+E_{1,2}=\left[I_n+\frac{a^2}{1-a^2}E_{1,2},\mathrm{Diag}(a,a^{-1},1,\ldots,1)\right].</math></center>

Tous les cas sont donc couverts, à plusieurs titres pour la plupart. Quant au groupe GL(2,'''F'''{{ind|2}})=SL(2,'''F'''{{ind|2}}), il est isomorphe au [[groupe symétrique]] S{{ind|3}}, dont le groupe dérivé est le [[groupe alterné]] A{{ind|3}}.

Les mêmes techniques permettent de montrer que tous les groupes SL(''n, K'') sont [[Groupe parfait|parfaits]], sauf SL(2,'''F'''{{ind|2}}) et SL(2,'''F'''{{ind|3}}).}}

Lorsque ''K'' est ℝ ou ℂ, SL(''n'') est un sous-[[groupe de Lie]] de GL(''n'') de dimension ''n''<sup>2</sup>-1. L'[[algèbre de Lie]] de SL(''n'') est formée des matrices ''n''×''n'' à coefficients réels ou complexes de [[trace (algèbre)|trace]] nulle.

Le groupe spécial linéaire SL(''n'',ℝ) peut être vu comme le groupe des [[endomorphisme linéaire|transformations linéaires]] de ℝ<sup>''n''</sup> préservant le volume et l’orientation.

=== Groupe projectif linéaire ===
Le {{Lien|trad=Projective linear group|groupe projectif linéaire}} PGL(''E'') d’un espace vectoriel ''E'' sur un corps commutatif ''K'' est le groupe quotient GL(''E'')/Z(''E''), où Z(''E'') est le [[Centre d'un groupe|centre]] de GL(''E''), c'est-à-dire le sous-groupe formé des [[homothétie]]s non nulles. Le groupe projectif spécial linéaire PSL(''E'') d'un espace ''E'' de dimension finie est le groupe quotient de SL(''E'') par son centre SZ(''E''), c'est-à-dire par le sous-groupe formé des homothéties de déterminant 1<ref>Pour ces définitions, voir par exemple {{Rotman1}}, {{4e}} édition, tirage de 1999, p. 222-223.</ref>. Si ''E = K{{exp|n}}'', ils sont notés respectivement PGL(''n, K'') et PSL(''n, K''). Le groupe projectif spécial linéaire PSL(''n'', '''F'''{{ind|''q''}}) d’un corps fini '''F'''{{ind|''q''}} est parfois noté [[Liste des groupes finis simples#Groupes de Chevalley linéaires An(q)|''L{{ind|n}}''(''q'')]].

Cette dénomination de « groupe projectif » vient de la [[géométrie projective]], où le groupe projectif agissant sur les coordonnées homogènes (''x''<sub>0</sub>:''x''<sub>1</sub>: … :''x''<sub>''n''</sub>) est le groupe sous-jacent de cette géométrie (en conséquence, le groupe PGL(''n''+1,''K'') agit sur l'[[espace projectif]] de dimension ''n''). Le groupe projectif linéaire généralise donc le groupe PGL(2) des [[Transformation de Möbius|transformations de Möbius]], parfois appelé le groupe de Möbius.

Tous les groupes PSL(''n, K'') pour ''n ''≥ 2 sont [[Groupe simple|simples]], sauf PSL(2, '''F'''{{ind|2}}) et PSL(2, '''F'''{{ind|3}})<ref>Pour une démonstration, voir par exemple {{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|loc=theor. 9.46, p. 279-280}}.</ref>.

=== Sur les entiers relatifs ===
Une matrice carrée à coefficients dans un [[anneau commutatif]] ''R ''est inversible (i.e. possède une [[matrice inverse]] également à coefficients dans ''R'') si et seulement si son déterminant est inversible dans ''R'' (si ''R'' n'est pas un corps, il ne suffit donc pas que le déterminant soit non nul). Les éléments de GL(''n'', ℤ) sont donc les matrices ''n × n'' à coefficients [[Entier relatif|entiers]] de déterminant égal à 1 ou –1. Le [[groupe modulaire]] est le groupe PSL(2,  ℤ).

== Sous-groupes ==
=== Diagonaux ===
L’ensemble des [[Matrice diagonale|matrices diagonales]] de déterminant non nul forme un sous-groupe de GL(''n'', ''K'') isomorphe à (''K''<sup>×</sup>)<sup>n</sup>. Il est engendré par les dilatations.

Une [[Matrice diagonale#Matrice scalaire|matrice scalaire]] est une matrice d'homothétie, c'est-à-dire une matrice diagonale qui est le produit de la [[matrice identité]] par une constante. L’ensemble des matrices scalaires non nulles, parfois noté Z(''n'',''K''), forme un sous-groupe de GL(''n'', ''K'') isomorphe à ''K''<sup>×</sup>. Ce groupe est le centre de GL(''n'', ''K''). Il est donc normal dans GL(''n'', ''K'') et abélien.

Le centre de SL(''n'',''K''), noté SZ(''n'',''K''), est simplement l’ensemble des matrices scalaires de déterminant 1. Il est isomorphe au groupe des [[Racine de l'unité|racines n-ièmes de 1]].

=== Classiques ===
Les groupes classiques sont les sous-groupes de GL(''E'') qui préservent une partie du produit interne sur ''E''. Par exemple :
* le [[groupe orthogonal]], O(''E''), qui préserve une forme bilinéaire symétrique sur ''E'' ;
* le [[groupe symplectique]], Sp(''E''), qui préserve une forme bilinéaire antisymétrique (dite aussi ''alternée'') sur ''E'' ;
* le [[groupe unitaire]], U(''E''), qui préserve une forme hermitienne sur ''E'' (quand ''K'' est ℂ).

Ces groupes sont des exemples importants de groupes de Lie.

== Groupe général linéaire infini ==
Le groupe général linéaire « infini », ou « stable », d'un [[anneau unitaire]] ''A ''est la [[limite inductive]] de la suite des GL(''n'', ''A''), pour les inclusions par [[Matrice par blocs|blocs]] supérieurs gauches :
<center><math>GL(n,A)\to GL(n+1,A),\quad M\mapsto\begin{pmatrix}M&\begin{matrix}0\\\vdots\\0\end{matrix}\\\begin{matrix}0&\ldots&0\end{matrix}&1\end{pmatrix}.</math></center>

On le note GL(''A'') ou GL({{math|∞}}, ''A''). On peut voir ses éléments comme les matrices infinies inversibles qui ne diffèrent de la matrice identité (infinie) que par un nombre fini de leurs coefficients. Le [[lemme de Whitehead]] permet de calculer son groupe dérivé.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|General linear group|182399788|type=note}}
<references/>

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Application linéaire]]
[[Catégorie:Groupe remarquable|Général linéaire (groupe)]]
[[Catégorie:Groupe de Lie]]
[[Catégorie:Théorie des groupes]]
[[Catégorie:Groupe algébrique]]
[[Catégorie:Groupe classique]]