Voir la source de Groupe super-résoluble

En [[algèbre]], un '''[[Groupe (mathématiques)|groupe]]''' est dit '''super-résoluble''' s'il possède une [[Suite principale d'un groupe#Définition|suite normale]]
:<center><math>G=G_0\supset G_1\supset\dots\supset G_r=\{e\}</math></center>
(avec ''G{{ind|i}}'' [[Sous-groupe normal|normal]] dans ''G'')
dont tous les [[Groupe quotient|quotients]] ''G{{ind|i}}''/''G''{{ind|''i''+1}} sont [[Groupe cyclique|cycliques]].

== Lien avec la résolubilité ==
Détaillons les implications strictes :
<center>super-résoluble ⇒ polycyclique ⇒ résoluble.</center>
* Tout groupe super-résoluble est {{Lien|langue=en|trad=Polycyclic group|fr=Groupe polycyclique|texte=polycyclique}} (notion plus faible où l'on demande seulement que chaque ''G''{{ind|''i''+1}} soit normal dans ''G{{ind|i}}'').
* Tout groupe polycyclique est [[Groupe résoluble|résoluble]] (notion encore plus faible où de plus, on demande seulement que les [[Groupe quotient|quotients]] ''G{{ind|i}}''/''G''{{ind|''i''+1}} soient [[Groupe abélien|abéliens]]). Plus précisément, un groupe est polycyclique si et seulement s'il est résoluble et tous ses [[sous-groupe]]s sont [[Groupe de type fini|de type fini]].
* Le [[groupe alterné]] A{{ind|4}} est polycyclique (car fini et résoluble) mais pas super-résoluble, puisque son seul sous-groupe normal non [[Groupe trivial|trivial]] (le [[groupe de Klein]]) n'est pas cyclique.
* Pour tout ''n'' ≥ 2, le [[groupe de Baumslag-Solitar]] BS(1, ''n'') = [[Présentation d'un groupe|⟨''a'', ''b'' <nowiki>|</nowiki> ''bab''{{-1}} = ''a{{exp|n}}''⟩]] est résoluble mais pas polycyclique, car son sous-[[groupe dérivé]] est [[Localisation (mathématiques)|ℤ<nowiki>[</nowiki>1/''n''<nowiki>]</nowiki>]].

== Propriétés ==
* Tout [[groupe nilpotent]] dont l'[[abélianisé]] est de type fini est super-résoluble.
* Tout {{Lien|langue=en|trad=Metacyclic group|fr=groupe métacyclique}} est super-résoluble. En particulier, tout {{Lien|langue=en|trad=Z-group|fr=Z-groupe}} ([[groupe fini]] dont les [[Théorèmes de Sylow|sous-groupes de Sylow]] sont cycliques) est super-résoluble.
* La classe des groupes super-résolubles est stable par sous-groupes, quotients et [[Produit direct (groupes)|produits]] finis.
* Le groupe dérivé d'un groupe super-résoluble est nilpotent.
* Tout groupe fini super-résoluble possède une suite normale dont tous les quotients sont d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] [[Nombre premier|premier]]. On peut même ordonner ces nombres premiers : pour tout nombre premier ''p'', si ''π'' désigne l'ensemble des nombres premiers qui lui sont strictement supérieurs, tout groupe fini super-résoluble a un unique ''π''-[[sous-groupe de Hall]] (''[[i. e.]]'' dont l'ordre a pour [[facteurs premiers]] des éléments de ''π'' et l'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] n'est divisible par aucun élément de ''π''). Un tel groupe est donc « à tour de Sylow ''ordonnée'' »<ref>{{Article|lang=de|titre=Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen|auteur={{Lien|lang=de|Bertram Huppert}}|revue=Mathematische Zeitschrift|year=1954|vol=60|p.=409-434|url=https://eudml.org/doc/169440}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://math.stackexchange.com/questions/1831780/supersolvable-groups-and-sylow-towers|titre=Supersolvable groups and sylow towers|site=math[[Stack Exchange Network|stackexchange]]|mois=juin|year=2016}}.</ref> (tandis que [[Groupe alterné|A{{ind|4}}]], par exemple, n'a qu'une tour de Sylow non ordonnée).
* Un groupe fini ''G'' est super-résoluble si et seulement si tous ses sous-groupes (y compris lui-même) vérifient la « [[Théorème de Lagrange sur les groupes#Réciproques partielles|réciproque du théorème de Lagrange]] » : pour tout diviseur ''d'' de l'ordre d'un sous-groupe ''H'' de ''G'', ''H'' a au moins un sous-groupe d'ordre ''d''<ref>{{Article|lang=en|auteur=W. E. Deskins|titre=A characterization of finite supersolvable groups|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=75|issue=2|year=1968|p.=180-182|jstor=2315903}}. Le « seulement si » est aussi démontré dans {{Article|lang=en|auteur=Henry G. Bray|titre=A note on CLT
groups|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P|Pacific J. Math.]]|vol=27|issue=2|year=1968|p.=229-231|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102983900}}.</ref>.
* Tout groupe fini super-résoluble est {{Lien|langue=en|trad=Monomial group|fr=Groupe monomial|texte=monomial}}, c'est-à-dire que toutes ses [[Représentation irréductible|représentations complexes irréductibles]] sont [[Représentation induite d'un groupe fini|induites]] par des [[Caractère d'un groupe fini|représentations de degré 1]] de sous-groupes.
* Tout [[sous-groupe maximal]] d'un groupe super-résoluble est d'indice premier.
* Un groupe fini est super-résoluble si (et seulement si) tous ses sous-groupes maximaux sont d'indices premiers.
* Un groupe fini est super-résoluble si et seulement si toutes ses [[Chaîne (ordres)|chaînes]] [[Élément maximal|maximales]] [[Treillis des sous-groupes|de sous-groupes]] ont même longueur.
* Tout groupe super-résoluble d'ordre ''n'' a un [[algorithme]] de [[transformation de Fourier discrète]] de [[complexité en temps]] ''O''(''n'' log ''n'')<ref>{{Article|lang=en|revue=Computational Complexity|year=1991|vol=1|issue=3|p.=235-256|titre=Existence and efficient construction of fast Fourier transforms on supersolvable groups|auteur=Ulrich Baum|doi=10.1007/BF01200062}}.</ref>.

== Références ==
{{Références}}
{{Traduction/Référence|en|Supersolvable group|647547762}}
* {{Article|lang=en|auteur={{Lien|langue=en|fr=Reinhold Baer}}|titre=Supersoluble groups|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|vol=6|year=1955|url=http://www.ams.org/journals/proc/1955-006-01/S0002-9939-1955-0067113-0|p.=16-32}}
* {{Ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|langue=de|fr=Derek John Scott Robinson|texte=Derek J. S. Robinson}}|titre=A Course in the Theory of Groups|numéro dans collection=80|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|year=1996|numéro d'édition=2|url={{Google Livres|lqyCjUFY6WAC|page=150}}|page=150-151}}

== Voir aussi ==
=== Liens externes ===
* {{Lien web|lang=en|titre=Supersolvable group|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Supersolvable_group|site=groupprops.subwiki.org|auteur=Vipul Naik}}
* {{Lien web|lang=en|titre=Supersolubility and some characterizations of finite supersoluble groups|sous-titre=MSci project|url=https://cp1888.files.wordpress.com/2015/01/msci.pdf|auteur=C. J. E. Pinnock|year=1998}}<!--[https://cp1888.files.wordpress.com/2015/01/supersolubility-and-some-characterizations-of-finite-supersoluble-groups-kindle.pdf Kindle friendly PDF]-->

=== Bibliographie ===
* {{en}} Eugene Schenkman, ''Group Theory'', Krieger, 1975
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=Roland Schmidt|titre=Subgroup Lattices of Groups|éditeur=[[de Gruyter]]|year=1994|url={{Google Livres|EuVadOnix5MC}}}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Groupe|Super-résoluble]]