Voir la source de Groupe symétrique

{{Confusion|Groupe de symétrie|Groupe de permutations}}
En [[mathématiques]], plus particulièrement en [[algèbre]], le '''[[Groupe (mathématiques)|groupe]] symétrique''' d'un [[ensemble]] ''E ''est le '''groupe des [[permutation]]s''' de ''E'', c'est-à-dire des [[bijection]]s de ''E ''sur lui-même. N'est traité dans le présent article suite à la définition générale '''que le cas E fini'''.

== Définition ==

Soit ''E ''un [[ensemble]]. On appelle groupe symétrique de ''E ''l'ensemble des [[Fonction (mathématiques)|applications]] [[Bijection|bijectives]] de ''E ''sur ''E ''muni de la [[Composition de fonctions|composition d'applications]] (la loi ∘). On le note ''S''(''E'') ou <math>\mathfrak S(E)</math> (ce caractère est un S [[Fraktur|gothique]]).

Un cas particulier courant est le cas où ''E ''est l'ensemble fini {1, 2, … , ''n''}, ''n'' étant un [[entier naturel]] ; on note alors <math>\mathfrak S_n</math> ou ''S{{ind|n}}''<ref>R. Goblot, ''Algèbre linéaire'', Paris, 2005, p. 58, utilise la notation ''S{{ind|n}}''. Les auteurs anglo-saxons écrivent en général ''S{{ind|E}} ''plutôt que <math>\mathfrak S(E)</math> et ''S{{ind|n}} ''plutôt que <math>\mathfrak S_n</math>.</ref> le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de <math>\mathfrak S_n</math> sont appelés [[permutation]]s et <math>\mathfrak S_n</math> est appelé groupe ''des'' permutations de degré ''n'' ou groupe symétrique d'indice ''n'' (un [[sous-groupe]] du groupe symétrique est appelé un [[Groupe de permutations|groupe ''de'' permutations]]).

Si deux ensembles sont [[équipotent]]s alors leurs groupes symétriques sont [[Isomorphisme de groupes|isomorphes]]. En effet, si ''f'' est une bijection de ''E'' dans ''F'', alors l'application de ''S''(''E'') dans ''S''(''F'') qui à σ associe ''f''∘σ∘''f''{{-1}} est un isomorphisme. En particulier si ''E ''est un [[cardinal d'un ensemble fini|ensemble fini à ''n ''éléments]], alors <math>\mathfrak S(E)</math> est isomorphe à <math>\mathfrak S_n</math>. En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du [[groupe (mathématiques)|groupe]] <math>\mathfrak S_n</math> pour en déduire celles du groupe <math>\mathfrak S(E)</math>. C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur <math>\mathfrak S_n</math>.

=== Origine et importance===

Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un [[polynôme formel|polynôme]] par [[Évariste Galois]] est à l'origine du concept de groupe.

Un [[théorème de Cayley]] assure que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique.

==Propriétés==

Le groupe <math>\mathfrak S_n</math> est d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] [[Factorielle|{{math|''n''!}}]].

Cette propriété peut être prouvée en [[Permutation#Dénombrement des permutations|dénombrant les permutations]]. Il est également possible de faire une [[démonstration par récurrence]], en donnant ainsi un lien entre les groupes symétriques de degrés ''n ''– 1 et ''n''.

{{Démonstration|titre=Démonstration par récurrence sur ''n''|contenu=
:<math>\mathfrak S_1</math> possède un seul élément. 
:Supposons que <math>\mathfrak S_{n-1}</math> possède <math>(n-1)!</math> éléments. Considérons l'application 
::<math>\varphi : 
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
\mathfrak S_n &\to &\{1,\ldots,n\}\times\mathfrak S_{n-1} \\
\sigma & \mapsto & (\sigma(n), \sigma')
\end{array}
\right.</math>
:où <math>\sigma'</math> est la restriction à <math>\{1,\ldots,n-1\}</math> de la permutation <math>\overset{\sim}{\sigma}:=(n, \sigma(n))\circ \sigma</math>.

:<math>\sigma'</math> appartient bien à <math>\mathfrak S_{n-1}</math> car <math>\overset{\sim}{\sigma}(n)=n</math> donc <math>\overset{\sim}{\sigma}(i) < n</math> pour tout <math>1\leq i < n</math> donc <math>\sigma'(i) < n</math> pour tout <math>1\leq i < n</math>.
:On montre la bijectivité de <math>\varphi</math> en exhibant l'application réciproque. On en déduit que le cardinal de <math>\mathfrak S_n</math> est égal à celui de <math>\{1,\ldots,n\}\times\mathfrak S_{n-1}</math> c'est-à-dire <math>n.(n-1)!=n!</math>.}} 

Le groupe symétrique est isomorphe au groupe formé par les [[matrice de permutation|matrices de permutation]] muni de la loi produit : ce sont les matrices ayant un unique coefficient 1 dans chaque ligne et chaque colonne, tous les autres étant nuls.

=== Générateurs du groupe symétrique ===
Une '''transposition''' est un 2-[[Permutation circulaire|cycle]], c'est-à-dire une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. On note (''i'', ''j'') la transposition qui échange l'élément ''i ''avec l'élément ''j''.

Il existe un [[Algorithmique|algorithme]] permettant de [[permutation#Décomposition en produit de transpositions|décomposer une permutation en produit de transpositions]]. Ainsi l'ensemble des transpositions forme un [[Partie génératrice d'un groupe|système de générateurs]] de <math>\mathfrak S_n</math>.

On peut se limiter aux transpositions de la forme {{math|τ{{ind|''i''}} {{=}} (''i'', ''i ''+ 1)}} puisque, pour {{math|''i ''< ''j''}}, il est possible de décomposer
{{retrait|<math>(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1).</math>}}

Ces {{math|''n'' – 1}} générateurs permettent de donner une [[présentation d'un groupe|présentation]] du groupe symétrique, avec les {{sfrac|''n''(''n'' + 1)|2}} relations<ref>{{Ouvrage|id= Coxeter et Moser 1972|lang=en|auteur=[[H. S. M. Coxeter]]|auteur2={{Lien|lang=de|William Oscar Jules Moser|texte=W. O. J. Moser}}|titre=Generators and Relations for Discrete Groups|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année première édition=1957|year=1972|réimpression=2013|numéro d'édition=3|isbn=978-3-66221946-1|page=63}} (6.22).</ref> :
*<math>{\tau_i}^2 = 1,</math>
*<math>\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i \qquad \mbox{si  }  |j-i| > 1,</math>
*<math>{(\tau_i\tau_{i+1}})^3=1.</math>
Il s'agit donc d'un cas particulier de [[groupe de Coxeter]] et même d'un {{Lien|trad=Reflection group|groupe de réflexions}} (ce qui, pour un [[groupe fini]], est en fait équivalent).

Il est possible également de prendre {{math|''n'' – 1}} générateurs — les  transpositions {{math|1=''s{{ind|i}}'' = (''i'', ''n'')}} pour {{math|''i'' < ''n''}} — et {{math|(''n'' – 1){{2}}}} relations<ref>{{Harvsp|Coxeter et Moser 1972|p=64}} (6.28).</ref> :
:<math>s_i^2=(s_is_{i+1})^3=(s_is_{i+1}s_is_j)^2=1\quad(1\le i,j\le n-1,\quad j\ne i,i+1,\quad s_n:=s_1).</math>

Enfin, on peut se contenter de {{math|2}} générateurs — la transposition  {{math|1=τ{{ind|1}} = (1, 2)}} et le cycle {{math|1=''r'' = (1, 2, … , ''n'')}} — et {{math|''n'' + 1}} relations<ref>{{Harvsp|Coxeter et Moser 1972|p=63}} (6.21).</ref> :
:<math>r^n=\tau_1^2=(r\tau_1)^{n-1}=(\tau_1r^{-1}\tau_1r)^3=(\tau_1r^{-j}\tau_1r^j)^2=1\quad(2\le j\le n-2).
</math>

=== Signature ===

On suppose dans cette section que l'entier ''n ''est supérieur ou égal à 2.
{{Article détaillé|Signature d'une permutation}}

Toute permutation se décompose en un produit de transpositions. Ce produit n'est pas unique, mais la [[Parité (arithmétique)|parité]] du nombre de termes d'un tel produit ne dépend que de la permutation. On parle alors de '''permutation paire''' ou '''impaire'''.

La signature d'une permutation {{math|σ}}, notée {{math|sgn(σ)}} ou {{math|ε(σ)}}, est définie par :
:<math>\operatorname{sgn}(\sigma)=\varepsilon(\sigma)=\left\{\begin{array}{cl} +1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est paire } \\ -1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est impaire } \end{array}\right.</math>

L'application signature est un [[morphisme de groupes]] de <math>(\mathfrak S_n,\circ)</math> dans ({–1, 1}, ×). 
Le [[Noyau (algèbre)|noyau]] de ce morphisme, c’est-à-dire l'ensemble des permutations paires, est appelé le [[groupe alterné]] de degré ''n'', noté <math>\mathfrak A_n</math> (ce caractère est un A [[Fraktur|gothique]]).
<math>\mathfrak A_n</math> est donc un [[sous-groupe normal]] de <math>\mathfrak S_n</math> et le [[groupe quotient]] <math>\mathfrak S_n/\mathfrak A_n</math> est [[Théorèmes d'isomorphisme#Premier théorème d'isomorphisme|isomorphe à l'image]] {–1, 1} du morphisme signature. Par conséquent, <math>\mathfrak A_n</math> est d'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] 2 dans <math>\mathfrak S_n</math>, donc d'ordre ''n''!/2. (Ou plus concrètement : <math>\mathfrak A_n</math> et son complémentaire dans <math>\mathfrak S_n</math> sont de même cardinal car pour ''t ''transposition de <math>\mathfrak S_n</math>, l'application σ ↦ ''t''∘σ est une bijection de <math>\mathfrak A_n</math> dans son complémentaire.)

De plus, la [[suite exacte courte]]<center><math>1\to\mathfrak A_n\to\mathfrak S_n\to\{-1,1\}\to 1</math></center>est [[Suite exacte#Suites exactes courtes scindées|scindée à droite]], donc <math>\mathfrak S_n</math> est un [[produit semi-direct]] de <math>\mathfrak A_n</math> par le [[groupe cyclique]] à deux éléments.

=== Classes de conjugaison ===
La [[classe de conjugaison]] d'une permutation {{math|σ}} est l'ensemble de ses conjuguées : <math>C(\sigma)=\{\tau \circ \sigma\circ \tau^{-1}\mid\tau \in\mathfrak S_n\}.</math>

{{énoncé|Les conjuguées de {{math|σ}} sont les permutations dont la [[permutation#Décomposition en produit de cycles à supports disjoints|décomposition en produit de cycles à supports disjoints]] a la même structure que celle de {{math|σ}} : même nombre de cycles de chaque longueur.
}}

{{Démonstration|Soit <math>\sigma=c_1</math>…<math>c_m</math> une permutation de <math>\mathfrak S_n</math> décomposée en produit de cycles disjoints.
* Pour toute permutation <math>\tau</math>, la conjuguée <math>\sigma'=\tau\sigma\tau^{-1}</math> est le produit des <math>c'_i=\tau c_i\tau^{-1}</math>, qui sont des cycles disjoints de mêmes longueurs que les <math>c_i</math>. En effet, pour tout cycle <math>c=(a_1~\dots~a_k)</math>, la permutation conjuguée <math>\tau c\tau^{-1}</math> n'est autre que le cycle <math>(\tau(a_1)~\dots~\tau(a_k))</math>.
* Réciproquement, soit <math>\sigma'=c'_1</math>…<math>c'_m</math> une permutation décomposable en produit de cycles disjoints <math>c'_i</math> de mêmes longueurs respectives que les <math>c_i</math>. Alors <math>\sigma'</math> est conjuguée de <math>\sigma</math>, par n'importe quelle permutation <math>\tau</math> qui envoie (en respectant l'ordre, à permutation circulaire près) le support de chaque <math>c_i</math> sur celui de son homologue <math>c'_i</math>. Une telle permutation existe parce que les supports des <math>c_i</math> sont disjoints.
}}

;Exemple
:Si l'on considère dans <math>\mathfrak S_5</math> les différentes classes de conjugaison, on trouve celle de l'identité, des transpositions ('''ab'''), les permutations composées de deux transpositions de supports disjoints ('''ab''')('''cd'''), les cycles d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 3 ('''abc'''), les permutations composées d'un cycle d'ordre 3 et d'un d'ordre 2 : ('''abc''')('''de'''), puis les cycles d'ordres 4 : ('''abcd''') et 5 : ('''abcde''').
:Les permutations (1 2 3)(4 5) et (1 3 4)(2 5) sont dans la même classe de conjugaison contrairement à la permutation (1 3)(2 5).

Le nombre de classes de conjugaison est donc égal au [[Partition d'un entier#Dénombrement|nombre de « partages » de l'entier {{math|''n''}}]], et si la décomposition d'une permutation contient {{math|''k''{{ind|1}}}} « 1-cycles » (les [[Point fixe|points fixes]]), {{math|''k''{{ind|2}}}} 2-cycles, … , {{math|''k{{ind|m}}''}} {{math|''m''}}-cycles, alors le  [[Action de groupe (mathématiques)#Formule des classes, formule de Burnside|nombre de ses conjuguées]] vaut<ref>{{Fulton-Harris}}, {{p.|55}}, {{Google Livres|6TwmBQAAQBAJ|page=55|aperçu}}.</ref> :
<center><math>\frac{n!}{1^{k_1}k_1!\ldots m^{k_m}k_m!}.</math></center>
(On voit apparaître un [[coefficient multinomial]].)

== Propriétés issues de l'étude du groupe alterné ==

{{Article détaillé|Groupe alterné}}

Le résultat fondamental dans l'étude du groupe alterné <math>\mathfrak A_n</math> est que celui-ci est un [[groupe simple]] pour ''n ''différent de 4.

D'autre part, le [[groupe dérivé]] de <math>\mathfrak S_n</math> est <math>\mathfrak A_n</math><ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} édition, Paris, Dunod, 2010, p. 70. {{Note autre projet|wikiversité|Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé#Groupe dérivé|§ Groupe dérivé|début=Voir aussi la dernière démonstration du}}</ref>. Pour ''n ''≥ 5, c'est là le seul [[sous-groupe distingué]] propre de <math>\mathfrak S_n</math>.

<math>\mathfrak S_n</math> est [[Groupe résoluble|résoluble]] si et seulement si ''n ''≤ 4, ce qui a d'importantes conséquences sur la [[Théorème d'Abel (algèbre)|résolubilité par radicaux des équations polynomiales]].

== Propriétés diverses ==
* <math>\mathfrak S_6</math> est le seul groupe symétrique dont le [[Automorphisme#Automorphismes intérieurs et extérieurs|groupe d'automorphismes extérieurs]] est non [[groupe trivial|trivial]].
* Tout sous-groupe d'indice ''n'' de <math>\mathfrak S_n</math> est isomorphe à <math>\mathfrak S_{n-1}</math>. Si ''n'' est différent de 6, un tel sous-groupe est forcément le stabilisateur d'un élément de {1, … , ''n''}.
* Par ailleurs, <math>\mathfrak S_6</math> possède un sous-groupe d'indice 6 qui n'est pas le stabilisateur d'un point.
{{démonstration|''S''{{ind|5}} contient vingt-quatre [[Permutation circulaire|5-cycles]], donc six sous-groupes d'ordre 5. L'[[action par conjugaison]] de ''S''{{ind|5}} sur ces sous-groupes fournit donc un morphisme de ''S''{{ind|5}} dans ''S''{{ind|6}}. Ce morphisme est injectif car son noyau est un sous-groupe normal de ''S''{{ind|5}} distinct de ''S''{{ind|5}} et ''A''{{ind|5}} (car, par exemple, (123)(12345)(321) {{=}} (14523) n'est pas une puissance de (12345)). Enfin, d'après les [[théorèmes de Sylow]], cette action est [[Action de groupe (mathématiques)#Action transitive|transitive]] donc ne fixe aucun point.}}

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Théorie des groupes/Groupes symétriques finis}}
=== Articles connexes ===
* {{Lien|trad=Automorphisms of the symmetric and alternating groups|Automorphismes des groupes symétriques et alternés}}
*[[Fonction de Landau]]
* [[Groupe complet]]
* {{Lien|trad=Generalized symmetric group|Groupe symétrique généralisé}}
* [[Groupe de tresses]]
* [[Représentations du groupe symétrique]]
* [[Tableau de Young]]

=== Bibliographie ===
{{Perrin1}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Groupe remarquable|Symétrique (Groupe)]]
[[Catégorie:Permutation]]