Voir la source de Hyperbole (mathématiques)

{{Voir homonymes|Hyperbole}}

[[Fichier:conique hyperbole.png|thumb|Hyperbole obtenue comme intersection d'un cône et d'un plan parallèle à l'axe du cône.<br />Si l'on incline légèrement le plan, l'intersection sera encore une hyperbole tant que l'angle d'inclinaison reste inférieur à l'angle que fait une génératrice avec l'axe du cône.]]
En [[mathématiques]], une '''hyperbole''' est une [[courbe plane]] obtenue comme la double intersection d'un double [[cône (géométrie)|cône]] de révolution avec un plan. Elle peut également être définie comme une  [[conique]] d'[[Excentricité (mathématiques)|excentricité]] supérieure à [[1 (nombre)|1]], ou comme l'ensemble des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante.

Une hyperbole est constituée de deux branches disjointes symétriques l'une de l'autre et possédant deux [[asymptote]]s communes.

On peut rencontrer l'hyperbole dans de nombreuses circonstances comme lors de la représentation graphique de la [[fonction inverse]], <math> x \to 1/x</math> et de celle de toutes les fonctions qui lui sont associées : <math> x \to ax+b+\frac{c}{x+d}</math>, ou encore dans l'ombre créée par une source de lumière sur un mur, dans la trajectoire de certains corps dans l'espace ou dans les [[interférence]]s produites par deux sources d'ondulations de même fréquence. C'est également la courbe suivie, pendant une journée, par l'extrémité de l'ombre du [[gnomon]] d'un [[cadran solaire]] de style polaire.

L'hyperbole intervient dans d'autres objets mathématiques comme les [[hyperboloïde]]s, le [[paraboloïde hyperbolique]], les [[fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]] ([[sinus hyperbolique|sinh]], [[cosinus hyperbolique|cosh]], [[tangente hyperbolique|tanh]]). Sa quadrature, c'est-à-dire le calcul de l'aire comprise entre une portion d'hyperbole et son axe principal, est à l'origine de la création de la [[fonction logarithme]].
[[Fichier:HyperbolaeDrawnByHalogenLamp.jpg|thumb|Arc d'hyperbole dessinée par l'ombre créée par une lampe.]]

== Définitions géométriques ==
=== Intersection d'un cône et d'un plan ===
On considère un cône de révolution engendré par la rotation d'une droite (OA) autour d'un axe (Ox) et on appelle {{mvar|θ}} l'angle géométrique entre ces deux droites. On prend d'autre part un plan dont la normale fait avec l'axe (Ox) un angle supérieur à {{math|π/2 - ''θ''}}. Si le plan ne passe pas par O, il coupe le cône suivant une hyperbole. Si le plan passe par O, il coupe le cône selon deux droites sécantes en O.

Lorsqu'une lampe munie d'un abat-jour est placée non loin d'un mur vertical, la courbe qui délimite, sur le mur, la zone éclairée et la zone ombragée est un arc d'hyperbole. En effet, la lumière est diffusée selon un [[cône (géométrie)|cône]] — les rayons lumineux partent du centre de l'ampoule et s'appuient sur le cercle de l'ouverture de la lampe — coupé par un plan parallèle à l'axe du cône — le mur.

[[Fichier:Gnomonische Projektion.png|left|thumb|Principe des [[arc diurne|lignes de déclinaison]] d'un cadran solaire.]]
C'est également ce principe qui explique l'existence d'hyperboles sur [[commons:Category:Hyperbolas on sundials|certains cadrans solaires]]. Au cours d'un journée, les rayons  du soleil passant par la pointe du gnomon dessinent une portion de cône dont l'axe, parallèle à l'axe de rotation de la terre, passe par la pointe du gnomon. L'ombre de cette pointe, sur le plan du cadran solaire dessine alors une portion d'hyperbole<ref>Du moins cela est vrai pour tous les [[cadran horizontal|cadrans horizontaux]] situés entre les [[cercle polaire|cercles polaires]] et tous les [[cadran vertical|cadrans verticaux]] situés au-delà des [[tropique]]s.</ref>, appelé [[arc diurne]] ou ligne de déclinaison, intersection du cône et d'un plan. Au cours de l'année, l'angle du cône varie. Aux équinoxes, il est de 90°, le ''cône'' est un plan et l'ombre dessine une droite. Aux solstices, l'angle est de 66° 34' et l'ombre dessine une hyperbole.

La construction de l'hyperbole  comme section d'un cône et d'un plan peut être réalisée à l'aide d'un [[compas parfait]].
{{clr}}

=== Définition par foyer et directrice ===
[[Fichier:HyperboleFoyerDirectrice.svg|thumb|left|upright=1.2|Hyperbole d'excentricité 3/2, avec son foyer F,  sa directrice (D), ses asymptotes et son cercle principal.<br /> La distance MF est toujours égale à une fois et demi la distance MH.]]
Soient (D) une [[droite (mathématiques)|droite]] et F un [[point (géométrie)|point]] n'appartenant pas à (D), et soit P le plan contenant la droite (D) et le point F. On appelle hyperbole de ''droite directrice'' (D) et de  ''foyer'' F l'ensemble des points M du plan P vérifiant
:<math>\qquad \frac{\mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{F})}{\mathrm{d}(\mathrm{M}, (\mathrm{D}))} = e \qquad e > 1</math>
où {{math|d(M, F)}} mesure la [[distance (mathématiques)|distance]] du point M au point F et {{math|d(M, (D))}} mesure la [[distance (mathématiques)|distance]] du point M à la droite (D).

La constante ''e'' est appelée ''excentricité'' de l'hyperbole. Elle est caractéristique de la forme de l'hyperbole : si l'on transforme l'hyperbole par une similitude,  son excentricité reste inchangée. Elle est donc indépendante du choix arbitraire de repère orthonormé pour ce plan ; elle détermine tous les autres rapports de distances (et toutes les différences angulaires) mesurés sur l'hyperbole. Plus e est grand, plus l'hyperbole s'évase, les deux branches se rapprochant de la directrice. Plus e s'approche de 1 plus l'hyperbole s'arrondit, les deux branches s'éloignant l'une de l'autre, celle située dans le même demi-plan que le foyer se rapprochant d'une [[parabole]].

Notons K le projeté orthogonal de F sur (D). (KF) est alors clairement un axe de symétrie de l'hyperbole appelé ''axe focal''.

L'axe focal coupe l'hyperbole en deux points appelés les ''sommets'' S et S' de l'hyperbole.

La médiatrice du segment [SS'] est également un axe de symétrie de l'hyperbole appelé ''axe non focal''. Le point d'intersection des deux axes, noté O, est alors le ''centre'' de symétrie de l'hyperbole.

Le cercle de diamètre [SS'] est appelé ''cercle principal'' de l'hyperbole.

[[Fichier:ConeHyperbole.svg|thumb|Trace  du cône (Γ), du plan (P) , de la sphère (Σ) et du plan (P') dans le plan passant par l'axe du cône et perpendiculaire à (P). La section du plan et du cône est une hyperbole de foyer F de directrice passant par K, de sommet S et d'excentricité SF/SK.]]

La symétrie orthogonale par rapport à l'axe non focal envoie le foyer F et la directrice (D) en F' et (D'). Par symétrie, l'hyperbole est également l'hyperbole de foyer F', de directrice (D') et d'excentricité ''e''.

Une telle hyperbole possède en outre deux asymptotes passant par O et par les points d'intersection du cercle principal et des directrices. Ces points sont également les projetés orthogonaux des foyers sur les asymptotes<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=392}}.</ref>. Lorsque les deux asymptotes sont perpendiculaires, on dit que l'hyperbole est ''équilatère''.

En relation avec la définition précédente, l'hyperbole obtenue comme section de cône et de plan peut être définie par foyer et directrice. On considère une sphère (Σ) inscrite dans le cône (Γ) et touchant le plan (P) en F ([[Théorème de Dandelin|sphère de Dandelin]]) et  (P') le plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône. L'hyperbole est de foyer F et de directrice (D) droite d'intersection des deux plans (P) et (P'). Dans le plan perpendiculaire à (P) et passant par l'axe du cône, se trouvent le point F, le sommet S et le point K. L'excentricité est donnée par le rapport SF/SK. Elle ne dépend que de l'inclinaison du plan par rapport à l'axe du cône. Si l'on appelle (d) la trace de (P) dans le plan perpendiculaire à (P) passant par l'axe du cône, si l'on note α l'angle entre (d) et l'axe du cône et θ l'angle du cône, l'excentricité est de {{math|cos(α)/cos(''θ'')}}.

[[Fichier:HyperboleLentille.svg|thumb|left|Propriété de divergence d'une lentille hyperbolique.]]
Cette relation entre foyer, directrice et excentricité dans une hyperbole est exploitée dans la construction des [[lentille optique|lentilles]] divergentes : si l'[[indice de réfraction|indice]] de la lentille par rapport au milieu est de e, et si la surface concave de la lentille est une hyperbole de foyer F et d'excentricité e, le faisceau de rayons parallèles traversant la lentille, se disperse comme si les rayons venaient du foyer F<ref name="mathcurve" />.

{{clear}}

=== Définition bifocale ===

[[Fichier:Hyperbole tangente.png|thumb|290px|La tangente en <math>M</math> est aussi une bissectrice.]]

L'hyperbole est le lieu géométrique des points dont la différence des distances aux deux foyers est constante.

Géométriquement, cela donne :

Soient F et F' deux points distincts du plan, distants de 2''c'' et soit ''a'' un réel strictement compris entre 0 et ''c''. On appelle hyperbole de foyers F et F' l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :
: <math>\qquad \mid \mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{F}) - \mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{F}') \mid = 2a .</math>
L'axe focal est le nom de la droite portant les deux foyers : c'est l'un des deux axes de symétrie de l'hyperbole, le seul qui la coupe. Pour cette raison, on le nomme aussi ''axe transverse'' et ses points communs avec la courbe sont les ''sommets'' S et S' de l'hyperbole. Le réel {{mvar|a}} de la définition ci-dessus apparaît comme la moitié de la distance entre les sommets. Les directrices de l'hyperbole passent par les points de contact des tangentes au cercle principal (cercle de diamètre [SS']) issues des foyers<ref>Conséquence de {{harvsp|Tauvel|2005|p=392}}, prop. 24.1.16.</ref>.

En chaque point M de cette hyperbole, la bissectrice du secteur angulaire (FMF') se trouve être la tangente en M à la courbe.

Cette construction de l'hyperbole permet d'expliquer la présence d'hyperbole lors d'[[interférence]]s entre deux sources de même fréquence. Au point M le déphasage de l'onde par rapport à la source S{{ind|1}} est proportionnel à la distance MS{{ind|1}}. Le déphasage entre l'onde venant de S{{ind|1}}  et l'onde venant de S{{ind|2}}  est donc proportionnel à la différence des distances. Les deux ondes s'annulent quand leur déphasage est égale à {{math|(2''k''+1)π}};. Les deux ondes s'amplifient quand leur déphasage est de {{math|2''k''π}};. Les points où l'onde résultante a une amplitude nulle et les points où l'onde résultante a une amplitude maximale dessinent donc un faisceau d'hyperboles de foyers S{{ind|1}} et S{{ind|2}}.

Il existe des mécanismes avec corde et poulie exploitant cette propriété des hyperboles pour effectuer leur tracé. c'est le cas du dispositif conçu par [[Ibn Sahl]] au {{s|X|e}}<ref>{{chapitre|prénom1=Boris A.|nom1=Rosenfeld|prénom2=Adolf P.|nom2=Youshkevitch|titre chapitre=Géométrie |titre ouvrage= Histoire des sciences arabes|éditeur=Seuil|tome=2|année=1997}}, p. 97.</ref>.

{| width="100%" align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="4"
|- style="vertical-align:top"
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[[Fichier:IbnSahlHyperboleAnim.ogv|thumb|center|Construction mécanique d'une hyperbole selon la méthode d'Ibn Sahl. La règle pivote autour du foyer F<sub>2</sub>. Le crayon M, sur la règle s'appuie sur une corde F<sub>1</sub>MD de longueur fixe et dessine une portion d'hyperbole de foyers F<sub>1</sub>  et F<sub>2</sub>.]]

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[[Fichier:Nodalandantinodallines.png|thumb|center|Interférences produites par deux sources synchrones avec les lignes nodales et anti-nodales.]]
|}

=== Image d'un cercle par une homographie ===
Comme toute conique, l'hyperbole peut être considérée comme l'image d'un cercle par une [[application projective|transformation projective]]. Plus précisément, si (H) est une hyperbole et (C) un cercle, il existe une transformation projective qui transforme (C) en (H). Par exemple, l'hyperbole est l'image de son cercle principal par une transformation projective dont l'expression analytique, dans un repère orthonormé porté par ses axes de symétrie, est

{{retrait|<math>\begin{cases}
x'=\frac{a^2}{x}\\ y'=\frac{by}{x}.
\end{cases}</math>}}

où ''a'' est le rayon du cercle principal et ± ''b''/''a'' les pentes de ses asymptotes.

Cette propriété permet de transférer à l'hyperbole des propriétés touchant des règles d'incidence de droites dans un cercle, comme le [[théorème de Pascal]].

Parmi les transformations projectives, il en est de particulières comme les [[Homologie (transformation géométrique)|homologies]] harmoniques. Ce sont des homologies [[Involution (mathématiques)|involutives]] de centre I d'axe (d) et de rapport -1. Dans celles-ci, un point M, son image M', le centre I et le point m d'intersection de (IM) avec (d) sont en [[division harmonique]].

Un cercle (C) a pour image une hyperbole par une homologie harmonique de centre I  et d'axe (d) si et seulement si l'image (d') de l'axe (d) par l'homothétie de centre I et de rapport 1/2 coupe le cercle en deux points<ref name="Guillerault">Extraits de la conférence de Michel Guillerault lors de l’université d'été 93, [http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Guillerault/HomologieH.html 3 - Conique comme transformée de cercle par homologie harmonique], sur le site de Cabri-Geomètre.</ref>. Réciproquement, une hyperbole étant donnée, il est possible de trouver des cercles et des homologies harmoniques associées échangeant hyperbole et cercle. Par exemple :
* Une hyperbole de foyer F, de directrice (d) et d'excentricité e est l'image du cercle de centre F et de rayon ''eh'' (où ''h'' est la distance entre le foyer et la directrice) par l'homologie harmonique de centre F et d'axe (d<sub>1</sub>) image de (d) dans l'homothétie de centre F et de rapport 2<ref name="Guillerault" />.
* Une hyperbole équilatère est l'image de son cercle principal par une homologie harmonique de centre un des sommets et d'axe (d) passant par l'autre sommet et perpendiculaire à l'axe principal de l'hyperbole. Quand l'hyperbole n'est pas équilatère, elle reste l'image d'un cercle par une homologie harmonique de centre un des sommets, mais le cercle n'est plus le cercle principal et l'axe ne passe plus par l'autre sommet. Ce sont des homologies de ce type qui permettent de démontrer le [[point de Frégier|théorème de Frégier]].

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|- style="vertical-align:top"
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[[Fichier:HomologieFoyerDirectrice.svg|thumb|center|L'hyperbole et le cercle sont homologues dans l'homologie harmonique de centre F et d'axe (d<sub>1</sub>).]]

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[[Fichier:HomologieHyperboleEquilatere.svg|thumb|center|L'hyperbole équilatère et son cercle principal sont homologues dans l'homologie harmonique de centre S<sub>2</sub> et d'axe (d). Pour construire le point M', on mène par m une tangente au cercle qui touche le cercle en M. La droite (S<sub>2</sub>M) rencontre la perpendiculaire à l'axe focal passant par m en M'.]]
|}

== Relations entre les grandeurs caractéristiques d'une hyperbole ==
[[Fichier:HyperboleParametre.svg|upright=1.2|thumb|Les différentes grandeurs d'une hyperbole.]]
Les grandeurs (géométriques ou numériques) d’une hyperbole sont :
* la distance entre le centre de l'hyperbole et un de ses sommets généralement notée ''a'' ;
* la pente (en valeur absolue) que font les asymptotes avec l'axe focal, généralement notée ''b/a'' ;
* la distance séparant le centre de l'hyperbole et un des foyers, généralement notée ''c'' ;
* la distance séparant un foyer F de sa directrice (''d'') associée, généralement notée ''h'' ;
* la distance  séparant le centre de l’hyperbole et une de ses deux directrices, généralement notée ''f'' ;
* l'excentricité de l’hyperbole (strictement supérieure à 1), généralement notée ''e'' ;
* le « paramètre » de l’hyperbole, généralement noté ''p'', représentant le demi ''latus rectum'' (corde parallèle à la directrice et passant  par le foyer).

Des relations existent entre ces grandeurs :
* si l’hyperbole est définie par son excentricité <math>e</math> et la distance <math>h</math> entre le foyer F et la directrice (d), alors :
*: <math>a = {e h \over e^2-1} ,\, b = {e h \over \sqrt{e^2-1}} ,\, c = {e^2 h \over e^2-1}  ,\, f = {h \over e^2-1} ,\, p = e h \,;</math>
* si l’hyperbole est donnée par la distance entre le centre et un sommet <math>a</math> et la pente des asymptotes <math>b/a</math>  alors :
*: <math>c = \sqrt{a^2 + b^2} ,\, h = {b^2 \over \sqrt{a^2 + b^2}} ,\, f = {a^2 \over \sqrt{a^2+b^2}} ,\, e = {\sqrt{a^2 + b^2} \over a} ,\, p = {b^2 \over a} \,;</math>
* lorsque l’on connait la distance entre le centre et le sommet <math>a</math> et l’excentricité <math>e</math> :
*: <math>b = a \sqrt{e^2-1} ,\, c = a e ,\, h = {a(e^2-1) \over e} ,\, f = {a \over e} ,\, p = a(e^2-1) \,.</math>
* enfin, dans la définition bifocale de l'hyperbole où sont connues la longueur 2''a'' et la distance 2''c'' entre les foyers :
*: <math>b =  \sqrt{c^2 - a^2} ,\, e = \frac ca ,\, h = {c^2-a^2 \over c} ,\, f = {a^2 \over c} ,\, p = {c^2-a^2 \over a} \,.</math>

== Équations ==

=== Équation dans un repère normé porté par les asymptotes ===
==== Cas particulier de la fonction inverse ====

[[Fichier:FonctionInverseFoyersDirectrices.svg|thumb|left|Représentation graphique de la fonction inverse. Hyperbole avec ses foyers et ses directrices.]]

L'hyperbole dont l'expression mathématique est la plus simple est la représentation graphique de la [[application (mathématiques)|fonction]] <math>f</math> définie par <math>f(x)=1/x</math>, voir [[fonction inverse]].

Cette hyperbole est ''équilatère'' parce que ses deux asymptotes sont orthogonales. Son excentricité vaut <math> \sqrt{ 2 }</math>.

{{Démonstration|Montrons que le graphe de la fonction définie par <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> est bien une hyperbole.
On pose
{{retrait|<math>u = \frac{1}{\sqrt 2}(y + x)\,,\,v = \frac{1}{\sqrt 2}(y-x) </math>}}
donc
{{retrait|<math>x = \frac{1}{\sqrt 2} (u-v) \,,\,y = \frac{1}{\sqrt 2}(u+v).</math>}}
Ainsi à partir de
<math>x y = 1</math> qui est l'équation de la courbe de la fonction inverse on obtient <math>
u^2 - v^2 = 2 </math>

On prend alors l'équation générale d'une conique dans un repère orthonormé dont l'axe principal passe par le foyer et est perpendiculaire à la directrice :
{{retrait|<math>(u - c)^2 + v^2 = e^2 (u - f)^2 </math>}}
où ''f'' est la distance du centre du repère à la directrice et ''c'' la distance du centre du repère au foyer.

En développant il vient :

<math> (e^2-1) u^2 - v^2 = (c^2 - e^2 f^2) + 2u (e^2 f - c) </math>

ainsi avec <math> e = \sqrt{2} ,\, c=2f,\, f=1 </math> on retrouve bien l'équation recherchée.

}}

==== Cas général ====
Dans le repère <math> (O, \vec{u}, \vec{v})</math>, où O est le centre de l'hyperbole et <math>  \vec{u}</math> et <math> \vec{v}</math> les vecteurs unitaires directeurs des asymptotes, l'hyperbole a pour équation<ref name="mathcurve">Robert Ferréol, [http://www.mathcurve.com/courbes2d/hyperbole/hyperbole.shtml hyperbole], sur [http://www.mathcurve.com/ L'Encyclopédie des formes mathématiques remarquables].</ref> :
{{retrait|<math> xy=\frac{c^2}4</math>}}.

Réciproquement, si deux droites  de vecteurs directeurs <math>  \vec{u}</math> et <math> \vec{v}</math> se coupent en O et si une courbe, dans le repère <math> (O, \vec{u}, \vec{v})</math>, a pour équation xy= Cste où Cste est un réel non nul, alors cette courbe est une hyperbole<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=392-393}}.</ref>.

=== Équations dans des repères où l'axe focal est l'axe principal ===
==== Si le centre du repère est le centre de l'hyperbole ====
Dans un repère dont les axes sont de symétrie pour l'hyperbole, l'axe transverse pour axe des abscisses, l'équation cartésienne se met sous la forme
{{retrait| <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>}}
donnant alors les représentations paramétriques
{{retrait|<math>t \mapsto \left(a \, \cosh(t), b \, \sinh(t)\right)</math> et <math>t \mapsto \left(-a \, \cosh(t), b \, \sinh(t)\right)</math>}}
pour chacune des branches.

Un autre paramétrage possible est :
{{retrait|<math>y=b\tan t \quad x=\frac{a}{\cos t}</math>}}

Son équation polaire est :
{{retrait|<math>\rho=\frac{b}{\sqrt{e^2\cos^2(\theta)-1}}</math>}}

==== Si le centre du repère est le foyer de l'hyperbole ====
Dans un repère orthonormé <math>(F, \vec i, \vec j)</math> dans lequel <math> \vec i = \frac {1}{FK}\overrightarrow{FK}=\frac 1h\overrightarrow{FK}</math>, l'hyperbole a pour équation cartésienne :
{{retrait|<math> x^2+y^2=e^2(x-h)^2</math>}}

Son équation polaire, dans ce même repère est :
{{retrait|<math>\rho=\frac{p}{1+e\cos(\theta)}</math>}}

où ''p = eh'' est le paramètre de l'hyperbole.

=== Équation générale de conique ===
De manière générale, comme toute conique, une hyperbole a une équation cartésienne de la forme
{{retrait|<math> f(x,y)=0</math>}}
avec
{{retrait|<math> f(x,y)=\alpha x^2+2\beta xy + \gamma y^2+2\delta x+2\epsilon y+\phi.</math>}}
Pour qu'une telle équation soit celle d'une hyperbole, il est nécessaire<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=414}}.</ref> que
{{retrait|<math> \alpha \gamma -\beta^2 < 0.</math>}}
Dans ce cas, la conique a pour centre le point C dont les coordonnées (''x''{{ind|0}}, ''y''{{ind|0}}) vérifient le système<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=412}}.</ref>:
{{retrait|<math>\begin{cases}
\alpha x+\beta y+\delta=0\\
\beta x+\gamma y+\epsilon=0.
\end{cases}</math>}}
On reconnait les dérivées partielles :
{{retrait|<math>\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial x}=0\\
\frac{\partial f}{\partial y}=0
\end{cases}</math>}}

Un changement de repère, en prenant pour centre le point C, conduit à l'équation suivante:
{{retrait|<math> \alpha X^2+2\beta XY + \gamma Y^2+f(x_0,y_0)=0</math>}}
qui sera l'équation d'une hyperbole si et seulement si ''f''(''x''{{ind|0}}, ''y''{{ind|0}}) est non nul.

Les directions des asymptotes sont les solutions de l'équation homogène
<ref name = LFA> {{ouvrage|auteur=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]]|auteur2=[[Jean-Marie Arnaudiès]]|titre=Cours de mathématiques|sous-titre=géométrie et Cinématique|tome=3|éditeur=[[Éditions Bordas|Bordas]]|année=1977}}, pp 97 ; 98 ; 154</ref> 
{{retrait|<math> \alpha X^2+2\beta XY + \gamma Y^2 =0</math>}}

Les asymptotes font un angle φ tel que<ref name = LFA/>:
{{retrait|<math> \cos^2\varphi= \frac{(\alpha+\gamma)^2}{(\alpha-\gamma)^2+4\beta^2}</math>}}

L'hyperbole est équilatère si et seulement si ''α = - γ''.

Si ''γ '' est non nul, les pentes des asymptotes sont les racines de l'''équation aux pentes''<ref name = LFA/>  : <math> \gamma m^2 + 2\beta m + \alpha = 0</math>, et si ''γ '' est nul, les directions ont pour équations:<ref name = LFA/> ''X'' = 0 et ''αX'' + 2''βY''=0.

Connaissant ses asymptotes (d1) : ''ax + by + c'' = 0  et (d2) : ''a'x + b'y + c' ''= 0,  et un point M(''u'',''v'') de l'hyperbole , {{refsou|son équation est}} :

{{retrait|<math>(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=k</math> avec <math>k=(au+bv+c)(a'u+b'v+c')</math>}}

Ce résultat provient du fait que les directions des asymptotes déterminent à une constante multiplicative près l'équation homogène<ref name = LFA/>, que leur point d'intersection détermine le centre de l'hyperbole et que la constante est fixée par le fait que la courbe passe par M.

=== Équation matricielle ===

L'équation précédente peut s'écrire sous forme matricielle :
: <math>^{\mathrm{t}}\mathbf{x}\mathbf{A}\mathbf{x} + ^{\mathrm{t}}\mathbf{b}\mathbf{x} + f = 0</math>
où
* <math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> ; <sup>t</sup>'''x''' est la transposée de '''x''' ;
* '''A''' est une matrice 2×2, <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \gamma \end{pmatrix}</math> ;
* <math>\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2\delta \\ 2\epsilon \end{pmatrix}</math> ; <sup>t</sup>'''b''' est la transposée de '''b''' ;
avec toujours les mêmes contraintes.

== Propriétés ==
=== Intérieur et extérieur ===
L'hyperbole partage le plan en 3 zones ou composantes connexes. Comme elle est la section d'un cône et d'un plan, on appelle intérieur de l'hyperbole les portions de plan situées à l'intérieur du cône, ce sont les zones qui contiennent les foyers, et extérieur de l'hyperbole la dernière zone, celle qui contient le centre de l'hyperbole.

=== Sécantes et sommets ===
[[Fichier:HyperboleDiametre.svg|thumb|upright=1.2|Diamètres conjugués dans une hyperbole.]]

Soit M un point de l'hyperbole de sommets S  et S' et de centre O. Si par un point N de l'hyperbole, on mène des parallèles à (SM) et (S'M), elles rencontrent l'hyperbole en deux points P et P' symétriques par rapport à O<ref>{{harvsp|Bergery|1843|p=145 prop. 218}}.</ref>. Par conséquent, dans un faisceau de droites parallèles (d<sub>i</sub>) rencontrant l'hyperbole, les milieux des cordes que déterminent ces droites sur l'hyperbole, sont alignés avec le centre O de l'hyperbole. De plus, si M est le point de l'hyperbole tel que (SM) soit parallèle à (d<sub>i</sub>) alors la droite des milieux est parallèle à (S'M)<ref>{{harvsp|Bergery|1843|p=148 prop. 223)}}.</ref>. Un telle droite passant par le centre de l'hyperbole est appelée diamètre de l'hyperbole<ref>''Encyclopædia Universalis'', 1990, vol. 6, p. 386(b).</ref>.

=== Sécantes et asymptotes ===

Si une droite coupe l'hyperbole en M et M', alors elle coupe les asymptotes en P et P' et les segments [MM'] et [PP'] ont même milieu.

Soit (d) une droite non parallèle aux asymptotes. Si par un point M de l'hyperbole, on trace une parallèle à (d), elle rencontre les asymptotes en P et P' et le produit <math>\overline{MP}\times\overline{MP'}</math> est indépendant du point M<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=401}}.</ref>.

=== Hyperbole équilatère ===

Une hyperbole est dite '''équilatère''' lorsque ses deux [[asymptote]]s sont perpendiculaires.

{{Théorème|Théorème de Brianchon-Poncelet<ref>{{en}} [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.40.4439&rep=rep1&type=pdf Une démonstration (en anglais)] (Kenzi Odani et Shihomi Takase, ''On a theorem of Brianchon and Poncelet'', ''{{Lien|The Mathematical Gazette}}'', 1999).</ref>|Lorsqu'un [[triangle]] est inscrit dans une hyperbole équilatère, son [[orthocentre]] est aussi sur l'hyperbole.}}

=== Tangentes ===
Si l'hyperbole a pour équation
{{retrait|<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,</math>}}
la tangente au point M de coordonnées (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) a pour équation<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=396}}.</ref> :
{{retrait|<math>\frac{x_0}{a^2}x-\frac{y_0}{b^2}y=1</math>}}

Comme une tangente est une sécante particulière, la propriété des sécantes et des sommets offre un moyen de tracer une tangente en un point M distinct des sommets : la droite passant par un des sommets S de l'hyperbole et parallèle à (OM) rencontre l'hyperbole en N, la tangente est alors parallèle à (S'N)<ref>{{harvsp|Bergery|1843|p=163 prop. 249}}.</ref>.

Si M est un point de l'hyperbole distinct des sommets, la tangente en M est également la bissectrice intérieure de l'angle FMF' où F et F' sont les foyers de l'hyperbole et le produit des distances des foyers à la tangente est toujours égal à b²<ref name="Tauvel398">{{harvsp|Tauvel|2005|p=398}}.</ref>. Cette propriété a quelques applications pratiques. Elle fournit un moyen simple de construire la tangente en un point comme bissectrice intérieure de (F'MF). Dans un miroir de forme hyperbolique, les rayons issus d'un foyer sont réfléchis comme s'il provenaient de l'autre foyer. Bergery préconise donc, pour éviter les déperditions de chaleur, de construire le fond d'un cheminée selon un cylindre hyperbolique<ref>{{harvsp|Bergery|1843|p=177}}.</ref>.

La tangente en un point M coupe les asymptotes en deux points P et P' symétriques par rapport à M.

[[Fichier:HyperboleTangentes.svg|thumb|upright=1.5|Construction des deux tangentes à l'hyperbole issues de M à l'aide du cercle directeur.]]

Par le point O ou un point M intérieur à l'hyperbole, il ne passe aucune tangente, par un point situé sur l'hyperbole ou sur une asymptote (distinct de O), il en passe une seule et par un point situé à l'extérieur de l'hyperbole, non situé sur les asymptotes,  il passe toujours deux tangentes<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=397}}.</ref>. Pour construire les deux tangentes issues de M, il suffit de tracer le cercle de centre M passant par un foyer F et le cercle de centre F' et de rayon 2a. Les cercles se rencontrent en N et N', les médiatrices de [FN] et [FN'] sont les tangentes recherchées<ref>{{harvsp|Bergery|1843|p=171 prob. b}}.</ref>. Pour trouver le point de contact, il suffit de construire une parallèle à la tangente coupant l'hyperbole en deux points, la droite passant par O et par le milieu de la corde ainsi construite rencontre la tangente en son point de contact. Ou bien, on prend le symétrique d'un des foyers par rapport à la tangente, la droite joignant ce symétrique à l'autre foyer rencontre la tangente à son point de contact<ref>{{harvsp|Bergery|1843|p=172 prob. e}}.</ref>.

=== Cercles ===
'''Cercle principal''' : c'est le cercle de diamètre [SS']. Foyer et directrice sont en relation [[pôle et polaire|pôle/polaire]] par rapport au cercle principal. Le cercle principal est également la [[podaire]] de l'hyperbole par rapport à l'un des foyers (si l'on exclut les intersections du cercle avec les asymptotes), c'est-à-dire le lieu des projetés orthogonaux de ce foyer sur les tangentes<ref name="Tauvel398" />, ce qui fait de l'hyperbole, l'antipodaire de son cercle principal par rapport à un de ses foyers.

'''Cercle directeur''' : c'est un cercle passant par un foyer et de rayon égal à 2a. Selon la définition bifocale de l'hyperbole, l'hyperbole est le lieu des centres des cercles passant par F et tangents intérieurement ou extérieurement au cercle directeur de centre F'. L'ensemble des médiatrices des segments [FM], où M parcourt le cercle directeur de centre F' donne l'ensemble des tangentes à l'hyperbole, le cercle directeur est donc l'[[orthotomique]] de l'hyperbole par rapport à un foyer, c'est-à-dire l'ensemble des symétriques de F par rapport aux tangentes<ref name="Tauvel398" />.

''' Cercle orthoptique''' : si l’excentricité est strictement comprise entre 1 et {{racine|2}}, il existe des points M par lesquelles passent deux tangentes orthogonales. L'ensemble de ces points M dessine un cercle de centre O et de rayon {{racine|a²-b²}}, appelé cercle orthoptique de l'hyperbole<ref>{{harvsp|Tauvel|2005|p=402}}.</ref>.

[[Fichier:HyperboleCentreCourbure.svg|thumb|upright=1.5|Construction du centre de courbure au point M, du cercle osculateur et [[développée]] de l'hyperbole.]]
''' Cercles osculateurs''' : en tout point M de l'hyperbole, il existe un cercle possédant un point de contact triple avec l'hyperbole. C'est le cercle osculateur à l'hyperbole au point M. Son centre, appelé centre de courbure,  est situé sur la normale à la courbe (qui est aussi la bissectrice extérieure de l'angle FMF') a une distance de M égale au rayon de courbure. Si l'hyperbole a pour équation :
{{retrait|<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,</math>}}
le rayon du cercle osculateur au point d'abscisse x<sub>0</sub> a pour valeur<ref name="⁇?">D'après Robert Ferréol, [http://www.mathcurve.com/courbes2d/hyperbole/hyperbole.shtml Hyperbole], sur [http://www.mathcurve.com/ L'Encyclopédie des formes mathématiques remarquables].</ref>:
{{retrait|<math>r=\frac{\left(e^2x_0^2-a^2\right)^{3/2}}{ab}.</math>}}
Il est possible de construire géométriquement le centre du cercle osculateur en M. Si (t) et (n) sont respectivement la tangente et la normale à l'hyperbole au point M, on trace le symétrique M' de M par rapport à l'axe principal et le symétrique (t') de (t) par rapport à (MM'), cette droite rencontre la droite (OM') en N. La perpendiculaire à (t') en N rencontre la normale (n) au centre de courbure<ref>D'après {{harvsp|Bergery|1843|p=180}}.</ref>.

La [[développée]] de l'hyperbole, c'est-à-dire le lieu des centres de courbure est une [[courbe de Lamé]] d'équation<ref>Serge Mehl, [http://serge.mehl.free.fr/anx/devHyperb.html développée de l'hyperbole] sur le site [http://serge.mehl.free.fr/ ChronoMath].</ref> :
{{retrait|<math> \left(\frac{ax}{c^2}\right)^{2/3}-\left(\frac{by}{c^2}\right)^{2/3}=1</math>}}

=== Longueur et aire ===
Si M(''t''<sub>0</sub>) est un point de l'hyperbole d'équation paramétrée,
{{retrait|<math>y=b\tan t \quad x=\frac{a}{\cos t},</math>}}
où ''t''<sub>0</sub> est compris entre 0 et π/2, la longueur de l'arc SM est
{{retrait|<math>\int_0^{t_0}\frac{\sqrt{b^2+a^2\sin^2 t}}{\cos^2 t}\mathrm dt</math>}}
dont l'intégration nécessite l'utilisation des [[intégrale elliptique|intégrales elliptiques]]<ref>Serge Mehl, ''Fonction et intégrale elliptique - [http://serge.mehl.free.fr/anx/int_elli.html#hyperb Arc d'hyperbole]'', sur le site [http://serge.mehl.free.fr/ ChronoMath].</ref>.

L'aire d'une portion de plan délimitée par un arc d'hyperbole est à l'origine de la création de la fonction logarithme et des fonctions hyperboliques. L'aire de la surface délimitée par l'hyperbole d'équation ''yx'' = 1, l'axe des abscisses et les droites d'équation ''x'' = ''u'' et ''x'' = ''v'' est égale à |ln(''v''/''u'')|.

== Histoire ==
{{article détaillé|Conique#Histoire}}
[[Fichier:HyperboleApollonios.svg|thumb|Égalité d'aire, dans une hyperbole, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse. Ce rectangle est '''plus grand''' que le rectangle de hauteur SP (paramètre de l'hyperbole) d'où le nom de ''hyperbole'' (ajustement par excès) donné à la courbe par Apollonios.]]
L'hyperbole est étudiée, dans le cadre des coniques, durant la période grecque. Ainsi [[Menechme]] résout un problème de double proportionnelle en utilisant une hyperbole d'équation XY= constante<ref>[[#Vitrac|Vitrac]], [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html#inventeur « Ménechme, l'inventeur des sections coniques ? »].</ref>. Mais pour Menechme et ses successeurs, Euclide et Aristée, cette courbe ne possède qu'une composante. Ils l'appellent «conique obtusangle» car ils la définissent comme l'intersection d'un cône obtusangle (cône engendré par la rotation d'un triangle ABC, rectangle en B, autour de AB et tel que l'angle de sommet A soit supérieur à 45 °) avec un plan perpendiculaire à sa génératrice<ref>[[#Vitrac|Vitrac]], [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html#aristee La génération des coniques selon Aristée].</ref>. [[Apollonios de Perga|Apollonius de Perge]] semble être le premier à envisager les deux composantes de l'hyperbole<ref name="apollonius">[[#Vitrac|Vitrac]], [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html#apollonius L'approche d'Apollonius].</ref>. C'est également lui qui lui donne le nom d'«hyperbole» (ajustement par excès) ayant remarqué que l'aire du carré dessiné sur l'ordonnée est supérieure à celle du rectangle dessiné sur l'abscisse et dont la hauteur serait fixe<ref name="apollonius" />.

[[Fichier:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|left|Une demi-droite passant par l'origine intersecte l'hyperbole d'équation <math>x^2\ -\ y^2\ =\ 1</math> au point <math>(\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>, où <math>a</math> est le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des <math>x</math>.]]

La recherche de l'aire sous l'hyperbole est entreprise, en 1647, par [[Grégoire de Saint-Vincent]], qui met en évidence sa propriété logarithmique<ref>{{chapitre|prénom1=Jean-Pierre|nom1=Legoff|titre chapitre= De la méthode dite d'exhaustion : Grégoire de Saint-Vincent (1584 - 1667)|titre ouvrage=La Démonstration mathématique dans l'histoire|éditeur=[[Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques|IREM]] de Lyon|année=1989}}, p. 215.</ref>

En 1757-1762, [[Vincenzo Riccati]] établit une relation entre l'aire d'un secteur angulaire dans une hyperbole et les coordonnées d'un point et définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique par analogie à la relation existant dans le cercle<ref>Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, C. Edward Sandifer, ''{{Langue|en|Euler at 300: An Appreciation}}'', MAA, 2007, [https://books.google.fr/books?id=tK_KRmTf9nUC&pg=PA99#v=onepage&q&f=false p. 99].</ref>.
{{clear}}

== Références ==
{{références}}

== Bibliographie ==
* {{ouvrage|nom1=Tauvel|prénom1=Patrice|titre=Géométrie|édition=Dunod|année=2005|isbn=2-10-049413-9}}
* {{ouvrage|prénom1= Claude Lucien|nom1=Bergery|titre=Géométrie des courbes appliquée aux arts|éditeur=Thiel|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=aO42AAAAMAAJ&hl=fr&pg=PR3#v=onepage&q&f=false|année=1843}}
* Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, {{ISBN|978-2-916352-08-4}}
* Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
* Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, {{ISBN|978-2-916352-12-1}}
* {{Lien web|auteur=Bernard Vitrac|titre=Les géomètres de l'antiquité 8- Apollonius de Perge et la tradition des coniques|id=Vitrac|url=http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grec-8.html|site=[http://www.math.ens.fr/culturemath/ cultureMATH] (Ressources pour les enseignants de mathématiques, site expert des [[École normale supérieure (France)|Écoles normales supérieures]] et du [[Ministère de l'Éducation nationale (France)|Ministère de l'Éducation nationale]]}}

== Annexes ==
{{Autres projets|commons=Category:Hyperbolas|commons titre=Hyperbole}}

=== Articles connexes ===
* [[Fonction hyperbolique]]
* [[Conique]]s
** [[Ellipse (mathématiques)|Ellipse]]
** [[Parabole]]
* {{Lien|trad=Degenerate conic|Conique dégénérée}}

=== Liens externes ===
* http://www.mathcurve.com/courbes2d/hyperbole/hyperbole.shtml
* http://xavier.hubaut.info/coursmath/2de/belges.htm Coniques et théorème de Dandelin

{{Palette Courbes}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Conique]]