Voir la source de Lemniscate de Bernoulli

[[Image:LemniscateB.png|thumb|right|La lemniscate de Bernoulli.]]

La '''lemniscate de Bernoulli''' est une [[courbe plane]] [[unicursale]]. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse [[Jacques Bernoulli]].

== Histoire ==
La lemniscate de Bernoulli fait partie d'une famille de courbes décrite par [[Giovanni Domenico Cassini|Jean-Dominique Cassini]] en 1680, les [[ovale de Cassini|ovales de Cassini]]. [[Jacques Bernoulli]] la redécouvre en 1694 au détour de travaux sur l'[[ellipse (mathématiques)|ellipse]]<ref>{{MathWorld |nom_url=Lemniscate |titre=Lemniscate}}.</ref>, et la baptise {{traduction |langue=lat |lemniscus|ruban|oui}}. Le problème de la longueur des arcs de la lemniscate est traité par [[Giulio Fagnano]] en 1750.

== Définition géométrique ==
Une [[lemniscate]] de Bernoulli est l'ensemble des points {{math|M}} vérifiant la relation :
:<math>\rm MF\times MF'=OF^2</math>
où {{math|F}} et {{math|F′}} sont deux points fixes et {{math|O}} leur {{page h'|Milieu#Mathématiques|milieu}}. Les points {{math|F}} et {{math|F′}} sont appelés les [[Foyer (mathématiques)|foyers]] de la lemniscate, et {{math|O}} son centre.

Alternativement, on peut définir une lemniscate de Bernoulli comme l'ensemble des points {{math|M}} vérifiant la relation :
:<math>\rm|MF-MF'|=OM\,\sqrt2.</math>
{{démonstration|<math>\begin{align}\rm(MF-MF')^2&=\rm MF^2+MF'^2-2\,MF\cdot MF'\\
&=\rm(OM^2+OF^2-2\,OM\cdot OF\cos\theta)+(OM^2+OF'^2+2\,OM\cdot OF'\cos\theta)-2\,MF\cdot MF'\\
&=\rm2(OM^2+OF^2-MF\cdot MF')\end{align}</math>

On voit bien que :

<math>\rm MF\cdot MF'=OF^2~~\Leftrightarrow~~(MF-MF')^2=2\,OM^2.</math>}}

La première relation est appelée « équation bipolaire », et la seconde « équation tripolaire ».

La courbe ainsi définie fait partie de la famille des [[lemniscate]]s (courbes en forme de [[8 (nombre)|8]]), dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d'[[ovale de Cassini]]. Elle représente aussi la section d'un [[tore]] particulier par un [[plan tangent]] intérieurement.

== Équations dans différents systèmes de coordonnées ==
=== Au moyen de la demi-distance focale {{math|1=OF = ''d''}} ===
Posons {{math|1=OF = ''d''}}. En [[coordonnées polaires]] (l'axe polaire étant {{math|OF}}), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation : 
:<math>\rho^2=2d^2\cos{2\theta}~\left(-\tfrac\pi4\le\theta\,[\pi]\le+\tfrac\pi4\right).</math>
{{démonstration|La relation {{math|1=MF·MF′ = OF{{2}}}} peut s'écrire {{math|1=MF{{2}}·MF′{{2}} = OF{{4}}}} donc :
:<math>\rm(OM^2+OF^2-2\,OM\cdot OF\cos\theta)(OM^2+OF'^2+2\,OM\cdot OF'\cos\theta)=OF^4</math>
c.-à-d. :
:<math>(\rho^2+d^2-2\rho d\cos\theta)(\rho^2+d^2+2\rho d\cos\theta)-d^4=0.</math>
ou :
:<math>\rho^2\,[\rho^2-2d^2(2\cos^2\theta-1)]=0</math>
ce qui donne bien, puisque &nbsp;<math>\cos{2\theta}=2\cos^2\theta-1</math>&nbsp; :
:<math>\begin{cases}\rho=0~(\forall\,\theta)\\
\rho^2=2d^2\cos{2\theta}~\left(-\tfrac\pi4\le\theta\le+\tfrac\pi4,\,\mathrm{modulo}\,\pi\right)\end{cases}</math>}}

En [[coordonnées cartésiennes]] (l'axe des abscisses étant {{math|OF}}), la lemniscate de Bernoulli a pour [[fonction implicite|équation (implicite)]] :
:<math>(x^2+y^2)^2=2d^2\,(x^2-y^2).</math>
{{démonstration|Passons des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes :
:<math>\rho^2=x^2+y^2</math>&nbsp; et &nbsp;<math>\cos\theta=\frac x\sqrt{x^2+y^2}</math>&nbsp; donc &nbsp;<math>\cos{2\theta}=2\cos^2\theta-1=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.</math>
L'équation polaire &nbsp;<math>\rho^2=2d^2\cos{2\theta}</math>&nbsp; devient ainsi &nbsp;<math>x^2+y^2=2d^2\,\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},</math>&nbsp; ce qui est bien équivalent à &nbsp;<math>(x^2+y^2)^2=2d^2\,(x^2-y^2).</math>}}
L'abscisse {{math|''x''}} décrit l'intervalle <math>\left[-d\,\sqrt2,d\,\sqrt2\right]</math> (les bornes sont atteintes pour {{math|1=''y'' = 0}}). L'ordonnée {{math|''y''}} décrit l'intervalle <math>\left[-\tfrac d2,\tfrac d2\right]~</math> (les bornes sont atteintes pour <math>x=\pm\,d\,\tfrac\sqrt32</math>&nbsp;).

Il est possible d'expliciter {{math|''y''}} en fonction de {{math|''x''}} :
:<math>y=\pm\,d\,\sqrt{\sqrt{1+4\left(\frac xd\right)^2}-\left[1+\left(\frac xd\right)^2\right]}~~\left(|x|\le d\sqrt2\right)</math>
{{démonstration|Posons {{math|1=''Y'' = ''y''{{2}}}} ; l'équation implicite devient :
:<math>(x^2+Y)^2=2d^2\,(x^2-Y)</math>
c.-à-d., en développant :
:<math>Y^2+2(d^2+x^2)Y-x^2(2d^2-x^2)=0.</math>
Cette [[équation du second degré]] a pour unique solution ({{math|''Y''}} ne devant pas être négatif) :
:<math>\begin{align}Y&=-(d^2+x^2)+\sqrt{(d^2+x^2)^2+x^2(2d^2-x^2)}~~\text{pourvu que}~2d^2-x^2\ge0~~\text{c.-à-d.}~~|x|\le d\sqrt2~~(\text{sinon}~Y\!<0)\\
&=-(d^2+x^2)+\sqrt{d^2(d^2+4x^2)}\\
&=d^2\left\{\sqrt{1+4\left(\frac xd\right)^2}-\left[1+\left(\frac xd\right)^2\right]\right\}\end{align}</math>
d'où l'on déduit {{math|''y''}} en écrivant &nbsp;<math>y=\pm\sqrt Y.</math>}}
mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de {{math|''y''}}.

==== Représentations paramétriques ====
En partant de l'équation en coordonnées polaires {{math|1=''ρ''{{2}} = 2''d''{{2}}cos2''θ''}} on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire {{math|''θ''}} :
:<math>\begin{cases}x=d\,\cos\theta\,\sqrt{2\cos2\theta}\\
y=d\,\sin\theta\,\sqrt{2\cos2\theta}\end{cases}</math>
{{démonstration|On passe des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes par les relations {{math|1=''x'' = ''ρ''cos''θ''}} et {{math|1=''y'' = ''ρ''sin''θ''}}. De {{math|1=''ρ''{{2}} = 2''d''{{2}}cos2''θ''}} on déduit {{math|{{!}}''ρ''{{!}}}}. On peut ne garder que la valeur positive car il est équivalent de changer le signe de {{math|''ρ''}} ou d'augmenter {{math|''θ''}} de {{math|''π''}}.}}
Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier {{math|''θ''}} de {{math|–π/4}} à {{math|+π/4}} puis de {{math|5π/4}} à {{math|3π/4}}, une variation qui n'est pas [[continuité (mathématiques)|continue]] ni [[fonction monotone|monotone]].

Une meilleure [[Courbe#Équation paramétrique|représentation paramétrique]] est donnée par :
:<math>\begin{cases}x=d\sqrt2\;\dfrac{\sin\varphi}{1+\cos^2\varphi}\\ \\
y=d\sqrt2\;\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{1+\cos^2\varphi}\end{cases}</math>
{{démonstration|Partons de la représentation précédente et exprimons tout en fonction de {{math|tan''θ''}} (voir par exemple l'article [[Identité trigonométrique]]) :
:<math>\cos\theta=\frac1\sqrt{1+\tan^2\theta},~\sin\theta=\frac{\tan\theta}\sqrt{1+\tan^2\theta},~\cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}</math>
donc :
:<math>x=d\sqrt2\;\frac\sqrt{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta},~y=d\sqrt2\;\frac{\tan\theta\,\sqrt{1-\tan^2\theta}}{1+\tan^2\theta}</math>
Posons {{math|1=cos''φ'' = tan''θ''}} :
:<math>x=d\sqrt2\;\frac\sqrt{1-\cos^2\varphi}{1+\cos^2\varphi},~y=d\sqrt2\;\frac{\cos\varphi\,\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{1+\cos^2\varphi}</math>
Il ne reste plus qu'à remplacer &nbsp;<math>\sqrt{1-\cos^2\varphi}</math>&nbsp; par &nbsp;<math>\sin\varphi.</math>}}

La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier {{math|''φ''}} de {{math|–''π''}} à {{math|+''π''}}. Le paramètre {{math|''φ''}} est directement relié à l'angle polaire par la relation {{math|1=cos''φ'' = tan''θ''}}, ou {{math|1=''θ'' = arctan(cos''φ'')}}.

On peut aussi convertir la représentation précédente, [[fonction trigonométrique|trigonométrique]], en une représentation paramétrique [[fonction rationnelle|rationnelle]] :
:<math>\begin{cases}x=d\sqrt2\;\dfrac{t+t^3}{1+t^4}\\ \\
y=d\sqrt2\;\dfrac{t-t^3}{1+t^4}~.\end{cases}</math>
{{démonstration|Partons de la représentation précédente et exprimons tout en fonction de {{math|1=''t'' = tan(''φ''/2)}} (voir par exemple l'article [[Identité trigonométrique]]) :
:<math>\sin\varphi=\frac{2t}{1+t^2},~\cos\varphi=\frac{1-t^2}{1+t^2},~1+\cos^2\varphi=\frac{2(1+t^4)}{(1+t^2)^2}</math>
donc :
:<math>x=d\sqrt2\;\frac{t(1+t^2)}{1+t^4},~y=d\sqrt2\;\frac{t(1-t^2)}{1+t^4}.</math>}}
La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier {{math|''t''}} de {{math|–∞}} à {{math|+∞}}. Le paramètre {{math|''t''}} est directement relié à l'angle {{math|''φ''}} par la relation {{math|1=''t'' = tan(''φ''/2)}}.

=== Au moyen du demi-axe {{math|1=OA = ''a''}} ===
La plupart des équations précédentes sont un peu plus simples et naturelles si l'on pose <math>a=d\,\sqrt2</math>&nbsp; (demi-axe de la lemniscate).

En [[coordonnées polaires]] (l'axe polaire étant {{math|OA}}), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation : 
:<math>\rho^2=a^2\cos{2\theta}~\left(-\tfrac\pi4\le\theta\,[\pi]\le+\tfrac\pi4\right).</math>

En [[coordonnées cartésiennes]] (l'axe des abscisses étant {{math|OA}}), la lemniscate de Bernoulli a pour [[fonction implicite|équation (implicite)]] :
:<math>(x^2+y^2)^2=a^2\,(x^2-y^2).</math>
L'abscisse {{math|''x''}} décrit l'intervalle {{math|[–''a'', ''a'']}} (les bornes sont atteintes pour {{math|1=''y'' = 0}}). L'ordonnée {{math|''y''}} décrit l'intervalle <math>\left[-\tfrac a{2\sqrt2},\tfrac a{2\sqrt2}\right]~</math> (les bornes sont atteintes pour <math>x=\pm\,a\,\tfrac\sqrt64</math>&nbsp;). La demi-distance focale est <math>\mathrm{OF}=\mathrm{OF'}=\tfrac a\sqrt2.</math>

Il est possible d'expliciter {{math|''y''}} en fonction de {{math|''x''}} :
:<math>y=\pm\,\frac a\sqrt2\,\sqrt{\sqrt{1+8\left(\frac xa\right)^2}-\left[1+2\left(\frac xa\right)^2\right]}~~(|x|\le a)</math>
mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de {{math|''y''}}.

==== Représentations paramétriques ====
En partant de l'équation en coordonnées polaires {{math|1=''ρ''{{2}} = ''a''{{2}}cos2''θ''}} on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire {{math|''θ''}} :
:<math>\begin{cases}x=a\,\cos\theta\,\sqrt{\cos2\theta}\\
y=a\,\sin\theta\,\sqrt{\cos2\theta}\end{cases}</math>
Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier {{math|''θ''}} de {{math|–π/4}} à {{math|+π/4}} puis de {{math|5π/4}} à {{math|3π/4}}, une variation qui n'est pas [[continuité (mathématiques)|continue]] ni [[fonction monotone|monotone]].

Une meilleure [[Courbe#Équation paramétrique|représentation paramétrique]] est donnée par :
:<math>\begin{cases}x=a\;\dfrac{\sin\varphi}{1+\cos^2\varphi}\\ \\
y=a\;\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{1+\cos^2\varphi}\end{cases}</math>
La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier {{math|''φ''}} de {{math|–''π''}} à {{math|+''π''}}. Le paramètre {{math|''φ''}} est directement relié à l'angle polaire par la relation {{math|1=cos''φ'' = tan''θ''}}, ou {{math|1=''θ'' = arctan(cos''φ'')}}.

On peut aussi convertir la représentation précédente, [[fonction trigonométrique|trigonométrique]], en une représentation paramétrique [[fonction rationnelle|rationnelle]] :
:<math>\begin{cases}x=a\;\dfrac{t+t^3}{1+t^4}\\ \\
y=a\;\dfrac{t-t^3}{1+t^4}~.\end{cases}</math>
La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier {{math|''t''}} de {{math|–∞}} à {{math|+∞}}. Le paramètre {{math|''t''}} est directement relié à l'angle {{math|''φ''}} par la relation {{math|1=''t'' = tan(''φ''/2)}}.

== Propriétés ==
=== Longueur ===
La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut :
:<math>L=\frac{2\pi\,a}{M(1,\sqrt2)}=4a\int_0^1\frac{\mathrm dt}\sqrt{1-t^4}=2\sqrt2\,K\left(\frac1\sqrt2\right)\,a=\frac{\left(\operatorname\Gamma(1/4)\right)^2}{\sqrt{2\pi}}\,a\simeq5{{,}}24412\,a</math>
où {{math|''M''(''u'', ''v'')}} désigne la [[moyenne arithmético-géométrique]] de deux nombres {{mvar|u}} et {{mvar|v}}, <math>K(1/\sqrt2)</math> est une [[Intégrale elliptique#Intégrales elliptiques|intégrale elliptique de première espèce]] et {{math|Γ}} est la [[fonction gamma]].

=== Superficie ===
[[File:LemniscateBernouilliArea.svg|thumb|L'aire de la lemniscate de Bernoulli est égale à l'aire des deux carrés bleus]]
L'aire délimitée par la lemniscate de Bernoulli vaut :
:<math>S=a^2=2d^2.</math>

Quadrature de la lemniscate : [[quadrature du cercle|impossible pour le cercle]], la quadrature exacte est possible pour la lemniscate de Bernoulli. Son aire est en effet égale à celle de deux carrés égaux (le côté des carrés étant la distance entre le centre et un foyer de la lemniscate<ref group=alpha>Cette distance OF = OF' est aussi égale au petit [[diamètre de Féret]] de la lemniscate, c.-à-d. à son épaisseur perpendiculairement à la direction F'OF.</ref>). Cette aire est aussi égale à l'aire d'un carré dont le côté est la distance séparant le centre d'un sommet de la lemniscate.

=== Familles de courbes ===
La lemniscate de Bernoulli est un cas particulier d'[[ovale de Cassini]], de [[lemniscate de Booth]], de [[spirale sinusoïdale]] et de [[spirique de Persée]].

[[Fichier:Lemniscate of Bernoulli.gif|vignette|La podaire d'une hyperbole équilatère (en bleu) est une lemniscate de Bernoulli (en rouge).]]
=== Relation avec l'hyperbole équilatère ===

La [[podaire]] d'une [[hyperbole équilatère]] par rapport à son centre est une lemniscate de Bernoulli.

== Le symbole de l'infini ? ==
La lemniscate de Bernoulli est souvent considérée comme une courbe qui se parcourt sans fin. Cette caractéristique de la lemniscate serait à l'origine du symbole de l'[[infini]], [[Infini (symbole)|∞]], mais une autre version vient contredire cette hypothèse, l'invention du symbole étant attribuée au mathématicien [[John Wallis]], contemporain de Bernoulli<ref>John Wallis, [https://books.google.com/books?id=03M_AAAAcAAJ&pg=PA4&hl=fr&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus] (1655), section I, Prop.1, p. 4.</ref>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Lemniscate of Bernoulli}}

=== Liens externes ===
* [http://images.math.cnrs.fr/Coup-d-oeil-sur-la-lemniscate-de.html Coup d’œil sur la lemniscate de Bernoulli, sur le site du CNRS].
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/lemniscate/lemniscate.shtml Lemniscate de Bernoulli, sur MathCurve].
* {{MathWorld|nom_url=Lemniscate|titre=Lemniscate}}

{{Palette|Courbes}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe]]
[[Catégorie:Jacques Bernoulli]]