Voir la source de Loi commutative

[[File:Commutativity.svg|thumb|La [[multiplication]] de 3 par 2 donne le même résultat que la multiplication de 2 par 3.]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre générale]], une [[loi de composition interne]] <math>\star</math> sur un [[ensemble]] ''S'' est dite '''commutative''' lorsque, pour tous ''x'' et ''y'' dans ''S'', 

<center><math> x \star y = y \star x</math>.</center>

== Exemples ==

Les exemples les plus simples de lois commutatives sont sans doute l'[[addition]] et la [[multiplication]] des [[entier naturel|entiers naturels]]. L'addition et la multiplication des [[nombre réel|nombres réels]] et des [[nombre complexe|nombres complexes]], l'addition des [[espace vectoriel|vecteurs]], l'[[intersection (mathématiques)|intersection]] et la [[réunion (mathématiques)|réunion]] des [[ensemble]]s sont également des lois commutatives.

À l'inverse, la [[soustraction]], la [[division]], la multiplication des [[matrice (mathématiques)|matrices]], la [[composition d'applications]] et la multiplication des [[quaternion]]s sont des lois non commutatives.

== Histoire ==

[[Fichier:Commutative Word Origin.PNG|thumb|Extrait de la p. 98 de l'article de Servois où est apparu pour la première fois le terme.]]

Certains écrits de l'[[Antiquité]] utilisent implicitement des propriétés de commutativité. Les [[Mathématiques dans l'Égypte antique|Égyptiens]] utilisaient la commutativité de la multiplication pour simplifier les calculs de produits<ref>{{en}} Beatrice Lumpkin [https://web.archive.org/web/20110807032052/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf ''The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter''], 1997 (prépublication décrivant les connaissances mathématiques des civilisations anciennes), p. 11.</ref>{{,}}<ref>{{en}} R. Gay Robins et Charles C. D. Shute, ''The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text'', Londres, British Museum, 1987 {{ISBN|0-7141-0944-4}} (traduction et interprétation du [[Papyrus Rhind]]), {{refinc|date=juin 2015|p. ?}}.</ref>. [[Euclide]], dans [[Éléments d'Euclide|ses ''Éléments'']], avait aussi supposé la commutativité de la multiplication<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Real_numbers_1|title=The real numbers: Pythagoras to Stevin}}</ref>. La définition formelle de la commutativité a émergé à la fin du {{s mini-|XVIII|e}} et au début du {{s-|XIX|e}}, lorsque les mathématiciens ont commencé à construire une théorie des fonctions. Aujourd'hui, la propriété de commutativité est considérée comme une propriété basique, utilisée dans la plupart des branches des mathématiques.

La première apparition du terme « commutatif » remonte à un article aux ''[[Annales de Gergonne]]'' écrit par [[François-Joseph Servois]] en 1814<ref>{{article|nom=Servois|titre=[http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1814-1815__5__93_0 Analise<!--sic--> transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel]|revue=[[Annales de Gergonne]]|volume=5|issue=4|jour=1|mois=10|année=1814|p.=93-140}}.</ref>{{,}}<ref name="ReferenceA">{{en}} Julio Cabillón et Jeff Miller, [http://jeff560.tripod.com/c.html Earliest Known Uses Of Mathematical Terms], ''Commutative and Distributive''.</ref>{{,}}<ref>{{MacTutor|id=Servois|title=François Joseph Servois}}</ref>, où celui-ci étudiait les propriétés de fonctions qui commutent entre elles (par [[Composition de fonctions|composition]]). L'expression <cite lang=en>commutative law</cite> (en anglais) est ensuite apparue en 1838 sous la plume de [[Duncan Farquharson Gregory]]<ref>{{ouvrage|auteur1=Raymond Flood|directeur1=oui|auteur2=Adrian Rice|directeur2=oui|auteur3=Robin Wilson|directeur3=oui|titre=Mathematics in Victorian Britain|éditeur=[[OUP]]|année=2011|présentation en ligne={{Google Livres|YruifIx88AQC|page=4}}|passage=4}}</ref>, dans un article intitulé « On the real nature of symbolical algebra » publié en 1840 dans les <cite lang=en>[[Royal Society of Edinburgh|Transactions of the Royal Society of Edimbourg]]</cite><ref>{{article|lang=en|auteur=D. F. Gregory|titre=On the real nature of symbolical algebra|revue=Transactions of the Royal Society of Edimbourg|volume=14|p.=208-216|year=1840|url=https://archive.org/details/transactionsofro14royal}}.</ref>.

== Structures à lois commutatives ==

Les [[structure algébrique|structures]] suivantes ont pour point commun d'être décrites par la donnée d'une ou plusieurs lois internes dont on exige la commutativité :

* les [[groupe abélien|groupes commutatifs]] (on dit aussi « groupes abéliens ») ;
* les [[anneau commutatif|anneaux commutatifs]] ;
* les [[corps commutatif]]s.

== Éléments permutables ==
<!-- Cette section me (= Touriste) semble hors sujet, mais je ne la vire pas pour ne pas perdre trop de temps à me demander où la recaser -->

Soit ''S'' un ensemble muni d'une loi de composition interne <math>\star</math>. Deux éléments ''x'' et ''y'' de ''S'' sont dits '''permutables''' lorsque :
<center><math>x\star y=y\star x</math>.</center>

On dit aussi que ''x'' et ''y'' '''''commutent'''''.

Ainsi, <math>\star</math> est commutative si et seulement si deux éléments quelconques de ''S'' sont toujours permutables.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Commutative property|372677822|type=note}}
{{références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets|wikt=commutativité|wiktionary titre=commutativité}}
* [[Commutateur (opérateur)]]
* [[Loi de composition interne]]
* [[Cocommutativité]], notion duale
* [[Anticommutativité]]
* [[Probabilité de commutativité]]
*[[Centre (algèbre)]]

{{Palette|Règles de transformation}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre générale]]
[[Catégorie:Vocabulaire de l'algèbre]]