Voir la source de Loi de Fisher

{{Infobox Distribution statistiques
|   name       = Fisher-Snedecor
 | pdf_image   = F-distribution pdf.svg
 | pdf_légende = 
 | cdf_image   = F distributionCDF.png
 | cdf_légende = 
|   parameters = <math>d_1>0,\ d_2>0</math> degré de liberté
|   support    = <math>x \in [0, +\infty[\!</math>
|   pdf        = <math>\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!</math>
|   cdf        = <math>I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!</math>
|   mean       = <math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math> pour <math>d_2 > 2</math>
|   median     = 
|   mode       = <math>\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!</math> pour <math>d_1 > 2</math>
|   variance   = <math>\tfrac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math> pour <math>d_2 > 4</math>
|   skewness   = <math>\tfrac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!</math> pour <math>d_2 > 6</math>
|   kurtosis   = <math>12\tfrac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}</math> pour <math>d_2 > 8</math>
|   entropy    = 
|   mgf        = 
|   char       = 
}}

En [[théorie des probabilités]] et en [[statistique]]s, la '''loi de Fisher''' ou encore '''loi de Fisher-Snedecor''' ou encore '''loi F de Snedecor''' est une [[loi de probabilité]] [[Continuité (mathématiques)|continue]]<ref>{{ouvrage|prénom1=Milton|nom1=Abramowitz|responsabilité1=éditeur|prénom2=Irene A.|nom2=Stegun|responsabilité2=éditeur|langue=en|titre=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|lien éditeur=Dover Publications|éditeur=Dover Publications|lieu=New York|année=1972|mois= |jour= |isbn=978-0-486-61272-0}}</ref>{{,}}<ref>NIST (2006). [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3665.htm Engineering Statistics Handbook - F Distribution]</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|prénom1=Alexander|nom1=Mood|nom2=Franklin A. Graybill|nom3=Duane C. Boes|langue=en|titre=Introduction to the Theory of Statistics |numéro d'édition=3|lien éditeur=McGraw-Hill|éditeur=McGraw-Hill|année=1974|mois= |jour= |isbn=978-0-07-042864-5|passage=246-249}}</ref>. Elle tire son nom des statisticiens [[Ronald Aylmer Fisher]] et [[George Snedecor]]. 

La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que loi de la [[statistique de test]] lorsque l'[[hypothèse nulle]] est vraie , dans des [[tests statistiques]], comme les tests du ratio de [[vraisemblance]], dans les [[test de Chow]] utilisés en économétrie, ou encore dans l'[[analyse de la variance]] (ANOVA) via le [[test de Fisher]].

== Caractérisation ==
Une [[variable aléatoire réelle]] distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]], {{formule|''U''{{ind|1}}}} et {{formule|''U''{{ind|2}}}}, distribuées chacune selon une [[Loi du χ²]] et ajustées pour leurs nombres de [[Degré de liberté (statistiques)|degrés de liberté]], respectivement {{formule|''d''{{ind|1}}}} et {{formule|''d''{{ind|2}}}} :
{{indente|1= <math>\mathrm{F}(d_1, d_2) \sim \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>. }}

La [[densité de probabilité]] d'une loi de Fisher, {{formule|''F''(''d''{{ind|1}}, ''d''{{ind|2}})}}, est donnée par
{{indente|1= <math>f(x) = \frac{\left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_2/2}}{x\; \mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)} </math> }}
pour tout [[Nombre réel|réel]] {{formule|''x'' ≥ 0}}, où {{formule|''d''{{ind|1}}}} et {{formule|''d''{{ind|2}}}} sont des entiers positifs et {{formule|B}} est la [[fonction bêta]].

La [[fonction de répartition]] associée est :
{{indente|1= <math>F(x)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2) </math> }}
où {{formule|''I''}} est la [[Fonction bêta|fonction bêta incomplète régularisée]].

La [[loi binomiale]] est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante<ref>{{article|auteur=E. Morice|titre=Quelques modèles mathématiques de durée de vie|périodique=Revue de statistique appliquée|tome=14|numéro=1|année=1966|passage=45-126|lire en ligne=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1966__14_1/RSA_1966__14_1_45_0/RSA_1966__14_1_45_0.pdf}}, p. 68</ref>: 
si X suit une loi binomiale de paramètres ''n'' et ''p'', et si ''k'' est un entier compris entre 0 et ''n'', alors <math>\mathbb P(X \le k) = \mathbb P(F\ge x)</math> où F suit une loi de Fischer de paramètres <math>\nu_1=2(k+1)\, , \, \nu_2=2(n-k)</math> avec <math> x= \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}.</math> 

L'espérance, la variance valent respectivement
{{indente|1= <math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math> }}
pour {{formule|''d''{{ind|2}} > 2}} et
{{indente|1= <math>\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math>
pour {{formule|''d''{{ind|2}} > 4}}. Pour {{formule|''d''{{ind|2}} > 8}}, le [[kurtosis normalisé]] est <math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}</math>.}}

== Généralisation ==
Une généralisation de la loi de Fisher est la {{lien|lang=en|trad=Noncentral F-distribution|fr=loi de Fisher non-centrée}}.

== Lois associées et propriétés ==

* Si <math>\ X \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)</math> alors <math>Y = \lim_{\nu_2 \to \infty} \nu_1 X</math> est distribuée selon une [[loi du χ²]] <math>\chi^2_{\nu_{1}}</math>;
* La loi <math>\mathrm{F}(\nu_1,\nu_2)</math> est équivalente à la loi ''T²'' de Hotelling <math>(\nu_1(\nu_1+\nu_2-1)/\nu_2)\operatorname{T}^2(\nu_1,\nu_1+\nu_2-1)</math>;
* Si <math>X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2),</math> alors <math> \frac{1}{X} \sim F(\nu_2,\nu_1)</math>;
* Si <math>X \sim \mathrm{t}(\nu)\!</math> est distribuée selon une [[loi de Student]] alors <math>X^2 \sim \operatorname{F}(1, \nu)</math>;
* Si <math>X \sim \mathrm{N}\!</math> est distribuée selon une [[loi normale]] alors <math>X^2 \sim \operatorname{F}(1, \infty)</math>;
* Si <math>X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)</math> et <math>Y=\frac{\nu_1 X/\nu_2}{1+\nu_1 X/\nu_2}</math> alors <math>Y \sim \operatorname{Beta}(\nu_1/2,\nu_2/2)</math> est distribuée selon une [[loi bêta]];
* Si <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> est le quantile d'ordre <math>p</math> pour <math>X\sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)</math> et que <math>\operatorname{Q}_Y(p)</math> est le quantile d'ordre <math>p</math> pour <math>Y\sim \operatorname{F}(\nu_2,\nu_1)</math> alors <math>\operatorname{Q}_X(p)=1/\operatorname{Q}_Y(1-p)</math>.

== Table de valeurs des quantiles ==

[[Fichier:Loi fisher 95e centile.svg|thumb|Définition du {{95e}} centile d'une loi de Fisher-Snedecor.]]Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Fisher pour différents paramètres <font style="font-family:serif">ν<sub>1</sub></font>  et <font style="font-family:serif">ν<sub>2</sub></font>. Pour chaque paramètre, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Fisher lui soit inférieur est de <math>1-\alpha</math>. Ainsi, pour <math>1-\alpha=0,95</math> et  <math>v_1 = 1</math>   et <math>v_2 = 3</math>, si X suit une loi de Fisher avec ces paramètres , on lit dans la table  que <math>P(X \leqslant10,13)=0,95.</math>
{| class="wikitable"
|+ Table de Fisher-Snedecor, 1-α = 0.95
|-
! rowspan="2" scope="col" | <font style="font-family:serif">ν<sub>2</sub></font><br /> (dén.)
! colspan="20" scope="col" | <font style="font-family:serif">ν<sub>1</sub></font> (numérateur)
|-
! scope="col" | 1
! scope="col" | 2
! scope="col" | 3
! scope="col" | 4
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! scope="col" | 100
! scope="col" | 200
! scope="col" | 500
! scope="col" | {{formatnum:1000}}
|-
! scope="row" | 1
| 161.45 || 199.50 || 215.71 || 224.58 || 230.16 || 233.99 || 236.77 || 238.88 || 240.54 || 241.88 
| 248.02 || 250.10 || 251.14 || 251.77 || 252.20 || 252.72 || 253.04 || 253.68 || 254.06 || 254.19  
|-
! scope="row" | 2
| 18.51 || 19.00 || 19.16 || 19.25 || 19.30 || 19.33 || 19.35 || 19.37 || 19.38 || 19.40
| 19.45 || 19.46 || 19.47 || 19.48 || 19.48 || 19.48 || 19.49 || 19.49 || 19.49 || 19.49  
|-
! scope="row" | 3
| 10.13 || 9.55 || 9.28 || 9.12 || 9.01 || 8.94 || 8.89 || 8.85 || 8.81 || 8.79 
| 8.66 || 8.62 || 8.59 || 8.58 || 8.57 || 8.56 || 8.55 || 8.54 || 8.53 || 8.53  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 4
| 7.71 || 6.94 || 6.59 || 6.39 || 6.26 || 6.16 || 6.09 || 6.04 || 6.00 || 5.96
| 5.80 || 5.75 || 5.72 || 5.70 || 5.69 || 5.67 || 5.66 || 5.65 || 5.64 || 5.63  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 5
| 6.61 || 5.79 || 5.41 || 5.19 || 5.05 || 4.95 || 4.88 || 4.82 || 4.77 || 4.74
| 4.56 || 4.50 || 4.46 || 4.44 || 4.43 || 4.41 || 4.41 || 4.39 || 4.37 || 4.37  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 6
| 5.99 || 5.14 || 4.76 || 4.53 || 4.39 || 4.28 || 4.21 || 4.15 || 4.10 || 4.06 
| 3.87 || 3.81 || 3.77 || 3.75 || 3.74 || 3.72 || 3.71 || 3.69 || 3.68 || 3.67 
|-
! scope="row" | 7
| 5.59 || 4.74 || 4.35 || 4.12 || 3.97 || 3.87 || 3.79 || 3.73 || 3.68 || 3.64 
| 3.44 || 3.38 || 3.34 || 3.32 || 3.30 || 3.29 || 3.27 || 3.25 || 3.24 || 3.23  
|-
! scope="row" | 8
| 5.32 || 4.46 || 4.07 || 3.84 || 3.69 || 3.58 || 3.50 || 3.44 || 3.39 || 3.35 
| 3.15 || 3.08 || 3.04 || 3.02 || 3.01 || 2.99 || 2.97 || 2.95 || 2.94 || 2.93  
|-
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| 5.12 || 4.26 || 3.86 || 3.63 || 3.48 || 3.37 || 3.29 || 3.23 || 3.18 || 3.14 
| 2.94 || 2.86 || 2.83 || 2.80 || 2.79 || 2.77 || 2.76 || 2.73 || 2.72 || 2.71  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 10
| 4.96 || 4.10 || 3.71 || 3.48 || 3.33 || 3.22 || 3.14 || 3.07 || 3.02 || 2.98 
| 2.77 || 2.70 || 2.66 || 2.64 || 2.62 || 2.60 || 2.59 || 2.56 || 2.55 || 2.54   
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 20
| 4.35 || 3.49 || 3.10 || 2.87 || 2.71 || 2.60 || 2.51 || 2.45 || 2.39 || 2.35 
| 2.12 || 2.04 || 1.99 || 1.97 || 1.95 || 1.92 || 1.91 || 1.88 || 1.86 || 1.85 
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 30
| 4.17 || 3.32 || 2.92 || 2.69 || 2.53 || 2.42 || 2.33 || 2.27 || 2.21 || 2.16 
| 1.93 || 1.84 || 1.79 || 1.76 || 1.74 || 1.71 || 1.70 || 1.66 || 1.64 || 1.63  
|-
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| 4.08 || 3.23 || 2.84 || 2.61 || 2.45 || 2.34 || 2.25 || 2.18 || 2.12 || 2.08 
| 1.84 || 1.74 || 1.69 || 1.66 || 1.64 || 1.61 || 1.59 || 1.55 || 1.53 || 1.52 
|-
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| 4.03 || 3.18 || 2.79 || 2.56 || 2.40 || 2.29 || 2.20 || 2.13 || 2.07 || 2.03 
| 1.78 || 1.69 || 1.63 || 1.60 || 1.58 || 1.54 || 1.52 || 1.48 || 1.46 || 1.45  
|-
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| 4.00 || 3.15 || 2.76 || 2.53 || 2.37 || 2.25 || 2.17 || 2.10 || 2.04 || 1.99 
| 1.75 || 1.65 || 1.59 || 1.56 || 1.53 || 1.50 || 1.48 || 1.44 || 1.41 || 1.40  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 70
| 3.98 || 3.13 || 2.74 || 2.50 || 2.35 || 2.23 || 2.14 || 2.07 || 2.02 || 1.97 
| 1.72 || 1.62 || 1.57 || 1.53 || 1.50 || 1.47 || 1.45 || 1.40 || 1.37 || 1.36 
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 80
| 3.96 || 3.11 || 2.72 || 2.49 || 2.33 || 2.21 || 2.13 || 2.06 || 2.00 || 1.95 
| 1.70 || 1.60 || 1.54 || 1.51 || 1.48 || 1.45 || 1.43 || 1.38 || 1.35 || 1.34  
|- {{ligne grise}}
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| 3.95 || 3.10 || 2.71 || 2.47 || 2.32 || 2.20 || 2.11 || 2.04 || 1.99 || 1.94 
| 1.69 || 1.59 || 1.53 || 1.49 || 1.46 || 1.43 || 1.41 || 1.36 || 1.33 || 1.31 
|-
! scope="row" | 100
|  3.94 || 3.09 || 2.70 || 2.46 || 2.31 || 2.19 || 2.10 || 2.03 || 1.97 || 1.93 
| 1.68 || 1.57 || 1.52 || 1.48 || 1.45 || 1.41 || 1.39 || 1.34 || 1.31 || 1.30 
|-
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| 3.89 || 3.04 || 2.65 || 2.42 || 2.26 || 2.14 || 2.06 || 1.98 || 1.93 || 1.88 
| 1.62|| 1.52 || 1.46 || 1.41 || 1.39 || 1.35 || 1.32 || 1.26 || 1.22 || 1.21 
|-
! scope="row" | 300
| 3.87 || 3.03 || 2.63 || 2.40 || 2.24 || 2.13 || 2.04 || 1.97 || 1.91 || 1.86 
| 1.61 || 1.50 || 1.43 || 1.39 || 1.36 || 1.32 || 1.30 || 1.23 || 1.19 || 1.17  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | 500
| 3.86 || 3.01 || 2.62 || 2.39 || 2.23 || 2.12 || 2.03 || 1.96 || 1.90 || 1.85 
| 1.59 || 1.48 || 1.42 || 1.38 || 1.35 || 1.30 || 1.28 || 1.21 || 1.16 || 1.14  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | {{formatnum:1000}}
| 3.85 || 3.00 || 2.61 || 2.38 || 2.22 || 2.11 || 2.02 || 1.95 || 1.89 || 1.84 
| 1.58 || 1.47 || 1.41 || 1.36 || 1.33 || 1.29 || 1.26 || 1.19 || 1.13 || 1.11  
|- {{ligne grise}}
! scope="row" | {{formatnum:2000}}
| 3.85 || 3.00 || 2.61 || 2.38 || 2.22 || 2.10 || 2.01 || 1.94 || 1.88 || 1.84 
| 1.58 || 1.46 || 1.40 || 1.36 || 1.32 || 1.28 || 1.25 || 1.18 || 1.12 || 1.09  
|}

== Voir aussi ==

* [[Test de Fisher]]

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3673.htm Table of critical values of the ''F''-distribution]
* [http://home.clara.net/sisa/signhlp.htm Online significance testing with the F-distribution]
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html Distribution Calculator] pour calculer les probabilités et les valeurs critiques des lois normales, de Student, du Chi-deux et de la loi de Fisher
* [http://www.danielsoper.com/statcalc/calc39.aspx Cumulative distribution function (CDF) calculator for the Fisher F-distribution]
* [http://www.danielsoper.com/statcalc/calc38.aspx Probability density function (PDF) calculator for the Fisher F-distribution]

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{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Loi de probabilité|Fisher]]
[[Catégorie:Méthode d'analyse]]