Voir la source de Loi de Poisson

{{Voir homonymes|Poisson (homonymie)}}
{{Infobox Distribution statistiques
|   name        = Loi de Poisson
 | pmf_image   = Fonctions de masse de la loi de Poisson.png
 | pmf_légende = Les fonctions de masse ne sont définies que pour les entiers {{mvar|k}}.
 | cdf_image   = Fonctions de répartion de la loi de Poisson.png
 | cdf_légende = Les fonctions de répartition sont discontinues en chaque entier naturel.
|   parameters = <math>\lambda \in{} ]0,+\infty[</math><ref name="convention"/>
|   support    = <math>k \in \N</math>
|   pmf        = <math>\frac{\mathrm{e}^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!</math>
|   cdf        = <math>\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ pour }k\ge 0</math>
(où <math>\Gamma(x, y)</math>  est la [[Fonction gamma incomplète]]) et où <math>\lfloor x\rfloor</math> est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière par défaut]] de ''x''
|   mean       = <math>\lambda\,</math>
|   median     = <math>\text{environ }\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor</math>
|   mode       = <math>\lfloor\lambda\rfloor</math> si <math>\lambda</math> est un réel non entier,
<math>\lambda</math> et <math>\lambda-1</math> si <math>\lambda</math> est un nombre entier
|   variance   = <math>\lambda\,</math>
|   skewness   = <math>\lambda^{-1/2}\,</math>
|   kurtosis   = <math>\lambda^{-1}\,</math>
|   entropy    = <math>\lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty  \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}.</math>
Pour <math>\lambda</math> grand :

<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\log(2 \pi \mathrm{e} \lambda) -  \frac{1}{12 \lambda} -  \frac{1}{24 \lambda^2} - \frac{19}{360 \lambda^3} +  O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)
</math>
|   mgf        = <math>\exp(\lambda (\mathrm{e}^t-1))\,</math>
|   char       = <math>\exp(\lambda (\mathrm{e}^{it}-1))\,</math>
}}

En [[théorie des probabilités]] et en [[statistique]]s, la '''loi de [[Siméon Denis Poisson|Poisson]]''' est une [[Loi de probabilité#Classification des lois de probabilité sur la droite réelle|loi de probabilité discrète]] qui décrit le comportement du nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixé, si ces  événements se produisent avec une fréquence moyenne ou espérance connue, et [[Indépendance (probabilités)|indépendamment]]  du temps écoulé depuis l'événement précédent.

La loi de Poisson est  également pertinente pour décrire le nombre d'événements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.

== Histoire ==
La loi de Poisson a été introduite en 1838 par [[Siméon Denis Poisson]] (1781–1840), dans son ouvrage ''Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile''<ref name=":0">Siméon-Denis Poisson, {{Gallica|id=bpt6k110193z|t=Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile ; précédées des Règles générales du calcul des probabilités}}, 1837, passage 81, p. 205.</ref>. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines [[Variable aléatoire réelle|variables aléatoires]] qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées « arrivées ») qui prennent place pendant un laps de temps donné.

== Définition ==
Si le nombre moyen d'occurrences dans un intervalle de temps fixé est {{math|λ}}, alors la probabilité qu'il existe exactement {{mvar|k}} occurrences ({{mvar|k}} étant un [[entier naturel]], {{math|''k'' {{=}} 0, 1, 2…}}) est
{{Retrait|<math>p(k) =  P(X = k)= \frac{\lambda ^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}\,</math>|taille=2em}}
où :
* [[e (nombre)|{{math|e}}]] est la base de l'[[fonction exponentielle|exponentielle]] ({{math|e ≈ 2,718...}}) ;
* {{math|''k''!}} est la [[factorielle]] de {{mvar|k}} ;
* {{math|λ}} est un [[nombre réel]] strictement [[Nombre positif|positif]]<ref name="convention">Avec les conventions habituelles {{formule|§=0! = 1}} et {{formule|§=0{{exp|0}} = 1}}, la définition de la loi de Poisson s'étend à {{math|λ {{=}} 0}} : on trouve alors {{math|''p''(0)&nbsp;{{=}}&nbsp;1}} et, dès que {{math|''k''&nbsp;>&nbsp;0}}, {{math|''p''(''k'')&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}. Ainsi une variable aléatoire nulle presque sûrement peut être vue comme suivant la loi de Poisson de paramètre 0. Cette convention est cohérente avec les propriétés essentielles de la loi de Poisson de paramètre strictement positif. Elle est commode, voire indispensable, par exemple lors de l'étude des processus ponctuels de Poisson.</ref>.
On dit alors que {{mvar|X}} suit la ''loi de Poisson'' de paramètre {{math|λ}}.

Par exemple, si un certain type d'événements se produit en moyenne 4 fois par [[minute (temps)|minute]], pour étudier le nombre d'événements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre {{math|λ&nbsp;{{=}}&nbsp;10×4&nbsp;{{=}}&nbsp;40}}.

== Calcul de ''p''(''k'') ==
Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une [[loi binomiale]] de paramètres ({{mvar|T}} ; {{sfrac|λ|''T''}}). Pour {{mvar|T}} grand, on démontre que la [[loi binomiale]] converge vers la loi de Poisson.

Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle {{math|[0 ; ''T'']}} les fonctions {{math|''F<sub>k</sub>''(''t'')}}, qui donnent la probabilité que l'événement se produise {{mvar|k}} fois sur l'intervalle de temps {{math|[0 ; ''t'']}}. En utilisant la [[raisonnement par récurrence|récurrence]]  et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes<ref>Voir par exemple, {{Ouvrage|langue=|auteur1=Michel Henry|titre=Autour de la modélisation en probabilités|passage=229-231|lieu=|éditeur=Presses universitaires de Franche-Comté|date=2001|pages totales=|isbn=|lire en ligne=|présentation en ligne=https://books.google.fr/books/about/Autour_de_la_mod%C3%A9lisation_en_probabilit.html?id=9ohSMOloHwsC&redir_esc=y}} ou encore [https://cours.etsmtl.ca/seg/emfrih/MAT350/Notes%20de%20cours/poiss-eq%20diff-.pdf ces notes de cours].</ref>.

== Propriétés ==

=== Statistiques descriptives ===
* L'[[Espérance mathématique|espérance]] d'une loi de Poisson est {{math|λ}}.
* La [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] d'une loi de Poisson est également {{math|λ}}.
* Son [[écart type]] est donc {{math|{{racine|λ}}}}.
* La [[Fonction génératrice des probabilités|fonction génératrice]] de la loi de Poisson est
{{Retrait|<math>G_{X} (t)\equiv \mathbb{E}(t^X)=\ \mathrm{e}^{\lambda(t-1)}.</math>|taille=2em}}
* La [[fonction génératrice des moments]] d'une loi de Poisson est
{{Retrait|<math>M_{X}(t)\equiv   \mathbb{E}(\mathrm{e}^{tX})=\exp\left(\lambda (\mathrm{e}^t-1)\right).</math>|taille=2em}}
{{Démonstration|
''' ''Espérance'' '''

Si {{mvar|X}} suit une loi de poisson de paramètre {{math|λ}}, soit <math>X \sim  \mathcal{P}(\lambda)\,</math>.

Alors, on a par définition que <math>\mathbb{P}(X=k)=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}</math>  et donc :
:<math>\begin{align}\mathbb{E}(X)  &= \sum_{k=1}^{+{\infty}}k\,\mathbb{P}(X=k)\\&=\sum_{k=1}^{+{\infty}}k\,\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\\&=\mathrm{e}^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^{+{\infty}}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}\\&=\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^{+{\infty}}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}&=\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda}\,\mathrm{e}^{\lambda}\,=\lambda\end{align}</math>

Dans la dernière ligne, on reconnaît le développement en [[série entière]] de {{math|e{{exp|λ}}}}.

''' ''Variance'' '''
:<math>\begin{align}V(X)  &= \mathbb{E}(X^2) - ( \mathbb{E}(X) ) ^2\\
&= \sum_{k=1}^{+{\infty}}k^2\,\mathbb{P}(X=k) - \lambda^2\\
&=  \sum_{k=1}^{+{\infty}}k^2\,\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}  -  \lambda^2\\
&= \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{k\lambda^{k-1}}{(k-1)!} - \lambda^2\\
&= \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda}  \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{d}{d\lambda}\frac{\lambda^k}{(k-1)!} - \lambda^2 \; \text{ Comme la série entière a un rayon de convergence infini,}\\
&=  \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda}  \frac{d}{d\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{\lambda^k}{(k-1)!} - \lambda^2 \; \text{on peut inverser la sommation et la dérivation.}\\
&=  \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda}  \frac{d}{d\lambda}[\lambda\sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}] - \lambda^2\\
&= \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda}  \frac{d}{d\lambda}[\lambda\,\mathrm{e}^{\lambda}] - \lambda^2 \qquad \qquad \text{ car }  \exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}\\
&=  \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda}(\lambda+1)\,\mathrm{e}^{\lambda}  -  \lambda^2\\
&= \lambda\,(\lambda+1) - \lambda^2\\
&=  \lambda\,\end{align}</math>

''' ''Fonction génératrice'' '''

La fonction génératrice d'une variable aléatoire {{mvar|X}} est définie par
<math>G_{X} (t) =\  \mathbb{E}(t^X).</math>
Ainsi on obtient :
:<math>\begin{align}\mathbb{E}(t^X) &=  \sum_{k=0}^{\infty} t^k \mathbb{P}(X=k)\\
 &=  \sum_{k=0}^{\infty} t^k \mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\\
 &= \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}  t^k \frac{\lambda^k}{k!}\\
 &= \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}  \frac{(t\lambda)^k}{k!}\\
 &= \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{t\lambda} \qquad \qquad \text{  car } \exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}\\
 &=  \mathrm{e}^{\lambda(t -  1)}\end{align}</math>

''' ''Fonction génératrice des moments'' '''
:<math>
\begin{align}
M_{X}(t)        &= \sum_{k=0}^{+\infty}\mathrm{e}^{tk}\mathbb{P}(X=k)\\
               &=  \sum_{k=0}^{+\infty}\mathrm{e}^{tk}\frac{\lambda^{k}}{k!}\,\mathrm{e}^{-\lambda}\\
               &=  \mathrm{e}^{-\lambda}  \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\lambda\, \mathrm{e}^{t})^{k}}{k!}\\
               &=  \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda\, \mathrm{e}^{t}}  \qquad \qquad \text{ car } \exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}\\
                &= \mathrm{e}^{\lambda(\mathrm{e}^{t}-1)}
\end{align}</math>
|style=width:1000px}}

=== Diagramme en bâton ===
Comme toute [[loi de probabilité discrète]], une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.<center>
[[Fichier:Poisson1.png|diagramme en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 1]]  [[Fichier:Poisson2.png|diagramme en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 2]]  [[Fichier:Poisson5.png|diagramme en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 5]]
</center>

Lorsque le paramètre {{math|λ}} de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à {{math|λ}} (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

=== Stabilité de la loi de Poisson par la somme ===
Si les variables {{math|{''X{{ind|i}}''}{{ind|''i''{{=}}1,...,''n''}}}} sont indépendantes et suivent une loi de Poisson de paramètres respectifs {{math|λ{{ind|''i''}}}}, alors leur somme suit une loi de Poisson de paramètre la somme des {{math|λ{{ind|''i''}}}}:
{{Retrait|<math>Y = \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \right)</math>|taille=2em}}

{{Démonstration|contenu=
On montre le cas ''n'' = 2, les cas supérieurs se déduisent par récurrence.

On rappelle que
{{Retrait|<math> \mathbb{P}(X_1=n)=\frac{{\lambda_1}^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-\lambda_1} \text{  et  } \mathbb{P}(X_2=n)=\frac{{\lambda_2}^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-{\lambda_2}}.</math>|taille=2em}}
On a alors
{{Retrait|<math> \begin{align}\mathbb{P}(X+Y=n)&=\sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}(\{X_1=k\}\cap\{X_2=n-k\})=\sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}(X_1=k) \mathbb{P}(X_2=n-k)\\
&=\sum_{k=0}^{n}\frac{\lambda_1^{k}}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda_1}\cdot \frac{\lambda_2^{n-k}}{(n-k)!}\mathrm{e}^{-\lambda_2}\\
&=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda_1} \mathrm{e}^{-\lambda_2}}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\lambda_1^{k}\lambda_2^{n-k}=\frac{\mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{n!}(\lambda_1+\lambda_2)^{n}
\end{align}</math>|taille=2em}}

L'indépendance a été utilisée à la {{2e}} égalité. La dernière égalité est obtenue via la [[formule du binôme de Newton]].}}

== Simulation ==
Un algorithme simple pour simuler la loi de Poisson consiste à utiliser le résultat suivant :

{{théorème|1=
Soit {{math|(''E{{ind|i}}''){{ind|''i'' ≥ 1}}}} une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre {{math|λ}}. On pose {{math|''S''{{ind|1}} {{=}} ''E''{{ind|1}}}} et pour {{math|''n'' ≥ 2}}, {{math|''S{{ind|n}}'' {{=}} ''E''{{ind|1}} + ... + ''E{{ind|n}}''}}. On a alors :
:<math> \forall n \geqslant 1,\ \mathbb{P} (S_n \leqslant 1 < S_{n+1}) = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda} \lambda^n}{n!}.</math>
}}

La [[méthode de la transformée inverse]] permet de donner une façon simple de générer un tirage aléatoire suivant une loi exponentielle :
:Si {{mvar|U}} suit une loi uniforme sur {{math|[0 ; 1]}}, alors {{math|''E'' {{=}} –{{sfrac|1|λ}}ln(''U'')}} suit une loi exponentielle de paramètre {{math|λ}}.

L'algorithme peut ainsi se simplifier en :
* {{math|''k''  ← 0}}, {{math|''p''  ← 1}}
* tant que {{math|''p'' > e{{exp|–λ}}|§=''p'' > e{{exp|–λ}}}}
** on tire {{mvar|u}} selon un tirage aléatoire uniforme sur {{math|[0 ; 1]}}
** {{math|''p''  ← ''p''×''u''}}
** {{math|''k''  ← ''k''+1}}
*on renvoie {{math|''k'' – 1}}

== Estimation du paramètre {{math|λ}} ==
L'[[Maximum de vraisemblance|estimateur par maximum de vraisemblance]] du paramètre {{math|λ}} d'un échantillon issu d'une loi de Poisson est la [[moyenne empirique]]. C'est un [[Estimateur (statistique)|estimateur]] convergent, sans [[Biais (statistique)|biais]], {{Lien|langue=en|trad=Efficiency (statistics)|fr=Efficience (statistiques)|texte=efficient}}, {{Lien|langue=en|trad=Completeness_(statistics)|fr=Complétude (statistiques)|texte=complet}}, [[Statistique exhaustive|exhaustif]].
<br />
== Lien avec d'autres lois de probabilités ==

* Si {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs {{math|λ}} et {{mvar|μ}}, alors {{mvar|X – Y}} est une variable aléatoire qui suit une [[loi de Skellam]] de paramètres {{math|(λ,''μ'')}}.
* Si {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres {{math|λ}} et {{mvar|μ}}, alors la loi conditionnelle de {{mvar|X}} sachant {{math|''X'' + ''Y''}} est une [[loi binomiale]].
* Pour de grandes valeurs de {{math|λ}}, on peut approcher la loi de Poisson par la [[loi normale]] de moyenne {{math|λ}} et de variance {{math|λ}}.

=== Lien avec la [[loi de Bernoulli]]===
Le décompte des événements rares se fait souvent au travers d'une [[Loi de Bernoulli#Applications au comptage|somme de]] [[Loi de Bernoulli#Applications au comptage#Variable de Bernoulli|variables de Bernoulli]], la rareté des événements se traduisant par le fait que les paramètres de ces [[Loi de Bernoulli#Applications au comptage#Variable de Bernoulli|variables de Bernoulli]] sont petits (ainsi, la probabilité que chaque événement survienne est faible). Le lien entre la loi de Poisson et les événements rares peut alors s'énoncer ainsi :
{{Théorème|Paradigme de Poisson| La somme {{mvar|S{{ind|n}}}} d'un grand nombre de variables de Bernoulli [[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|indépendantes]] de petit paramètre [[Convergence de variables aléatoires#Convergence en loi|suit approximativement]] la loi de Poisson de paramètre <math>\mathbb{E}[S_n]. \ </math>}}

L'[[inégalité de Le Cam]] précise le paradigme de Poisson : soit <math>X_{1,n}, X_{2,n},\dots, X_{a_n,n}\ </math> un tableau de variables aléatoires de Bernoulli [[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|indépendantes]], avec paramètres respectifs {{math|''p''{{ind|''k'',''n''}}}}. On note

{{Retrait|<math>S_n=\sum_{k=1}^{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\ =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}.\ </math>|taille=2em}}
{{Théorème|[[Inégalité de Le Cam]]<ref>{{article |langue=en|nom1=Le Cam |prénom=L. |lien auteur=Lucien Le Cam |titre=An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution |journal=Pacific Journal of Mathematics |volume=10 |numéro=4 |pages=1181–1197 |année=1960 |url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038058 |consulté le=2009-05-13 |id={{MathSciNet|0142174}}. {{Zbl|0118.33601}}}}.</ref>|Pour tout ensemble {{mvar|A}} d'entiers naturels,<center><math>\left|\mathbb{P}\left(S_n\in A\right)-\sum_{k\in A}\,\frac{\lambda_n^k\,\mathrm{e}^{-\lambda_n}}{k!}\right|\ \le\ \sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}^2.</math></center>
En particulier, si les deux conditions suivantes sont réunies :
* <math>\lim_n \lambda_n\,=\,\lambda>0,\ </math>
* <math>\lim_n \sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}^2\,=\,0,\ </math>
alors {{mvar|S{{ind|n}}}} [[Convergence de variables aléatoires#Convergence en loi|converge en loi]] vers la loi de Poisson de paramètre Efficience (statistiques)|texte=efficient.}}
Dans l'énoncé du ''paradigme de Poisson'', on fait deux hypothèses (vagues) sur les termes d'une somme {{mvar|S{{ind|n}}}} de variables de Bernoulli :

* les paramètres des variables de Bernoulli sont petits ; or les deux conditions ci-dessus entraînent que

{{Retrait|<math>\lim_n\,\left(\max_{1\le k\le a_n}\,p_{k,n}\right)\,=\,0,\ </math>|taille=2em}}
{{Retrait|ce qui reformule l'hypothèse « ''les paramètres des variables de Bernoulli sont petits'' » de manière plus précise ;|taille=2em}}

* il y a un grand nombre de termes ; or les deux conditions ci-dessus entrainent que le nombre de termes tend vers l'infini :

{{Retrait|<math>\lim_n a_n\,=\,+\infty.\ </math>|taille=2em}}
{{exemple|nom=Remarques|
* Ce paradigme reste pertinent, dans certaines conditions, si l'on relaxe l'hypothèse d'[[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|indépendance]]<ref name="barbour">{{Ouvrage |langue=en |prénom1=A. D. |nom1=Barbour |prénom2=L. |nom2=Holst |prénom3=S. |nom3=Janson |titre=Poisson approximation |série=Oxford Studies in Probability |éditeur=The Clarendon Press Oxford University Press |année=1992 |isbn=0198522355}}.</ref>.
** Un exemple frappant est le nombre de [[Loi de Bernoulli#Points fixes d'une permutation tirée au hasard|points fixes d'une permutation tirée au hasard]].
** Un autre exemple est le [[Graphe aléatoire#Énumération des points isolés|nombre de points isolés]] du [[graphe aléatoire]], dont la convergence vers la loi de Poisson a permis à [[Paul Erdös|Erdös]] et [[Alfréd Rényi|Rényi]] de démontrer, en 1960, le [[Graphe aléatoire#Le théorème double-exponentiel|théorème double-exponentiel]].
* Le cas particulier {{math|''a{{ind|n}}''{{=}}''n'', ''p{{ind|k,n}}''{{=}}λ/''n'', λ{{ind|''n''}}{{=}}λ}}, de l'inégalité de Le Cam, précise la rapidité de convergence de la [[loi binomiale]] de paramètres {{mvar|n}} et {{math|λ/''n''}} vers la loi de Poisson de paramètre {{math|λ}}.}}

== Domaines d'application ==
Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de [[Ladislaus Bortkiewicz]]<ref>{{ouvrage|auteur1=Ladislaus Bortkiewicz|titre=Das Gesetz der kleinen Zahlen|année=1898|lire en ligne=https://openlibrary.org/books/OL7137710M/Das_Gesetz_der_kleinen_Zahlen}}, [https://archive.org/stream/dasgesetzderklei00bortrich#page/n61/mode/2up {{p.|23}}].</ref>).

Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les [[télécommunication]]s (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique (nombre de défauts en [[Statistical process control|SPC]]), la description de certains phénomènes liés à la [[désintégration radioactive]] (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la [[biologie]] ([[mutation (génétique)|mutations]] dans l'[[Expérience de Luria-Delbrück|expérience de Luria et Delbrück]], nombre de potentiels d'actions émis par un neurone en neurosciences), la [[météorologie]], la [[finance]] pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit, le Yield Management (American Airlines, Lufthansa et SAS pour estimer la demande de passagers){{etc}}

== En littérature ==

Dans le roman de [[Thomas Pynchon]], ''[[L'Arc-en-ciel de la gravité]]'', un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes [[V2 (missile)|V2]]  sur la ville de [[Londres]]  durant la [[Seconde Guerre mondiale]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

* [[Régression de Poisson]]
* [[Processus de Poisson]]

=== Articles connexes ===
* [[Probabilité]]
* [[Probabilité (mathématiques élémentaires)]]
* [[Loi de probabilité]]
* [[Loi de Bernoulli]]
* [[Données de comptage]]

{{Palette|Lois de probabilités|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Loi de probabilité|Poisson, Loi de]]
[[Catégorie:Loi scientifique découverte au XIXe siècle]]