Voir la source de Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

{{à sourcer|date= novembre 2012}}
La '''[[Métrique (mathématiques)|métrique]] de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker'''{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{§|7.1.2}} (« Forme de la métrique »)|p=131}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|loc={{s.v.}}Robertson-Walker (métrique de)|p=609, {{col.|1}}}} (ci-après FLRW) permet de décrire un espace-temps de géométrie [[Homogénéité (cosmologie)|homogène]] et [[isotropie (cosmologie)|isotrope]]. En cosmologie, cette métrique est utilisée pour la description de l'évolution de l'univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du [[Big Bang]]<ref name=Goobar>L. Bergström, A. Goobar, [https://books.google.com/books?id=CQYu_sutWAoC&pg=PA61 Cosmology and Particle Astrophysics, page 61], {{2de}} édition (2006), {{ISBN|3-540-32924-2}}</ref>.

Suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon les noms d'une partie des quatre scientifiques : [[Alexander Friedmann]], [[Georges Lemaître]], [[Howard Percy Robertson]] et [[Arthur Geoffrey Walker]]. On trouvera par exemple : ''Friedmann-Robertson-Walker'' (FRW), ''Robertson-Walker'' (RW), ''Friedmann-Lemaître'' (FL)...

== Évolution de l'univers selon la métrique FLRW ==

La métrique FLRW décrit la géométrie ''moyenne'' de l'univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'univers).

Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les [[filament galactique|filaments]] ou les [[amas de galaxies]], est permise par l'introduction de perturbations ''autour'' de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du [[fond diffus cosmologique]], réalisée grâce aux satellites [[Cosmic Background Explorer|COBE]], [[Wilkinson Microwave Anisotropy Probe|WMAP]], et plus récemment [[Planck (satellite)|Planck]].

== Formulation mathématique ==
En [[coordonnées sphériques]] <math>(r, \theta, \phi)</math>{{sfn|Pérez|2016|p=269}}, l'[[Abscisse curviligne#Élément de longueur|élément de longueur]] d'espace-temps <math> ds </math>, pour la métrique FLRW, se note :

{{Bloc emphase|texte=
<math>  {\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - k r^2} + r^2 {\rm d}\Omega^2 \right )</math>
}}

en choisissant la {{Lien|trad=Metric signature|Signature de la métrique|texte=signature de la métrique}} <math> (+ - - -) </math> où :
* <math>R(t) \;</math> le rayon de l'univers. Le signe de <math> \dot{R}(t) </math> renseigne sur l'évolution de l'univers : <math> \dot{R}(t) > 0 </math> pour un univers en expansion, <math> \dot{R}(t) < 0 </math> pour un univers en contraction et <math> \dot{R}(t) = 0 </math> pour univers statique, le tout considéré au temps <math> t </math> ;
* <math>k \;</math> est le  facteur de courbure{{sfn|Pérez|2016|p=270}}. <math>k = \{-1,0,1\}</math> pour un espace respectivement à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la [[relativité restreinte]]) et à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique) ;
* <math>\textstyle {\rm d}\Omega^2 = {\rm d}\theta^2 + \sin^2 \theta \; {\rm d} \phi^2</math>{{sfn|Pérez|2016|p=269}} est la métrique sur la [[n-sphère|sphère]] ;
* <math>t</math> est le [[temps cosmique]]{{sfn|Pérez|2016|p=270}}.

En introduisant le changement de coordonnées : <math>
\begin{cases}
r = \sin (\chi/R_0)   & \textrm{si}\ k = 1 \\
r = \chi/R_0       & \textrm{si}\ k = 0\\
r = \sinh (\chi/R_0)  & \textrm{si}\ k = -1\\
\end{cases} </math> où <math>\chi \;</math> permet de déterminer la [[distance comobile]], l'[[Abscisse curviligne#Élément de longueur|élément de longueur]] <math> ds </math> se reformule :

{{Bloc emphase|texte=
<math>  {\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left({\rm d}\chi^2 + S_k^2(\chi) {\rm d}\Omega^2 \right)</math>
}}

avec

* <math>a(t) = R(t)/R(t_0) \;</math> le [[facteur d'échelle]] de l'[[univers]] à l'époque <math>t</math>. <math> t_0 </math> est choisi comme le temps ''présent'', de telle sorte que le facteur d'échelle est normalisé à l'instant présent : <math>a(t_0) = 1</math>.
Pour un temps <math> t_a </math> tel que <math>a(t_a) = N > 1 </math>, l'univers est <math> N </math> fois plus grand que ''maintenant''.
Pour un temps <math> t_b </math> tel que <math>a(t_b) = 1/N < 1 </math>, l'univers est <math> N </math> fois plus petit que ''maintenant'' ;

* <math>S_k(\chi) =R(t_0)
\begin{cases}
\sin (\chi/R(t_0))   & \textrm{si}\ k = 1 \\
\chi/R(t_0) & \textrm{si}\ k = 0 \\
\sinh (\chi/R(t_0))  & \textrm{si}\ k = -1 \\
\end{cases}\; </math>.

== Métrique FLRW en fonction de la courbure spatiale ==
=== Dans un espace plat ===

Pour <math>k = 0 \;</math>, la métrique FLRW se note :

<center>
<math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left( {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) \;</math>
</center>

L'espace est plat mais pas l'espace temps. La métrique est différente de la métrique de Minkowski caractérisant la relativité restreinte.

=== Dans un espace de courbure positive ===

Pour <math>k = +1 \;\;</math>, la métrique FLRW s'écrit :

<center>
<math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )</math>
</center>

L'[[Abscisse curviligne#Élément de longueur|élément de longueur]] possédant une singularité en <math>r=1</math>, on préfèrera utiliser son expression selon <math>\chi</math> :

<center>
<math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + R(t_0)^2\sin^2 \left (\chi/R(t_0)\right ) \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;</math>
</center>

=== Dans un espace de courbure négative ===

Pour <math>k = -1 \;</math>, il vient finalement :

<center>
:<math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 + r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + R(t_0)^2\sinh^2 \left(\chi/R(t_0)\right) \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;</math>
</center>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Article | langue=de | prénom={{abréviation discrète|A.|Alexandre}} | nom=Friedmann | lien auteur=Alexandre Friedmann | titre={{langue|de|texte=Über die Krümmung des Raumes}} | traduction titre=Sur la courbure de l'espace |périodique=[[w:en:Zeitschrift für Physik|Z. Phys.]] | volume=10 | numéro=1 | mois={{date-|décembre|compact=oui}} | année=1922 | pages=377-386 | doi=10.1007/BF01332580 | bibcode=1922ZPhy...10..377F | résumé= | lire en ligne= | libellé=Friedmann 1922}}.
* {{Article | langue=de | prénom={{abréviation discrète|A.|Alexandre}} | nom=Friedmann | lien auteur=Alexandre Friedmann | titre={{langue|de|texte=Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes}} | traduction titre=Sur la possibilité d'un univers à courbure négative constante | périodique=[[w:en:Zeitschrift für Physik|Z. Phys.]] | volume=21 | numéro=1 | mois={{date-|décembre|compact=oui}} | année=1924 | pages=326-332 | doi=10.1007/BF01328280 | bibcode=1924ZPhy...21..326F | résumé= | lire en ligne= | libellé=Friedmann 1924}}.
* {{Article | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|G.|Georges}} | nom=Lemaître | lien auteur=Georges Lemaître | titre=Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques | périodique=Annales de la Société scientifique de Bruxelles | année=1927 | pages=A47, {{p.|49-56}} | bibcode=1927ASSB...47...49L | résumé= | lire en ligne=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1927ASSB...47...49L&defaultprint=YES&filetype=.pdf | libellé=Lemaître 1927}}.
* {{Article | langue=en | prénom={{nobr|{{abréviation discrète|H. P.|Howard Percy}}}} | nom=Robertson | lien auteur=Howard Percy Robertson | titre={{langue|en|texte=Kinematics and world-structure}} | traduction titre= | périodique=[[The Astrophysical Journal|Astrophys. J.]] | volume=82 | numéro=4 | mois={{date-|novembre|compact=oui}} | année=1935 | pages=284-301 | doi=10.1086/143681 | bibcode=1935ApJ....82..284R | résumé= | lire en ligne=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1935ApJ....82..284R&defaultprint=YES&filetype=.pdf | libellé=Robertson 1935}}.
* {{Article | langue=en | prénom={{nobr|{{abréviation discrète|H. P.|Howard Percy}}}} | nom=Robertson | lien auteur=Howard Percy Robertson | titre={{langue|en|texte=Kinematics and world-structure}}. {{II}} | traduction titre= | périodique=[[The Astrophysical Journal|Astrophys. J.]] | volume=83 | numéro=3 | mois={{date-|avril|compact=oui}} | année=1936 | pages=187-201 | doi=10.1086/143716 | bibcode=1936ApJ....83..187R | résumé= | lire en ligne=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1936ApJ....83..187R&defaultprint=YES&filetype=.pdf | id=Robertson_1936a | libellé=Robertson 1936a}}.
* {{Article | langue=en | prénom={{nobr|{{abréviation discrète|H. P.|Howard Percy}}}} | nom=Robertson | lien auteur=Howard Percy Robertson | titre={{langue|en|texte=Kinematics and world-structure}}. {{III}} | traduction titre= | périodique=[[The Astrophysical Journal|Astrophys. J.]] | volume=83 | numéro=4 | mois=mai | année=1936 | pages=257-271 | doi=10.1086/143726 | bibcode=1936ApJ....83..257R | résumé= | lire en ligne=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1936ApJ....83..257R&defaultprint=YES&filetype=.pdf | id=Robertson_1936b | libellé=Robertson 1936b}}.
* {{Article | langue=en | prénom={{nobr|{{abréviation discrète|A. G.|Arthur Geoffrey}}}} | nom=Walker | lien auteur=Arthur Geoffrey Walker | titre={{langue|en|texte=On Milne's theory of world-structure}} | traduction titre= | périodique=Proceedings of the London Mathematical Society | série=2 | volume={{XLII}} | numéro=1 | mois= | année=1937 | pages=90-127 | doi=10.1112/plms/s2-42.1.90 | bibcode=1937PLMS...42...90W | résumé= | lire en ligne= | libellé=Walker 1937}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1={{abréviation discrète|A.|Aurélien}} | nom1=Barrau | lien auteur1=Aurélien Barrau | prénom2={{abréviation discrète|J.|Julien}} | nom2=Grain | titre=Relativité générale | sous-titre=cours et exercices corrigés | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences Sup. | série=Physique | mois=août | année=2016 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|août 2011}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{VIII}}-231 | format={{unité|24|cm}} | isbn10=2-10-074737-1 | isbn1=978-2-10-074737-5 | ean=9782100747375 | oclc=958388884 | bnf=45101424p | sudoc=195038134 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 | lire en ligne={{Google livres|id=3erZDAAAQBAJ}} | consulté le=19 septembre 2019 | partie={{chap.|7}} (« Cosmologie »), {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 7.1}} (« Métrique FLRW ») | passage=127-133 | libellé=Barrau et Grain 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|J.-Ph.|José-Philippe}} | nom=Pérez | champ libre=avec la {{abréviation discrète|collab.|collaboration}} d'{{nobr|{{abréviation discrète|É.|Éric}} Anterrieu}} | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | mois=mai | année=2016 | réimpression=2017 | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|septembre 1999|compact=oui}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XXIII}}-439 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{unité|24|cm}} | isbn10=2-10-077295-3 | isbn1=978-2-10-077295-7 | ean=9782100772957 | oclc=1031317463 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-0 | lire en ligne={{Google livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=19 septembre 2019 | partie={{chap.|10}} (« Relativité générale »), {{V}} (« Cosmologie »), {{V}}.1, d) (« Métrique FLRW ») | passage=269-271 | libellé=Pérez 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1={{abréviation discrète|R.|Richard}} | nom1=Taillet | prénom2={{abréviation discrète|L.|Loïc}} | nom2=Villain | prénom3={{abréviation discrète|P.|Pascal}} | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Bruxelles | éditeur=[[De Boeck Supérieur|De Boeck Sup.]], hors {{coll.}} | mois={{date-|février|compact=oui}} | année=2013 | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-899 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s}}, {{unité|24|cm}} | isbn10=2-8041-7554-5 | isbn1=978-2-8041-7554-2 | ean=9782804175542 | oclc=842156166 | bnf=435416710 | sudoc=167932349 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google livres|id=BKOqDgAAQBAJ}} | consulté le=19 septembre 2019 | partie={{s.v.}}Robertson-Walker (métrique de) | passage=609, {{col.|1}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2013}}.

=== Articles connexes ===
* [[Alexandre Friedmann]]
* [[Big Bang]]
* [[Équations de Friedmann]]
* [[Georges Lemaître]]
* [[Modèle standard de la cosmologie]]
* [[Relativité générale]]
* [[Univers fini de Friedmann]]

{{Palette|Modèles cosmologiques|Relativité}}

{{Portail|cosmologie}}

{{DEFAULTSORT:Metrique de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker}}

[[Catégorie:Modèle cosmologique]]