Voir la source de Matrice (mathématiques)

{{Bandeau homonymie|L’article [[Théorie des matrices]] présente des applications pratiques des matrices.|icône=homonymie}}
{{Voir homonymes|Matrice}}
[[Fichier:Matrice.svg|thumb|upright=1.5]]
En [[mathématiques]], les '''matrices''' sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'[[algèbre linéaire]] et même de l'[[algèbre bilinéaire]].

Toutes les disciplines étudiant des [[linéarité|phénomènes linéaires]] utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en [[optique géométrique]] avec les [[Approximation de Gauss|approximations de Gauss]].

== Historique ==
=== Histoire de la notion de matrice ===
Bien que le [[produit matriciel|calcul matriciel]] proprement dit n'apparaisse qu'au début du {{s|XIX}}, les matrices, en tant que tableaux de nombres, ont une longue histoire d'applications à la résolution d'[[équation linéaire|équations linéaires]]. Le  [[Mathématiques chinoises|texte chinois]] ''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]'', écrit vers le {{-s|II}}, est le premier exemple connu de l'utilisation de tableaux pour résoudre des [[système d'équations linéaires|systèmes d'équations]]<ref>Chapitre 8 : ''Fang cheng - La disposition rectangulaire'' : problèmes à plusieurs inconnues, résolus selon un principe similaire à l'[[Élimination de Gauss-Jordan|élimination de Gauss]].</ref>, introduisant même le concept de [[déterminant (mathématiques)|déterminant]]. En 1545, [[Girolamo Cardano]] fait connaître cette méthode en Europe en publiant son ''[[Ars_Magna_(Girolamo_Cardano)|Ars Magna]]''<ref name=":1">{{en}} Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Addison Wesley, 10 octobre 2001, {{ISBN|978-0321079121}} (pages 564-565).</ref>. Le [[mathématiques japonaises|mathématicien japonais]] [[Seki Kōwa]] utilise indépendamment les mêmes techniques pour résoudre des systèmes d'équations en 1683<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=Needham |prénom1=Joseph |nom2=Wang Ling |titre=Science and Civilisation in China |url=https://books.google.com/books?id |volume=III |année=1959 |éditeur=Cambridge University Press |lieu=Cambridge |isbn=9780521058018 |page=117}}.</ref>.  Aux Pays-Bas, [[Johan de Witt]] représente des transformations géométriques à l'aide de tableaux dans son livre de 1659, ''Elementa curvarum linearum''<ref name=":1"/>.  Entre 1700 et 1710, [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] montre comment utiliser les tableaux pour noter des données ou des solutions, et expérimente plus de 50 systèmes de tableaux à cet effet<ref name=":1" />. En 1750, [[Gabriel Cramer]] publie [[Règle de Cramer|la règle qui porte son nom]]<ref>{{Ouvrage
  | titre = Introduction à l'Analyse des lignes courbes algébriques
  | auteur = Gabriel Cramer
  | année = 1750
  | lieu = Genève
  | url = https://www.europeana.eu/resolve/record/03486/E71FE3799CEC1F8E2B76962513829D2E36B63015
  | consulté le = 
  | éditeur = Europeana
  | passage = 656–659
}}.</ref>.

En 1850, le terme de « matrix » (qui sera traduit par matrice) est forgé (sur la racine latine ''mater'') par [[James Joseph Sylvester]]<ref>De nombreuses sources affirment qu'il l'aurait fait en 1848, mais Sylvester n'a rien publié cette année-là. (voir ''The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester'' (Cambridge, England:  Cambridge University Press, 1904), [https://books.google.com/books?id=r-kZAQAAIAAJ&pg=PR6#v=onepage&q&f=false vol. 1.]). Sa première utilisation du terme ''{{Langue|en|matrix}}'', en 1850, figure dans ''{{Langue|en|Additions to the articles in the September number of this journal, “On a new class of theorems,” and on Pascal's theorem}}'', ''{{Langue|en|The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science}}'', '''37''' :  363-370. (1850), [https://books.google.com/books?id=CBhDAQAAIAAJ&pg=PA369#v=onepage&q&f=false page 369] : {{Citation étrangère|langue=en|For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants […]}}.</ref>, qui le voit comme un objet donnant naissance à  la famille de déterminants actuellement appelés [[Mineur (algèbre linéaire)|mineurs]], c'est-à-dire les déterminants des sous-matrices obtenues en retirant des lignes et des colonnes. Dans un article de 1851, Sylvester  précise :
: « Dans des articles antérieurs, j'ai appelé ''matrix'' un tableau rectangulaire de termes à partir desquels plusieurs systèmes de déterminants peuvent être engendrés, comme issus des entrailles d'un parent commun »<ref>{{Citation étrangère|langue=en|I have in previous papers defined a “Matrix” as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent}} dans ''{{Langue|en|The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester : 1837–1853}}'', [https://books.google.com/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247&dq=sylvester+matrix+womb&hl=en&ei=uJakTaytCoOv8gPa5cG5Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CE8Q6AEwBw#v=onepage&q&f=false Article 37], p. 247.</ref>.

En 1854, [[Arthur Cayley]] publie un traité sur les transformations géométriques utilisant les matrices de façon beaucoup plus générale que tout ce qui a été fait avant lui. Il définit les opérations usuelles du calcul matriciel (addition, multiplication et division) et montre les propriétés d'[[associativité]] et de [[distributivité]] de la multiplication<ref name=":1" />. Jusque-là, l'utilisation des matrices s'était essentiellement limitée au calcul des déterminants ; cette approche abstraite des opérations sur les matrices est révolutionnaire. En 1858, Cayley publie son ''A Memoir on the Theory of Matrices''<ref>Phil. Trans. 1858, vol. 148, pp. 17-37 Math. Papers II 475-496.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage  |nom1=[[Jean Dieudonné]]  |titre=Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 |éditeur=Hermann |lieu=Paris, FR |année=1978}}.</ref>, dans lequel il énonce et démontre le [[théorème de Cayley-Hamilton]]<ref name=":1" /> pour les matrices 2×2.

Beaucoup de théorèmes ne sont d'ailleurs démontrés au début que pour de petites matrices : après Cauchy, [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] généralise le théorème aux matrices 4×4, et ce n'est qu'en 1898 que [[Georg Frobenius|Frobenius]], étudiant les [[forme bilinéaire|formes bilinéaires]], démontre le théorème en dimension quelconque. C'est aussi à la fin du {{s|XIX}} que [[Wilhelm Jordan]] établit la méthode d'[[élimination de Gauss-Jordan]] (généralisant la méthode de Gauss pour les [[matrice échelonnée|matrices échelonnées]]). Au début du {{s|XX}}, les matrices occupent une place centrale en [[algèbre linéaire]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=[[Maxime Bôcher]]  |titre=Introduction to Higher Algebra |éditeur=Dover Publications |lieu=New York, NY |isbn=978-0-486-49570-5 |année=2004}}.</ref>, en partie grâce au rôle qu'elles jouent dans la classification des systèmes de [[nombre hypercomplexe|nombres hypercomplexes]] du siècle précédent.

Un mathématicien anglais du nom de Cullis est le premier, en 1913, à utiliser la notation moderne des crochets (ou des parenthèses) pour représenter les matrices, ainsi que de la notation systématique {{math|'''A''' {{=}} [''a''<sub>''i'',''j''</sub>]}} pour représenter la matrice dont {{math|''a''<sub>''i'',''j''</sub>}} est le terme de la'' i''-ème ligne et de la  ''j''-ème colonne<ref name=":1" />.

La formulation de la [[mécanique quantique]] au moyen de la [[mécanique matricielle]], due à [[Werner Heisenberg|Heisenberg]], [[Max Born|Born]] et [[Pascual Jordan|Jordan]],  amena à étudier des matrices comportant un nombre infini de lignes et de colonnes<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=Mehra |prénom1=Jagdish |nom2=Rechenberg |prénom2=Helmut |titre=The Historical Development of Quantum Theory |éditeur=Springer-Verlag |lieu=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-0-387-96284-9 |année=1987}}.</ref>. Par la suite, [[John von Neumann|von Neumann]] précisa les [[postulats de la mécanique quantique|fondements mathématiques de la mécanique quantique]], en remplaçant ces matrices par des  [[opérateur linéaire|opérateurs linéaires]] sur des [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]].

=== Histoire des déterminants ===
{{article détaillé|amorce=|contenu=Article détaillé : [[Déterminant_(mathématiques)#Histoire_des_d.C3.A9terminants|Histoire des déterminants]]}}
L'étude théorique des [[déterminant (mathématiques)|déterminants]] vient de plusieurs sources<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=Knobloch |prénom1=Eberhard |titre=The intersection of history and mathematics |éditeur=Birkhäuser |lieu=Basel, Boston, Berlin |série=Science Networks Historical Studies |année=1994 |volume=15 |numéro chapitre=From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations |passage=51–66}}</ref>. Des problèmes de  [[théorie des nombres]] amènent [[Gauss]] à relier à des matrices (ou plus précisément à leur déterminant) les coefficients d'une [[forme quadratique]]  ainsi que les [[application linéaire|applications linéaires]] en dimension trois. [[Gotthold Eisenstein]] développe ces notions, remarquant en particulier qu'en notation moderne, le produit des matrices est non-commutatif. [[Augustin Cauchy|Cauchy]] est le premier à démontrer des résultats généraux sur les  déterminants, en utilisant comme définition du déterminant de la matrice {{math|'''A''' {{=}} [''a''<sub>''i'',''j''</sub>]}} le résultat de la substitution, dans le polynôme <math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;</math>, des puissances {{mvar|a{{indexp|j|k}}}} par {{mvar|a<sub>jk</sub>}}. Il montre aussi, en 1829, que les [[valeur propre|valeurs propres]] d'une matrice symétrique sont réelles<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=Hawkins |prénom1=Thomas |titre=Cauchy and the spectral theory of matrices |année=1975 |éditeur=Historia Mathematica |issn=0315-0860 |volume=2 |pages=1–29 |doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4}}</ref>. [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]] étudie les « déterminants fonctionnels » (appelés par la suite  [[matrice jacobienne|jacobiens]] par Sylvester), utilisés pour décrire des transformations géométriques d'un point de vue [[infinitésimal]] ; les livres ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten''<ref>{{Ouvrage |langue=de |nom1=Hensel |prénom1=Kurt |titre=Leopold Kronecker's Werke |url=http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001 |éditeur=Teubner |année=1897}}</ref> de [[Leopold Kronecker]]  et  ''Zur Determinantentheorie''<ref>{{Ouvrage |langue=de |nom1=Weierstrass |prénom1=Karl |titre=Collected works |url=http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAN8481.0003.001/290?rgn=full+text;view=pdf |passage= 271–286 |année=1915 |volume=3}}</ref> de [[Karl Weierstrass]], tous deux publiés en 1903, définissent pour la première fois les déterminants de manière axiomatique comme [[Application_multilinéaire#Application_altern.C3.A9e|formes multilinéaires alternées]].

=== Autres utilisations mathématiques du mot « matrice »===
Deux mathématiciens notables au moins ont utilisé le mot dans un sens inhabituel.

[[Bertrand Russell]] et [[Alfred North Whitehead]], dans leur ''[[Principia Mathematica]]'', utilisent le mot « matrice » dans le cadre de leur {{lien|trad=Axiom of reducibility|axiome de réductibilité}}. Cet axiome permet de réduire le type d'une fonction, les fonctions de type 0 étant identiques à leur {{lien|extension (calcul des prédicats)|trad=Extension (predicate logic)|texte=extension}} ; ils appellent « matrice » une fonction n'ayant que des [[variable libre|variables libres]]<ref>« Let us give the name of ''matrix'' to any function, of however many variables, which does not involve any apparent variables. Then any possible function other than a matrix is derived from a matrix by means of generalization, i.e., by considering the proposition which asserts that the function in question is true with all possible values or with some value of one of the arguments, the other argument or arguments remaining undetermined » . Alfred North Whitehead et Bertrand Russell,   ''Principia Mathematica to *56'', Cambridge at the University Press, Cambridge UK (1913, réédition de 1962) voir  page 162.</ref>. Ainsi, par exemple, une fonction {{math|Φ(''x'', ''y'')}} de deux variables {{mvar|x}} et {{mvar|y}} peut être réduite à une ''collection'' de fonctions d'une seule variable, par exemple {{mvar|y}}, en « considérant » la fonction  pour toutes les valeurs {{mvar|a<sub>i</sub>}} substituées à la variable {{mvar|x}} puis réduite à une  « matrice » de valeurs en procédant de même pour {{mvar|y}} : {{math|∀ ''b<sub>j</sub>'', ∀ ''a<sub>i</sub>'', Φ(''a<sub>i</sub>'', ''b<sub>j</sub>'')}}.

[[Alfred Tarski]], dans son ''Introduction à la  logique'' de  1946, utilise le mot  « matrice » comme un synonyme de [[table de vérité]]<ref>{{en}} Alfred Tarski, ''Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences'', Dover Publications, Inc, New York NY, 1946 {{ISBN|0-486-28462-X}}. ([http://sistemas.fciencias.unam.mx/~lokylog/images/stories/Alexandria/Oxford%20Logic%20Guides/%5BOLG%2024%5D%20Introduction%20to%20Logic%20and%20to%20the%20Methodology%20of%20the%20Deductive%20Sciences%20-%20Alfred%20Tarski%20%5BOxford%20Logic%20Guides%5D%20%281994.4ed%29%28T%29.pdf lire en ligne])</ref>.

== Définitions ==
Une matrice à {{mvar|m}} lignes et {{mvar|n}} colonnes est un tableau rectangulaire de {{math|''m'' × ''n''}} nombres, rangés ligne par ligne. Il y a {{mvar|m}} lignes, et dans chaque ligne {{mvar|n}} nombres.

Plus formellement et plus généralement, soient {{mvar|I}}, {{mvar|J}} et {{mvar|K}} trois ensembles ({{mvar|K}} sera souvent muni d'une structure d'[[Anneau unitaire|anneau]] ou même de [[corps commutatif]]).

On appelle '''matrice''' de type {{math|(''I'',''J'')}}<ref>Voir {{Ouvrage|lien auteur1=Nicolas Bourbaki|prénom1=N.|nom1=Bourbaki|lien titre=Éléments de mathématique|titre=Algèbre, Chapitres 1 à 3|passage=A II.139|url=https://books.google.fr/books?id=4RIDPH1ULXcC&pg=PA12|numéro d'édition=2|lien éditeur=Springer Verlag|éditeur=Springer|année=2006}}, qui parle aussi de « matrice vide » dans le cas où {{mvar|I}} ou {{mvar|J}} est l'[[ensemble vide]].</ref> à '''coefficients''' dans {{mvar|K}}, toute [[famille (mathématiques)|famille]] d'éléments de {{mvar|K}} indexée par le [[produit cartésien]] {{math|''I'' × ''J''}}, c'est-à-dire toute [[Application (mathématiques)|application]] {{mvar|A}} de {{math|''I'' × ''J''}} dans {{mvar|K}}.

Le plus souvent, comme dans toute la suite de cet article, les ensembles {{mvar|I}} et {{mvar|J}} sont finis et sont respectivement les ensembles de nombres entiers {{math|{1, …, ''m''} }} et {{math|{1, …, ''n''} }}. Dans ce cas, on dit que la matrice a {{mvar|m}} lignes et {{mvar|n}} colonnes, ou qu'elle est de '''dimension''' ou '''taille''' {{math|(''m'',''n'')}}. En notant {{math|''a''<sub>''i'',''j''</sub>}} l'image d'un [[couple (mathématiques)|couple]] {{math|(''i'',''j'')}} par l'application {{mvar|A}}, la matrice peut alors être notée

<center><math>A=(a_{i,j})_{1\le i\le m,1\le j\le n}</math></center>
ou plus simplement {{math|(''a''<sub>''i'',''j''</sub>)}} si le contexte s'y prête. 

Dans le cas particulier où {{mvar|I}} ou {{mvar|J}} est l'[[ensemble vide]], la matrice correspondante est appelée la [[matrice vide]]. 

On représente généralement une matrice sous la forme d'un tableau rectangulaire. Par exemple, est représentée ci-dessous une matrice {{mvar|A}}, à coefficients entiers, et de dimension (3,4) :

<center><math>A=\begin{pmatrix}
0 &1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 & 7\\
8 & 9 & 10 & 11\\
\end{pmatrix}</math></center>

Dans cette représentation, le premier coefficient de la dimension est le nombre de lignes, et le deuxième, le nombre de colonnes du tableau. Une matrice pour laquelle le nombre {{mvar|m}} de lignes est égal au nombre {{mvar|n}} de colonnes sera dite '''matrice carrée''' de taille (ou d’''ordre'') {{mvar|n}}. Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et {{mvar|n}} colonnes est appelée '''[[matrice ligne]]''' de taille {{mvar|n}}. Une matrice comportant {{mvar|m}} lignes et une seule colonne est appelée '''[[matrice colonne]]''' de taille {{mvar|m}}.

Pour repérer un coefficient d'une matrice, on indique son indice de ligne puis son indice de colonne, les lignes se comptant du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. Par exemple, on notera {{math|''a''<sub>''i'',''j''</sub>}}, les coefficients de la matrice {{mvar|A}}, {{mvar|i}} compris entre 1 et 3 désignant le numéro de la ligne sur laquelle figure le coefficient envisagé, et {{mvar|j}} compris entre 1 et 4 désignant son numéro de colonne ; ainsi {{math|''a''<sub>2,4</sub> {{=}} 7}}. 

La disposition générale des coefficients d'une matrice {{mvar|A}} de taille {{math|(''m'',''n'')}} est donc la suivante
<center><math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math></center>
Les coefficients {{math|''a''<sub>''i'',''j''</sub>}} avec {{math|''i'' {{=}} ''j''}} sont dits '''diagonaux''', ceux avec {{math|''i'' ≠ ''j''}} sont dits '''extradiagonaux'''.

Une '''sous-matrice''' de {{mvar|A}} est une matrice obtenue en sélectionnant une partie {{math|''I'' ⊂ {1,...,''m''} }} de ses lignes et une partie {{math|§=''J'' ⊂ {1,...,''n''}}} de ses colonnes ; on la note {{math|''A''<sub>''I'',''J''</sub>}}. On dit qu'une sous-matrice est '''principale''' si {{math|''I'' {{=}} ''J''}} dans la définition précédente. La '''diagonale''' de {{mvar|A}} est le vecteur
<center><math>\operatorname{diag}(A):=\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{p,p}\end{pmatrix},</math></center>
où {{math|''p'' {{=}} min(''m'',''n'')}}.

Pour effectuer certaines opérations, il peut être utile de travailler sur le système des lignes ou des colonnes d'une matrice. On pourra alors l'écrire sous une des formes suivantes
<center><math>A=\begin{pmatrix}
L_1\\L_2\\\vdots \\ L_m\\\end{pmatrix}\quad \text{  ou  } \quad A= \begin{pmatrix}
C_1 & C_2 & \dots  & C_n\\ \end{pmatrix}.</math></center>

L'ensemble des matrices à coefficients dans {{mvar|K}} possédant {{mvar|m}} lignes et {{mvar|n}} colonnes est noté {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} (ou parfois {{math|''M''(''m'',''n'',''K'')}}).

Lorsque {{math|''m'' {{=}} ''n''}} on note plus simplement {{math|''M{{ind|n}}''(''K'')}}. 

Soit {{mvar|K}} un ensemble et {{math|''A'' {{=}} (''a''{{ind|''i'',''j''}}){{ind|1 ≤ ''i'' ≤ ''m'', 1 ≤ ''j'' ≤ ''n''}} ∈ ''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} ; on appelle '''[[matrice transposée]]''' de {{mvar|A}} la matrice {{math|''A''{{exp|T}} {{=}} (''a''{{ind|''j'',''i''}}){{ind|1 ≤ ''j'' ≤ ''n'', 1 ≤ ''i'' ≤ ''m''}} ∈ ''M''{{ind|''n'',''m''}}(''K'')}}. Si {{mvar|K}} est un [[magma (mathématiques)|magma]], {{math|''A''{{exp|T}} {{=}} (''a''{{ind|''j'',''i''}}){{ind|1 ≤ ''j'' ≤ ''n'', 1 ≤ ''i'' ≤ ''m''}} ∈ ''M''{{ind|''n'',''m''}}(''K''{{exp|op}})}} où {{math|''K''{{exp|op}}}} est le [[magma (mathématiques)|magma opposé]] de {{mvar|K}}.

Par exemple, avec la matrice {{mvar|A}} des exemples précédents, on a
<center><math>A^\mathsf{T}=\begin{pmatrix}
0 & 4 & 8\\
1 & 5 & 9\\
2 & 6 & 10\\
3 & 7 & 11\\
\end{pmatrix}.
</math></center>

== Espaces de matrices ==
On suppose maintenant que {{mvar|K}} est muni d'une structure d'[[Anneau unitaire|anneau]] ; les éléments de {{mvar|K}} seront appelés '''[[Scalaire (mathématiques)|scalaires]]''', par opposition aux matrices dont nous allons voir qu'elles peuvent être considérées comme des [[vecteur]]s.

=== Addition des matrices et multiplication par un scalaire ===
On définit sur {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} une [[loi de composition interne]] provenant de l'addition des scalaires :

:<math> (a_{i,j})+(b_{i,j})=(c_{i,j}) ,\ \textrm{ avec } \ c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}</math>.

On ne peut additionner que deux matrices de même taille. 

* Exemple :
:<math>
\begin{array}{l}
\begin{pmatrix}
0 &1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 & 7\\
\end{pmatrix} + 
\begin{pmatrix}
0 &0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 &1 & 3 & 4\\
4 & 6 & 6 & 8\\
\end{pmatrix}
\end{array}
</math>

Pour chaque valeur du couple {{math|(''m'', ''n'')}}, l'espace {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} devient alors un [[groupe abélien]], d'[[élément neutre]] la '''[[matrice nulle]]''', celle dont tous les coefficients valent 0.

On définit aussi une opération à droite de {{mvar|K}} sur chaque espace {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} en associant, à chaque scalaire {{mvar|λ}} dans {{mvar|K}} et à chaque matrice {{math|(''a''<sub>''i'',''j''</sub>)}} à coefficients dans {{mvar|K}}, la matrice {{math|(''a''{{ind|''i'',''j''}})''λ'' {{=}} (''a''{{ind|''i'',''j''}}''λ'')}} obtenue en effectuant la multiplication à droite, dans {{mvar|K}}, de tous les coefficients de la matrice initiale par {{mvar|λ}} : c'est la '''multiplication par un scalaire'''. Lorsque l'anneau est commutatif, la multiplication peut également s'effectuer à gauche.

En reprenant toujours la matrice {{mvar|A}} du premier exemple {{supra|Définitions}} :
:<math>2A=\begin{pmatrix}
0 &2 & 4 & 6\\
8 & 10 & 12 & 14\\
16 & 18 & 20 & 22\\
\end{pmatrix}
</math>

Les espaces {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} ainsi obtenus ont donc une structure de {{mvar|K}}-[[module sur un anneau|module à droite]], et plus particulièrement de {{mvar|K}}-[[espace vectoriel]], si {{mvar|K}} est un [[corps commutatif]]. 

==== Base canonique de l'espace des matrices ====

Le {{mvar|K}}-module {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} est [[Module libre|libre]] de rang {{mvar|mn}}, c'est-à-dire qu'il possède une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de {{mvar|mn}} éléments : il suffit de considérer la [[base canonique]] {{math|(''E''{{ind|''i'',''j''}}){{ind|1 ≤ ''i'' ≤ ''m'', 1 ≤ ''j'' ≤ ''n''}}}}. La matrice {{math|''E''{{ind|''i'',''j''}}}} est celle dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice {{math|(''i'',''j'')}}, qui vaut 1. 

Les coordonnées dans la base canonique d'une matrice {{mvar|A}} sont ses coefficients :
:<math> A = \sum _{1\leqslant i\leqslant m\atop 1\leqslant j\leqslant n}  a_{i,j} E_{i,j} </math>

* Exemple (cas commutatif) :
<math>\begin{pmatrix}
0 &1 & 2 \\
4 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix} =
0\cdot
\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
+
1\cdot
\begin{pmatrix}
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
+
2\cdot
\begin{pmatrix}
0 &0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
+
4\cdot
\begin{pmatrix}
0 &0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
+
3\cdot
\begin{pmatrix}
0 &0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
+
1\cdot
\begin{pmatrix}
0 &0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>

=== Produit matriciel ===
{{Article détaillé|Produit matriciel#Produit matriciel ordinaire{{!}}Produit matriciel}}
On commence par définir le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne<ref>On peut remarquer que ce produit est donné par une formule analogue à   [[Produit scalaire#Expression analytique|celle donnant le produit scalaire]] usuel ; cette remarque sera exploitée [[#Interprétations_bilinéaires|plus loin]].</ref>{{,}}<ref>Dans le cas plus général d'ensembles éventuellement infinis d'indices, on peut demander à {{mvar|K}} d'être muni d'une [[anneau topologique|topologie]], pour définir le produit comme la somme d'une série (convergente). Sans topologie, on peut également demander aux colonnes (ou aux lignes) des matrices de ne contenir qu'un nombre fini d'éléments non nuls ; c'est d'ailleurs toujours le cas quand ces matrices représentent des applications linéaires entre espaces vectoriels munis de bases, même infinies. [[Paul Halmos]], qui donne ces diverses définitions, ajoute néanmoins que {{Citation étrangère|langue=en|Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps.}} (''la théorie des matrices s'étend peu aux espaces de dimension infinie, et ce qui s'étend n'est guère utile, mais peut parfois aider''), dans  P. Halmos, ''A Hilbert space problem book'', 1982, {{p.|23}}.</ref>. Soit {{mvar|n}} un nombre entier, {{mvar|L}} une matrice ligne, {{mvar|x<sub>i</sub>}} ses coefficients, {{mvar|C}} une matrice colonne, {{mvar|y<sub>i</sub>}} ses coefficients. On les suppose toutes deux de taille {{mvar|n}}. On définit alors le produit, considéré comme un scalaire ou une matrice de dimension (1, 1) :
<center><math> LC = \begin{pmatrix}x_1&\dots&x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\ y_n\end{pmatrix}=\sum_{1\le i\le n} x_iy_i</math></center>

On remarque la condition de compatibilité sur les tailles des matrices (égalité du nombre de colonnes de la première avec le nombre de lignes de la deuxième). On définit maintenant plus généralement un produit entre deux matrices, la première, {{math|(''x''<sub>''i'',''j''</sub>)}} dans {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}}, la deuxième, {{math|(''y''<sub>''i'',''j''</sub>)}} dans {{math|''M''{{ind|''n'',''p''}}(''K'')}}, toujours avec une condition de compatibilité sur les tailles (et l'ordre des facteurs de la multiplication ne peut en général pas être changé). Le résultat obtenu est une matrice de {{math|''M''{{ind|''m'',''p''}}(''K'')}}, dont les coefficients {{math|(''z''<sub>''i'',''j''</sub>)}} sont obtenus par :

:<center><math>z_{i,j}=\sum_{1\le k \le n} x_{i,k}y_{k,j}=x_{i,1}y_{1,j}+x_{i,2}y_{2,j}+\cdots+ x_{i,n}y_{n,j}</math></center>

À la lumière de l'exemple de la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, on peut reformuler cette définition en disant que ce coefficient est égal au produit de la ligne ''i'' de la première matrice par la colonne ''j'' de la deuxième, ce qui s'écrit de la manière suivante, si les {{mvar|L<sub>i</sub>}} sont les lignes de la première matrice, et les {{mvar|C<sub>j</sub>}} les colonnes de la deuxième, le produit est :
<math> \begin{pmatrix}L_1\\\vdots\\ L_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_1&\dots&C_p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1C_1 & L_1C_2 & \dots & L_1C_p\\L_2C_1 & L_2C_2 & \dots & L_2C_p\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\L_mC_1 & L_mC_2 & \dots & L_mC_p\\\end{pmatrix}</math>.

Le produit matriciel est [[associatif]], [[Distributivité|distributif]] à droite et à gauche par rapport à l'addition matricielle. En revanche, même lorsque les dimensions permettent de donner un sens à la question et même si l'anneau des scalaires est commutatif, un produit de matrices ne [[commutativité|commute]] en général pas : {{mvar|AB}} n'est pas en général égal à {{mvar|BA}}, par exemple :
:<math>
  A =\begin{pmatrix}
     0 & 0 \\ 
     1 & 0
  \end{pmatrix}
\quad
  B =\begin{pmatrix} 
    1 & 0 \\ 
    0 & 0 \\ 
      \end{pmatrix}
\quad
  AB =\begin{pmatrix} 
    0 & 0 \\ 
    1 & 0 \\ 
      \end{pmatrix}
\quad
  BA =\begin{pmatrix} 
    0 & 0 \\ 
    0 & 0 \\ 
      \end{pmatrix}.
</math>
'''Remarque''' : le produit de deux matrices non nulles peut être nul, comme l'exemple au-dessus.

Il arrive même, selon les tailles respectives des matrices {{mvar|A}} et ''B'', que l'un des deux produits existe et pas l'autre.

La transposition et le produit matriciel sont compatibles au sens suivant :
:<math>\forall A\in M_{n,p}(K),\ \forall B\in  M_{p,q}(K),\ (AB)^\mathsf{T}=B^\mathsf{T}\cdot A^\mathsf{T}</math>

([[Matrice transposée#Cas d'un anneau de scalaires non commutatif|même si l'anneau {{mvar|K}} n'est pas commutatif]], en se rappelant que les matrices transposées ont leurs coefficients dans l'[[anneau opposé]] {{math|''K''{{exp|op}}}}).

==== Matrice identité et inverse d'une matrice ====
{{Article détaillé|Matrice identité|Matrice inversible}}
Pour chaque nombre entier ''n'', on note ''I<sub>n</sub>'' la matrice carrée de taille ''n'' dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et dont les autres coefficients sont nuls ; elle est appelée '''matrice identité''' de taille n. 
:<math> I_1=\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\quad 
I_2= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
\quad 
I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\quad I_n=(\delta_{i,j})_{1\le i\le n,1\le j\le n}</math>
où δ{{ind|''i,j''}} désigne le [[symbole de Kronecker]].

Sous réserve de compatibilité des tailles, les matrices ''I<sub>n</sub>'' sont [[élément neutre|neutres]] à droite et à gauche pour la multiplication.
:<math> \forall A\in M_{m,n}(K),\ I_m\,A=A\,I_n =A.</math>

Soit {{mvar|A}} une matrice de dimension (''m'', ''n''). On dit que {{mvar|A}} est '''inversible''' à droite (respectivement à gauche) s'il existe une matrice ''B'' de taille (''n'', ''m'') telle que {{math|''AB'' {{=}} ''I{{ind|m}}''}} (respectivement {{math|''BA'' {{=}} ''I{{ind|n}}''}}). Elle est simplement dite [[inverse|inversible]] si elle l'est à la fois à droite et à gauche. Le sous-ensemble de {{math|''M{{ind|n}}''(''K'')}} constitué des matrices inversibles possède une structure de groupe pour le produit matriciel ; il est appelé '''[[groupe linéaire]]''' et noté {{math|GL{{ind|''n''}}(''K'')}}.

Pour une matrice carrée à coefficients dans un [[anneau commutatif]] {{mvar|K}}, être inversible à droite ou à gauche ou avoir un [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] inversible dans {{mvar|K}} (c'est-à-dire non nul si {{mvar|K}} est un corps) sont trois propriétés équivalentes.

=== Algèbre des matrices carrées ===
Lorsque l'anneau {{mvar|K}} est commutatif, l'ensemble {{math|''M{{ind|n}}''(''K'')}} des matrices carrées de taille ''n'' est donc muni d'une structure de {{mvar|K}}-[[algèbre associative]] et unitaire avec l'addition matricielle, le produit par un scalaire et le produit matriciel.

On appelle '''matrice scalaire''' une matrice de la forme {{mvar|I{{ind|n}} λ}} où {{mvar|λ}} est un élément de l'anneau {{mvar|K}}. 
:<math>I_n a=\begin{pmatrix}
a & 0 & \dots & 0\\
0 & a & \dots & 0\\
\vdots &\vdots&\ddots& \vdots \\
0 & 0 &\dots & a
\end{pmatrix}
</math>

Ces matrices s'appellent matrices scalaires car elles se comportent comme des scalaires, vis-à-vis de la multiplication :
:<math> \forall\lambda\in K,\ \forall A\in M_n(K),\ A (I_n \lambda)= A \lambda ~.</math>

Lorsque {{mvar|K}} est commutatif, ou à défaut, lorsque {{mvar|λ}} est [[Centre (algèbre)|central]] dans {{mvar|K}}, c'est-à-dire lorsque {{mvar|λ}} commute avec tous les éléments de {{mvar|K}}, on a en outre :
:<math> \forall\lambda \in K,\ \forall A\in M_n(K),(\lambda I_n)\ A = A\lambda~.</math>

Réciproquement, toute matrice {{mvar|B}} de {{math|''M{{ind|n}}''(''K'')}} telle que {{math|∀ ''A'' ∈ ''M{{ind|n}}''(''K''), ''AB'' {{=}} ''BA''}} est une matrice scalaire {{mvar|I{{ind|n}} λ}} où {{mvar|λ}} est central dans {{mvar|K}} (ceci se démontre en prenant pour {{mvar|A}} les matrices de la [[#Base canonique de l'espace des matrices|base canonique]]).

Une matrice de la forme :
:<math> \begin{pmatrix}
a_1 & 0 & \dots & 0\\
0 & a_2 & \dots & 0\\
\vdots &\vdots&\ddots& \vdots \\
0 & 0&\dots & a_n
\end{pmatrix}</math>
sera dite '''[[matrice diagonale]]'''.

Outre le déterminant, une autre fonction à noter est la [[trace (algèbre)|trace]]. Toutes deux apparaissent dans un objet plus général, le [[polynôme caractéristique]], qui à son tour permet d'obtenir certaines caractérisations des [[matrice diagonalisable|matrices diagonalisables]] (c'est-à-dire [[#Actions du groupe linéaire|semblables]] à une matrice diagonale), ou de la [[trigonalisation]].

=== Actions du groupe linéaire ===
{{Article détaillé|Action de groupe (mathématiques){{!}}Action de groupe|Matrices équivalentes|Matrices semblables}}
Il existe plusieurs manières de faire agir le groupe linéaire {{math|''GL{{ind|n}}''(''K'')}} sur les espaces de matrices, notamment :
* action par multiplication à gauche de {{math|''GL{{ind|m}}''(''K'')}} sur {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}}, qui à {{mvar|P}} et {{mvar|A}}, associe {{mvar|PA}},
* action (à droite) par multiplication à droite de {{math|''GL{{ind|n}}''(''K'')}} sur {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}}, qui à {{math|''Q'' ∈ ''GL{{ind|n}}''(''K'')}} et {{math|''A'' ∈ ''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}}, associe {{math|''AQ''{{-1}}}},
* [[action par conjugaison]] de {{math|''GL{{ind|n}}''(''K'')}} sur {{math|''M{{ind|n}}''(''K'')}}, qui à {{math|''P'' ∈ ''GL{{ind|n}}''(''K'')}} et {{math|''A'' ∈ ''M{{ind|n}}''(''K'')}}, associe {{math|''PAP''{{-1}}}}.

On décrit maintenant les résultats classiques sur ces actions, lorsque les scalaires forment un corps commutatif. Les deux premières actions sont souvent considérées simultanément ; on s'intéresse donc à la question : deux matrices {{mvar|A}} et {{mvar|B}} de dimension {{math|(''m'',''n'')}} étant données, existe-t-il des matrices {{math|''P'' ∈ ''GL{{ind|m}}''(''K'')}} et {{math|''Q'' ∈ ''GL{{ind|m}}''(''K'')}} telles que {{math|''A'' {{=}} ''PBQ''{{-1}}}} ? Si tel est le cas, les deux matrices {{mvar|A}} et {{mvar|B}} sont dites '''équivalentes'''. Le résultat principal est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même [[#Coordonnées|rang]], ce qui s'exprime encore en disant que le rang est un invariant complet pour les doubles classes définies par les deux actions de multiplication à gauche et à droite. Par ailleurs, une matrice étant donnée, on peut trouver d'autres matrices privilégiées (les [[matrice échelonnée|matrices échelonnées]]) dans la même orbite pour une de ces actions par la méthode du [[pivot de Gauss]].

Pour l'action par conjugaison, deux matrices carrées {{mvar|A}} et {{mvar|B}} de taille {{mvar|n}} dans la même orbite admettent une relation de la forme {{math|''A'' {{=}} ''PBQ''{{-1}}}}, pour une certaine matrice {{mvar|P}} inversible de taille {{mvar|n}} ; deux telles matrices sont dites '''semblables'''. La description d'un système complet d'invariants (caractérisant des matrices semblables) est plus délicate. On appelle ces invariants les [[invariants de similitude]]. D'un point de vue algorithmique, la réduction d'une matrice quelconque à une matrice sous une forme privilégiée se fait par un algorithme inspiré de celui du pivot de Gauss, voir [[théorème des facteurs invariants]].

== Interprétations linéaires ==
Un intérêt principal des matrices est qu'elles permettent d'écrire commodément les opérations habituelles de l'[[algèbre linéaire]], avec une certaine canonicité.

=== Coordonnées ===
{{Article détaillé|Base (algèbre linéaire){{!}}Base|Rang (mathématiques){{!}}Rang}}

Le premier point est de remarquer que le {{mvar|K}}-module ''K<sup>n</sup>'' s'identifie canoniquement à l'espace de matrices colonne {{math|''M''{{ind|''n'',1}}(''K'')}} : si {{mvar|e<sub>i</sub>}} est le [[n-uplet|''n''-uplet]] de {{mvar|K<sup>n</sup>}} dont tous les coefficients sont nuls, sauf le ''i''-ème qui vaut 1, on lui associe la ''i''-ème matrice colonne {{math|''E''{{ind|''i'',1}}}} de la [[#Base canonique de l'espace des matrices|base canonique]] de {{math|''M''{{ind|''n'',1}}(''K'')}} (celle dont tous les coefficients sont nuls sauf le ''i''-ème qui vaut 1), et on étend l'identification par linéarité ; la matrice associée à chaque ''n''-uplet sera appelée '''matrice coordonnée canonique'''.

D'autres identifications sont cependant possibles ; lorsqu'on peut parler de '''base''' (si l'anneau des scalaires est un corps, par exemple), on peut associer les matrices colonnes élémentaires à n'importe quelle base de l'espace {{mvar|K{{exp|n}}}} (ou plus généralement d'un {{mvar|K}}-module libre), puis à nouveau étendre par linéarité ; les matrices associées seront appelées matrices coordonnées dans la base envisagée.

On peut juxtaposer les matrices coordonnées, dans une base fixée, de plusieurs ''n''-uplets. On obtient ainsi la matrice coordonnée d'une famille de vecteurs. Le ''rang'' de la matrice est alors défini comme la dimension de la famille de ces vecteurs. En particulier la matrice d'une base dans une autre base est appelée '''[[matrice de passage]]''' entre ces deux bases, ou matrice de changement de base. Si ''X'' et ''X' '' sont les matrices coordonnées du même vecteur dans deux bases {{mvar|B}} et ''C'', et que ''P'' est la matrice de passage de la base ''C'' dans la base {{mvar|B}}, on a la relation (une matrice de passage est toujours inversible) :
:<math>X=PX'\quad X'=P^{-1} X </math>

=== Applications linéaires ===
{{Voir|Matrice d'une application linéaire|Matrice de passage#Changement de matrice pour une application linéaire{{!}}Changement de bases}}
Soient ''E'' et ''F'' deux espaces vectoriels de  dimensions respectives ''n ''et ''m ''sur un corps commutatif<ref name=NonCommutatif>Cette définition et les propriétés associées se généralisent à des [[Module sur un anneau|{{mvar|K}}-modules à droite]] [[Module libre|libres]] [[Module de type fini|de type fini]] sur un [[Anneau unitaire|anneau]] (non nécessairement [[Anneau commutatif|commutatif]]).</ref> {{mvar|K}}, ''B ''une base de ''E'', ''C ''une base de ''F ''et φ une [[application linéaire]] de ''E'' dans ''F''.

On appelle matrice de φ dans le couple de bases (''B'', ''C'') la matrice {{math|mat{{ind|''B'',''C''}}(''φ'')}} de {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} telle que pour tout vecteur {{mvar|x}} de {{mvar|E}}, si l'on note {{math|''y'' {{=}} ''φ''(''x'')}}, {{math|''X'' {{=}} mat{{ind|''B''}}(''x'')}} et {{math|''Y'' {{=}} mat{{ind|''C''}}(''y'')}}, alors :
<center><math>Y=\textrm{mat}_{B,C}(\varphi)\times X.</math></center>

Si ψ est une deuxième application linéaire, de ''F'' dans un troisième espace vectoriel ''G'' de base ''D'', alors, relativement aux bases {{mvar|B}}, ''C'', ''D'', la matrice de la [[Composition de fonctions|composée]] {{math|''ψ'' ∘ ''φ''}} est égale au produit des matrices de {{mvar|ψ}} et {{mvar|φ}}. Plus précisément :
<center><math>\textrm{mat}_{B,D}(\psi\circ\varphi)=\textrm{mat}_{C,D}(\psi)\times \textrm{mat}_{B,C}(\varphi).</math></center>

L'application de ''L''(''E'', ''F'') dans {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}} qui à chaque {{mvar|φ}} associe sa matrice dans (''B'', ''C'') est un [[isomorphisme d'espaces vectoriels]].

Pour toute matrice {{mvar|M}} de {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(''K'')}}, l'application ''X ''↦ ''MX ''du {{mvar|K}}-espace vectoriel ''M''{{ind|''n'',1}}(''K'') dans le {{mvar|K}}-espace vectoriel ''M''{{ind|''m'',1}}(''K'') est linéaire. C'est un point clef du lien entre algèbre linéaire et matrices. En conséquence, il arrive souvent que l'on [[identification (abus)|identifie]] la matrice {{mvar|M}} avec cette application linéaire. On parlera alors de [[Noyau (algèbre)|noyau]] de la matrice, d'[[espace propre|espaces propres]] de la matrice, d'[[Image d'une application|image]] de la matrice, etc.

Si {{mvar|B}} et {{mvar|B'}} sont deux bases de ''E'', ''C'' et ''C' '' deux bases de ''F'', ''P = mat{{ind|B}}''(''B{{'}}'') la [[matrice de passage]] de {{mvar|B}} vers {{mvar|B'}} et ''Q'' la matrice de passage de ''C'' vers ''C{{'}}'', alors les deux matrices ''M'' et ''M' '' d'une même application linéaire de ''E'' dans ''F'', dans les couples de bases (''B'', ''C'') et (''B{{'}}'', ''C{{'}}''), sont liées par : ''M' = Q''{{-1}}''MP''. On constate ainsi que deux [[#Actions du groupe linéaire|matrices équivalentes]] sont deux matrices qui représentent la même application linéaire dans des bases différentes. En particulier, dans le cas d'un [[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]], si l'on impose {{math|''B'' {{=}} ''C''}} et {{math|''B{{'}}'' {{=}} ''C{{'}}''}}, la formule précédente devient : ''M' = P''{{-1}}''MP ''et deux [[#Actions du groupe linéaire|matrices semblables]] sont deux matrices qui représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.

==== Transposition ====
{{Voir|Application transposée}}
Soient de nouveau ''E'' et ''F'' deux {{mvar|K}}-espaces vectoriels de dimensions finies<ref name=NonCommutatif/>, de bases respectives {{mvar|B}} et ''C'', et φ une application linéaire de ''E'' dans ''F''. L'application linéaire transposée {{nobr|{{exp|t}}φ : ''F''* → ''E''*}} entre leurs [[Espace dual|duals]] est définie par

<center><math>\forall y^*\in F^*,\forall x\in E,\quad\left\langle^{\operatorname t}\!\varphi\left( y^*\right),x\right\rangle
=\left\langle y^*,\varphi\left(x\right)\right\rangle.</math></center>

Sa matrice dans le couple de [[Base duale|bases duales]] (''C''*, ''B''*) est liée à celle de φ dans (''B'', ''C'') par :

<center><math>\textrm{mat}_{C^*,B^*}(^{\operatorname t}\!\varphi)={}^{\operatorname t}\!(\textrm{mat}_{B,C}(\varphi)).</math></center>

==== Remarque ====
Lorsque l'anneau n'est pas commutatif, si l'on représente les vecteurs par des matrices colonne, l'algèbre linéaire n'est compatible avec le calcul matriciel que si les modules ou espaces vectoriels considérés sont ''à droite'', comme dans les articles détaillés signalés ci-dessus, une application linéaire correspondant à la multiplication à gauche d'un vecteur colonne par la matrice qui la représente. Si l'on tient à avoir des modules ou espaces vectoriels ''à gauche'', il faut représenter les vecteurs par des matrices ''ligne'', une application linéaire étant cette fois représentée par la multiplication à droite d'un vecteur ligne par la matrice qui la représente<ref>Voir par exemple : {{Ouvrage |langue=en | prénom1 = Henri | nom1 = Bourlès| prénom2 =  Bogdan| nom2 = Marinescu| titre =Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach | éditeur = Springer| année = 2011|  isbn=3642197264| pages=638|url=https://books.google.fr/books?id=Lr6Owr6TiSgC&printsec=frontcover&hl=fr&source=&pg=104#v=onepage&q&f=false}}, §§ 2.2.4-2.2.6 ; cette formulation est très courante dans la théorie des [[D-module|''D''-modules]].</ref>.

=== Systèmes d'équations linéaires ===
{{Article détaillé|Système d'équations linéaires}}
En général, un système de ''m'' équations linéaires à ''n'' inconnues peut être écrit sous la forme suivante :
:<math>\left\{\begin{matrix}  a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+...+a_{m,n}x_n = b_m\end{matrix}\right.</math>
où {{math|''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}''}} sont les inconnues et les nombres {{math|''a''{{ind|''i'',''j''}}}} sont les coefficients du système.

Ce système peut s'écrire sous la forme matricielle :
:<math>Ax=b</math>

avec :
:<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}; \qquad x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} ;</math>
la théorie de la résolution des systèmes utilise les invariants liés à la matrice {{mvar|A}} (appelée ''matrice du système''), par exemple son rang, et, dans le cas où {{mvar|A}} est inversible, son déterminant (voir l'article [[règle de Cramer]]).

== Interprétations bilinéaires ==
Dans ce paragraphe, l'anneau {{mvar|K}} des scalaires sera supposé commutatif. Dans la plupart des applications, ce sera un corps commutatif.

''Le cas non commutatif existe aussi mais il faut prendre quelques précautions et les notations deviennent trop lourdes pour cet article.''

=== Matrice d'une forme bilinéaire ===
Soient ''E'' un {{mvar|K}}-module libre  et ''B ''= (''e''<sub>1</sub>, … , ''e<sub>n</sub>'') une base de 
''E''.

Soit <math> f : E\times E \to K</math> une [[forme bilinéaire]]. On définit la matrice de <math> f </math> dans la base ''B'' par la formule suivante :
:<math>\textrm{mat}_B\, f = (f(e_i,e_j))_{1\le i\le n,\ 1\le j\le n}=
\begin{pmatrix}
f(e_1,e_1) & f(e_1,e_2) & \dots & f(e_1,e_n)\\
f(e_2,e_1) & f(e_2,e_2) & \dots & f(e_2,e_n)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
f(e_n,e_1) & f(e_n,e_2) & \dots & f(e_n,e_n)\\
\end{pmatrix}
</math>

Dans le cas particulier où ''K ''= ℝ et {{mvar|f}} est un produit scalaire, cette matrice est appelée [[Déterminant de Gram|matrice de Gram]].

La matrice {{math|mat{{ind|''B''}} ''f''}} est [[matrice symétrique|symétrique]] (respectivement [[matrice antisymétrique|antisymétrique]]) si et seulement si la forme bilinéaire <math> f </math> est [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] (respectivement [[forme antisymétrique|antisymétrique]]).

Soient {{mvar|x}} et {{mvar|y}} deux vecteurs de ''E''. Notons {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} leurs coordonnées dans la base ''B'' et {{math|''A'' {{=}} mat{{ind|''B''}} ''f''}}. On a alors la formule : <math> f(x,y)={}^{\operatorname t}\!X~A~Y</math>.

Deux formes bilinéaires sont égales si et seulement si elles ont la même matrice dans une base donnée.

=== Matrice d'une forme quadratique ===
Lorsque {{mvar|K}} est un corps de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2, on appelle matrice d'une forme quadratique la matrice de la forme bilinéaire symétrique dont est issue la forme quadratique.

=== Formule de changement de base ===
Soient ''E'' un {{mvar|K}}-module libre et  ''B, C'' deux bases de ''E''. Soit <math> f : E\times E \to K</math> une forme bilinéaire.

Notons {{math|''M'' {{=}} mat{{ind|''B''}} ''f''}} la matrice de {{mvar|f}} dans la base ''B'' et {{math|''M{{'}}'' {{=}} mat{{ind|''C''}} ''f''}} la matrice de {{mvar|f}} dans la base ''C''. Notons {{math|''P'' {{=}} mat{{ind|''B C''}}}} la matrice de passage. On a alors la [[Matrice de passage#Changement de matrice pour une forme bilinéaire|formule de changement de base pour une forme bilinéaire]] (à ne pas confondre avec [[#Applications linéaires|celle pour une application linéaire]]) :
:<math>M'={}^{\operatorname t}\!P~M~P</math>

=== Matrices congruentes ===
{{Article détaillé|Matrices congruentes}}
Deux matrices carrées {{mvar|A}} et {{mvar|B}} sont dites '''congruentes''' s'il existe une matrice inversible {{mvar|P}} telle que
:<math> A={}^{\operatorname t}\!P~B~P~.</math>

Deux matrices congruentes sont deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes.

Lorsque {{mvar|K}} est un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. L'algorithme utilisé s'appelle [[réduction de Gauss]] à ne pas confondre avec le [[Élimination de Gauss-Jordan|pivot de Gauss]].

== Catalogue partiel ==
{{Voir|Matrice symétrique|Matrice antisymétrique|Matrice hermitienne#Matrice hermitienne{{!}}Matrice hermitienne|Matrice orthogonale|Matrice unitaire}}
Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée et antisymétrique si elle est opposée à sa transposée.

Une matrice {{mvar|A}} à coefficients complexes est dite hermitienne si elle est égale à la transposée de sa [[matrice conjuguée]] {{surligner|{{mvar|A}}}}.

Une matrice {{mvar|A}} est dite
* orthogonale si elle est à coefficient réels et si {{math|{{exp|t}}''A A {{=}} A ''{{exp|t}}''A {{=}} I''}},
* unitaire si elle est à coefficients complexes et si {{math|{{exp|t}}''{{surligner|A}} A {{=}} A ''{{exp|t}}''{{surligner|A}} {{=}} I''}}

(Pour plus d'exemples, voir en bas de page : « Articles connexes » et palette « Matrices ».)

== Décomposition d'une matrice ==
On utilise abusivement le terme [[décomposition]] d'une matrice, qu'il s'agisse d'une véritable décomposition (en somme) comme dans la décomposition de Dunford ou d'une [[factorisation]] comme dans la plupart des autres décompositions.

=== Réduction d'une matrice carrée ===
{{Article détaillé|Réduction d'endomorphisme|matrice diagonalisable|trigonalisation|polynôme d'endomorphisme|polynôme minimal d'un endomorphisme}}
* Réduire une matrice, c'est trouver une matrice qui lui est semblable la plus simple possible.
* Une matrice diagonalisable est une matrice semblable à une matrice diagonale : {{mvar|A}} est diagonalisable s'il existe une matrice inversible {{mvar|P}} et une matrice diagonale {{mvar|D}} telles que {{math|''A'' {{=}} ''P''{{-1}}''DP''}}.
* Sur un corps algébriquement clos, on dispose de la [[réduction de Jordan]] qui est optimale et il existe des décompositions intermédiaires comme la [[décomposition de Dunford]] qui utilise les [[sous-espace caractéristique|sous-espaces caractéristiques]] ou celle de [[décomposition de Frobenius|Frobenius]] qui utilise les [[sous-espace cyclique|sous-espaces cycliques]].
* Les polynômes d'endomorphismes jouent un rôle crucial dans les techniques de réduction.

=== Décomposition LU ===
{{Article détaillé|Décomposition LU}}
* C'est une factorisation en produit de deux matrices triangulaires.
* En lien avec le pivot de Gauss, c'est une méthode qui permet d'inverser une matrice.

=== Décomposition QR ===
{{Article détaillé|Décomposition QR}}
* C'est un résultat sur les matrices à coefficients réels ou à coefficients complexes.
* C'est une factorisation en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice triangulaire.
* C'est une traduction matricielle du [[procédé de Gram-Schmidt]].

=== Décomposition polaire ===
{{Article détaillé|Décomposition polaire}}
* C'est un résultat sur les matrices à coefficients réels ou à coefficients complexes.
* C'est une factorisation en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique [[matrice définie positive|définie positive]] dans le cas réel, en produit d'une [[#Matrices unitaires|matrice unitaire]] et d'une matrice hermitienne définie positive dans le cas complexe.
* On peut décomposer à droite ou à gauche.
* On a unicité de la factorisation pour les matrices inversibles.

== Normes==
=== Normes d'algèbre ===
{{Article détaillé|Norme matricielle}}
Dans tout ce paragraphe, {{math|''K'' {{=}} ℝ}} ou {{math|ℂ}}.

Une [[norme matricielle]] est une [[norme d'algèbre]] sur l'[[Algèbre associative sur un corps|algèbre]] {{math|''M{{ind|n}}''(''K'')}}, c'est-à-dire une [[Norme (mathématiques)|norme]] [[Espace vectoriel normé|d'espace vectoriel]] qui est de plus sous-multiplicative.

Le [[rayon spectral]] d'une matrice carrée {{mvar|A}} à coefficients complexes est le plus grand [[Module d'un nombre complexe|module]] de ses [[valeurs propres]]. Il est égal à la [[borne inférieure]] des normes matricielles de {{mvar|A}}.

Sur {{math|''M{{ind|n}}''(''K'')}}, toute norme {{mvar|N}} [[Norme d'opérateur|subordonnée]] à une norme sur {{mvar|K{{exp|n}}}} est une norme d'algèbre vérifiant de plus {{math|''N''(''I{{ind|n}}'') {{=}} 1}} (la réciproque est fausse).

=== Structure d'espace vectoriel euclidien ===
L'espace vectoriel {{math|''M''{{ind|''m'',''n''}}(ℝ)}}, canoniquement isomorphe à {{math|ℝ{{exp|''mn''}}}}, hérite de sa [[Espace vectoriel euclidien|structure euclidienne]]. Le [[produit scalaire]] se transcrit en
<center>
<math>
(A,B)\in M_{m,n}(\R)\times M_{m,n}(\R)\mapsto\langle A,B\rangle:=\operatorname{tr}({}^{\operatorname t}\!A~B)=\sum_{\scriptstyle 1\leq i\leq m\atop\scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{ij}b_{ij}\in\R,
</math>
</center>
où <math>\operatorname{tr}</math> désigne la [[Trace (algèbre)|trace]] (i.e., <math>\textstyle\operatorname{tr}\,M=\sum_{i=1}^nm_{ii}</math>) et les {{math|''a''{{ind|''i'',''j''}}}} (resp. {{math|''b''{{ind|''i'',''j''}}}}) désignent les éléments de {{mvar|A}} (resp. {{mvar|B}}). La norme associée à ce produit scalaire est la '''norme de [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]]''' ou [[Classe trace#Propriétés|norme de Hilbert-Schmidt]] :
<center><math>
\|A\|_F=\left(\sum_{1\le i\le m\atop 1\le j\le n}a_{i,j}^2\right)^{\frac12}=\|\sigma(A)\|_2,
</math></center>
où {{math|''σ''(''A'')}} est le vecteur des [[Valeur singulière|valeurs singulières]] de {{mvar|A}}
<!--[devrait se trouver dans la page sur les valeurs singulières, pas ici]
(si ''A'' est une [[matrice normale]], ce sont simplement les modules de ses valeurs propres)
-->
et <math>\|\cdot\|_2</math> est la [[Norme (mathématiques)|norme euclidienne]].

Si {{math|''m'' {{=}} ''n'' > 1}}, il ne s'agit pas d'une norme subordonnée, puisque <math>\|I_n\|_F=\sqrt{n}\ne1.</math>

L'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]] s'écrit (comme pour tout produit scalaire) : 
<center><math>\forall A,B \in\R^{m\times n}, 
\langle A,B\rangle\leqslant\|A\|_F\,\|B\|_F.
</math></center>
Cette inégalité peut être renforcée par l''''inégalité de trace de von Neumann'''<ref>J. von Neumann (1937). Some matrix inequalities and metrization of matrix-space. ''Tomsk University Review'', 1, 286–300. ''Collected Works'', Pergamon, Oxford, 1962, Volume IV, 205-218</ref> : 
<center><math>\forall A,B \in\R^{m\times n}, 
\langle A,B\rangle\leqslant\sigma(A)^\mathsf{T}\sigma(B),
</math></center>
où {{math|''σ''(''A'')}} est le vecteur des [[Valeur singulière|valeurs singulières]] de {{mvar|A}}, ''rangées en ordre décroissant''. Elle a la même structure que l'[[Matrice symétrique|inégalité de Ky Fan]], laquelle suppose que les matrices sont carrées et symétriques (on peut alors remplacer {{math|''σ''(•)}} par le vecteur des valeurs propres).

L'espace vectoriel {{math|''M{{ind|m,n}}''(ℂ)}} est muni d'une structure similaire d'[[espace hermitien]].

== Exponentielle d'une matrice ==
{{Article détaillé|Exponentielle d'une matrice}}
Soit {{math|''A'' ∈ ''M{{ind|n}}''(ℂ)}}, soit {{mvar|N}} une norme d'algèbre et  <math>\sum a_n z^n </math> une [[série entière]] de [[rayon de convergence]] {{mvar|R}}.

Alors si {{math|''N''(''A'') < ''R''}}, la [[Série (mathématiques)|série]] <math>\sum a_n A^n </math> est [[Convergence absolue|absolument convergente]]. (On le montre en utilisant que {{math|''N''(''A{{exp|n}}'') ≤ ''N''(''A''){{exp|''n''}}}}.)

En particulier, on peut définir, pour toute matrice carrée complexe, la quantité
:<math> \exp (A) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac1{k!} A^k</math>

Le calcul effectif de cette exponentielle se fait par [[Réduction d'endomorphisme|réduction de la matrice]].

L'exponentielle joue un rôle central dans l'étude des [[Système différentiel linéaire|systèmes linéaires d'équations différentielles]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|wikiversity=Matrice
|wikiversity titre=Matrice
}}

=== Bibliographie ===
* J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse ''Cours de mathématiques'', Dunod, 1980
* Rached Mneimné, ''Réduction des endomorphismes'', Calvage et Mounet, Paris, 2006 {{ISBN|978-2-916352-01-5}}
* P. Wira, ''[http://www.trop.uha.fr/pdf/calculs_matriciels.pdf Un rappel sur les matrices]'', support de cours, Université de Haute Alsace, Mulhouse, 2000

=== Articles connexes ===
{{colonne|taille=30|
*[[Conditionnement (analyse numérique)]]
* [[Formule du binôme]] pour deux matrices qui commutent
* [[Matrice de rotation]]
* Matrices liées aux problèmes de [[complémentarité linéaire]] : [[M-matrice|{{math|M}}-matrice]], [[Matrice dégénérée]], [[Matrice suffisante]], [[P-matrice|{{math|P}}-matrice]], [[P0-matrice|{{math|P}}{{ind|0}}-matrice]], [[Q-matrice|{{math|Q}}-matrice]], [[Q0-matrice|{{math|Q}}{{ind|0}}-matrice]], [[R0-matrice|{{math|R}}{{ind|0}}-matrice]], [[S-matrice (mathématiques)|{{math|S}}-matrice]], [[Z-matrice|{{math|Z}}-matrice]]
* [[Norme matricielle]]
* [[Paire de matrices commutantes]]
* [[Représentation de groupe]]
* [[Tenseur]]
}}

=== Liens externes ===
Frédéric Brechenmacher, [http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/Brechenmacher/matrices_index.htm Les matrices : formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930)]

{{Palette|Matrices|Algèbre linéaire}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Matrice| ]]