Voir la source de Matrice diagonale

{{Homon|Matrice|Diagonale (homonymie)}}
En [[algèbre linéaire]], une '''matrice diagonale''' est une [[matrice (mathématiques)|matrice]] carrée dont les coefficients en dehors de la [[diagonale principale]] sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.

Une matrice diagonale est une [[Matrice d'une application linéaire|matrice qui correspond à la représentation]] d'un [[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]] [[Diagonalisation|diagonalisable]] dans une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de [[vecteur propre|vecteurs propres]]. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est [[Matrice semblable|semblable]] à une matrice diagonale.

Toute matrice diagonale est [[matrice symétrique|symétrique]], [[matrice normale|normale]] et [[matrice triangulaire|triangulaire]]. La [[matrice identité]] ''I<sub>n</sub>'' est diagonale.

== Définition ==
Une matrice carrée <math>D= (d_{i,j})_{1 \le i,j \le n}</math> est dite diagonale si :
: <math>\forall(i,j) \in  [\![ 1, n ]\!]^2 , \ i \ne j \ \Rightarrow \ d_{i,j} = 0.</math>

=== Exemples ===
Les matrices suivantes sont diagonales :
:<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &\mathrm i & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\mathrm i\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -3 \end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
1 \end{pmatrix}.</math>
En revanche les matrices suivantes ne sont pas diagonales :
:<math>\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 &\mathrm i & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -3 \end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \end{pmatrix}.</math>

=== Notation ===

Comme une matrice diagonale est entièrement déterminée par la liste de ses éléments diagonaux, la notation suivante plus concise est souvent adoptée :
:<math>\operatorname{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \begin{pmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_n
\end{pmatrix}.</math>

== Utilisations ==
Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La [[multiplication des matrices|multiplication]] de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la [[diagonalisation]].

Une matrice ''presque'' diagonale (on la dit alors [[matrice à diagonale dominante]]) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses [[théorème de Gershgorin|cercles de Gershgorin]].

Une matrice diagonale d'ordre ''n'' à coefficients dans ''K'' possède de manière naturelle des vecteurs propres (les vecteurs de la [[base canonique]] de ''K{{exp|n}}'') et ses coefficients diagonaux sont les [[Valeur propre (synthèse)|valeurs propres]] associées. 

Si une [[matrice normale]] est [[Matrice triangulaire|triangulaire]] alors elle est diagonale.

Une matrice complexe est normale si et seulement si elle est [[matrice unitaire|unitairement]] [[Matrice semblable|semblable]] à une matrice diagonale.

Voir aussi la [[décomposition en valeurs singulières]], d'après laquelle toute matrice complexe (non nécessairement carrée) est unitairement [[Matrices équivalentes|équivalente]] à une matrice diagonale [[Matrice autoadjointe positive|positive]] bordée par des zéros.

== Propriétés ==

=== Multiplication ===
*Si <math>M</math> est une matrice <math>n\times m</math> alors :
**<math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)M</math> se déduit de <math>M</math> en multipliant, pour tout <math>i</math> de <math>1</math> à <math>n</math>, la <math>i</math>-ème ligne de <math>M</math> par <math>a_i</math> ;
**<math>M\operatorname{diag}(b_1,\dots,b_m)</math> se déduit de <math>M</math> en multipliant, pour tout <math>j</math> de <math>1</math> à <math>m</math>, la <math>j</math>-ème colonne de <math>M</math> par <math>b_j</math>.
*En particulier, <math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)\operatorname{diag}(b_1,\dots,b_n)=\operatorname{diag}(a_1b_1,\dots,a_nb_n)</math>
*:donc <math>\forall k\in\N^*\quad\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)^k=\operatorname{diag}(a_1^k,\dots,a_n^k)</math>.
*Pour tout [[anneau commutatif]] ''A'', les matrices diagonales d'ordre ''n'' forment une [[Algèbre sur un anneau|sous-algèbre]] commutative de <math>\mathrm M_n(A)</math>
*:En d'autres termes, pour toutes matrices diagonales <math>D = \operatorname{diag}((d_i)_{1 \le i \le n})</math> et <math>E = \operatorname{diag}((e_i)_{1 \le i \le n})</math> on a :
**<math>\forall(\lambda,\mu) \in A^2\quad\lambda D + \mu E =\operatorname{diag}((\lambda d_i + \mu e_i)_{1 \le i \le n})</math>
** <math>DE = ED =\operatorname{diag}((d_i e_i)_{1 \le i \le n})</math>

=== Déterminant ===
Le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] d'une matrice diagonale est égal au produit de ses éléments diagonaux :
:<math>\det ( \operatorname{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n) ) = \begin{vmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_n
\end{vmatrix} = \prod_{k=1}^n a_k</math>

=== Inversibilité ===
D'après l'expression des produits d'une matrice diagonale par une matrice quelconque {{supra|Multiplication}}, une matrice diagonale <math>\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> à coefficients dans un [[anneau unitaire]] ''A'' (non nécessairement commutatif) est [[Matrice inversible|inversible]] dans <math>\mathrm{M}_n(A)</math> si et seulement si tous les <math>a_i</math> sont [[Groupe des unités|inversibles dans ''A'']] (c'est-à-dire non nuls, si ''A'' est un [[Corps (mathématiques)|corps]]) et dans ce cas,
:<math>\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)^{-1}=\operatorname{diag}(1/a_1,1/a_2,\dots,1/a_n)</math>.
Ceci permet, pour une matrice diagonale inversible, d'étendre aux exposants [[Entier relatif|entiers relatifs]] la règle de calcul des puissances vue précédemment.

== Matrice scalaire ==
Une '''matrice scalaire''' est une matrice diagonale (à coefficients dans un [[Anneau unitaire|anneau]]) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]], ''Algèbre'', ch. 2, Paris, 1970, p. II.151.
</ref>, c'est-à-dire de la forme λ''I<sub>n</sub>'' où λ est un scalaire et ''I<sub>n</sub>'' la matrice identité d'ordre ''n''.

Autrement dit <math>D=(a_{i,j})</math> est une matrice scalaire si ''D'' est carrée et si :

<math>a_{i,j} = \begin{cases}\lambda&\text{si }i=j\\0&\text{si }i \neq j\end{cases}</math>

c'est-à-dire que tous les éléments situés sur la diagonale principale sont égaux et que tous les autres éléments sont nuls.

C'est la [[Matrice d'une application linéaire|matrice dans n'importe quelle base de]] l'[[homothétie vectorielle]] de rapport <math>\lambda</math>.

Si ''K'' est un corps commutatif, le [[Centre d'un groupe|centre]] du [[groupe linéaire]] GL(''n'', ''K'') est formé des matrices scalaires non nulles à ''n'' lignes et ''n'' colonnes et à coefficients dans ''K''<ref>Voir par exemple {{en}} J. J. Rotman, ''{{Langue|en|An Introduction to the Theory of Groups}}'', {{4e|édition}}, tirage de 1999, théorème 8.9, p. 222.</ref>. Plus généralement, si ''A'' est un anneau unitaire, le centre de GL(''n'', ''A'') est formé des matrices scalaires non nulles de taille ''n'' à coefficients dans le centre de ''A''<ref>{{EncycloMath|id=General_linear_group|titre=General linear group|lien auteur1=Vladimir Platonov|prénom1=V. P.|nom1=Platonov}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette|Matrices}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Matrice remarquable|Diagonale]]