Voir la source de Matrice inversible

{{Voir homonymes|Inverse (homonymie)}}
En [[mathématiques]] et plus particulièrement en [[algèbre linéaire]], une [[matrice carrée]] ''A'' d'ordre ''n'' est dite '''[[élément inversible|inversible]]''' ou '''régulière''' ou encore '''non singulière''' s'il existe une matrice ''B'' d'ordre ''n'', appelée '''matrice [[Groupe des unités|inverse]]''' de ''A'' et notée :

: ''B = A''<sup>−1</sup>,

telle que :

:''AB'' = ''BA'' = I<sub>''n''</sub>

où I<sub>''n''</sub> désigne la [[matrice identité]] d'ordre ''n'', et la multiplication est la [[multiplication des matrices|multiplication ordinaire des matrices]]. D'après le [[théorème du rang]], chacune des deux conditions ''AB'' = I<sub>''n''</sub> ou ''BA'' = I<sub>''n''</sub> suffit. Dans ce cas, la matrice ''B'' est unique.

Une matrice carrée qui n'est pas inversible est dite '''non inversible''' ou '''singulière'''. Tandis que dans les cas usuels, ces matrices sont à coefficients [[nombre réel|réels]] ou [[nombre complexe|complexes]], toutes ces définitions peuvent être données pour des matrices à coefficients dans un [[corps commutatif]] (voire dans un [[anneau unitaire|anneau]] quelconque).

On démontre qu'une matrice carrée à coefficients dans un corps commutatif est inversible si et seulement si son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] est non nul.

== Propriétés fondamentales ==

Soit ''A'' une matrice carrée d'ordre ''n'' à coefficients dans un [[corps commutatif]] ''K'' (par exemple le corps ℝ des réels). Les propositions suivantes sont équivalentes (on note ''X'' une matrice colonne à ''n'' éléments dans ''K'')<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|langue=anglais|auteur1=David C. Lay|titre=Linear Algebra and its Applications|passage=114, 237, 277 et 423|lieu=Washington|éditeur=Pearson|année=2016|pages totales=579|isbn=9780321982384}}, ou le chapitre sur l'inverse, dans la leçon de  [[Wikiversité]] sur les matrices {{infra|Voir aussi}}.</ref> :
* ''A'' est inversible,
* le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] de ''A'' est non nul ;
* ''A'' possède ''n'' [[Élimination de Gauss-Jordan|pivots]] ;
* 0 n'est pas [[Valeur propre (synthèse)|valeur propre]] de ''A'' ;
* le [[rang d'une matrice|rang]] de ''A'' est égal à ''n'' ;
* le [[Système d'équations linéaires|système linéaire]] homogène ''AX'' = 0 a pour seule solution ''X'' = 0 ;
* pour tout ''b'' dans M{{ind|''n'',1}}(''K''), le système linéaire ''AX = b'' a au plus une solution ;
* pour tout ''b'' dans M{{ind|''n'',1}}(''K''), le système linéaire ''AX = b'' a au moins une solution ;
* les colonnes de ''A'', considérées comme des vecteurs de ''K{{exp|n}}'', sont [[Indépendance linéaire|linéairement indépendantes]] ;
* les colonnes de ''A'', considérées comme des vecteurs de ''K{{exp|n}}'', [[Famille génératrice|engendrent]] ''K{{exp|n}}'' ;
* l'[[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]] [[Canonique (mathématiques)|canoniquement]] associé à ''A'' (c’est-à-dire l'[[application linéaire]] de ''K{{exp|n}}'' dans lui-même qui [[Matrice d'une application linéaire|a pour matrice]] ''A'' dans la [[base canonique]]) est [[Injection (mathématiques)|injectif]] ;
* l'endomorphisme canoniquement associé à ''A'' est [[surjection|surjectif]] ;
* la matrice ''A'' est inversible à gauche, c'est-à-dire qu'il existe une matrice ''B'' carrée d'ordre ''n'' telle que ''BA'' = I''<sub>n</sub>'' ;
* la matrice ''A'' est inversible à droite, c'est-à-dire qu'il existe une matrice ''B'' carrée d'ordre ''n'' telle que ''AB'' = I''<sub>n</sub>'' ;
* la [[matrice transposée|transposée]] <sup>t</sup>''A'' de ''A'' est inversible ;
* il existe un polynôme annulateur de ''A'' dont 0 n'est pas racine ;
* 0 n'est pas racine du [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] de ''A'' ;
* ''A'' est [[Matrice équivalente|équivalente]] à la matrice identité I<sub>''n''</sub> d'ordre ''n''.

Plus généralement, une matrice carrée à coefficients dans un [[anneau commutatif|anneau commutatif unifère]] est inversible ({{c.-à-d.}} possède une matrice inverse ''à coefficients dans cet anneau'') si et seulement si son déterminant est inversible ''dans cet anneau''. En effet, si ''A'' est inversible alors det(''A'') × det (''A''{{exp|–1}}) = det(I) = 1 et [[réciproque]]ment, si le scalaire det(''A'') est inversible alors la matrice ''A'' l'est, son inverse étant donnée par la formule de Laplace [[#Méthode des cofacteurs|ci-dessous]]. Par exemple, une matrice carrée à coefficients [[Entier relatif|entiers]] admet une inverse à coefficients entiers si et seulement si son déterminant vaut 1 ou –1.

== Autres propriétés et résultats ==
Les matrices carrées d'ordre ''n'' à coefficients dans un anneau ''K'' forment un anneau, noté M{{ind|''n''}}(''K''). L'ensemble des matrices inversibles de M{{ind|''n''}}(''K'') forme donc un [[groupe (mathématiques)|groupe]] pour la multiplication : le [[groupe des inversibles]] de M{{ind|''n''}}(''K''). On l'appelle [[groupe général linéaire]] et on le note habituellement GL''{{ind|n}}''(''K''). Par conséquent :
*la matrice inverse d'une matrice inversible ''A'' est elle-même inversible, et 
*:(''A''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup> = ''A'' ;
*le produit de deux matrices inversibles ''A'' et ''B'' (de même ordre) est une matrice inversible et son inverse est donné par la relation suivante 
*:(''AB'')<sup>−1</sup> = ''B''<sup>−1</sup>''A''<sup>−1</sup> (différent en général de ''A''<sup>−1</sup>''B''<sup>−1</sup>, sauf si ''A'' et ''B'' [[Commuter|commutent]], par exemple si ''A'' ou ''B'' est une [[matrice scalaire]] et si l'anneau ''K'' est commutatif).

Toute matrice qui commute avec une matrice inversible ''A'' commute aussi avec ''A''{{-1}}.

En général, « presque toutes » les matrices carrées d'ordre ''n'' sont inversibles. Sur le corps des nombres réels, cela peut être formulé de façon plus précise : l'ensemble des matrices non inversibles, considéré comme sous-ensemble de <math>\R^{n\times n}</math>, est [[ensemble négligeable|négligeable]] pour la [[mesure de Lebesgue]]. Intuitivement, cela signifie que si l'on choisit au hasard une matrice carrée d'ordre ''n'' à coefficients réels, la [[probabilité]] pour qu'elle ne soit pas inversible est nulle. La raison en est que les matrices non inversibles sont les racines (ou zéros) d'une fonction polynomiale donnée par le déterminant.

Dans l'ensemble des matrices carrées réelles ou complexes de taille fixée, le sous-ensemble des matrices inversibles est [[Partie dense|dense]]<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 3-2 : densité de GLn|cet exercice corrigé de la leçon « Espaces vectoriels normés »|début=Voir par exemple}}</ref>.

== Méthodes d'inversion ==

Avant de décrire les méthodes usuelles d'inversion, notons qu'en pratique, il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse d'une matrice pour résoudre un [[système d'équations linéaires]].<!--Ce qui suit est faux, cf. Rouché-Fontené : Il est toutefois nécessaire que la matrice considérée soit inversible.--> Des méthodes de décomposition comme la [[décomposition LU]] sont ''beaucoup plus rapides'' que l'inversion.

=== Élimination de Gauss-Jordan ===
{{Article détaillé|Élimination de Gauss-Jordan}}

===Polynôme annulateur===
Si une matrice carrée ''A'' possède un [[polynôme annulateur]] de terme constant non nul, alors elle est inversible : pour tout polynôme
{{retrait|<math>P(X)=\sum_{k=0}^ma_kX^k\text{ tel que }a_0\ne0\text{ et }P(A)=0,</math>}}
on a<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques : méthodes, savoir-faire et astuces|collection=Optimal, [[Prépa HEC|CPHEC]]|auteur=S. Sarfati|auteur2=M. Fegyvères|éditeur=Bréal|year=1997|url={{Google Livres|1Fvh1S0hWyUC|page=65}}|page=65}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques « tout-en-un » [[Prépa HEC|ECS]] {{2e}} année|auteur=C. Gautier|auteur2=[[André Warusfel|A. Warusfel]]|responsabilité auteur2=dir.|éditeur=Dunod|year=2008|url={{Google Livres|BJuqLa4drb4C|page=16}}|page=16}}.</ref>
{{retrait|<math>A^{-1}=-\frac1{a_0}\sum_{k=1}^ma_kA^{k-1}</math>}}
avec (pour ''k'' = 1) ''A''{{exp|0}} = I''{{ind|n}}'', où ''n'' est l'ordre de la matrice carrée ''A''.

Réciproquement, si ''A'' est inversible, alors il existe de tels polynômes :
*le [[polynôme caractéristique]] ''P{{ind|A}}''(''X'') = det(''XI{{ind|n}} – A'') est un polynôme annulateur de ''A'' d'après le [[théorème de Cayley-Hamilton]], or son terme constant ''P{{ind|A}}''(0) = (–1){{exp|''n''}}det(''A'') est non nul si (et seulement si) ''A'' est inversible ;
*le [[Polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] de ''A'' est de degré inférieur ou égal au degré ''n'' de ''P{{ind|A}}''. Ses [[Racine d'un polynôme|racines]] sont, comme pour ''P{{ind|A}}'', les [[valeurs propres]] de ''A''. Son terme constant est donc non nul si (et seulement si) 0 n'est pas valeur propre, c'est-à-dire si ''A'' est inversible.

=== Méthode des cofacteurs ===
{{Article détaillé|Comatrice#Formules de Laplace{{!}}Formule de Laplace}}
Si le déterminant d'une matrice {{math|''A''}} (à coefficients dans un corps commutatif) est non nul, alors {{math|''A''}} est inversible, son inverse étant donnée par :
:<math>A^{-1}=\frac1{\det A} \,^{\operatorname t}\!{{\rm com} A}</math>
où {{math|{{exp|t}}com(''A'')}} est la [[matrice transposée|transposée]]  de la [[comatrice]] de {{math|''A''}}. En effet (cf. article détaillé), toute matrice carrée {{math|''A''}} d'ordre {{math|''n''}} vérifie : 
:<math>A\;{}^{\operatorname t}\!\left(\operatorname{com}A\right)={}^{\operatorname t}\!\left(\operatorname{com}A\right)\;A=\det(A)\;\mathrm I_n</math>.

Cette écriture permet un calcul aisé de l'inverse d'une matrice de petite dimension. Pour des matrices de plus grande dimension, cette méthode essentiellement récursive devient inefficace.

==== Inversion des matrices 2×2 ====
L'équation des cofacteurs ci-dessus permet de calculer l'inverse des matrices de dimensions 2×2 : si {{math|''ad – bc'' ≠ 0}},

:<math>
A = \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix},\ 
\operatorname{com}A = \begin{pmatrix}
d & -c \\ -b & a
\end{pmatrix},\ 
^{\operatorname t}\!\operatorname{com}A= \begin{pmatrix}
d & -b \\ -c & a
\end{pmatrix}</math>,

:<math>
A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}^{-1} =
\frac1{ad - bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\ -c & a
\end{pmatrix}</math>.

;Exemple :

:<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4 \\
\end{pmatrix}^{-1} =
\frac1{-2} \begin{pmatrix}
4 & -2 \\ -3 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>.

==== Inversion des matrices 3×3 ====
De même, on obtient l'inverse d'une matrice <math>A = \begin{pmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\
\end{pmatrix}</math> de dimension 3×3 en calculant son déterminant (par la [[Calcul du déterminant d'une matrice|règle de Sarrus]], par exemple) :

:<math> \det A = aei + bfg+cdh - ceg-fha-ibd, \ </math>
puis en utilisant la formule :

:<math>
A^{-1}  = \begin{pmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\
\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{\det A}^{\operatorname t}\!\begin{pmatrix}
ei - fh & fg - di & dh - eg \\
ch - bi & ai - cg & bg - ah \\
bf - ce & cd - af & ae - bd
\end{pmatrix}=
\frac1{\det A} \begin{pmatrix}
ei - fh & ch - bi & bf - ce\\
fg - di & ai - cg &  cd - af\\
dh - eg  & bg - ah  & ae - bd
\end{pmatrix}
</math>.

=== Inversion par bloc ===
{{Article détaillé|Complément de Schur}}
L'inverse d'une matrice peut également être calculée ''[[Matrice par blocs|par blocs]]'', en utilisant la formule analytique suivante :

:<math>\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = 
\begin{pmatrix} A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}=
\begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -A^{-1}B \\ I \end{bmatrix}(D-CA^{-1}B)^{-1}\begin{bmatrix} -CA^{-1}& I \end{bmatrix},</math>
où {{mvar|A}}, {{mvar|B}}, {{mvar|C}} et {{mvar|D}} sont des blocs de taille arbitraire, sous réserve que {{mvar|A}} soit inversible ainsi que son complément de Schur {{math|''D'' – ''CA''{{-1}}''B''}}. Cette méthode peut se révéler avantageuse, par exemple, si {{mvar|A}} est diagonale et si son complément {{math|''D'' – ''CA''{{-1}}''B''}} est une matrice de petite dimension, puisque ce sont les seules matrices à inverser.

Cette technique a été inventée par [[Volker Strassen]], connu également pour l'[[algorithme de Strassen]] sur le [[produit matriciel]] rapide.

Si {{mvar|D}} est inversible ainsi que son complément {{math|''A'' – ''BD''{{-1}}''C''}}, on a la formule duale :
:<math>\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\left(A-B D^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-B D^{-1}C\right)^{-1} BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-B D^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C \right)^{-1}BD^{-1}\end{pmatrix}</math>.
(Si les matrices {{mvar|A}} et {{mvar|D}} sont toutes deux inversibles ainsi que leurs compléments, on peut combiner ces deux formules en choisissant, pour chacun des quatre blocs de la matrice inverse, l'une des deux expressions fournies.)

Cette relation permet de montrer que la [[complexité en temps|complexité algorithmique]] de l'inversion de matrice est la même que celle du [[Produit matriciel#Multiplication efficace de deux matrices|produit matriciel]]<ref name="Cormen">{{Ouvrage | langue = en | auteur1 = [[Thomas H. Cormen]] | auteur2 = [[Charles E. Leiserson]] 
  | auteur3 = [[Ronald L. Rivest]] 
  | titre = Introduction à l'algorithmique |lien titre = Introduction à l'algorithmique| éditeur = Dunod
  | lieu =  Paris |sudoc = 068254024
  | année = 2002 | pages totales = xxix+1146  |titre chapitre = Calcul matriciel | numéro chapitre = 28 | isbn = 978-2100-03922-7 }}
</ref>.

=== Factorisation LU ===
{{loupe|Décomposition LU}}

== Dérivée de l'inverse d'une application à valeurs matricielles ==

* Soient un intervalle ''I'' (d'intérieur non vide) de <math>\R</math> et une fonction matricielle{{retrait|<math>A:I\to\mathrm{GL}_n(\R),~t \mapsto A(t)</math>}}dérivable sur ''I''. Alors, la fonction matricielle{{retrait|<math>A^{-1} : I \to \mathrm{GL}_n(\R),\, t \mapsto A(t)^{-1}</math>}}est dérivable sur ''I''  et{{retrait|<math>\forall t \in I\quad\frac{\mathrm{d}A^{-1}}{\mathrm{d}t}(t) = - A^{-1}(t)\, \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}(t)\, A^{-1}(t)</math>.}}Pour ''n'' = 1, en notant ''f''(''t'') le réel ''A''(''t''), on retrouve la [[dérivée#Dérivées usuelles et règles de dérivation|formule usuelle de dérivation]] :
:<math>\left(\frac 1 f\right)'(t)=-\frac{f'(t)}{f^2(t)}</math>.
* Plus génériquement, l'application{{retrait|<math>\mathrm{inv} :\qquad \mathrm{GL}_n(\R)\to\mathrm{GL}_n(\R),\qquad A\mapsto A^{-1}</math>}}est infiniment différentiable (puisque son expression par la formule des cofacteurs est [[fonction rationnelle|rationnelle]]) et sa [[différentielle]] est donnée par<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité#Exercice 2|exercice corrigé de la leçon « Calcul différentiel »|début=Voir par exemple cet}}</ref> :
<center><math>\forall A\in\mathrm{GL}_n(\R)\quad\forall H \in\mathrm M_n(\R)\quad\mathrm d\,\mathrm{inv}_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}</math>.</center>

== Généralisations ==
Certaines des propriétés des matrices inverses sont aussi vérifiées par les [[pseudo-inverse|matrices pseudo-inverses]] qui peuvent être définies  pour n'importe quelle matrice, même pour celles qui ne sont pas carrées.

Même lorsque la matrice ''X'' n'est pas carrée, les matrices ''XX''{{'}} et ''X''{{'}}''X''  (où ''X''{{'}} est la matrice  transposée de ''X'') le sont. Si l'une de ces matrices est inversible, il est alors possible d'« inverser » ''X'' grâce à une multiplication à gauche par <math> (X'X)^{-1}</math>, ou  une multiplication à droite par <math> (XX')^{-1}</math> ; dans ce cas, on a en effet
:<math> \left((X'X)^{-1}X'\right)X=I \, </math> (inverse à gauche) ou
:<math> X\left(X'(XX')^{-1}\right)=I</math> (inverse à droite).

==Notes et références==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets
|wikt=matrice inversible
|v=Matrice/Inverse
}}
* [[Matrice diagonale#Inversibilité]]
* [[Décomposition d'une matrice en éléments propres#Inversion d'une matrice via sa décomposition en éléments propres]]
{{Palette|Matrices}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Matrice]]