Voir la source de Module d'élasticité

{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Module d'élasticité
| image          = Deformation.svg
| légende        = Un module d'élasticité est le rapport entre une [[Tenseur des contraintes|contrainte]] et la [[Tenseur des déformations|déformation]] relative qui en résulte. 
| unités         = [[pascal (unité)|pascal]] (MPa, GPa)
| autres unités  = 
| symbole        = Suivant le module considéré : [[Module de Young|''E'']], [[Module de cisaillement|''G'']], [[Module d'élasticité isostatique|''K'']], [[Coefficient de Lamé|''λ'']], [[Coefficient de Poisson|''ν'']], [[Onde sismique|''M'', ''P''-''{{lang|en|texte=wave modulus}}'']]

| unités de base =
| dimension      =  {{dimension|kg=1|m=-1|s=-2|A=|K=|mol=|cd=}}
| extensive      = 
| intensive      = oui
| conservative   = 
| nature         = tenseur
| expressions    = 
| conjuguée      = 
| complémentaire = 
}}
[[Image:Influence température sur rigidité solide.png|vignette|La connaissance du module et son évolution en fonction de ''T'' sont nécessaires pour la sélection du matériau le plus adapté.]]
Un '''module d'élasticité''' (ou '''module élastique''' ou '''module de conservation''') est une [[Grandeur physique|grandeur]] intrinsèque d'un [[matériau]], définie par le rapport d'une [[Tenseur des contraintes|contrainte]] à la [[Tenseur des déformations|déformation]] [[Déformation élastique|élastique]] provoquée par cette contrainte. Les [[Déformation d'un matériau|déformations]] étant [[grandeur sans dimension|sans dimension]], les modules d'élasticité sont [[homogénéité (physique)|homogènes]] à une [[pression]] et leur [[unité de mesure|unité]] [[Système international d'unités|SI]] est donc le [[pascal (unité)|pascal]] ; en pratique on utilise plutôt un multiple, le {{abrd|MPa|mégapascal}} ou le {{abrd|GPa|gigapascal}}.

Le comportement élastique d'un matériau homogène [[Isotropie|isotrope]] et linéaire est caractérisé par deux modules (ou constantes) d'élasticité indépendants. Le tableau nommé « Formules de conversion » en bas de page indique les relations des paires de modules d'élasticité, sur un total de six modules : ''E'', ''G'', ''K'', ''M'', ''ν''<ref>D'après la norme {{fr}} ISO 6721-1:1994(F), ''Plastiques - Détermination des propriétés mécaniques dynamiques - Partie 1 : Principes généraux'', le coefficient de Poisson a pour symbole ''µ''.</ref> et ''λ''. L'utilisation des relations données dans ce tableau nécessite cependant des corrections qui sont données dans la littérature<ref>D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), qui indique par exemple les références [1] et [2] citées dans la [[#Bibliographie|Bibliographie]].</ref>.

En [[ingénierie]] [[Résistance des matériaux|structurelle]], le choix le plus courant est la paire [[module de Young]] et [[coefficient de Poisson]] (''E'', ''ν'') ; la paire équivalente (''E'', ''G'') est aussi utilisée. Le module ''E'' (lié à la [[Raideur (mécanique)|raideur]]) est souvent utilisé en [[acoustique]].

La connaissance des caractéristiques [[Rhéologie|rhéologiques]] en fonction de la température revêt un grand intérêt. Les évolutions de modules ou de [[viscosité]]s sont souvent importantes. Voir aussi [[Température de transition vitreuse]] (''T''<sub>v</sub>) et [[Thermostabilité]].

== Typologie ==
Selon le ''type'' de déformation<ref>À ne pas confrondre avec les ''modes'' de déformation que sont le [[fluage]] et la [[Relaxation de contrainte|relaxation]], liés à leur dépendance temporelle.</ref>, le module d'élasticité d'un matériau peut être :
* le [[module de Young]] ou de [[Essai de traction|traction]], d'élasticité longitudinale, de [[Compression (physique)|compression]], de [[Flexion (matériau)|flexion]] (''E''<sub>f</sub>), souvent appelé simplement « ''module d'élasticité'' » (''E'') ;
* le [[module de cisaillement]] ou d'élasticité tangentielle, de [[torsion]] (''G''<sub>to</sub>){{etc.}} (''G'') ;
* le [[module d'élasticité isostatique]] ou de [[compressibilité]], de compression en flambage{{etc.}} (''K'') ;
* ou le [[Onde sismique|module d'onde de compression]] ou d'onde plane (''L''<ref>D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), le module en compression uniaxiale (sur feuilles minces) a pour symbole ''L''<sub>c</sub> et le module en onde de compression longitudinale a pour symbole ''L''<sub>w</sub>.</ref> ou ''M'').

Divers types de modules d'élasticité correspondant aux différents types de déformation (exemples) :

{| class="wikitable"
|-
! Nom !! Comportement du matériau !! [[Loi de comportement]]
|-
| [[Module de traction]] || Soumis à une contrainte uniaxiale <math>\rm \sigma_E</math>, l'échantillon subit une dilatation linéaire <math>\rm \varepsilon_E</math> faible par rapport à l'épaisseur. || <center><math>\sigma_\text{E} = E_\text{t} \ \varepsilon_\text{E}</math></center>
|-
| [[Module de cisaillement]] || Soumis à une [[contrainte de cisaillement]]<ref>Cisaillement, {{en anglais|shear}}, d'où la notation ''G''<sub>s</sub> pour le module correspondant.</ref> <math>\rm \sigma_C</math>, l'échantillon subit une déformation <math>\rm \varepsilon_C</math> sans changer de volume. || <center><math>\sigma_\text{C} = G_\text{s} \ \varepsilon_\text{C}</math></center>
|-
| [[Module de compressibilité mécanique]] || Soumis à une contrainte de compressibilité <math>\rm \sigma_K</math>, l'échantillon subit une variation de volume <math>\rm \varepsilon_K</math> sans changer de forme. || <center><math>\sigma_\text{K} = K \ \varepsilon_\text{K}</math></center>
|-
| [[Onde sismique|Module en déformation uniaxiale]] || Soumis à une contrainte de pseudo-compressibilité <math>\rm \sigma_M</math>, l'échantillon subit une variation de volume <math>\rm \varepsilon_M</math> sans changer de forme.<br />La déformation résultante est grande par rapport à l'épaisseur. || <center><math>\sigma_\text{M} = L \ \varepsilon_\text{M}</math></center>
|}

== Modules en régime dynamique ==
{{Article connexe|Liste de grandeurs viscoélastiques}}
[[Image:Complex modulus - French version.svg|vignette|Représentation dans le plan complexe.]]
En général, pour un matériau [[Viscoélasticité|viscoélastique]], il n'existe pas de relation contrainte <math>\leftrightarrow</math> déformation (équation rhéologique) indépendante du [[Temps (physique)|temps]] (''t''), c'est le cas notamment du rapport [[Contrainte (mécanique)|contrainte]] sur [[Déformation d'un matériau|déformation]]. Le rapport contrainte dynamique <math>\sigma(t)</math> sur déformation dynamique <math>\varepsilon(t)</math> d'un matériau viscoélastique soumis à une vibration [[Signal sinusoïdal|sinusoïdale]] est appelé ''module complexe'' ou ''module dynamique'' ou ''module viscoélastique'', noté ''M''*<ref>À ne pas confrondre avec le module d'onde de compression, ''L'' ou ''M''.</ref>
<center><math>M^*(t) = \frac {\sigma(t)} {\varepsilon(t)} = M'(t) + iM''(t) = \frac {1} {C^*(t)}</math></center>
<center><math>|M|^2 = \left( \frac {\sigma_\text{A}} {\varepsilon_\text{A}}\right )^2 = (M')^2 + (M'')^2</math></center>
avec :
: ''<nowiki>M'</nowiki>'', le ''module de conservation'', partie réelle de ''M''*, représentant la composante élastique de ''M''* et la rigidité du matériau viscoélastique ;
: ''<nowiki>M''</nowiki>'', le ''module de perte'', partie imaginaire de ''M''*, représentant la composante visqueuse de ''M''* ;
: ''C''*, la [[Complaisance (matériau)|complaisance]] complexe, pour un comportement viscoélastique linéaire ;
: <math>\sigma_\text{A}</math> et <math>\varepsilon_\text{A}</math>, les amplitudes des cycles de contrainte et de déformation, respectivement.
Les contraintes élastiques et visqueuses sont liées aux propriétés du matériau par le module.

Le schéma ci-dessus représente diverses propriétés mécaniques dynamiques dans le [[plan complexe]], dans une expérience utilisant des déformations sinusoïdales ; <math>\delta</math> est l'''[[Analyse mécanique dynamique#Facteur d'amortissement ou de perte tan δ|angle de phase]]'' entre la contrainte et la déformation.

Un matériau est considéré comme viscoélastique linéairement si, lorsqu'il est faiblement déformé, le rapport contrainte sur déformation (ou module) n'est fonction que de la [[fréquence]] (ou du temps) et de la [[température]] (''T''). À partir d'un [[Limite d'élasticité|niveau de déformation critique]], le comportement de l'échantillon est non linéaire.

Un module viscoélastique est déterminé en [[Analyse mécanique dynamique|DMA]] à partir de la géométrie et de la [[Raideur (mécanique)|raideur]] dynamique de l'[[Échantillon (matière)|échantillon]]. Par exemple, les modules viscoélastiques ''<nowiki>E'</nowiki>'' et ''<nowiki>E''</nowiki>'' d'un solide déformable peuvent être mesurés en DMA en soumettant l'échantillon à une contrainte de traction-compression ou de flexion. Les modules viscoélastiques ''<nowiki>G'</nowiki>'' et ''<nowiki>G''</nowiki>'' d'un produit solide, d'un ([[polymère]]) fondu, d'une [[Résine (constituant)|résine]], d'un [[bitume]]{{etc.}}, peuvent être mesurés en DMA ou au moyen d'un [[rhéomètre]] dynamique (hors échantillon solide dans ce dernier cas) ; la [[Caractérisation d'un matériau|caractérisation]] se fait en torsion (sur un solide) ou en cisaillement.

La [[viscosité dynamique]] ''η''' est proportionnelle à ''<nowiki>G''</nowiki>''.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* [1] Nederveen, C.J. et van der Wal, C.W., ''Rheol. Acta'', '''6''' (4), {{p.}}316 (1967)
* [2] Read, B.E. et Dean, G.D., ''The determination of dynamic properties of polymers and composites'', 207{{nb p.}}, Adam Hilger, Bristol, 1978 {{ISBN|0-85274-363-7}}

== Articles connexes ==
* [[Notion de module]]
* [[Loi de Hooke]]
* [[Déformation élastique]]
*[[Module de Young]]
* [[Coefficient de Lamé]]
* [[Essai mécanique]]
* [[Rhéologie des solides]]
* [[Complaisance (matériau)|Complaisance]]
* [[Principe d'équivalence temps-température]]
* [[Tenseur des constantes élastiques]]
* [[Facteur de forme (mécanique)|Facteur de forme]]
* [[Module de relaxation]]

{{Palette|Modules élastiques}}
{{Portail|physique|matériaux}}

[[Catégorie:Mécanique des milieux continus]]