Voir la source de Nombre d'Euler

{{ébauche|mathématiques}}
{{homon|Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler#Nombres{{!}}Nombres d'Euler}}
Les '''nombres d'Euler''' ''E{{ind|n}}'' forment une [[suite (mathématiques)|suite]] d'[[entiers naturels]]<ref>{{ouvrage|titre=Dictionnaire des mathématiques|auteur=Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais|éditeur=Puf|année=1993|page=318|isbn=2-13-045491-7}}. Certains auteurs utilisent le développement de 1/[[cosh]](''x''), pour lequel les coefficients ont des signes alternés.</ref> définis par le développement en [[série de Taylor]] suivant :

:<math>\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^{\infin}  E_n \frac{x^n}{n!} </math>

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres zig-zag.

== Premiers nombres d'Euler ==
Les nombres d'Euler d'indice [[nombres pairs et impairs|impair]] sont tous nuls. Ceux d'indice pair ({{OEIS|id=A000364}}) sont strictement positifs. Les premières valeurs sont :

:<math>E_0 =</math>  1
:<math>E_2 =</math>  1
:<math>E_4 =</math>  5
:<math>E_6 =</math>  61
:<math>E_8  =</math>  1 385
:<math>E_{10} =</math>  50 521
:<math>E_{12} =</math>  2 702 765
:<math>E_{14} =</math>  199 360 981
:<math>E_{16} =</math>  {{nombre|19391512145}}
:<math>E_{18} =</math>  2 404 879 675 441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en [[série de Taylor]] de la [[fonction trigonométrique#Sécante|fonction sécante]] (qui est la fonction dans la définition) :

:<math>\frac{1}{\cos x} = 1 + E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} + E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots</math> 

et, dans la version alternée de la série, dans celui de la [[fonction hyperbolique#Sécante hyperbolique|fonction sécante hyperbolique]] :

:<math>\frac{1}{\cosh x} = 1 - E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} - E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots</math>.

Ils apparaissent aussi en [[combinatoire]] comme nombres de configurations zig-zag de taille paire. Une configuration zig-zag de taille ''n'' est une liste de ''n'' nombres réels {{math|''z''{{ind|1}}, ... , ''z{{ind|n}}''}} tels que
:<math>z_1 > z_2 < z_3 > z_4 \dots</math>.
Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres ''z'' sont les mêmes.

Les [[polynôme de Bernoulli|polynômes d'Euler]] sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette [[Polynôme de Bernoulli#Fonctions génératrices|fonction génératrice]].

==Formules explicites==

=== Sommations ===
Une formule explicite pour les nombres d'Euler est {{refsou}} :

:<math>E_{2n}= (-1)^n\mathrm{i}\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k {k\choose j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k \mathrm{i}^k k}</math>

où [[Unité imaginaire|{{math|i}}]] est un [[nombre complexe]] tel que {{math|1=i{{2}} = −1}}.

===Sommes sur les partitions===
Le nombre  ''E''<sub>2''n''</sub> s'exprime comme une somme sur les  [[Partition d'un entier|partitions]] paires de 2''n''<ref>{{article|lang=en|prénom1=David C.|nom1= Vella|titre=Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers|journal=Integers|volume=8|numéro=1|pages=A1|année=2008|url= http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html}}.</ref> :

:<math>  E_{2n} = (-1)^n (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n}~  \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
	\delta_{n,\sum mk_m }  \left( \frac{-1~}{2!} \right)^{k_1} \left( \frac{-1~}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( \frac{-1~}{(2n)!} \right)^{k_n} ,</math>

et aussi comme une somme sur les partitions impaires de 2''n''&nbsp;−&nbsp;1<ref>{{en}} {{Lien arXiv|eprint=1103.1585|auteur= Jerome Malenfant|titre=Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers|année=2011|version=v6}}</ref> :

:<math> 	 E_{2n} =  - (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
	 \left( \begin{array} {c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
	\delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }   \left( \frac{-1~}{1!} \right)^{k_1}  \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
	   \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n}   , </math>

où, dans les deux cas, <math> K =k_1 + \cdots + k_n</math> et
:<math> \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
          \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}</math>
est un [[coefficient multinomial]]. La notation du [[Symbole de Kronecker|delta de Kronecker]] dans ces formules restreint la somme aux  ''k<sub>i</sub>'' tels que <math> 2k_1 + 4k_2 + \cdots +2nk_n=2n</math> et
<math> k_1 + 3k_2 + \cdots +(2n-1)k_n=2n-1</math>, respectivement.  

Par exemple,
:<math>
\begin{align}
E_{10} & = -10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!8!} + \frac{2}{4!6!}
	- \frac{3}{2!^2 6!}- \frac{3}{2!4!^2} +\frac{4}{2!^3 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\
& = -9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^27!} + \frac{6}{1!3!5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^45!} -\frac{10}{1!^33!^2} + \frac{7}{1!^6 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\
& = 50\,521.
\end{align}
</math>

===Avec un déterminant===
''E''<sub>2''n''</sub> est aussi donné par le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]]{{refsou}} :

:<math>
\begin{align}
E_{2n} &= (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                                                             \frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                                                 \vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                                               \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\
                                                               \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
 </math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Euler number|577586453|type=note}}
{{références}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Suite d'entiers|Euler]]
[[Catégorie:Leonhard Euler]]
[[Catégorie:Combinatoire]]