Voir la source de Nombre décagonal centré

[[File:Centered decagonal number.svg|thumb|Représentation des nombres décagonaux centrés d'indices 2, 3, 4 et 5.]]
{{Confusion|Nombre décagonal}}

En [[mathématiques]], un '''nombre décagonal centré''' est un [[nombre figuré]] [[Nombre polygonal centré|polygonal centré]] qui représente un [[décagone]] avec point central, tous les points qui l'entourent formant des couches décagonales successives. Pour tout [[Entier naturel|entier]] ''n'' ≥ 1, [[Nombre polygonal centré|le ''n''-ième nombre décagonal centré est donc]]
<center><math>C_{10,n}=1+10\ \frac{n(n-1)}2=5n^2-5n+1.</math></center>

Par conséquent, les nombres décagonaux centrés sont [[Congruence sur les entiers|congrus à 1 modulo 10]] (autrement dit : leur [[chiffre des unités]] en [[base dix]] est 1 — ils sont donc [[Parité (arithmétique)|impairs]]).

Ils forment la [[suite d'entiers]] {{OEIS2C|id=A062786}} de l'[[OEIS]] : [[1 (nombre)|1]], [[11 (nombre)|11]], [[31 (nombre)|31]], [[61 (nombre)|61]], [[101 (nombre)|101]], [[151 (nombre)|151]], [[211 (nombre)|211]], [[281 (nombre)|281]], [[361 (nombre)|361]], [[451 (nombre)|451]]{{etc.}}

En base dix, le chiffre des unités de tout diviseur d'un nombre décagonal centré est 1 ou 9. En effet, pour tout [[facteur premier]] ''p'' de 5''n''{{2}} – 5''n'' + 1, on a ''p'' > 5 et modulo ''p'', 5(2''n'' – 1){{2}} est congru à 1 donc 5 est un [[résidu quadratique]], par conséquent [[Loi de réciprocité quadratique|modulo 5, ''p'' est un carré]], si bien que ''p'' est congru à ±1 mod 5, donc aussi mod 10 (puisqu'il est impair).

La [[sous-suite]] des nombres décagonaux centrés [[Nombre premier|premiers]] est 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661{{etc.}} ({{OEIS|id=A090562}}) et leurs indices ''n'' sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12{{etc.}} (1 + {{OEIS|id=A090563}}).

{{Traduction/Référence|en|Centered decagonal number|10479217|type=note}}

{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre figuré|Decagonal Centre]]