Voir la source de Nombre de Catalan

{{Voir homonymes|Catalan (homonymie)}}
{{Confusion|Nombre de Catalan-Mersenne}}

En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[combinatoire]], les '''nombres de Catalan''' forment une [[suite d'entiers]] [[entier naturel|naturels]] utilisée dans divers problèmes de dénombrement, impliquant souvent des objets définis de façon récursive. Ils sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge [[Eugène Charles Catalan]] (1814-1894).

Le nombre de Catalan d'indice ''n'', appelé ''n''-ième nombre de Catalan, est défini par

::<math display="block">C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!} = \prod\limits_{k=2}^{n}\frac{n+k}{k} \qquad\mbox{ pour }n\ge 0.</math>

(voir [[Coefficient binomial]] et [[Jacques Touchard]]). Les dix premiers nombres de Catalan (pour ''n'' de 0 à 9) sont :
:[[1 (nombre)|1]], 1, [[2 (nombre)|2]], [[5 (nombre)|5]], [[14 (système décimal)|14]], [[42 (nombre)|42]], [[132 (nombre)|132]], [[Nombres 400 à 499#429|429]], {{nombre|1430}} et {{nombre|4862}} (pour les {{nombre|1001}} premiers, voir les liens de la {{OEIS|id=A000108}}).

== Histoire ==
La [[Suite (mathématiques)|suite]] de Catalan fut décrite pour la première fois au {{s-|XVIII}} par [[Leonhard Euler]], qui s'était intéressé au dénombrement des différentes façons de partager un polygone en triangles. La suite est nommée ainsi en l'honneur de Eugène Charles Catalan, qui découvrit la relation avec le parenthésage d'expressions pendant son étude du problème des [[tours de Hanoï]]. 

La première publication sur ces nombres est due à [[Johann Andreas Segner|Segner]] et ils prennent alors le nom de ''nombres de Segner''. [[Eugène Charles Catalan]] fit le lien avec le nombre d'expressions « parenthésées » et le nom de Catalan remplaça celui de Segner. L'astuce de comptage des mots de Dyck fut trouvée par [[Désiré André]] en 1887.

En 1988, dans la revue chinoise Neimenggu Daxue Xuebao, fut publié le fait que la suite des nombres de Catalan avait été utilisée en Chine par le mathématicien [[Minggatu|Ming Antu (ou Minggatu)]] dès 1730, lors de l'écriture de son livre ''{{Lien|Ge Yuan Mi Lu Jie Fa}}'', achevé par son élève Chen Jixin en 1774 et publié 60 ans plus tard. P. J. Larcombe  esquissa en 1999 certaines des caractéristiques du travail de Ming Antu, comme le fait qu'il utilisa la suite des nombres de Catalan pour exprimer des développements en séries de sin(2α) et sin(4α) en termes de sin(α)<ref name="Jianjin"> {{lien web|langue=en|url=http://i-wasan.jp/seki/abstract/Luo_abstract.pdf |titre=Ming'antu and His Power Series Expansions |auteur=Luo Jianjin|date= |série= |éditeur=Institute for the History of Science, Inner Mongolia Normal University; Institute of Science, Technology and Culture, Zhejiang University}}.</ref>.

== Propriétés et comportement asymptotique ==
Une autre expression pour ''C''<sub>''n''</sub> est
:<math>C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n+1} \quad\text{pour }n\ge 0,</math>
ce qui est équivalent à l'expression précédente car <math>\binom{2n}{n+1}=\frac n{n+1}\binom{2n}n</math>. Cela montre que ''C<sub>n</sub>'' est un [[entier naturel]], ce qui n'est pas évident de prime abord à partir de la première formule. 

Les nombres de Catalan satisfont aussi la relation de récurrence 
:<math>C_0 = 1 \quad \mbox{et} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\text{pour }n\ge 0.</math>

De plus,
:<math>C_n= \frac 1{n+1} \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2.</math>

Cela est dû au fait que  <math> {2n\choose n} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 </math>. Ils satisfont 
<math>C_0 = 1</math> et <math>C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n</math>,
ce qui peut être un moyen plus efficace pour les calculer.

La [[formule de Stirling]] permet de calculer un [[équivalent]] asymptotique de la suite des nombres de Catalan<ref>On trouvera une analyse plus précise de ce développement asymptotique dans {{Harvsp|FS|texte=''{{Lang|en|Analytic Combinatorics}}''|p=383}}.</ref> :
:<math>C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}</math>

Un résultat dû à [[Ernst Kummer]] donne que les seuls nombres de Catalan ''C''<sub>''n''</sub> impairs sont ceux pour lesquels ''n''&nbsp;=&nbsp;2<sup>''k''</sup>&nbsp;−&nbsp;1.  Tous les autres sont pairs.

== Applications en combinatoire ==
Il existe de nombreux problèmes combinatoires dont la solution est donnée par les nombres de Catalan. Les nombres de Catalan peuvent être interprétés de différentes façon dont voici quelques exemples :
* ''C{{ind|n}}'' est égal au nombre de ''mots de Dyck'' de longueur 2''n''.
*''C{{ind|n}}'' est également le nombre de façons différentes de placer des parenthèses autour de ''n'' + 1 facteurs, pour préciser une expression faisant intervenir ''n'' fois une [[loi de composition interne]] non [[associativité|associative]].
*''C{{ind|n}}'' est également le nombre d'[[arbre binaire|arbres binaires entiers]] à ''n'' + 1 feuilles.
*''C{{ind|n}}'' est aussi égal au nombre de façons de [[Triangulation d'un polygone|découper en triangles]] un [[polygone convexe]] à ''n''+2 côtés en reliant certains de ses sommets par des segments de droite.
*''C{{ind|n}}'' est le nombre de ''chemins monotones'' le long des arêtes d'une grille à ''n'' × ''n'' carrés, qui restent sous (ou au niveau de) la diagonale.
*''C{{ind|n}}'' est le nombre de trajectoires de longueur 2''n'' + 1 d'une [[marche aléatoire|marche aléatoire simple]] qui ont la propriété d'aller de la hauteur 0 à la hauteur 1 en restant négatif ou nul lors des 2''n'' premières étapes.
*''C{{ind|n}}'' est le nombre d'[[Arbre (graphe)#Arbre comme carte|arbres planaires]] enracinés à ''n'' arêtes. 

=== Mots de Dyck ===
Un mot de Dyck est une [[chaîne de caractères]] formée de ''n'' lettres ''X'' et de ''n'' lettres ''Y'', telle qu'aucun [[Affixe|préfixe]] (mot obtenu en supprimant les dernières lettres à partir d'un rang quelconque) ne contienne plus de ''Y'' que de ''X''. Autrement dit, lorsque nous parcourons un mot de Dyck de gauche à droite, le nombre de ''X'' rencontrés est toujours supérieur ou égal au nombre de ''Y''. Par exemple, les mots de Dyck de la longueur 6 sont:
<center><math>XXXYYY,\quad XYXXYY,\quad XYXYXY,\quad XXYYXY,\quad XXYXYY.</math></center>
En l'occurrence, ''C''<sub>3</sub>= 5.

Assimilant ''X'' à une parenthèse ouvrante et ''Y'' à une parenthèse fermante, un mot de Dyck de longueur 2''n'' peut être vu comme une expression formée de ''n'' paires de parenthèses correctement assemblées : ((())), ()(()), ()()(), (())(), (()()) ; voir aussi [[Langage de Dyck]]. Les mots de Dyck peuvent être naturellement représentés comme des chemins dans un quadrillage de ''n''+1 points par ''n''+1 points, reliant certains points par les traits verticaux et horizontaux. Ces chemins commencent dans le coin inférieur gauche, et se terminent dans le coin supérieur droit, en allant toujours vers le haut ou vers la droite, mais ne passant jamais au-dessus de la diagonale principale. ''X'' représente alors un « déplacement vers la droite » et ''Y'' représente un « déplacement vers le haut ».<br />Nous pouvons compter les mots de Dyck avec l'astuce suivante appelée principe de symétrie : intéressons-nous aux mots contenant ''n'' ''X'' et ''n'' ''Y'' qui ne sont pas des mots de Dyck. Dans de tels mots, déterminons le premier ''Y'' qui brise la condition de Dyck, puis modifions toutes les lettres qui suivent ce ''Y'', en échangeant ''X'' avec ''Y'' et ''vice versa''. Nous obtenons un mot avec ''n''+1 ''Y'' et ''n''-1 ''X'', et en fait tous les mots comportant  ''n''+1 ''Y'' et ''n''-1 ''X'' peuvent être obtenus par ce moyen et de manière unique. Le nombre de ces mots est le nombre de façons de placer les ''n''-1 ''X'' dans 2''n'' emplacements et est égal à
:<math>{2n \choose n-1}</math>

ce qui donne le nombre de mots qui ne sont pas de Dyck ; le nombre de mots de Dyck est égal à
:<math>{2n \choose n}-{2n \choose n-1}</math>
qui est le ''n''-ième nombre de Catalan ''C''<sub>''n''</sub>.

Notons que ce dénombrement est celui posé dans le [[Problème du scrutin#Problème du scrutin au sens large|problème du scrutin au sens large]].

=== Calcul de produits ===
==== Produits non associatifs ====
''C{{ind|n}}'' est le nombre de façons différentes de placer des parenthèses autour de ''n'' + 1 facteurs, pour préciser une expression faisant intervenir ''n'' fois une [[loi de composition interne]] non [[associativité|associative]]. Pour ''n'' = 3 par exemple, nous obtenons 5  façons  différentes de placer des parenthèses autour de 4 facteurs: a(b(cd)), a((bc)d), (ab)(cd), (a(bc))d, ((ab)c)d.

==== Multiplication de matrices enchaînées ====
''C{{ind|n}}'' est le nombre de manières de parenthéser un produit de <math>n + 1</math> matrices. Le [[produit matriciel]] étant associatif chaque parenthésage donne le même résultat mais pas nécessairement avec le même nombre de [[multiplication|multiplications scalaires]] à effectuer. Dans la pratique, cela peut rendre nécessaire l'utilisation d'[[Algorithme de multiplication de matrices enchaînées|algorithmes de multiplication de matrices enchaînées]].

=== Triangulations d'un polygone ===
''C{{ind|n}}'' est aussi égal au nombre de façons de [[Triangulation d'un polygone|découper en triangles]] un [[polygone convexe]] à ''n'' + 2 côtés en reliant certains de ses sommets par des segments de droite.
[[Image:Catalan number polygons example.png|thumb|center|Pour ''n'' = 3, un polygone à ''n'' + 2 sommets est un pentagone : le nombre de ses triangulations est ''C''<sub>3</sub> = 5.]]

=== Arbres binaires entiers ===
''C{{ind|n}}'' est également le nombre d'[[arbre binaire|arbres binaires entiers]] à ''n'' + 1 feuilles 
(c'est-à-dire à 2''n'' arêtes). La correspondance entre ''les produits non associatifs'', ''les triangulations d'un polygone'' et ''les arbres binaires entiers'' est illustré sur l'image ci-dessous.
[[Image:Bijections Catalan S.png|thumb|center|Illustration de la bijection entre les triangulations d'un polygone, les produits non associatifs et les arbres binaires (pour ''n''=4).]]

=== Partitions non croisées ===
''C{{ind|n}}'' est également le nombre de {{Lien|Partition non croisée|trad=Noncrossing partition|texte=partitions non croisées}} de l'ensemble {1, … , ''n''}. ''A fortiori'', ''C''<sub>''n''</sub> n'excède jamais le ''n''-ième [[nombre de Bell]], ce qui était asymptotiquement attendu, puisque les nombres de Bell croissent bien plus vite que ''2<sup>2 n</sup>'', une autre borne des nombres de Catalan, découlant par exemple de leur définition comme nombre de mots de Dyck de longueur ''2 n''.

=== Chemins sous-diagonaux dans le carré ===
''C''<sub>''n''</sub> est le nombre de '''chemins monotones''' le long des arêtes d'une grille à ''n'' × ''n'' carrés, qui restent sous (ou au niveau de) la diagonale. Un chemin monotone part du coin Sud-Ouest, arrive dans le coin Nord-Est, et est constitué d'arêtes dirigées à droite ou vers le haut. Un mot de Dyck encode un tel chemin de la manière suivante : X signifie « va à droite » et Y signifie « monte ». Les diagrammes ci-dessous représentent le cas ''n'' = 4 :
[[Image:Catalan number 4x4 grid example.svg|450px|center]]

=== Trajectoires de la marche aléatoire simple ===
[[Image:Contourprefix.png|thumb|right|Bijection entre chemins et arbres planaires.]]
''C{{ind|n}}'' est le nombre de trajectoires de longueur 2''n'' + 1 d'une [[marche aléatoire|marche aléatoire simple]] qui ont la propriété d'aller de la hauteur 0 à la hauteur 1 en restant négatif ou nul lors des 2''n'' premières étapes. On peut voir cela en faisant pivoter de 45 degrés le chemin entre les deux coins d'un carré décrit lors du premier exemple. C'est aussi le nombre de trajectoires de longueur 2''n'' + 2 allant de la hauteur 0 à la hauteur 0 en restant strictement positives lors des 2''n'' + 1 étapes intermédiaires, ou encore le nombre de trajectoires de longueur 2''n'' allant de la hauteur 0 à la hauteur 0 en restant positives ou nulles lors des 2''n'' – 1 étapes intermédiaires. Dans ce dernier cas on peut coder la trajectoire par une suite de 2''n'' [[Signes plus et moins|signes + et –]] (pour ''montée'' et ''descente''), la condition de positivité se traduisant par le fait que cette suite est un mot de Dyck (car chaque préfixe a plus de montées que de descentes). Ainsi, pour la marche aléatoire simple, la probabilité que le premier temps de retour en 0, partant de 0, ait lieu à l'instant 2''n'' + 2, est <math>2C_n p^{n+1}(1-p)^{n+1}</math>, le facteur 2 prenant en compte les trajectoires strictement négatives en plus des trajectoires strictement positives. De même, la probabilité que le premier temps d'atteinte de 1, partant de 0, ait lieu à l'instant 2''n'' + 1, est <math>C_n p^{n+1}(1-p)^n</math>.

=== Arbres planaires ===
''C{{ind|n}}'' est le nombre d'[[Arbre (graphe)#Arbre comme carte|arbres planaires]] enracinés à ''n'' arêtes. La bijection avec les mots de Dyck, ou encore avec les trajectoires de marches aléatoires, est donnée très visuellement par un parcours extérieur de l'arbre. La trajectoire obtenue est le graphe de la fonction qui à chaque coin (secteur angulaire délimité par un sommet et deux arêtes contigües issues de ce sommet) associe la hauteur du sommet (la distance du sommet à la racine). Les coins sont parcourus dans l'ordre correspondant au parcours autour de l'arbre (voir figure ci-contre). Chaque sommet est visité autant de fois qu'il y a de coins issus de ce sommet, {{c.-à-d.}} le nombre de visites à un sommet est le degré de ce sommet ; à titre d'exception, le nombre de visites à la racine est son degré plus un (plus le retour final à la racine, qui revient à visiter deux fois le coin origine). Ainsi le nombre de pas de la marche est la somme des degrés du graphe, {{c.-à-d.}} deux fois le nombre d'arêtes du graphe.
[[Image:BijectionCatalan.png|thumb|center|Bijection entre les 5 arbres à 3 arêtes (ligne supérieure), les 5 trajectoires positives de longueur 6 (ligne intermédiaire) et les mots de Dyck correspondants (ligne inférieure).]]

=== Bijections entre les exemples ===
Les ensembles décrits plus haut qui sont à ''C{{ind|n}}'' éléments sont clairement en bijection les uns avec les autres. 

Les bijections entre deux ensembles symétriques (produits non associatifs, triangulations d'un polygone, arbres binaires entiers) sont décrits plus haut. De même les bijections entre deux ensembles latéralisés (mots de Dyck, chemins monotones sous la diagonale, marches aléatoires positives, arbres planaires) sont décrits dans les sections précédentes.
La bijection entre les arbres binaires entiers à 2''n'' arêtes et les arbres planaires à ''n'' arêtes se fait en contractant soit les arêtes gauches, soit les arêtes droites de l'arbre binaire. D'où les appellations « symétriques » et « latéralisés ».
[[Image:Catalan bijection tree SL.png|thumb|center|Contractions gauche et droite d'un arbre binaire vers deux arbres planaires.]]
L'image suivant illustre les différentes bijections avec un exemple concret : 
[[Image:Catalan bijections.png|thumb|center|Illustrations des différentes bijections entre les ensembles à ''C{{ind|n}}'' éléments (ici ''n'' = 4).]]

== Relations de récurrence ==
* Comme vu précédemment, les nombres de Catalan satisfont la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]]{{Retrait|<math>C_0 = 1 \qquad \mbox{et pour}\quad n\ge 1 \qquad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i}.</math>}}Ceci vient du fait que tout mot de Dyck ''w'' de longueur supérieure à 2 peut s'écrire de  manière unique sous la forme{{Retrait|<math>w= Xw_1Yw_2,</math>}}où  ''w''<sub>1</sub> et ''w''<sub>2</sub> désignent des mots de Dyck (éventuellement vides). La [[série génératrice]] des nombres de Catalan est définie par{{Retrait|<math>c(x)=\sum_{n=0}^\infty C_n x^n</math>}}et en utilisant la relation de récurrence ci-dessus, on voit que{{Retrait|<math>c(x)=1+xc(x)^2</math>}}et par conséquent{{Retrait|<math>c(x) = \frac{1-(1-4x)^{1/2}}{2x}</math><ref group = n>Cette écriture est parfaitement rigoureuse dans le cadre des [[série formelle|séries formelles]] ; si on interprète <math>c(x)</math> comme une [[série entière]], l'expression asymptotique de <math>C_n</math> montre que le [[rayon de convergence]] de la série est 1/4, et que sur l'intervalle réel <math>[-1/4,1/4]</math>, on a <math>c(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</math>, en prolongeant le membre de droite en 0 par la valeur 1.</ref>;}}réciproquement, partant de la série génératrice, on obtient aisément la formule explicite des <math>C_n</math> en utilisant le développement de Newton de <math>(1-4x)^{1/2}</math> ; ce passage d'une relation de récurrence à une formule explicite est une des utilisations les plus importantes des séries génératrices.
* D'autre part, ils satisfont la relation de récurrence{{Retrait|<math>C_0 = 1 \qquad C_n = \frac{2(2n-1)}{n+1} C_{n-1},</math>}}qui permet aussi de retrouver la série génératrice, en effet, cette relation montre que <math>c(x)</math> est la solution de l'équation différentielle{{Retrait|<math> (x-4x^2) c'(x) + (1-2x) c(x) - 1 = 0</math>}}qui vaut 1 en 0.

== Matrice de Hankel ==
La [[matrice  de Hankel]] d'ordre ''n'' dont le terme  (''i'',&nbsp;''j'') est le nombre de Catalan ''C''<sub>''i''+''j''−2</sub> a pour déterminant 1, indépendamment de la valeur de ''n''. 
Ainsi, pour ''n'' = 4, nous avons<center><math>\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132\end{pmatrix} = 1.</math></center>

De plus, si les termes sont « décalés », en prenant les nombres de  Catalan  ''C''<sub>''i''+''j''−1</sub>, le déterminant est toujours 1, indépendamment de la valeur de ''n''<ref group = n>En revanche, ce n'est plus le cas pour un décalage de 2 lignes : <math>\det\begin{pmatrix}2&5\\5&14\end{pmatrix} = 3</math>.</ref>. 
Ainsi, pour ''n'' = 4, nous avons<center><math>\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132 \\ 14 & 42 & 132 & 429 \end{pmatrix} = 1 .</math></center> 

La suite des nombres de Catalan est la seule suite de nombres<ref group = n>L'existence et l'unicité d'une telle suite se démontre aisément par récurrence, mais il est nettement moins aisé de vérifier qu'on obtient ainsi la suite des nombres de Catalan.</ref> ayant cette double propriété.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Catalan number|3992376|type=note}}
=== Notes ===
{{Références|group = n}}

=== Références ===
<references/>

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Nombre de Delannoy]]
* {{Lien|trad=Fuss–Catalan number|Nombre de Fuss-Catalan}}
=== Bibliographie ===
* {{Enumerative Combinatorics|vol=1 et 2}}
*{{Analytic Combinatorics}}
===Lien externe===
{{MathWorld|nom_url=CatalanNumber|titre=Catalan Number}}

{{Portail|mathématiques}}
{{DEFAULTSORT:Catalan}}
[[Catégorie:Combinatoire]]
[[Catégorie:Suite d'entiers]]