Voir la source de Nombre de Fermat

[[Fichier:Pierre de Fermat.jpg|thumb|Le [[mathématicien]] [[France|français]] [[Pierre de Fermat]] ([[1601]]-[[1665]]) étudia les propriétés des nombres portant maintenant son nom.]]

Un '''nombre de Fermat''' est un [[nombre]] qui peut s'écrire sous la forme 2<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1, avec ''n'' [[entier naturel]]. Le ''n''-ième nombre de Fermat, 2<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1, est noté ''F<sub>n</sub>''.

Ces nombres doivent leur nom à [[Pierre de Fermat]], qui émit la [[conjecture]] que tous ces nombres étaient [[nombre premier|premiers]]. Cette conjecture se révéla fausse, ''F''<sub>5</sub> étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à ''F''<sub>32</sub>. On ne sait pas si les nombres à partir de ''F''<sub>33</sub> sont premiers ou composés. Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont donc ''F''<sub>0</sub> , ''F''<sub>1</sub> , ''F''<sub>2</sub> , ''F''<sub>3</sub> , et ''F''<sub>4</sub> : 3, 5, 17, 257, et 65 537.

Les nombres de Fermat disposent de propriétés intéressantes, en général issues de l'[[arithmétique modulaire]]. En particulier, le [[théorème de Gauss-Wantzel]] établit un lien entre ces nombres et la [[construction à la règle et au compas]] des [[polygone]]s réguliers : un polygone régulier à ''n'' côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si ''n'' est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.

== Histoire ==
En [[1640]], dans une lettre adressée à [[Bernard Frénicle de Bessy]], Pierre de Fermat énonce [[Petit théorème de Fermat|son petit théorème]] et commente : {{Citation|''Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long''<ref>Lettre XLIV à Frénicle, 18 octobre 1640, dans {{ouvrage | id = Œuvres de Fermat, t. 2 | titre = Œuvres de Fermat | lien éditeur = Gauthier-Villars | éditeur = Gauthier-Villars | lieu = Paris | année = 1894 | tome = 2 | pages totales = | lire en ligne = https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm|page=209}}.</ref>.}} Ce théorème lui permet d'étudier les nombres portant maintenant son nom. Dans cette même lettre<ref>Dans une autre lettre à Frénicle il écrit aussi : {{Citation|''Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, '''4 294 967 297''' et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n'en ai pas la démonstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine à me dédire.''}}, Lettre XLIII, août ? 1640, dans {{harvsp|Œuvres de Fermat, t. 2|p=206}}.</ref>, il émet la conjecture que ces nombres sont tous premiers mais reconnaît : {{Citation|''je n'ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition''}}. Cette hypothèse le fascine ; deux mois plus tard, dans une lettre à [[Marin Mersenne]], il écrit : {{Citation|''Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part''<ref>Lettre XLV, 25 décembre 1640, dans {{harvsp|Œuvres de Fermat, t. 2|p=[https://archive.org/stream/oeuvresdefermat942ferm#page/213/ 213]}}. [[Édouard Lucas]], dans ses ''Récréations mathématiques'', tome II, [http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3944&I=241 p. 234] donne cette citation infidèle (7 n'a pas à être dans la liste) : {{Citation|Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537 sont nombres premiers […]}}.</ref>.}} Il écrit encore à [[Blaise Pascal]] : {{Citation|''je ne vous demanderais pas de travailler à cette question si j'avais pu la résoudre moi-même''}}. Dans une lettre à [[Kenelm Digby]], non datée mais envoyée par Digby à [[John Wallis]] le 16 juin 1658, Fermat donne encore sa conjecture<ref>{{Citation étrangère|lang=la|Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt termini progressionis geometricæ ejusdem numeri 2, unitate auctae, sunt numeri primi}} ({{Citation|Toutes les puissances du nombre 2 dont les exposants sont des termes de la progression géométrique du même nombre 2, donnent, si on les augmente d'une unité, des nombres premiers.}})</ref> comme non démontrée<ref>{{Citation étrangère|lang=la|propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non diffitemur […] Quaeritur demonstratio illius propositionis, pulchræ sane, sed et verissimæ}} ({{Citation|quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la démonstration […] Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie}}), lettre XCVI dans {{harvsp|Œuvres de Fermat, t. 2|p=402-405}}.</ref>. Toutefois, dans une lettre de [[1659]] à [[Pierre de Carcavi]]<ref>Lettre CI, point 5, dans {{harvsp|Œuvres de Fermat, t. 2|p=433-434}}. Fermat énumère des questions qui se traitent par sa méthode de la descente infinie. Il place parmi ces questions sa conjecture (erronée) sur les nombres dits depuis ''nombres de Fermat'' et il ne dit plus, comme il l'avait fait dans des lettres antérieures, qu'il n'a pas encore trouvé de démonstration de cette conjecture.</ref>, il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvé une démonstration<ref>C'est l'interprétation que donne [[Harold Edwards|H.M. Edwards]], ''Fermat's Last Theorem'', Springer, 1977, p. 24, prenant position contre les vues contraires de [[Eric Temple Bell|E.T. Bell]], ''The Last Problem'', New York, 1961, p. 256.</ref>. Si Fermat a soumis cette conjecture à ses principaux correspondants, elle est par contre absente des ''[[Arithmetica|Arithmétiques]]'' de [[Diophante]] rééditées en 1670, où son fils retranscrivit les quarante-sept autres conjectures qui furent plus tard prouvées. C'est la seule conjecture erronée de Fermat.

En [[1732]], le jeune [[Leonhard Euler]], à qui [[Christian Goldbach]] avait signalé cette conjecture trois ans auparavant<ref name=Sandifer>{{Lien web|lang=en|titre=How Euler did it — Factoring ''F''{{ind|5}}|auteur=E. Sandifer|mois=3|year=2007|site=eulerarchive.[[Mathematical Association of America|maa]].org|url=http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2007-03.pdf}}.</ref>, la réfute<ref>{{Article|lang=la|auteur=L. Euler|titre=Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus|revue=Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae|vol=6<!--|year=1738-->|p.=102-103|year=1732|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E026.html}}.</ref> : ''F''<sub>5</sub> est divisible par 641. Il ne dévoile la construction de sa preuve<ref>{{Article|lang=la|auteur=L. Euler|titre=Theoremata circa divisors numerorum|revue=Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae|vol=1|year=1750|p.=20-48 |url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E134.html}} (présenté en 1747/48).</ref> que quinze ans plus tard. Il y utilise une méthode similaire à celle<ref>Décrite dans {{MacTutor|class=HistTopics|id=Perfect_numbers|title=Perfect numbers}}</ref> qui avait permis à Fermat de [[Factorisation|factoriser]] les [[Nombre de Mersenne premier|nombres de Mersenne]] ''M''{{ind|23}} et ''M''{{ind|37}}<ref>Fermat, dans sa lettre XL à Mersenne de juin ? 1640 {{harv|Œuvres de Fermat, t. 2|p=195-199}}, découvre pour ''M''{{ind|37}} le diviseur 6 × 37 + 1, après avoir détaillé sa méthode sur l'exemple connu ''M''{{ind|11}} = 23 × 89. Dans sa lettre XLIII à Frénicle (août ? 1640) déjà citée, il signale de plus, pour ''M''{{ind|23}}, le diviseur 47.</ref>.

Il est probable que les seuls nombres premiers de cette forme soient 3, 5, 17, 257 et {{nombre|65537}}, car Boklan et [[John H. Conway|Conway]]<ref>{{Article | langue = en |nom= Boklan | prénom= Kent D. |nom2 = Conway | prénom2 = John H.  | titre = Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!| périodique=[[The Mathematical Intelligencer]]| volume = | titre volume = | numéro = | titre numéro =| mois = | année = 2017| pages = | issn =| lire en ligne  =  https://arxiv.org/pdf/1605.01371v2.pdf|consulté le = 8 mai 2016 | arxiv = 1605.01371v2|doi=10.1007/s00283-016-9644-3}}.</ref> ont prépublié en mai 2016 une analyse très fine estimant la probabilité d'un autre nombre premier à moins d'un sur un milliard.

== Propriétés ==
=== Premières propriétés ===
La suite des nombres de Fermat possède plusieurs [[Relation de récurrence|relations de récurrence]]. On peut citer par exemple si ''n'' est supérieur ou égal à 2 :
:<math>F_n \ = \ (F_{n - 1} -1)^2 + 1 \quad{\rm ou}\quad F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2</math>
ou encore, avec des produits de nombres de Fermat :
:<math>F_n \ = \ \prod_{i=0}^{n-1} F_i  \ + \ 2 \quad{\rm ou}\quad F_n=F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}\prod_{i=0}^{n-2} F_i.</math>

On en déduit le '''théorème de Goldbach'''<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Leonid Durman|auteur2=Luigi Morelli|url=http://www.fermatsearch.org/history.html|titre=History — All researchers of Fermat numbers, who found at least one factor|site=Distributed search for Fermat number divisors}}.</ref> affirmant que :
{{énoncé|Deux nombres de Fermat distincts sont [[premiers entre eux]].}}

Soit ''D''(''n'', ''b'') le nombre de chiffres utilisés pour écrire ''F<sub>n</sub>'' en [[Base (arithmétique)|base]] ''b''.
:<math>D(n,b) = \left\lfloor \log_{b}\left(2^{2^{\overset n{}}}+1\right)+1 \right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log_b2+1 \rfloor.</math> 
Les crochets désignent la fonction [[partie entière]] et log<sub>''b''</sub> le [[logarithme]] de base ''b''.

Les nombres de Fermat premiers ne sont pas des [[nombre brésilien|nombres brésiliens]] alors que les nombres de Fermat composés sont tous des [[nombre brésilien|nombres brésiliens]]<ref> B. Schott, [https://oeis.org/A125134/a125134.pdf], Les nombres brésiliens, [[Quadrature (revue)|Quadrature]], n° 76, 2010, Prop. 3 p.36.</ref>.

{{Démonstration|titre=Démonstrations|contenu=
* <math>F_n \ = \ (F_{n - 1} -1)^2 + 1 \quad{\rm ou}\quad F_n = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-\ 1)^2.</math><br />En effet :<br /><math>F_n \ = \ 2^{2^n} + 1 \ = \ (2^{2^{n-1}})^2 + 1 \ = \ (F_{n-1} \ - \ 1)^2 + 1 \ = \ F_{n-1}^2 - 2F_{n-1} + 2 \ = \ F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}\ -\ 1)^2.</math>
* <math>F_n \ = \ \prod_{i=0}^{n-1} F_i  \ + \ 2 \quad{\rm ou }\quad F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}\prod_{i=0}^{n-2} F_i.</math><br />Une récurrence et l'égalité suivante permet de calculer le premier produit :<br /><math>F_n - 2 = (F_{n-1} \ - 1)^2 - 1 \ = \ F_{n-1}(F_{n-1} -2).</math><br />La seconde égalité s'en déduit :<br /><math>F_n = 2^{2^n} + 1 \ = \ 2^{2^{n-1}} + 1 + 2^{2^{n-1}}(2^{2^{n-1}} -1) \ = \ F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}(F_{n-1} - 2)=
F_{n-1} \ + \ 2^{2^{n-1}}\prod_{i=0}^{n-2} F_i.</math><br />
* '''Deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.'''<br />Soit ''n'' et ''m'' deux entiers positifs tels que ''n'' est strictement plus grand que ''m''. Montrons que le seul facteur commun à ''F<sub>n</sub>'' et ''F<sub>m</sub>'' est 1. Un calcul précédent montre que<br /><math>F_n = qF_m + 2  \quad{\rm si}\quad  q = \left( \prod_{i=0}^{m-1} F_i \right)\left( \prod_{i=m+1}^{n-1} F_i \right) </math><br />donc un diviseur commun à ''F<sub>n</sub>'' et ''F<sub>m</sub>'' est aussi un diviseur de 2. Or 2 ne divise pas ''F<sub>n</sub>''. Ces trois entiers sont donc premiers entre eux deux à deux.
* <math>D(n,b) = \left\lfloor \log_{b}\left(2^{2^n}+1\right)+1 \right\rfloor \approx \left\lfloor 2^{n}\,\log_{b}2+1 \right\rfloor.</math><br />Il suffit de remarquer que le nombre de chiffres nécessaire pour écrire un entier ''a'' en base ''b'' est égal à la partie entière de log<sub>''b''</sub>(''a''). 
}}

=== Nombre de Fermat et primalité ===

La raison historique de l'étude des nombres de Fermat est la recherche de nombres premiers. Fermat connaissait déjà la proposition suivante<ref>{{harvsp|Boklan|Conway|2017}} appellent {{Citation|nombres premiers de Ferma''t''}} (avec un ''t'' en italique) les nombres premiers de la forme 2<sup>''k''</sup> + 1 avec ''k'' entier positif ''ou nul'', qui sont donc 2 et les « vrais » nombres premiers de Fermat.</ref> :

{{énoncé|Soit ''k'' un entier strictement positif ; si le nombre 2<sup>''k''</sup> + 1 est premier, alors ''k'' est une puissance de 2.}}
{{Démonstration/début}}Il existe deux entiers ''a'' impair et ''b'' tels que ''k'' = ''a ''2<sup>''b''</sup>. En posant ''c ''= 2<sup>(2<sup>''b''</sup>)</sup>, on dispose alors des égalités suivantes :
:<math>1+2^k =1 + c^a= (1 + c)\sum_{i=0}^{a-1} (-1)^i c^i,</math><br /> 
qui montrent que 1 + ''c'' est un diviseur du nombre premier 1 + 2<sup>''k''</sup> et donc lui est égal, si bien que ''k ''= 2<sup>''b''</sup>.
{{Démonstration/fin}}
Fermat a conjecturé (erronément, comme on l'a vu) que la réciproque était vraie ; il a montré que les cinq nombres
:<math>F_0=2^1+1=3,\quad F_1=2^2+1=5,\quad F_2=2^4+1=17,\quad F_3=2^8+1=257\quad{\rm et}\quad F_4=2^{16}+1=65\,537\quad\text{sont premiers.}</math>

Actuellement, on ne connaît que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cités ci-dessus. 

On ignore encore s'il en existe d'autres, mais on sait que les nombres de Fermat ''F<sub>n</sub>'' , pour ''n'' entre 5 et 32, sont tous composés ; ''F''<sub>33</sub> est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s'il est premier ou composé.

En 2013<ref>Pour des résultats plus récents, voir par exemple {{Lien web|lang=en|url=http://www.prothsearch.net/fermat.html|titre=Prime factors  ''k''•2{{exp|''n''}} + 1  of Fermat numbers ''F{{ind|m}}'' and complete factoring status|auteur=Wilfrid Keller|mois=4|year=2015}}.</ref>, le plus grand ''nombre de Fermat'' dont on savait qu'il est composé était : ''F''<sub>2 747 497</sub> ; l'un de ses diviseurs est le [[nombre premier de Proth]] 57×2<sup>2 747 499</sup> + 1<ref>{{lien web|lang=en|titre=PrimeGrid’s Proth Prime Search - 57*2^2747499+1 (official announcement)|url=http://www.primegrid.com/download/PPS-2747497.pdf|périodique=Primegrid|date=13 mai 2013}}.</ref>.

=== Factorisation des nombres de Fermat composés ===
Euler démontre le théorème :
{{énoncé|Tout facteur premier d'un nombre de Fermat ''F<sub>n</sub>'' est de la forme ''k''.2{{exp|''n''+1}} + 1, où ''k'' est un entier.}}
Ceci lui permet de trouver rapidement :
{{énoncé|<math>F_5=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\times6\,700\,417</math> ([[semi-premier]]<ref name=Sandifer/>). 
<math>(641=10\times2^{5+1}+1)</math>}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
* '''Tout facteur premier ''p'' d'un nombre de Fermat ''F<sub>n</sub>'' est de la forme ''k''.2<sup>''n''+1</sup> + 1, où ''k'' est un entier.'''<br />Modulo ''p'', ''F<sub>n</sub> ''est [[congruence sur les entiers|congru]] à 0 donc 2<sup>2<sup>''n''</sup></sup> est congru à –1, si bien que l'[[ordre multiplicatif]] de 2 dans l'[[anneau Z/nZ|anneau ℤ/''p''ℤ]] est égal à {{nobr|2<sup>''n''+1</sup>.}} Or cet ordre multiplicatif est un diviseur de {{nobr|''p ''– 1}}, ce qui termine la démonstration.
* <math>F_5=641\times6~700~417.</math><br />On peut le vérifier par un simple calcul, mais expliquons comment Euler découvrit le diviseur 641. On cherche un entier ''k'' tel que le nombre ''p'' = 64''k'' + 1 soit à la fois premier et diviseur strict de ''F''{{ind|5}}. Les premières valeurs de ''k'' ne conviennent pas, mais dès ''k'' = 10, on constate que {{nobr|1=''p'' = 641}} est premier et que modulo ''p'',<br /><math>-~2^4\equiv5^4\text{ donc }-2^{32}\equiv5^4\times2^{28}=(5\times2^7)^4=640^4\equiv(-1)^4=1\text{ et }F_5\equiv0</math>.
{{Démonstration/fin}}

Le cas général est un problème difficile du fait de la taille des entiers ''F<sub>n</sub>'' , même pour des valeurs relativement faibles de ''n''. En 2015, le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est ''F''<sub>11</sub><ref>{{en}} Richard P. Brent, [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.70.6415&rep=rep1&type=pdf ''Factorization of the Tenth and Eleventh Fermat Numbers''], février 1996.</ref>, dont le plus grand des cinq diviseurs premiers a 564 chiffres (la factorisation complète de ''F<sub>n</sub>'' , pour ''n'' entre 5 et 10, est, elle aussi, entièrement connue). En ce qui concerne ''F''<sub>12</sub> , on sait qu'il est composé ; mais c'est, en 2015, le plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complète<ref>Depuis le 27 mars 2010, on connaît six des diviseurs premiers de ''F''<sub>12</sub> , mais toujours pas sa décomposition complète. Voir [http://caramel.loria.fr/f12.txt].</ref>. Quant à ''F''<sub>20</sub> , c'est, en 2015, le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaisse aucun diviseur premier<ref>Avant 2010, le plus petit tel nombre était ''F''<sub>14</sub> . Le 3 février 2010, un diviseur à 54 chiffres de ''F''<sub>14</sub> a été découvert par Tapio Rajala, Département de Mathématiques et Statistiques, [[Université de Jyväskylä]], Finlande. Voir [http://www.prothsearch.net/fermat.html le site prothsearch] et [http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=13051 mersenneforum] : ''k''.2{{16}} + 1, où [http://www.fermatsearch.org/news.html ''k'' est un nombre à 49 chiffres].</ref>.

=== Série des inverses des nombres de Fermat ===
La [[Série (mathématiques)|série]] des inverses des nombres de Fermat est [[Série convergente|convergente]] et sa somme <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^{2^n}+1}\approx 0{,}596</math><ref>Suite {{OEIS2C|A051158}} de l'[[OEIS]].</ref> est [[Nombre irrationnel|irrationnelle]]<ref>{{Article|lang=en
| périodique=[[Journal canadien de mathématiques|Canad. J. Math.]]
| volume = 15
| auteur   = [[Solomon W. Golomb]]
| url     = https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf
| titre   = On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities
| pages= 475-478
|année=1963
}}.</ref> et même [[nombre transcendant|transcendante]]<ref>{{article|lang=en|prénom=D.|nom=Duverney|titre=Transcendence of a fast converging series of rational numbers|revue=Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.|volume=130|année=2001|numéro=2|p.=193-207}}.</ref>. Ces résultats viennent de ce que cette somme est  [[Nombre de Liouville#Mesure d'irrationalité d'un réel|trop bien approchée par des rationnels]].

== Polygone régulier ==
{{Article détaillé|Théorème de Gauss-Wantzel}}
[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] et [[Pierre-Laurent Wantzel|Wantzel]] ont établi un lien entre ces nombres et la [[construction à la règle et au compas]] des [[Polygone régulier|polygones réguliers]] : un polygone régulier à ''n'' côtés est constructible si et seulement si ''n'' est le produit d'une puissance de 2 (éventuellement égale à 2<sup>0</sup> = 1) et d'un nombre fini (éventuellement nul) de nombres de Fermat premiers distincts. 

Par exemple, le [[pentagone]] régulier est constructible à la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de même, un polygone à 340 côtés est constructible à la règle et au compas puisque 340 = 2<sup>2</sup>.''F''<sub>1</sub>.''F''<sub>2</sub>.

== Généralisation ==
Il est possible de généraliser une partie des résultats obtenus pour les nombres de Fermat.

Pour que {{math|''a{{exp|b}}'' + 1}} soit premier, {{math|''a''}} doit nécessairement être [[Parité (arithmétique)|pair]] et {{math|''b''}} doit être une [[puissance de 2]].

On appelle couramment « nombres de Fermat généralisés<ref>{{MathWorld|nom_url=GeneralizedFermatNumber|titre=Generalized Fermat Number}}.</ref> » les nombres de la forme <math>a^{2^n}+1</math> (avec {{math|''a'' ≥ 2}})<ref>{{en}} [http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/primes/gfn.html Generalized Fermat Prime search].</ref>, mais [[Hans Riesel]] a donné aussi ce nom aux nombres de la forme <math>a^{2^n}+c^{2^n}</math><ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=H. Riesel|titre=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|year=1994|url={{Google Livres|5cIN7kemQgYC|page=102}}|page=102}}.</ref>. Le plus grand nombre premier de la forme <math>a^{2^n}+1</math> connu en 2017 est <math>24518^{2^{18}}+1</math>, un nombre de plus d'un million de chiffres<ref>{{en}} [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=84401  The prime database].</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Fermat number|154339103|type=note}}
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
* [[Test de Pépin]]
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=Michal Křížek|auteur2={{Lien|langue=en|fr=Florian Luca}}|auteur3=Lawrence Somer|titre=17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry|éditeur=Springer|lieu=New York|year=2001|pages=257|isbn=978-0-387-95332-8|url={{Google Livres|6JCBqZ0CMqg}}}}{{Commentaire biblio SRL|Contient une bibliographie étendue.}}
* {{en}} Suite {{OEIS2C|id=A000215}} de l'[[OEIS]]

{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Suite d'entiers|Fermat]]
[[Catégorie:Nombre premier|Fermat]]
[[Catégorie:Arithmétique modulaire|Fermat]]