Voir la source de Nombre pentagonal

[[File:Nombre_pentagon.svg|thumb|Représentation des quatre premiers nombres pentagonaux : la représentation du ''n''-ième s'obtient en entourant la précédente d'un pentagone comportant 3''n'' – 2 nouveaux points.]]
[[File:Pentagonal number 22 as sum of gnomons.svg|thumb|Les quatre premiers nombres pentagonaux sont<center><span style="color:red">1</span>, 1 + <span style="color:orange">4</span> = 5, 5 + <span style="color:green">7</span> = 12 et 12 + <span style="color:blue">10</span> = 22.</center>]]

En [[mathématiques]], un '''nombre pentagonal''' est un [[nombre figuré]] qui peut être représenté par un [[pentagone (figure)|pentagone]]. Pour tout [[Entier naturel|entier]] ''n'' ≥ 1, d'après les [[Nombre polygonal|formules générales pour les nombres polygonaux]], le ''n''-ième nombre pentagonal est donc la [[Suite arithmétique#Somme des termes|somme des ''n'' premiers termes de la suite arithmétique]] de premier terme 1 et de raison 3<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Jean Itard (historien)|Jean Itard]]|titre=Arithmétique et théorie des nombres|passage=8|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|année=1963|pages totales=128|isbn=978-2130324300}}.</ref> :
<center><math>P_{5,n}=1+4+\dots+(3n-2)={n(3n-1)\over 2}=\frac13~P_{3,3n-1},</math></center>
soit le tiers du (3''n'' – 1)-ième [[nombre triangulaire]] et les dix premiers sont [[1 (nombre)|1]], [[5 (nombre)|5]], [[12 (nombre)|12]], [[22 (nombre)|22]], [[35 (nombre)|35]], [[51 (nombre)|51]], [[70 (nombre)|70]], [[92 (nombre)|92]], [[117 (nombre)|117]] et [[145 (nombre)|145]] ({{OEIS|id=A000326}}).

Les nombres pentagonaux sont importants dans la théorie des [[Partition d'un entier|partitions d'entiers]] d'[[Leonhard Euler|Euler]] et interviennent par exemple dans son [[théorème des nombres pentagonaux]].

==Test des nombres pentagonaux==
Un [[Nombre réel|réel]] positif ''x'' est pentagonal si et seulement si l'[[équation du second degré]] 3''n''{{2}} – ''n'' – 2''x'' possède une solution entière ''n'' > 0, c'est-à-dire si le réel suivant est entier :

<math>n= \frac{1+\sqrt{24x+1}}6.</math>

Lorsque ''n'' est entier, ''x'' est le ''n''-ième nombre pentagonal.

==Nombres pentagonaux généralisés==
Les nombres pentagonaux généralisés sont les nombres de la forme ''n''(3''n'' – 1)/2, mais avec ''n'' [[entier relatif]], ou encore : les nombres de la forme ''n''(3''n'' ± 1)/2 avec ''n'' entier naturel. Les vingt premiers termes de cette [[suite d'entiers]] sont 0, '''1''', 2, '''5''', 7, '''12''', 15, '''22''', 26, '''35''', 40, '''51''', 57, '''70''', 77, '''92''', 100, '''117''', 126 et '''145''' ({{OEIS|id=A001318}}).

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Pentagonal number|9183043|type=note}}
{{Références}}

==Voir aussi==
{{Autres projets|commons=Category:Pentagonal numbers}}
===Article connexe===
[[Nombre pentagonal centré]]
===Liens externes===
*{{Lien web|url=http://www.recreomath.qc.ca/dict_pentagonal_nombre.htm|titre=Nombre pentagonal|site=recreomath.qc.ca}}
*{{Lien web|url=http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/Pentago.htm|titre=Nombre pentagonal|auteur=Gérard Villemin}}

{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre figuré|Pentagonal]]