Voir la source de Opérateur de Laplace-Beltrami

L''''opérateur de [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]]-[[Eugenio Beltrami|Beltrami]]''' est une généralisation de l'[[opérateur laplacien]] aux [[variété riemannienne|variétés riemanniennes]].
On part de la définition <math>\Delta=\mathrm{div}\ \mathrm{grad}</math>, et l'on est ramené à définir la [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] et le [[gradient]] dans le [[géométrie riemannienne|cadre riemannien]].

'''Avertissement''' : Dans cet article, on utilise la [[convention de sommation d'Einstein]]. Même quand le signe somme n'est pas omis, on s'impose la discipline de ne sommer que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.

== Divergence associée à une forme volume ==

Sur une [[variété différentielle]] <math>M</math> [[orientation (mathématiques)|orientable]], la [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] est naturellement associée
à une [[forme volume]]. Si <math>\omega</math> est une telle forme,
toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique
<math>f\omega</math>, où <math>f</math> est une fonction.
Cela s'applique à la [[dérivée de Lie]] de <math>\omega</math>
par rapport à un [[champ de vecteurs]] <math>X</math>.
La [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] de <math>X</math> (par rapport à <math>\omega</math>) est l'unique
fonction telle que
<math>\mathcal L_X\omega = (\mathrm{div}_{\omega}X)\omega</math>.

D'après la formule <math>\mathcal L_X=d\circ i_X+i_X\circ d</math>, on a
<math>\mathcal L_X\omega =\mathrm d(i_X\omega)</math>. Donc, d'après la formule de Stokes, si
<math>X</math> est à [[support compact]],
:<math>\int_M(\mathrm{div}_{\omega}X)\omega=\!\int_M\mathrm d(i_X\omega)=0</math>

Si <math>\omega</math> s'écrit en coordonnées locales <math>\theta\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm dx^n</math>,
on a

:<math>\mathcal{L}_X\omega = (\mathcal{L}_X\theta)\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n+\theta\sum_{i=1}^n\mathrm dx^1\wedge\cdots \mathcal{L}_X(\mathrm dx^i)\wedge\cdots \mathrm dx^n</math>
(car <math>\mathcal L_X</math> est une dérivation).

Si <math>\textstyle X=\sum_{i=1}^n X^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math>, on a <math>\mathcal L_X\mathrm dx^i=\mathrm d(\mathcal L_Xx^i)= d\mathrm X^i</math>,
d'où l'on tire <math>\textstyle\mathcal L_X\omega = (\mathcal L_X\theta)\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n + \theta\sum_{i=1}^n\frac{\partial X^i}{\partial x^i} dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n</math>,
et finalement,
<math>\textstyle\mathrm{div}_{\omega}X= \frac{\mathrm d\theta(X)}{\theta}+\sum_{i=1}^n\frac{\partial X^i}{\partial x^i}</math>.

'''Remarque sur l'orientabilité ''' : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume <math>\omega</math> en son opposée,
<math>\mathrm{div}_{\omega}X)</math> ne change pas. En fait, la divergence
ne dépend que de la [[forme volume|densité]] associée à <math>\omega</math>.
Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en 
fait utilisé une orientation locale.

L'exemple le plus important est celui de 
la divergence définie par la forme volume canonique d'une [[métrique riemannienne]].

:<math>\mathrm ds^2 \ = \ g_{ij}(x) \ \mathrm dx^i\mathrm dx^j</math>

En coordonnées locales <math>v_g= \sqrt{\det(g_{ij})}\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n</math>.
D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable. 
Le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] des <math>g_{ij}</math> est souvent noté <math>g</math>,
notamment par ceux qui écrivent <math>\mathrm  ds^2</math> la métrique riemannienne,
cela ne porte pas trop à confusion.

== Gradient associé à une métrique riemannienne ==

Le '''[[gradient]]''' d'une fonction (disons lisse) <math>f</math>
est l'unique champ de vecteurs, noté <math>\nabla f</math>, tel que
<math> g(X,\nabla f)=\mathrm df(X)</math> pour tout champ de vecteurs <math>X</math>.
En coordonnées locales, 
:<math>
\nabla f= \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\right)
\frac{\partial}{\partial x^i}</math>

Ici,
<math>g^{ij}(x)</math> est l'inverse du [[tenseur métrique]], défini en coordonnées par

:<math>g_{ik}(x)  g^{kj}(x) \ = \ \delta_{i}^j</math>

où <math> \delta_{i}^j </math> est le [[symbole de Kronecker]].

== Définition et propriétés de base du laplacien ==

On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'[[opérateur différentiel]] du second ordre
<math>\Delta f= \mathrm{div}(\nabla f)</math>.

En coordonnées locales,

:<math> \Delta \ = \ \frac{1}{\sqrt{g}} \ \partial_{i} \left[ \sqrt{g} g^{ij}  \partial_{j}  \right] </math>

Si <math>f_1</math> et <math>f_2</math> sont <math>C^2</math> et à support compact
on a 
:<math>\int_Mf_1\Delta f_2v_g= -\int_Mg(\nabla f_1,\nabla f_2)v_g=\int_Mf_2\Delta f_1v_g</math>

Pour le voir, on remarque que si <math>f</math> est une fonction et <math>X</math> 
un champ de vecteurs, 
:<math>\mathrm{div}fX=f\mathrm{div}X+\mathrm df(X)=f\mathrm{div}X+g(X,\nabla f)</math>
En appliquant cette relation à <math>f=f_1</math> et
<math>X=\nabla f_2</math>, on obtient
:<math>
\int_M\bigl(f_1\mathrm{div}\nabla f_2+g(\nabla f_1,\nabla f_2)\bigr)v_g =\int_M\mathrm{div}(f_1\nabla f_2)v_g=0
</math>
puisque d'après la [[théorème de Stokes|formule de Stokes]] l'intégrale de la divergence d'un champ
de vecteurs à support compact est nulle.

Cette formule exprime le fait que <math>\Delta</math> est un opérateur '''formellement autoadjoint'''
sur <math>C^\infty(M)</math>, par rapport au '''produit scalaire global''', défini par
:<math>\langle f_1,f_2\rangle :=\int_Mf_1f_2v_g </math>
(noter l'analogie avec les [[opérateur symétrique|opérateurs symétriques]] en dimension finie.)
 
<math>\textstyle\langle f,\Delta f\rangle =-\int_Mg(\nabla f,\nabla f)v_g </math>
est négatif ou nul. L'opérateur <math>-\Delta</math> est '''positif''' (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme <math>-\mathrm{div~grad}</math>). Enfin, si <math>M</math> est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules [[fonction harmonique|fonctions harmoniques]] sur un domaine compact de <math>\R^n</math>, nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).

== Annexes ==
=== Bibliographie ===
* {{article|lang=en|nom=[[Peter Sarnak]]|titre=Spectra of hyperbolic surfaces|revue=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=40|year=2003|p.=441-478|url=http://www.ams.org/journals/bull/2003-40-04}}
* {{en}} Isaac Chavel, ''{{Langue|en|Eigenvalues in Riemannian Geometry}}'', Academic Press

=== Articles connexes ===
* [[Variété différentielle]]
* [[Variété riemannienne]]
* [[Tenseur]]
* [[Théorie spectrale]]
* [[Formule sommatoire de Poisson]]
* [[Formule des traces de Selberg]]
* [[Formule des traces de Gutzwiller]]

{{Portail|mathématiques|physique}}

{{DEFAULTSORT:Operateur de Laplace-Beltrami}}
[[Catégorie:Géométrie différentielle]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
[[Catégorie:Géométrie riemannienne]]
[[Catégorie:Pierre-Simon de Laplace]]

[[de:Verallgemeinerter Laplace-Operator#Laplace-Beltrami-Operator]]