Voir la source de Partie dense

{{Voir homonymes|Densité (homonymie)}}
{{Confusion|texte=En mathématiques, ne pas confondre avec une partie [[ordre dense|dense au sens de l'ordre]].}}
En [[topologie]], une '''partie dense''' d'un [[espace topologique]] est un [[sous-ensemble]] permettant d'approcher tous les éléments de l'espace englobant. La notion s'oppose ainsi à celle de partie [[ensemble nulle part dense|nulle part dense]].

La densité d'une partie permet parfois d'étendre la [[démonstration (logique et mathématique)|démonstration]] d'une propriété ou la définition d'une [[application (mathématiques)|application]] par [[continuité (mathématiques)|continuité]].

== Définitions ==
Soient {{mvar|X}} un [[espace topologique]] et {{mvar|A}} une [[sous-ensemble|partie]] de {{mvar|X}}. 
On dit<ref>{{article|lang=de|prénom=Paul|nom=du Bois-Reymond|lien auteur=Du Bois-Reymond|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0016&DMDID=DMDLOG_0014|revue=Math. Ann.|year=1880|volume=16|lien périodique=Mathematische Annalen|titre=Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung […]}} dit : {{Citation|pantachique}} : {{ouvrage|titre=Constitution de la théorie moderne de l'intégration|auteur=Alain Michel|éditeur=[[Librairie philosophique J. Vrin|Vrin]]|année=1992|url={{Google Livres|k2830x1g-BcC|page=37}}|page=37}}.</ref> que {{mvar|A}} est « '''dense dans {{mvar|X}}''' », ou encore « '''partout dense''' »<ref>{{Bourbaki-Topologie}}, {{p.|I.9}}, {{Google Livres|12yuCBbwijUC|page autre=SA1-PA8|aperçu}}.</ref> 
si l'une des propriétés équivalentes est satisfaite :
* tout [[ouvert (topologie)|ouvert]] non [[ensemble vide|vide]] de {{mvar|X}} contient des éléments de {{mvar|A}} ;
* l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de {{mvar|A}} est égale à {{mvar|X}} ;
* tout point de {{mvar|X}} est [[point adhérent|adhérent]] à {{mvar|A}} ;
* le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] de {{mvar|A}} est d'[[Intérieur (topologie)|intérieur]] vide.

Un point {{mvar|x}} de {{mvar|X}} est dit dense dans {{mvar|X}} si le [[Singleton (mathématiques)|singleton]] <math>\{x\}</math> est dense dans {{mvar|X}}.

Un [[espace séparable]] est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense [[Ensemble dénombrable|au plus dénombrable]].

== Exemples ==
* Tout espace topologique est dense dans lui-même<ref>Attention, « dense dans lui-même » n'est pas synonyme de « {{Lien|trad=Dense-in-itself|dense-dans-lui-même}} », comme le signale avec humour {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]]|titre=[[A Mathematician's Miscellany]]|year=1953|url=https://archive.org/stream/mathematiciansmi033496mbp#page/n50/mode/1up|page=39}}.</ref>.
* Toute partie [[ordre dense|dense pour l'ordre]] dans un [[ensemble totalement ordonné]] est aussi dense pour la [[topologie de l'ordre]]. En particulier, la [[topologie de la droite réelle|droite réelle]] ℝ admet comme parties denses l'ensemble ℚ des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]], son complémentaire ℝ\ℚ, mais aussi l'ensemble des [[nombre décimal|décimaux]] et même l'ensemble des [[nombre dyadique|nombres dyadiques]].
* Le complémentaire d'un [[ensemble négligeable]] pour la [[mesure de Lebesgue]] est dense dans ℝ ou dans ℝ{{exp|{{mvar|n}}}}.
* Le [[groupe général linéaire]] GL{{ind|''n''}}(ℝ) (constitué des matrices réelles, carrées et inversibles de taille ''n'') est dense dans l'espace M{{ind|''n''}}(ℝ) des matrices carrées de taille ''n''.
* L'ensemble des matrices diagonalisables dans <math>\mathcal{M}_n(\Complex)</math> est dense, mais pas dans <math>\mathcal{M}_n(\R)</math>.
* L'ensemble des [[Fonction étagée|fonctions étagées]] (définies sur un [[espace mesurable]]) est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables, pour la topologie de la [[convergence simple]].
* L'ensemble des [[fonction polynomiale|fonctions polynomiales]] est dense dans l'ensemble des fonctions réelles continues sur un segment pour la topologie de la [[convergence uniforme]] (selon le [[Théorème de Stone-Weierstrass|théorème d'approximation de Weierstrass]]).

== Propriétés ==
Une condition suffisante pour cela est que tout élément de ''X'' soit [[Limite de suite|limite]] d'une [[Suite (mathématiques)|suite]] d'éléments de ''A''. Cette condition est également nécessaire si ''X'' est un [[Espace séquentiel#Espace de Fréchet-Urysohn|espace de Fréchet-Urysohn]], par exemple un [[espace métrisable]] ou même seulement [[à bases dénombrables de voisinages]].

Si ''B'' est une autre partie de ''X'', {{refsou|date=août  2017|ne contenant pas nécessairement ''A'', on dit que ''A'' est dense dans ''B'' si son adhérence contient ''B''}}.

Si ''X'' est un [[espace métrique complet]], une partie ''Y'' de ''X'' est dense dans ''X'' si et seulement si ''X'' est le [[Espace complet#Complété d'un espace métrique|complété]] de ''Y''.

Deux applications [[continuité (mathématiques)|continues]] définies sur une partie dense d'un [[espace séparé]] sont égales.

Une [[suite de fonctions]] définies sur un [[espace métrique]] {{mvar|X}} et continues [[convergence uniforme|converge uniformément]] si et seulement si elle vérifie le [[convergence uniforme#Critère de Cauchy uniforme|critère de Cauchy uniforme]] sur une partie dense de {{mvar|X}}.

Un [[anneau commutatif]] est [[anneau de Jacobson|de Jacobson]] si et seulement si dans toute partie fermée non-vide de son [[spectre d'anneau|spectre]], l'ensemble des points fermés est dense.

== Notes et références ==
{{références}}

== Articles connexes ==
* [[Ensemble nulle part dense]]
* [[Fonction cardinale#Fonctions cardinales en topologie|Densité d'un espace topologique]]
* [[Théorème de Baire]]
* [[Théorème de Blumberg]]
* [[Conjecture d'Oppenheim]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Topologie générale]]