Voir la source de Polynôme

{{Confusion|Polygone}}
[[Fichier:Polynomialdeg3.svg|thumb|[[Courbe représentative]] d'une [[fonction cubique]].]]
En [[mathématiques]], un '''polynôme''' est une expression formée uniquement de [[produit (mathématiques)|produits]] et de [[somme (arithmétique)|sommes]] de constantes et d'[[Construction de l'anneau des polynômes|indéterminées]], habituellement notées ''X'', ''Y'', ''Z''… Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute [[fonction (mathématiques)|fonction]] dérivable (voir [[développement limité]]) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article [[courbe de Bézier]], décrivant un cas particulier de [[fonction polynomiale]]).

Un '''polynôme''', en [[algèbre générale]], à une indéterminée sur un [[anneau unitaire]] est une expression de la forme : 
:<math> a_0 + a_1 X^1 + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n \,</math>
où ''X'' est un symbole appelé indéterminée du polynôme, supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients {{mvar|a{{ind|i}}}} sont dans l'anneau, et {{mvar|n}} est un [[entier naturel]].

Si, en [[mathématiques appliquées]], en [[analyse (mathématiques)|analyse]] et en [[algèbre linéaire]], il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynomiale, il n'en est pas de même en algèbre générale. Cet article traite principalement du polynôme formel à une indéterminée.

== Considérations historiques ==
{{Article détaillé|Histoire des polynômes}}
L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'[[algèbre]]. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynomiales. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la [[#Fonctions polynomiales|fonction polynomiale]]. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'[[algèbre générale]]. Les coefficients quittent alors le domaine des nombres usuels, comme les réels ou les complexes, pour appartenir à des [[anneau commutatif|anneaux commutatifs]] unitaires ou à des [[corps commutatif]]s quelconques. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des [[série formelle|séries formelles]].

== Polynômes formels ==
{{Article détaillé|Polynôme formel}}
Un polynôme ''f'' à une [[Construction de l'anneau des polynômes|indéterminée]] est défini comme une expression formelle de la forme

: <center> <math> f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0 \,</math> </center>

où les coefficients ''a''<sub>0</sub>, .., ''a''<sub>n</sub> sont éléments d'un [[anneau unitaire|anneau]] '''''A''''', et ''X'' est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

Plus formellement, on peut définir un polynôme comme une suite d'éléments, d'un anneau, qui s'annule à partir d'un certain rang.
Ainsi, la formule précédente sera une conséquence immédiate (en faisant recours à des notations mathématiques classiques à savoir la notation de Kronecker). Dans ce cas, les coefficients du polynôme coïncident avec les éléments de la suite associée. 

L'ensemble des polynômes à une indéterminée ''X'' à coefficients dans un anneau '''''A''''', noté '''''A'''''[''X''], peut être construit à partir de l'ensemble des suites <math>(a_i)_{i\in\N}</math> à support fini (donc nulles à partir d'un certain rang, appelées également ''suites presque nulles'') d'éléments de '''''A''''', en le [[Construction de l'anneau des polynômes|munissant d'une structure d'anneau]]. Dans cette construction un terme ''aX{{exp|k}}'' est représenté par la suite qui est nulle partout, sauf que <math>a_k=a</math>.

Le [[Degré d'un polynôme|degré de ce polynôme]] est défini, si le polynôme est non nul (c'est-à-dire si ses coefficients ne sont pas tous nuls), par <math>\max\{j\in\N\mid a_j\ne 0_A\}</math>, c'est le plus grand exposant de ''X'' devant lequel le coefficient n'est pas nul. On note généralement le degré d'un polynôme ''P'', {{math|deg(''P'')}} ou {{math|d°(''P'')}}. Par convention, le degré du polynôme nul vaut {{math|−∞}}.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans '''''A''''' peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants, et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et la règle suivante :

: ''aX{{exp|j}} bX{{exp|k}} = ab X{{exp|j+k}}'' pour tous les [[entier naturel|entiers naturels]] ''j'' et ''k''.

On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau '''''A''''' forme lui-même un anneau, et que l'application de '''''A''''' vers cet anneau qui envoie ''a'' sur ''a''&nbsp;''X''{{exp|0}} est un [[Morphisme d'anneaux|morphisme]] [[injectif]]. L'anneau des polynômes à coefficients dans '''''A''''' est noté '''''A'''''[''X''] et on considère '''''A''''' comme sous-anneau de '''''A'''''[''X''] par le morphisme mentionné.

Si '''''A''''' est commutatif, alors '''''A'''''[''X''] est une [[algèbre associative]] sur '''''A'''''. 

On peut engendrer l'anneau '''''A'''''[''X''] à partir de '''''A''''' en adjoignant un nouvel élément ''X'' à '''''A''''' et en exigeant que ''X'' commute avec tous éléments de l'ensemble '''''A'''''. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les combinaisons linéaires de puissances de ''X'' doivent être aussi adjointes à l'ensemble.

== Fonctions polynomiales ==
{{Article détaillé|Fonction polynomiale}}
À tout polynôme ''P''(''X'') de '''''A'''''[''X''], on peut associer une fonction polynomiale, d'ensemble de définition et d'arrivée '''''A'''''. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné ''x'' en remplaçant partout le symbole ''X'' dans ''P''(''X'') par ''x''. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux '''''A''''' (par exemple sur les [[corps fini]]s), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynomiale associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts.

'''Exemple''' :
Sur le corps fini ℤ/2ℤ, le polynôme ''X'' + ''X''{{exp|2}} est non nul, mais sa fonction polynomiale associée l'est.

'''[[Morphisme d'anneaux|Morphisme]] d'évaluation''' : plus généralement, dans un polynôme ''P''(''X''), on peut remplacer le symbole ''X'' par n'importe quel élément ''e ''appartenant à une algèbre associative ''E ''sur '''''A'''''. L'application qui, à tout polynôme ''P''(''X'') dans '''''A'''''[''X''], associe l'élément ''P''(''e'') de ''E ''(défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en ''e ''de '''''A'''''[''X''] dans '''''E'''''. Un cas très fréquent est celui où '''''A''''' est un corps ''K'', et '''''E''''' l'algèbre des matrices ''n'' × ''n'' sur ''K'', ou bien l'algèbre des [[Endomorphisme linéaire|endomorphismes d'un espace vectoriel]] sur ''K''. On définit ainsi des polynômes de [[Matrice (mathématiques)|matrices]] et d'endomorphismes :
: <center> <math>P(M)= a_n M^n + a_{n - 1} M^{n - 1} + \dots + a_1 M + a_0 I_n</math> </center>
: <center> <math>P(u)= a_n u^n + a_{n - 1} u^{n - 1} + \dots + a_1 u + a_0 Id_K</math> </center>

Ainsi, pour tout polynôme ''P''(''X''), d'indéterminée ''X'', ''P''(''u'') est un « [[polynôme d'endomorphisme]] » pour chaque endomorphisme ''u'' et ''P''(''M'') est un « polynôme de matrice » pour chaque matrice ''M''.

== Divisibilité ==

En [[algèbre commutative]], et plus précisément dans un [[anneau intègre]] (toujours commutatif et unitaire par définition), une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.

{{Ancre|Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre}}
=== Coefficients dans un anneau intègre ===
Si ''f'' et ''g'' sont des polynômes dans '''''A'''''[''X''], on dit que ''f'' '''divise''' ''g'' s'il existe un polynôme ''q'' dans '''''A'''''[''X''] tel que ''fq'' = ''g''. 

On peut démontrer alors que « chaque [[Racine d'un polynôme|racine]] engendre un facteur linéaire », ou plus formellement que : si ''P ''est un polynôme dans '''''A'''''[''X''] et ''a'' est un élément de '''''A''''' tel que ''P''(''a'') = 0, alors le polynôme {{nobr|''X – a''}} divise ''P ''(la réciproque est immédiate). Le quotient peut être calculé en utilisant la [[méthode de Horner]].

Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors :
* '''Polynôme inversible''' : un polynôme ''P'' est [[Groupe des unités|inversible]] s'il existe un polynôme ''Q'' tel que ''PQ'' = 1.<br />Les seuls polynômes inversibles de '''''A'''''[''X''] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans '''''A''''' ;
* '''Polynôme irréductible''' : ''P'' est un [[polynôme irréductible]] s'il n'est ni nul, ni inversible, ni produit de deux polynômes non inversibles.<br />Un polynôme du premier degré ''aX + b'' est donc irréductible si et seulement si ''a'' et ''b'' sont [[Primalité dans un anneau|premiers entre eux]] (par exemple, tout polynôme unitaire du premier degré est irréductible, tandis que {{nobr|1=2''X ''+ 2 = 2(''X ''+ 1)}} n'est pas irréductible dans ℤ[''X'']).<br />Le polynôme &nbsp; ''X''<sup> 2</sup> + 1 &nbsp; est irréductible dans ℝ[''X''], mais pas dans ℂ[''X''].<br />Si '''''A''''' est un [[anneau factoriel]], alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. '''''A'''''[''X''] est donc aussi factoriel ;
* '''Polynôme premier''' : ''P'' est un polynôme [[Primalité dans un anneau|premier]] s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit ''QS '' divisible par ''P'', l'un des deux polynômes ''Q'' ou ''S'' est divisible par ''P''.<br />Dans un anneau factoriel (donc dans '''''A'''''[''X''] si '''''A''' ''est factoriel), les notions d'élément premier et d'élément irréductible sont équivalentes, mais dans un anneau quelconque on a seulement la propriété suivante : tout élément premier est irréductible ;
* '''Polynôme primitif''' : si '''''A''''' est un [[anneau factoriel]], ''P'' est un polynôme primitif si le [[plus grand commun diviseur|PGCD]] de ses coefficients est inversible.<br />Dans un anneau commutatif unitaire, un polynôme est dit primitif lorsque l'anneau est le plus petit idéal principal contenant les coefficients du polynôme ;
* '''Polynôme scindé''' : polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.<br />''X''<sup> 2</sup> + 1 &nbsp; est scindé sur ℂ (il se décompose en (''X ''+ {{math|i}})(''X ''– {{math|i}})), mais pas sur ℝ ;
* '''Polynôme [[Extension séparable#Critères de séparabilité des polynômes|séparable]]''' (sur un corps) : polynôme étant premier avec son [[#Polynôme dérivé|polynôme dérivé]] ;
* '''Polynômes premiers entre eux''' : ''P'' et ''Q'' sont [[primalité dans un anneau|premiers entre eux]] si les seuls polynômes qui divisent à la fois ''P'' et ''Q'' sont les polynômes inversibles ;
* '''Polynôme unitaire''' : polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1 ;
* '''[[Polynôme cyclotomique]]''' : pour tout entier ''n ''> 0, le ''n''-ième polynôme cyclotomique est le produit des ''X ''– ζ, avec ζ parcourant les [[Racine de l'unité|racines complexes ''n''-ièmes primitives de l'unité]].

=== Coefficients dans un corps commutatif ===

Si ''K'' est un [[corps commutatif]] et ''f'' et ''g'' sont des polynômes dans ''K''[''X''] avec ''g'' ≠ 0, alors il existe des polynômes ''q'' et ''r'' dans ''K''[''X''] avec : ''f'' = ''q'' ''g'' + ''r'' et tels que le degré de ''r'' soit strictement plus petit que le degré de ''g''. Les polynômes ''q'' et ''r'' sont uniquement déterminés par ''f'' et ''g''. C'est ce que l'on appelle la [[division euclidienne]] ou «la division suivant les puissances décroissantes» de ''f'' par ''g'' et cela montre que l'anneau ''K''[''X''] est un [[anneau euclidien]].

''K''[''X''] est donc un anneau euclidien (seuls les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de [[plus petit commun multiple|PPCM]], de [[plus grand commun diviseur|PGCD]] avec la mise en place d'un [[algorithme d'Euclide]] de recherche de pgcd. On retrouve aussi l'[[Arithmétique des polynômes|identité de Bézout]] sur les polynômes premiers entre eux : si ''P'' et ''Q'' sont premiers entre eux, il existe deux polynômes ''U'' et ''V'' tels que ''UP + VQ'' = 1.

=== Réductibilité des polynômes de ''Z''[''X''] ===
{{Article détaillé|Lemme de Gauss (polynômes)|Anneau factoriel#Anneaux des polynômes{{!}}Anneau factoriel : § Anneaux des polynômes}}
Un polynôme primitif ''A ''de ℤ[''X''] est irréductible si et seulement si, considéré comme polynôme de ℚ[''X''], il est irréductible dans ℚ[''X'']. De plus si ''A = BC ''dans ℚ[''X''], il existe un rationnel non nul λ tel que λ''B'' et λ{{exp|-1}}''C'' soient dans ℤ[''X''].

'''Remarque :'''
Si des polynômes ''A'', ''B'', ''C'' de ℤ[''X''] vérifient ''A = BC'' et si ''A'' est ''unitaire'', alors ''B'' et ''C'' sont également unitaires (au signe près).

== Constructions de nouvelles structures ==

Elles sont de deux types : extensions de l'anneau ''A''[''X''] ou de l'anneau ''A ''de départ.

=== Corps des fractions ===
{{Article détaillé|Fraction rationnelle}}
Si ''A ''est un anneau intègre (donc commutatif et unitaire), il en est de même de son anneau de polynômes ; on peut donc construire le [[corps des fractions]] de ''A''[''X''], appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans ''A ''et d'indéterminée ''X''.

=== Corps de rupture ===
{{Article détaillé|Corps de rupture}}

La seconde structure conduit à tout le domaine des [[extension algébrique|extensions]].
 
Si ''A'' est un anneau intègre et si ''P'' est un polynôme premier de ''A''[''X''], on peut construire un anneau intègre ''A{{ind|P}} ''contenant ''A ''dans lequel ''P'' possède une [[Racine d'un polynôme|racine]]. Lorsque ''A ''est un corps, ''A{{ind|P}} ''aussi : c'est le corps de rupture de ''P''.

La construction se fait en considérant l'[[idéal]] ''I'' engendré par ''P''. C'est un [[idéal premier]] de ''A''[''X''], et même un [[idéal maximal]] si ''A ''est un corps. L'[[anneau quotient]] ''A''[''X'']/''I ''est donc un anneau intègre, et même un corps si ''A ''en est un.
 
On plonge alors ''A'' dans cet anneau ''A<sub>P</sub> ''par le morphisme injectif qui à tout élément associe sa classe. Si l'on note ''r'' la classe de ''X'' alors ''P''(''r'') est la classe de ''P''. Comme ''P'' est dans l'idéal ''I'', sa classe est nulle donc ''P''(''r'') = 0.

Il est possible de réitérer ce processus jusqu'à obtenir un corps contenant toutes les racines. Ce corps s'appelle le [[corps de décomposition]].

Un corps est [[clôture algébrique|algébriquement clos]] quand il est inutile de chercher des corps de rupture, c'est-à-dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de ℂ.

== Autres opérations sur les polynômes ==
=== Polynôme dérivé ===

Sur ''A''[''X''], si ''P'' est le polynôme défini par <math>P(X) = \sum_{0\le i\le n}a_iX^i,</math> le polynôme d''P'' défini par <math>{\rm d}P(X) =  \sum_{1\le i\le n}ia_iX^{i-1}</math> s'appelle le polynôme dérivé de ''P'' (en particulier, [[Somme vide|d''a''{{ind|0}} = 0]]).

L'application d de ''A''[''X''] dans ''A''[''X''] est un [[Module sur un anneau#Applications linéaires|morphisme de modules]] (et donc [[Morphisme de groupes|de groupes]]), vérifiant de plus d(''PQ'') = ''P''d''Q'' + ''Q''d''P''. À ce titre, c'est une application de [[Dérivation (algèbre)|dérivation]].

Une propriété importante du polynôme dérivé est le fait qu'une racine est multiple si et seulement si elle est aussi racine du polynôme dérivé. (Pour une démonstration et des énoncés plus précis, voir le [[Racine d'un polynôme#Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine|§ « Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine » de l'article ''Racine d'un polynôme'']].)

=== Division ===
{{Article détaillé|Division d'un polynôme}}

Si ''K'' est un corps commutatif, l'anneau ''K''[''X''] dispose de deux divisions. La première est euclidienne et confère à l'ensemble des polynômes une structure d'[[anneau euclidien]] permettant d'y développer une [[arithmétique des polynômes]] un peu analogue à celle des entiers. Cette arithmétique s'avère importante pour la [[factorisation des polynômes]]. La deuxième est dite ''selon les puissances croissantes''. Elle est utile dans la recherche d'une [[fraction partielle|décomposition en éléments simples]] d'une fraction rationnelle ou d'un [[développement limité]].

== Polynôme en plusieurs indéterminées ==
{{Article détaillé|Polynôme en plusieurs indéterminées}}
Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau ''A''[''X'', ''Y''] peut simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable ''Y ''à coefficients dans ''A''[''X''].

Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme.
: <math>X^3 + 3XYZ^2 - 5Y + 7\,</math>
est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées.

Parmi les polynômes à ''n ''indéterminées, l'étude des [[polynôme symétrique|polynômes symétriques]] et de leur groupe de permutations est un domaine important de l'algèbre.

Ces polynômes sont également dits '''multivariés''', par opposition aux polynômes '''univariés''', à une seule variable.

== Polynôme de Laurent ==
{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : [[Polynôme de Laurent]].}}
Il est également possible d'introduire les puissances négatives d'une variable et d'obtenir ainsi un anneau ''A''[''X'', ''X''{{-1}}] dit de [[Pierre Alphonse Laurent|Laurent]]. C'est l'[[Algèbre d'un monoïde|algèbre du groupe]] ℤ sur l'anneau ''A''.
== Voir aussi ==
{{Autres projets
| commons = Category:Polynomials
| wiktionary = polynôme
| wikiversity = Polynôme
}}
* [[Fonction polynomiale]]
* [[Équation polynomiale]]
* Dans le domaine de l'[[algèbre linéaire]] : [[Polynôme minimal d'un endomorphisme]], [[Polynôme caractéristique]]
* Dans le domaine de la [[théorie de Galois]] : [[Polynôme minimal d'un nombre algébrique]]
* Dans le domaine de l'[[analyse (mathématiques)|analyse]] : [[interpolation polynomiale|Polynôme d'interpolation]], [[Polynômes orthogonaux]]
* [[Polynôme séquentiel]]
* [[Théorème de Gauss-Lucas]]
* [[Théorème de Laguerre]]
* [[Liste des polynômes remarquables]]
* La [[théorie de la complexité des algorithmes|théorie de la complexité]] étudie en particulier les [[problème de décision|problèmes de décision]] résolubles en temps polynomial (P) ou non déterministe polynomial (NP).

{{Palette|Polynômes}}
{{Portail|Algèbre}}

[[Catégorie:Polynôme|*]]