Voir la source de Polynôme caractéristique

{{à recycler|thème=mathématiques|date=juin 2012}}
En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[algèbre linéaire]], à toute [[matrice carrée]] à coefficients dans un [[anneau commutatif]] ou à tout [[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]] d'un [[espace vectoriel de dimension finie]] est associé un [[polynôme formel|polynôme]] appelé '''polynôme caractéristique'''. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses [[Valeur propre (synthèse)|valeurs propres]], son [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] et sa [[trace (algèbre)|trace]]. Le [[théorème de Cayley-Hamilton]] assure que toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.

== Motivation ==
Étant donnée une matrice carrée ''M'' d'ordre ''n'', on cherche un polynôme dont les racines sont précisément les [[valeur propre|valeurs propres]] de ''M''.

Si ''M'' est une [[matrice diagonale]] ou plus généralement une [[matrice triangulaire]], alors les valeurs propres de ''M'' sont les coefficients diagonaux λ<sub>1</sub>, …, λ<sub>''n''</sub> de ''M''  et nous pouvons définir le polynôme caractéristique comme étant
:<math>(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\qquad (1)</math>
Ce polynôme est le déterminant <math>\det(XI_n-M)</math> où ''I''<sub>''n''</sub> est la [[matrice unité]].

Pour une matrice quelconque ''M'', si λ est une valeur propre de ''M'', alors il existe un vecteur colonne propre ''V'' non nul tel que ''MV'' = λ''V'', soit (λ''I''<sub>''n''</sub> – ''M'')''V'' = 0 (où ''I''<sub>''n''</sub> est la [[matrice unité]].) Puisque ''V'' est non nul, cela implique que la matrice λ''I''<sub>''n''</sub> – ''M'' est [[matrice inversible|singulière]], et donc a son [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] nul. Cela montre que les valeurs propres de ''M'' sont des [[zéro d'une fonction|zéros de la fonction]] {{math|''λ'' ↦ det(''λI<sub>n</sub> – M'')}} ou des [[racine d'un polynôme|racines du polynôme]] <math>\det(XI_n-M)</math>.

== Définition formelle ==
Soit ''M'' une matrice carrée d'ordre ''n'' à coefficients dans un [[anneau commutatif]]. Le '''polynôme caractéristique''' de ''M'', noté ''p''<sub>''M''</sub>(''X''), est<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Kiyoshi Itō]]|directeur1=oui|titre={{Lien|Encyclopedic Dictionary of Mathematics}}|éditeur=[[MIT Press]]|year=1993|numéro d'édition=2|page=995}}.</ref> le polynôme défini par
:<math>p_M(X):=\det(XI_n-M) = \sum_{\sigma\in\Sigma_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)} \qquad (2)</math>

où det est le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] des matrices, ''I''<sub>''n''</sub> désigne la [[matrice identité]] d'ordre ''n'', ''a<sub>i j</sub>'' = le polynôme ''[[Symbole de Kronecker|δ<sub>i j </sub>]]X − m<sub>i j</sub>'', coefficient d'indice (''i'', ''j'') de la matrice ''XI{{ind|n}} – M'' ; la somme de droite (prise sur l'ensemble des permutations des indices) donne une expression explicite du polynôme caractéristique.

'''Remarque.''' Au lieu de l'expression (2), certains auteurs définissent le polynôme caractéristique comme étant <math>\det(M-XI_n)</math>. Avec cette définition, on a l'équation <math>p_M(0)=\det(M)</math>. Ceci n'est pas le cas pour la définition (2) lorsque l'ordre <math>n</math> est impair et <math>\det(M)\ne 0</math>, puisque l'on a : <math>\det(M-XI_n) = (\!-\,1)^n ~\det(XI_n-M)</math>. La définition (2) présente l'« avantage » de rendre le polynôme caractéristique [[Polynôme unitaire|unitaire]].

== Coefficients ==
Le développement du polynôme caractéristique ''p''<sub>''M''</sub>(''X'') d'une matrice carrée ''M'' d'ordre ''n''  est donné par
:<math>\det(XI_n-M)=X^n-f_1(M)X^{n-1}+f_2(M)X^{n-2}-\dots+(-1)^nf_n(M)</math>
où ''f''<sub>''i''</sub>(M) est une fonction polynomiale<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Gerard Walschap|titre=Metric Structures in Differential Geometry|page=179}}.</ref> en les coefficients de la matrice ''M''. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. Autrement dit, pour toute matrice inversible ''P'', <math>f_i(PMP^{-1})=f_i(M)</math>. Un développement explicite du déterminant de <math>XI_n-M</math> donne<ref>{{Harvsp|Walschap|p=181}}.</ref> :
:<math>f_k(M)=\sum_{I\subset\{1,\dots,n\},\;\operatorname{card}(I)=k}\det \left(M_{I,I}\right)</math>
c'est-à-dire la somme des [[Mineur (algèbre linéaire)#Mineurs particuliers|mineurs principaux]] d'ordre <math>k</math>. En particulier, le coefficient constant  ''p''<sub>''M''</sub>(0) est égal à (–1)<sup>''n''</sup> fois le déterminant de ''M'', et le coefficient de  ''X''<sup>''n''–1</sup> est égal à l'opposé de la [[trace (algèbre)|trace]] de ''M''.

La propriété la plus importante des polynômes caractéristiques est que les valeurs propres de ''M'' sont exactement les racines du polynôme ''p''<sub>''M''</sub>(''X''). En notant <math>(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math> les racines de ''P'' prises avec multiplicité,
:<math>f_k(M)=s_k(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math>
où ''s''<sub>''k''</sub> désigne le ''k''-ième [[polynôme symétrique]] élémentaire.
(Ici, les racines sont prises dans une extension finie ''L'' de ''K'' lorsque ''K'' n'est pas [[Corps algébriquement clos|algébriquement clos]] ; ainsi, ''M'' est [[trigonalisation|triangularisable]] sur ''L''. C'est ce qui permet, pour démontrer la formule ci-dessus, de se ramener au cas décrit dans le paragraphe ''Motivation'').

Lorsque le [[Corps commutatif|corps]] de base ''K'' est de [[Corps commutatif#Caractéristique et corps premier|caractéristique]] nulle (par exemple, ''K'' = [[Nombre réel|'''R''']] ou [[Nombre complexe|'''C''']]), grâce aux [[identités de Newton]], les coefficients ''f''<sub>''k''</sub> (''M'') s'expriment comme des fonctions polynomiales des [[Identités de Newton|sommes de Newton]] des valeurs propres :
:<math>\sum_{i=1}^n \lambda_i^j=\operatorname{Tr}(M^j).</math>

Toute fonction <math>M\mapsto f(M)</math> polynomiale en les coefficients de la matrice ''M'' et invariante par [[matrice semblable|similitude]] est une fonction polynomiale en les coefficients du polynôme caractéristique. Cette propriété est par exemple utilisée dans la définition et la classification des classes caractéristiques en [[géométrie différentielle]], ce qui dépasse de loin le niveau de cet article.

== Exemples ==
* Pour une matrice {{mvar|M}} d'ordre 2, le polynôme caractéristique s'exprime simplement comme{{Retrait|<math>X^2 - \operatorname{tr}(M)X+ \det(M)</math>}}mais peut aussi se calculer directement à partir de la définition.<br />Déterminons par exemple le polynôme caractéristique {{math|''p''<sub>''M''</sub>(''X'')}} de la matrice{{Retrait|<math>M=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.</math>}}C'est le déterminant de la matrice{{Retrait|<math>XI_2-M = \begin{pmatrix}
X-2&-1\\
1&X
\end{pmatrix}
</math>.}}On a donc{{Retrait|<math>p_M(X)=(X-2)(X)-1(-1) = X^2-2X+1 = (X-1)^2</math>.}}On en déduit que 1 est une valeur propre double de la matrice.
* Pour une matrice {{mvar|A}} d'ordre 3, le polynôme caractéristique s'exprime comme{{Retrait|<math>X^3 - \operatorname{tr}(A)X^2 + Z(A)X - \det(A)</math>}}où{{Retrait|<math>\begin{align} Z(A)&= -\frac{1}{2}\left(\operatorname{tr}(A^2) - \left(\operatorname{tr}(A)\right)^2\right)\\&=(a_{1,1}  a_{2,2} + a_{1,1}  a_{3,3} + a_{2,2}  a_{3,3} ) - ( a_{2,1}  a_{1,2} + a_{3,1}  a_{1,3} + a_{3,2}  a_{2,3})\\&= \operatorname{tr} (\operatorname{com} (A)),\end{align}</math>}}avec {{math|''a''{{ind|''i'', ''j''}}}} l'élément en position {{math|(''i'', ''j'')}} dans la matrice {{mvar|A}}.

== Propriétés ==
* Le polynôme ''p''<sub>''M''</sub>(''X'') d'une matrice carrée ''M'' d'ordre ''n'' est unitaire (son coefficient dominant est égal à 1) et son degré est égal à ''n''.
* La matrice ''M'' et sa [[Matrice transposée|transposée]] ont le même polynôme caractéristique.
* Le [[théorème de Cayley-Hamilton]] affirme qu'en remplaçant ''X'' par  ''M'' dans  ''p''<sub>''M''</sub>(''X''), on obtient la matrice nulle: ''p''<sub>''M''</sub>(''M'') = 0, autrement dit le polynôme caractéristique est un '''[[Polynôme d'endomorphisme#Idéaux annulateurs|polynôme annulateur]]''' de ''M''. Ceci est équivalent à l'affirmation que le [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] divise le polynôme caractéristique de ''M''.
* Deux [[matrices semblables]] ont le même polynôme caractéristique. La réciproque n'est pas vraie en général : deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables.
* Une matrice ''M'' est semblable à une [[matrice triangulaire]] [[Réduction de matrice#Trigonalisation|si et seulement si son polynôme caractéristique peut être complètement décomposé]] en produit de facteurs de degré 1 à coefficients dans ''K''. En fait, ''M'' est même semblable à une [[matrice de Jordan]] dans ce cas.
*Par [[trigonalisation]] comme dans le point précédent (ce qui est toujours possible quitte à remplacer ''K'' par une [[clôture algébrique]]), le polynôme caractéristique d'un [[polynôme d'endomorphisme]] ''P''(''u'') est le polynôme unitaire dont les [[Racine d'un polynôme|racines]] sont les images par ''P'' de celles du polynôme caractéristique de ''u'' (répétées en cas de [[Racine multiple|multiplicité]]). Sur '''C''', cette propriété des polynômes en ''u'' se démontre de même, plus généralement, pour les [[Fonction entière|fonctions entières]] de ''u''.
* Propriété de commutation<ref>Voir la page d'exercices corrigés du [[#Voir aussi|chapitre « Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique » sur Wikiversité]].</ref> : pour toutes matrices <math>A\in\mathrm M_{m,n}(K)</math> et <math>B\in\mathrm M_{n,m}(K)</math>, où <math>K</math> est un [[anneau unifère]] :<center><math>X^np_{AB}(X)=X^mp_{BA}(X)</math>.</center>

== Matrice compagnon ==
Soit <math>p(X)=X^n-\sum_{k=0}^{n-1} a_{k}X^{k}</math> un polynôme à coefficients dans ''K''. La matrice d'ordre ''n''
:<math>M=\begin{pmatrix}
0      & 1      & 0      & \ldots & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots &        & \vdots \\
\vdots &        & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots &        &        & \ddots & \ddots & 0 \\
0      & \ldots & \ldots & \ldots & 0      & 1 \\
a_0    & a_1    & a_2    & \ldots &a_{n-2} & a_{n-1}
\end{pmatrix}
</math>
qui admet ''p(X)'' comme polynôme caractéristique (et [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]]), est appelée '''[[matrice compagnon]]  du polynôme''' (ou selon certains ouvrages, sa transposée). Une des méthodes utilisées en [[calcul numérique]] pour calculer des valeurs approchées des racines d'un polynôme est d'en construire la matrice compagnon puis de calculer des valeurs approchées des valeurs propres de cette matrice à l'aide d'une méthode itérative.

== Matrice triangulaire ==
Dans le cas d'une matrice triangulaire (supérieure) d'ordre <math>n</math>,
matrice de la forme :
:<math>T=\begin{pmatrix}
t_{1,1} & t_{1,2} & \ldots & \ldots & t_{1,n} \\
0       & t_{2,2} & \ldots & \ldots & t_{2,n} \\
\vdots  & \ddots  & \ddots &        & \vdots  \\
\vdots  &         & \ddots & \ddots & \vdots  \\
0       & \ldots  & \ldots & 0       & t_{n,n}
\end{pmatrix}
</math>
le déterminant <math>p_T(X)=\det(XI_n-T)</math> qui exprime le polynôme caractéristique se factorise :
:<math>
p_T(X)=(X-t_{1,1}) (X-t_{2,2}) \ldots (X-t_{n,n})
</math>

Le même raisonnement s'applique bien sûr au cas d'une matrice triangulaire inférieure.
D'une façon générale,
les valeurs propres d'une matrice triangulaire coïncident donc effectivement avec ses éléments diagonaux,
comme annoncé au [[#Motivation|début]].
== Généralisations et applications ==

{{...}}

=== Polynôme caractéristique d'un endomorphisme ===
Si ''f'' est un endomorphisme d'un espace vectoriel ''E'' de dimension finie, on appelle polynôme caractéristique de ''f'' le polynôme caractéristique de la matrice représentant ''f'' dans une base de ''E''. Les polynômes caractéristiques de deux matrices semblables étant égaux, cette définition ne dépend pas de la base choisie ; on a <math> p_f(X)= \det(f-X. {\rm Id}_E)</math>.

=== Équations caractéristiques ===
La recherche des valeurs propres d'une matrice (ou d'un endomorphisme) revient  à déterminer les zéros de son polynôme caractéristique, et donc à résoudre l'équation <math>p_A(X)=0</math>. Lorsque cette matrice apparaît comme outil de résolution d'un problème, tel que la recherche des solutions d'une équation différentielle, ou d'une formule explicite pour une [[suite définie par récurrence]], par exemple, on dit que l'équation précédente est l’'''[[équation caractéristique]]''' de ce problème. Ainsi, pour résoudre l'équation différentielle  <math>y''+by'+cy=0</math>, on construit le [[système différentiel]] <math>y'=z</math>, <math>z'=-cy-bz</math>, de matrice <math>M=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-c&-b
\end{pmatrix}</math> ; le polynôme caractéristique de ''M'' est <math>X^2+bX+c</math>, et on retrouve bien l'[[équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants|équation caractéristique]] au sens d'Euler.

=== Polynôme caractéristique d'un graphe ===
On appelle '''polynôme caractéristique du [[théorie des graphes|graphe]]''' ''G'' le polynôme caractéristique de la [[matrice d'adjacence]] de ''G''. L'étude de ce polynôme et de ses racines est l'objet de la [[théorie spectrale des graphes]].

== Notes et références ==
{{Références}}

==Voir aussi==
{{Autres projets|v=Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique|wikiversity titre=Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique}}
[[Algorithme de Faddeev-Leverrier]] : algorithme permettant de calculer le polynôme caractéristique d'une matrice.

{{Palette|Algèbre linéaire}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Application linéaire]]
[[Catégorie:Déterminant]]