Voir la source de Problème des moments

En [[Analyse (mathématiques)|analyse]] [[mathématique]], le '''problème des moments''' est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses [[Moment (mathématiques)|moments]]. Plus concrètement, étant donnés un [[intervalle réel]] {{mvar|I}} et une [[Suite (mathématiques)|suite]] {{math|(''m{{ind|n}}'')}} de [[Nombre réel|réels]], on peut se demander s'il existe sur {{mvar|I}} une [[mesure de Borel]] (donc positive) {{mvar|μ}} telle que pour tout entier naturel {{mvar|n}},
:<math>m_n = \int x^n~\mathrm d\mu(x)</math>
et, le cas échéant, si une telle mesure est unique.
Si cette mesure existe, elle représente alors la [[Loi de probabilité#Définition mathématique|loi de probabilité]] d’une [[variable aléatoire réelle]] dont les moments sont les nombres {{mvar|m{{ind|n}}}}.

On peut noter plusieurs variantes du « problème des moments » selon la forme de l’intervalle :
* de [[Hans Hamburger|Hamburger]] si l'intervalle {{mvar|I}} est <math>\R</math> tout entier ;
* de [[Thomas Joannes Stieltjes|Stieltjes]] s'il est égal à <math>[0,+\infty[</math> ;
* de [[Felix Hausdorff|Hausdorff]] si {{mvar|I}} est un [[Segment (mathématiques)|segment]] {{math|[''a'',''b'']}}.

== Existence ==
L'[[Existence (mathématiques)|existence]] d'une [[Mesure (mathématiques)|mesure]] de Borel {{mvar|μ}} sur <math>\R</math> répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite {{math|(''m{{ind|n}}'')}} : les [[Matrice de Hankel|matrices de Hankel]] {{mvar|H{{ind|n}}}} associées à cette suite, définies par
:<math>(H_n)_{i,j}=m_{i+j}</math>,
doivent être toutes [[Matrice autoadjointe positive|positives]].

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné {{math|[''a'',''b'']}}, il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

{{Démonstration|titre=Ébauche de démonstration|contenu=
*Considérons la [[forme linéaire]] {{mvar|φ}} définie sur les [[polynôme]]s par :
:<math>\varphi\left(\sum_ka_kx^k\right)=\sum_ka_km_k.</math>
*Si les {{mvar|m{{ind|n}}}} sont les moments d'une mesure de Borel {{mvar|μ}} sur {{math|[''a'',''b'']}} alors
:<math>(1)\qquad\varphi(P)\ge 0</math> pour tout polynôme {{mvar|P}} positif sur {{math|[''a'',''b'']}}.
Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le [[théorème de prolongement de M. Riesz]], {{mvar|φ}} s'étend en une forme linéaire ''positive'' sur l'espace de fonctions continues {{math|C([''a'',''b''])}}.
*D'après le [[Théorème de représentation de Riesz (Riesz-Markov)|théorème de représentation de Riesz]], l'existence d'un tel prolongement positif pour {{mvar|φ}} équivaut à l'existence d'une mesure {{mvar|μ}} telle que pour tout polynôme {{mvar|P}},
:<math>\varphi(P)=\int P~\mathrm d\mu.</math>
*Ainsi, la condition (1) est nécessaire et suffisante pour qu'il existe une mesure sur {{math|[''a'',''b'']}} de moments{{mvar|m{{ind|n}}}}. En utilisant un théorème de représentation des polynômes positifs sur {{math|[''a'',''b'']}}<!-- This is due to Riesz or Fejer (or maybe both); a ref. is needed (maybe Szego's book?) -->, la condition (1) peut se reformuler en une condition sur les matrices de Hankel.

Pour plus de détails, voir {{Harvsp|Shohat|Tamarkin|1943}}, {{Harvsp|Akhiezer|1965}} et {{Harvsp|Krein|Nudelman|1977}}.
}}

== Unicité ==

* L'[[Unicité (mathématiques)|unicité]] de {{mvar|μ}} pour le problème des [[moments de Hausdorff]] se déduit du [[théorème d'approximation de Weierstrass]].
* Le problème de l'unicité quand l'intervalle est non borné est une question plus délicate ; voir les articles « {{Lien|langue=en|trad=Carleman's condition|fr=Condition de Carleman}} », « {{Lien|langue=en|trad=Krein's condition|fr=Condition de Krein}} » et la référence {{Harvsp|Akhiezer|1965}}.
* La réponse est négative dans le cas général. Voici un contre-exemple [[Probabilité|probabiliste]] donné par [[William Feller]]. On considère la fonction <math>f:\left]0,+\infty\right[\to\R^+</math> définie par <math>f(x) = \frac1{x\, \sqrt{2 \pi}}\,\mathrm e^{-\frac12\, (\ln x)^2}</math> (densité de la [[loi log-normale]] de paramètres 0 et 1), dont tous les moments existent. On démontre que cette loi n'est pas déterminée par ses moments.
{{Démonstration|
On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel {{mvar|n}}, <math>\int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, \mathrm{d}x  = 0</math>.

Pour tout <math>\alpha \in \R</math>, on définit <math>g_\alpha:\left]0,+\infty\right[\to \R</math> par <math>g_\alpha(x) = f(x)\, \left[1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)\right]</math>.

Alors : quels que soient <math>\alpha \in \R</math> et <math>n \in\N</math>, <math>m_n(g_\alpha) = m_n(f)</math>, bien que <math>g_\alpha \neq f</math> dès que <math>\alpha \neq 0</math>.

Or si l'on prend <math>\alpha \in\left[-1,1\right]</math>, <math>g_\alpha</math> est à valeurs positives donc (puisque <math>m_0(g_\alpha)=m_0(f)=1</math>) c'est une densité de probabilité.
}}

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Moment (mathématiques)|79254348}}
{{Traduction/Référence|en|Moment problem|447001609}}
{{Références}}
* {{Ouvrage|lang=en|first=James Alexander|nom=Shohat|auteur2=[[Jacob Tamarkin]]|titre=The Problem of Moments|lieu=New York|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|year=1943}}
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Naum Akhiezer]]|titre=The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis|langue originale=ru|traducteur=N. Kemmer|lieu=New York|éditeur=Hafner Publishing|year=1965}}
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Mark Krein|M. G. Krein]]|auteur2=A. A. Nudelman|titre=The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development|langue originale=ru|traducteur=D. Louvish|collection=Translations of Mathematical Monographs|numéro dans collection=50|lieu=Providence (RI)|éditeur=AMS|year=1977}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
[[Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones]]
=== Lien externe ===
{{MathWorld|nom_url=MomentProblem|titre=Moment Problem}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]